数学必修 5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理

回忆一下直角三角形的边角关系 ? A

B C

c b

a

222 cba

Aca sin Bcb sin

c

aAsin

90BA

两等式间有联系吗？

cBb

Aa

sinsin

1sin C Cc

Bb

Aa

sinsinsin

那么对于一般三角形，以上关系式是否仍然成立哪？

c

bB sin

当△ ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据三角函数定义，

CD=asinB,CD=bsinA

所以， asinB=bsinA

B

b

A

a

sinsin

同理，在△ ABC 中C

c

B

b

sinsin

B

C

AD

a b

c

b

CDAsin

a

CDB sin

sin sin sin

a b c

A B C

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin sin

a b c

A B C

正弦定理

: : sin : sin : sina b c A B C

常见变形公式：

sin sin sin

a b c

A B C 正弦定理

（ 1 ）已知两角及一边；（ 2 ）已知两边和其中一边的对角；

（ 3 ）已知两边及夹角；

（ 4 ）已知三边 .

可以解决的问题：

A

B Ca

bc

如已知 A、 B和 a，可求出 C， b和 c.

如已知 a、 b和 A，可求出 B， C和 c.

如已知 a、 b和 C，可求出 A， B和 c.

如已知 a、 b和 c，可求出 A， B和 C.

例 1 在△ ABC 中，已知 c=10cm ， A=45° ，C=30° ，解三角形.

解：

C

c

A

a

sinsin

)(180 CAB

AB

C

45 °

30 °

c=10cm

？

b= ？a= ？

根据三角形内角和定理 105

由正弦定理，得

30sin

10

45sin

a

cma 210

你能求出 b 吗？

C

c

B

b

sinsin

30sin

10

105sin

b

cm 265 b

105

cma 210

练习：根据下列条件解三角形 a = 45cm, B= 60°, A = 45°