第 4 章 生产决策分析

•第 1 节 什么是生产函数•第 2 节 单一可变投入要素的最优利用•第 3 节 多种投入要素的最优组合•第 4 节 规模与收益的关系•第 5 节 柯布-道格拉斯生产函数•第 6 节 生产函数和技术进步

1

第 1 节

什么是生产函数

2

生产函数的概念•生产函数反映在生产过程中，各种投入要素组合

所能生产的最大产量。其数学表达式为： 。

•不同的生产函数代表不同的技术水平。•短期生产函数——至少有一种投入要素的投入量

是固定的；长期生产函数——所有投入要素的投入量都是可变的。

1 2( , , )nQ f x x x

3

第 2 节

单一可变投入要素的最优利用

4

总产量、平均产量和边际产量的相互关系

5

表 4—1 印刷车间每天的总产量、边际产量和平均产量 工人人数 总产量 边际产

量 平均产量

0123456789

1011

0 13 30 60104134156168176180180176

13173044302212 8 4 0-4

13152026

26.8262422201816

6

图 4—1

7

•边际产量 = = 总产量曲线上该点切线的斜率

•平均产量 = = 总产量曲线上该点与原点之间连接线的斜率。

•边际产量 > 平均产量，平均产量边际产量 < 平均产量，平均产量边际产量 = 平均产量，平均产量最大

/Q Ld d

/Q L

8

边际收益递减规律•如果技术不变，增加生产要素中某个要素的投入

量，而其他要素的投入量不变，增加的投入量起初会使该要素的边际产量增加，增加到一定点之后，再增加投入量就会使边际产量递减。

9

生产的三个阶段图 4—2

10

•第一个阶段不合理，因为固定要素投入过多，其边际产量为负值。

•第三个阶段不合理，因为可变要素投入过多，其边际产量为负值。

•第二个阶段是合理的，可变要素和固定要素的边际产量均为正值。

11

单一可变投入要素最优投入量的确定•边际产量收入

指可变投入要素增加 1 个单位，能使销售收入增加多少。

•单一可变投入要素最优投入量的条件：/ ( / ) ( / )y yMRP TR y TR Q Q y MR MP

y y y yMRP ME MRP P 或

12

. .

[ 例 4—1]

假定某印染厂进行来料加工，其产量随工人人数的变化而变化。两者之间的关系可用下列方程表示： 这里， 为每天的产量； 为每天雇用的工人人数。又假定成品布不论生产多少，都能按每米 20 元的价格出售，工人每天的工资均为 40 元，而且工人是该厂唯一的可变投入要素 ( 其他要素投入量的变化略而不计 ) 。问该厂为谋求利润最大，每天应雇用多少工人 ?

298 3Q L L Q L

13

解：因成品布不论生产多少，都可按每米 20元的价格出售，所以边际收入 (MR) 为 20元。

成品布的边际产量为：

根据式 (4—5)，

即该厂为实现利润最大，应雇用工人 16名。

2(98 3 )98 6

20 (98 6 )

40

L

L L

L L

Q L LMP L

L LMRP MR MP L

ME P

d dd d

则

20 (98 6 ) 40L L =16

.

14

[ 例 4—2] 在上面印刷车间的例子中，假定印刷品的价格为每

单位 15 元，工人的日工资率为 120 元。 （ 1 ）假定工人是该车间唯一的可变投入要素，该

车间应雇用多少工人 ? （ 2 ）假定伴随工人人数的增加，也带来用料 ( 纸张 ) 的增加，假定每单位印刷品的用料支出为 5.0元。该车间应雇用多少工人 ?

解：（ 1 ）假定工人是唯一的可变投入要素。

15

根据表 4—2 ，当 元时，工人人数为 8 人，所以应雇用 8 人。

（ 2 ）假定随着工人人数的增加，也会相应增加原材料支出，则有关数据可计算如下：

2.4L L LMRP ME P

表 4—2

16

工人人数（ 1 ） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

边际产量 13 17 30 44 30 22 12 8 4 0

边际产量收入 195 255 450 660 450 330 180 120 60 0

边际支出 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

120

根据表 4—3 ，当工人人数为 7 时， =180 。所以，最优工人人数应定为 7 人。

L LMRP ME

表 4—3

17

工人人数（ 1 ） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

边际产量 13 17 30 44 30 22 12 8 4 0

边际产量收入 195 255 450 660 450 330 180 120 60 0

边际支出 185 205 270 340 270 230 180 160 140 120

第 3 节

多种投入要素的最优组合

18

等产量曲线的性质和类型•什么是等产量曲线

等产量曲线反映能生产一定产量的各种投入要素组合。

图 4—3

19

•性质：较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量。

图 4—4

20

•分类：1. 投入要素之间完全可以替代

图 4—5

21

2. 投入要素之间完全不能替代

图 4—6

22

3. 投入要素之间替代不完全

图 4—7

23

边际技术替代率（ MRTS ）

•指增投 1 个单位 x ，能替代多少单位 y 。

24

/ ; / /x yMRTS y x y x MP MP 图 4— 8

25

•边际技术替代率等于等量曲线的斜率，它总是随着 x 投入量的增加而递减。

26

等成本曲线•等成本曲线反映总成本不变的各种投入要素组合。•等成本曲线的方程式：

这里， 代表等成本曲线在 轴上的截距，说明越在外面的等成本曲线代表越高的成本； 代表等成本曲线的斜率。

/ ( / )x y y x yE P x P y y E P P P x 或

/ yE P y/x yP P

. .

27

.

图 4—9

28

多种投入要素最优组合的确定•图解法

等产量曲线与等成本曲线的切点代表最优组合。图 4—10

29

•一般原理：多种投入要素最优组合的条件

是：

图 4—12

1 2

21

n

n

x xx

x x x

MP MPMP

P P P

30

[ 例 4—4] 假设等产量曲线的方程为： ，其中 K 为

资本数量， L 为劳动力数量， a 和 b 为常数。又假定 K 的价格为 PK, L 的价格（工资）为 PL 。试求这两种投入要素的最优组合比例。

解：先求这两种投入要素的边际产量。 L 的边际产量为：

K 的边际产量为：

a aQ K L

1( )a ba b

L

K LMP K bL

K

1( )a bb a

K

K LMP L aK

K

31

b

根据最优组合的一般原理，最优组合的条件是：

所以， K 和 L 两种投入要素的最优组合比例为 a PL / b

PK 。

1 1

kL

L

a b b a

L K

L K

L

K

MPMP

P Pk

M bL L aK

P P

bK aL

P P

aPK

L bP

即

或

K

32

[ 例 4—5]

某出租汽车公司现有小轿车 100 辆，大轿车 15辆。如再增加一辆小轿车，估计每月可增加营业收入 15 000 元；如再增加一辆大轿车，每月可增加营业收入 40 000 元。假定每增加一辆小轿车每月增加开支 12 500 元（包括利息支出、折旧、维修费、司机费用和燃料费用等），每增加一辆大轿车每月增加开支 25 000 元。该公司这两种车的比例是否最优 ? 如果不是最优，应如何调整 ?

33

34

30 000 2 500

3012( )

2 500

10 000 1 250

108( )

1 250

MP P

MP

P

MP P

MP

P

大 大

大

大

小 小

小

小

解:

000元

000元

40 000

40 000

50 000

50 00012 500

25 000

1.6(元 )

1.2(元 )

25 000

12 500

即大轿车每月增加 1 元开支，可增加营业收入 12元，而小轿车只能增加营业收入 8 元。两者不等，说明两种车的比例不是最优。如想保持总成本不变，但使总营业收入增加，就应增加大轿车，减少小轿车。

35

利润最大化的投入要素组合•为谋求利润最大，两种投入要素之间的组合，必须同时满足MRPK=PK 和 MRPL=PL 。这种组合也一定能满足最优组合的条件，即MPK/PK=MPL/PL 。

36

图 4—13

37

价格变动对投入要素最优组合的影响•如果投入要素的价格比

例发生变化，人们就会更多地使用比以前便宜的投入要素，少使用比以前贵的投入要素。

图 4—14

38

生产扩大路线•指随着生产规模的扩大，投入要素最优组合比例发生变化的轨迹。 图 4—15

•长期生产扩大路线•短期生产扩大路线

39

第 4 节

规模与收益的关系

40

规模收益的三种类型假定： aL+aK=bQ 1. b>a 规模收益递增 2. b<a 规模收益递减 3. b=a 规模收益不变

41

图 4—16

42

影响规模收益的因素•促使规模收益递增的因素（ 1 ）工人专业化（ 2 ）使用专门化的设备和先进的技术（ 3 ）大设备单位能力的费用低（ 4 ）生产要素的不可分割性（ 5 ）其他因素

•促使规模收益不变的因素•促使规模收益递减的因素，主要是管理因素

43

规模收益类型的判定

•假如，那么， h<k 规模效益递减 h=k 规模效益不变

h>k 规模效益递增•如果生产函数为齐次生产函数：那么， n=1 规模效益不变（ h=k ） n>1 规模效益递增（ h > k , 假定 k>1 ） n<1 规模效益递减（ h < k , 假定 k>1 ）

, ,hQ f kx ky kz

, ,nhQ k f x y z

44

柯布 - 道格拉斯生产函数•形式：•优点：

1. 其对数形式为线性函数2. 边际产量的变化，符合边际收益递减规律3. 属于齐次生产函数，便于判断规模收益类型4. 指数 b 、 c ，恰好是 K 、 L 的产量弹性

b cQ aK L

45

第 6 节

生产函数和技术进步

46

技术进步导致生产函数的改变•技术进步，指技术知识及其在生产中的应用有了

进展。它应当表现为以更少的投入，得到与以前同样的产出。

故技术进步导致生产 函数的改变，表现为 等产量曲线的位移。图 4—18

47

技术进步的类型1. 劳动节约型2. 资本节约型3. 中立型

48

图 4—19

49

技术进步在产量增长中所作贡献的测定 假定某生产单位的生产函数为：

那么，

假定在这一期间 ，该单位增加的全部产量为 ΔQ 。

式中， 为因增加投入而引起的产量的增加； ΔQ ′ 为由技术进步引起的产量的增加。 两边均除以 Q ，得：

Q aK L

1

K

L

MP a K L

MP K L

K LQ MP K MP L Q

K LMP K MP L

K LMP K MP LQ K L Q

Q Q K Q L Q

50

-1

.. ...

... .

如果 ΔQ/Q 为全部产量增长率，记为 GQ ； ΔK/ K 为资本增长率，记为 GK ； ΔL/ L 为劳动增长率，记为 GL ； ΔQ′／ Q为因技术进步引起的产量增长率，记为 GA ，则式 (4—13) 又可写为：

或： A Q K LG G G G

Q K L AG G G G

1

1

K

L

MP K a K L K

Q aK L

MP L a K L L

Q aK L

Q K L Q

Q K L Q

51

.

.

.

.

[ 例 4—7]

假定某企业期初的生产函数为： 。在这期间，该企业资本投入增加了 10 % ，劳动力投入增加了 15% ，到期末总产量增加了 20% 。（ 1 ）在此期间该企业因技术进步引起的产量增长率是多少 ? （ 2 ）在此期间，技术进步在全部产量增长中做出的贡献是多大 ?

解：（ 1 ）因技术进步引起的产量增长率为： GA=GQ －αGK － βGL=20 %-0.4×10%-0.6×15% =7% 即在全部产量增长率 20% 中，因技术进步引起的产量增长率为 7% 。 （ 2 ）技术进步在全部产量增长中所做的贡献为： GA ／GQ× 100%=7% ／ 20%×100%=35% 即在全部产量增长中，有35% 是由技术进步引起的。

0.4 0.45Q K L

52

0.6