第 42课时　二次函数与几何综合类存在性问题

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探究一、二次函数与三角形的结合

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例 1 ． [2013• 重庆 ] 如图 42 － 1 ，对称轴为直线 x ＝－ 1 的抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)

与 x 轴的交点为 A 、 B 两点，其中点 A 的坐标为 ( － 3 ， 0) ．(1) 求点 B 的坐标；(2) 已知 a ＝ 1 ， C 为抛物线与 y 轴的交点．① 若点 P 在抛物线上，且 S POC△ ＝ 4S BO△C ，求点 P 的坐标；② 设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD x⊥ 轴交抛物线于点 D ，求线段 QD 长度的最大值．

图 42－ 1

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例题分层分析　　 (1)抛物线的关系式不清，不能通过解方程的方法确定 B点的坐标，根据二次函数的对称性，能求出 B点坐标吗？

(2)求抛物线的关系式应具备哪些条件呢？由 a＝ 1， A(－ 3，0)， B(1， 0)三个条件试一试．

(3)根据 S POC△ ＝ 4S BOC△ 列出关于 x的方程，解方程求出 x

的值．

(4)如何用待定系数法求出直线 AC的关系式．

(5)D点的坐标怎么用 x来表示？

(6)QD怎样用含 x的代数式来表示．

(7)QD与 x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？考向互动探究

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解 析 (1)由题意知，点A与点B关于直线x＝－1对称，

A(－3，0)，

∴ B(1，0)．

(2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)代入 y＝x2＋2x

＋c中得 c＝－3，

∴ 该抛物线的关系式为 y＝x2＋2x－3.

∵ S△ BOC＝12· OB· OC＝

12× 1×3＝

32，

∴ S△ POC＝4S△ BOC＝4×32＝6.

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解 析又 S△ POC＝

12· OC·

xp＝6，

∴

xp＝4，

∴ xp＝± 4.

当 xp＝4时，yp＝42＋2×4－3＝21；

当 xp＝－4时，yp＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5.

∴ 点 P的坐标为(4，21)或(－4，5)．

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解 析 ②∵ A(－3，0)，C(0，－3)，则直线 AC的关系

式为 y＝－x－3.

设点 Q为(x，－x－3)，点 D为(x，x2＋2x－3)，

∴ QD＝yQ－yD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x.

当 x＝－－3

2×（－1）＝－32时，QD有最大值，其最大值为

－

－32

2－3×

－32＝

94.

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解题方法点析　　解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．

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探究二、二次函数与四边形的结合

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例 2 ． [2013• 枣庄 ] 如图 42 － 2 ，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点， B 点的坐标为 (3 ， 0) ，与 y 轴交于 C(0 ，－ 3) ，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点．

图 42－ 2

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(1) 求这个二次函数的关系式；(2) 连接 PO 、 PC ，并将△ POC 沿 y 轴对折，得到四边形 PO

P′C ，那么是否存在点 P ，使得四边形 POP′C 为菱形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．

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例题分层分析　　 (1)图中已知抛物线几个点？将 B、 C的坐标代入求抛物线的关系式；

(2)画出四边形 POP′C，若四边形 POP′C为菱形，那么 P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出 P点坐标吗？

(3)由于△ ABC的面积为定值，当四边形 ABPC的面积最大时，△ BPC的面积最大．

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解 析 (1)将 B、C两点的坐标代入 y＝x2＋bx＋c，得

9＋3b＋c＝0，c＝－3， 解得

b＝－2，c＝－3.

∴ 这个二次函数的关系式为 y＝x2－2x－3.

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解 析 (2)假设抛物线上存在点 P(x，x2－2x－3)，使得

四边形 POP′ C 为菱形．连接 PP′ 交 CO于点 E.∵ 四边形

POP′ C为菱形 ∴， PC＝PO，PE⊥CO ∴， OE＝EC＝32 ∴，

P点的纵坐标为－32，即 x2－2x－3＝－

32，解得 x1＝

2＋ 102 ，

x2＝2－ 10

2 (不合题意，舍去)．∴ 存在点 P(2＋ 10

2 ，－32)

使得四边形 POP′ C为菱形．

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解 析 (3)过点 P作 y轴的平行线交 BC于点Q，交OB于点 F，设 P(x，x2－2x－3)，由 x2－2x－3＝0得点 A的坐标为(－1，0)．∵ B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，∴ 直线 BC的关系式为 y＝x－3，∴ Q点的坐标为(x，x－3)，∴ AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x2＋3x.∴ S 四边

形 ABPC＝S△ ABC＋S△ BPQ＋S△ CPQ＝12AB· CO＋

12PQ· BF＋

12

PQ· FO＝12AB· CO＋

12PQ· (BF＋FO)＝

12AB· CO＋

12PQ· BO

＝12× 4× 3＋

12× (－x2＋3x)×3＝－

32x2＋

92x＋6＝－

32

x－32

2＋758 .

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解 析∴ 当 x＝

32时，四边形 ABPC的面积最大，此时 P

点的坐标为

3

2，－154 ，四边形 ABPC的最大面积为

758 .

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解题方法点析　　求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差．

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探究三、二次函数与相似三角形的结合

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例 3 ． [2013• 凉山 ] 如图 42 － 3 ，抛物线 y ＝ ax2 － 2ax ＋ ca≠0 交 x 轴于A 、 B 两点， A 点坐标为 (3 ， 0) ，与y 轴交于点 C(0 ， 4) ，以 OC 、 OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G.

(1) 求抛物线的关系式；(2) 抛物线的对称轴 l 在边 OA( 不包括O 、 A 两点 ) 上平行移动，分别交 x 轴于点 E ，交 CD 于点 F ，交 AC 于点M ，交抛物线于点 P ，若点 M 的横坐标为 m ，请用含 m 的代数式表示 PM

的长；

图 42－ 3

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(3) 在 (2) 的条件下，连接 PC ，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P ，使得以 P 、 C 、 F 为顶点的三角形和△ A

EM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断△ PCM 的形状；若不存在，请说明理由．

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例题分层分析　　 (1)将 A(3， 0)， C(0， 4)代入 y＝ ax2－ 2

ax＋ c，求出抛物线的关系式．

(2)根据 A、 C的坐标，用待定系数法求出直线 AC的关系式．

(3)根据抛物线和直线 AC的关系式如何表示出点 P、点M的坐标，求 PM的长．

(4)由于∠ PFC和∠ AEM都是直角， F和 E是对应点，则以 P、C、 F为顶点的三角形和△ AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△ PFC AEM∽△ ，②△ CFP AEM.∽△

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解 析 (1)∵ C(0，4)，A(3，0)在抛物线 y＝ax2－2ax＋

c

a≠ 0上，

∴c＝4，9a－6a＋c＝0，解得

a＝－

43，

c＝4.

∴ 所求抛物线的关系式为 y＝－43x2＋

83x＋4.

(2)设直线 AC的关系式为 y＝kx＋b

k≠0，

∵ A(3，0)，C(0，4)在直线 AC上，

∴3k＋b＝0，b＝4， 解得

k＝－

43，

b＝4.

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解 析∴ 直线 AC的关系式为 y＝－

43x＋4，

∴ M

m，－43m＋4，P

m，－43m2＋

83m＋4 .

∵ 点 P在M的上方，

∴ PM＝－43m2＋

83m＋4－

－43m＋4

＝－43m2＋

83m＋4＋

43m－4

＝－43m2＋4m.

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解 析 (3)①若△ PFC∽△ AEM，此时△ PCM是直角三角形且∠PCM＝90° .

则PFAE＝

CFME，即

PFCF＝

AEME.

又∵ △ AEM∽△ AOC，∴AEOA＝

MEOC，即

AEME＝

OAOC，

∴PFCF＝

OAOC＝

34.

∵ PF＝PE－EF＝－43m2＋

83m＋4－4＝－

43m2＋

83m，CF＝

OE＝m，

∴－

43m2＋

83m

m ＝34.∵ m≠ 0，∴ m＝

2316.

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解 析 ②若△ PFC∽△ MEA，此时△ PCM是等腰三角形且 PC＝CM.

则PFME＝

FCAE，即

PFFC＝

MEAE.

由①得OAOC＝

AEME＝

34 ∴，

OCOA＝

43∴

PFFC＝

OCOA＝

43.

同理，PF＝－43m2＋

83m，CF＝OE＝m， ∴

－43m2＋

83m

m ＝43.

∵ m≠ 0 ∴， m＝1. 综上可得，存在这样的点 P，使以 P、C、F为顶点的三角形与△ AEM相似，

此时m的值为2316或 1 △， PCM为直角三角形或等腰三角形．

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解题方法点析　　此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．

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探究四、二次函数与圆的结合

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例 4 ． [2013• 巴中 ] 如图 42 － 4 ，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O ， A 点坐标为 (4 ，0) ， B 点坐标为 ( － 1 ， 0) ，以 AB 的中点P 为圆心， AB 为直径作⊙ P 与 y 轴正半轴交于点 C.

(1) 求经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线所对应的函数关系式；(2) 设 M 为 (1) 中抛物线的顶点，求直线 MC

对应的函数关系式；(3) 试说明直线 MC 与⊙ P 的位置关系，并证明你的结论．

图 42－ 4

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例题分层分析　　 (1)已知抛物线上的哪两个点？设经过 A、 B、C三点的抛物线的关系式是 y＝ a(x－ 4)(x＋ 1)，把 C(0， 2)代入试试．

(2)顶点M和 C点的坐标怎么求？

(3)如何求∠ PCD＝ 90°？用勾股定理的逆定理试试．

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解 析 (1)∵ A(4，0)，B(－1，0)，

∴ AB＝5，半径是 PC＝PB＝PA＝52，

∴ OP＝52－1＝

32.

在△ CPO中，由勾股定理得OC＝ CP2－OP2＝2 ∴， C(0，2)． 设经过 A、B、C三点的抛物线的关系式是 y＝a(x－4)(x＋1)， 把 C(0，2)代入得 2＝a(0－4)(0＋1)，

∴ a＝－12， ∴ y＝－

12(x－4)(x＋1)＝－

12x2＋

32x＋2，

故经过 A、B、C三点的抛物线的关系式是 y＝－12x2＋

32x＋2.

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解 析(2)∵ y＝－

12x2＋

32x＋2＝－

12

x－32

2＋258，

∴ M

3

2，258 .

设直线MC对应的函数关系式是 y＝kx＋b，

把 C(0，2)，M

3

2，258 代入，得

25

8＝32k＋b，

b＝2，

解得 k＝34，b＝2 ∴， y＝

34x＋2.

故直线MC对应的函数关系式是 y＝34x＋2.

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解 析 (3)直线MC与⊙ P的位置关系是相切． 证明：设直线MC交 x轴于点 D，

当 y＝0时，0＝34x＋2，

∴ x＝－83，OD＝

83，∴ D

－83，0 .

在△ COD中，由勾股定理得 CD2＝22＋

8

32＝

1009 ＝

40036 .

又 PC2＝

5

22＝

254＝

22536， PD2＝

5

2＋83－1 2＝

62536，

∴ CD2＋PC2＝PD2， ∴ ∠PCD＝90° ， ∴ PC⊥DC. ∵ PC为半径， ∴ 直线MC与⊙ P的位置关系是相切.

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解题方法点析　　用待定系数法求一次函数、二次函数的关系式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

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