第 4章 电路的暂态分析 4.1 电压、电流初始值和终止值的计算4.2 一阶电路的零输入响应 4.3 一阶电路的零状态响应 4.4 阶跃函数和阶跃响应4.5 RC 电路对矩形脉冲的响应4.6 一阶电路的全响应4.7 一阶电路的三要素法4.8 二阶电路的零输入响应

这一章主要讨论 RC 、 RL 、 RLC 电路的暂态分析，即一阶电路和二阶电路分析。一阶电路：只含有一个动态元件的线性电路，用一阶线性、 常系数微分方程来描述的电路。二阶电路：用二阶微分方程来描述的电路。 在暂态分析中，要用第一章的内容，即电容电流为有限值时，则电容电压不能突变。电感电压为有限值时，电感电流不能突变。

4.1 电压、电流初始值和终止值的计算 i(0),u(0), du/dt(t=0),di/dt(t=0)

i 和 uR2 跃变的原因是，电阻上的电压和电流之间的关系为线性关系： u=i·R而 C ： ; L:

综上所述：在换路的瞬间 ( t = 0), 电容的电压和电感的电流都不能突变应保持原值，称为连续性原理（在 ic 有界，ul 有界时）。在换路时：

dtduci c

c dtdi

Lu LL

例：求开关 K 闭合 1 、电流、电压的初始值及 2 、 t=∞ 的稳态值。 已知： K 闭合前电容、电感均无贮能。

o

co dtdu

dtdi

,3

解：由已知条件可得： uc(0-)=0, i3(0-)=0

例 2 、求 t=0 ， t=∞ 时各电压、电流。已知：电路原已稳定 .

解： t=0- 时等效电路

4.2 零输入响应（ Zero input response ）零输入响应：电路在没有外加输入时的响应，仅由于非零初始状 态所引起的响应。

4.2.1 RC 电路的零输入响应 （ RC—Circuit Zero input response ） 假设电容器 C 在 t=0 时刻已充满电，且 uc （ 0- ） =Uo 。即 t=0时， K1 开， K2 闭。

这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。 由数学知识可知：该微分方程的解具有下列形式： uc = Aest

S 、 A 为待定常数将上式代入微分方程RCSAest+Aest=0, Aest （ RCS+1 ） =0 ∵Aest≠0 故有

RCS 1

t

RCc Aeu

1

积分常数 A ，由初始条件来确定 uc(0)=Aeo=Uo ∴A=Uo

S 为特征方程根

固有频率

由以上可知： uc 、 uR 、 ic 都是按同样的指数规律变化的， 故在 R>0 时， uc 、 ic 、 uR 均按指数规律不断衰减，最后到 0 。

t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ………∞uc Uo 0.368Uo 0.135Uo 0.05Uo 0.018Uo 0.007Uo……0RC 电路的零输入响应是电容电压的初始值 U0 和 RC 来确定。

4.2.2 RL 电路的零输入响应 (RL—Circuit Zero—input Response)

0)(0)()(

tAeItAeItit

otLR

o

RL

令 时间常数 ( 单位为 s)

)(veIRRiut

ooR

t≥o;

)(veRIdtdiLu

t

oL

t≥o

零输入响应是由非零初状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。

4.3 零状态响应 （ Zero State Response ） 零状态响应即零初始状态响应，这是在零初始状态下，在初始时刻仅由施加于电路的输入所产生的响应。显然，这一响应只与输入有关。（只讨论直流输入）uc （ 0 ） =0 或 iL （ 0 ） =0 时的响应

4.3.1 RC 电路的零状态响应

解：由 KCL ： ic+iR=Is dtdu

Ci cc

Ru

i cR ；

齐次解（通解） + 特解 即： uc （ t ） =uch+ucp

输入为零时的解（齐次解）可设为 : t

ch Aeu

τ=RC

（特解）即： ucp=K 代入微分方程得： K=RIs 这是一种方法方法 2 ：求特解可根据 t→∞ 时电路的状态来定 ∵ uc （ t ） =ucp+uch t=∞ 时； uc （∞） =ucp （∞） + 0 =IsR 故微分方程的完全解为： uc=úch+ucp

s

t

c RIAetu )( uc （ o ） =A+RIs=o ∴A=-RIs

由此可知电容电压随时间变化的全貌，它从零值开始按指数规律上升趋向于稳态值 RIs 。

s

t

sc RIeRItu )( ))(1( veRI

t

s

故有：t≥o

)(AeIdtduci RC

t

sc

c

))(1( veRIRiut

sRR

t≥O;

t≥O;

))(1( AeIeIIiIit

s

t

sscsR

t≥O

从分析过程中可以看出，在 K 打开的瞬间，电容器上的电压为 0 ；但电流变化率最大 c

Idtdu sc

在微分方程的完全解中的齐次解又称为固有响应，特解为强制响应。故：电路的完全响应为 == 固有响应分量 +强制响应分量当 R>0 ，输入为常数或为周期函数时： 完全响应 == 暂态响应 + 稳态响应。

4.3.2 RL 电路的零状态响应 （请同学们自己看）

零状态响应小结：1 ）

)1)(()( t

eftf

一般形式

2 ） f（ t ）取决于 uc （∞）， iL （∞）和 τ 值3 ） R>0 时，响应，（固有 +强制 = 暂态 + 稳态）4 ）输入增大 K倍，响应增大 K倍。

4.4 阶跃函数和阶跃响应 (Step function and step Response)

4.4.1 单位阶跃函数的意义

4.4.2 延时单位阶跃函数

有了阶跃函数的定义，我们可以把具有 t=0 时刻的开关变化电路改画成：

例：

4.4.3 单位阶跃响应 零状态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应，用 S （ t ）表示。

若设 is （ t ） =Is·1 （ t ）—表示信号在 t≥O时刻加上。

则： )(1)1()( teRItut

sc

可以写成： uc(t)=Is·S(t)

例题：

已知： p(t)=Is{1(t)-1(t-to)}=p′(t)+p″(t)显见： p′(t)=Is·1(t); p″(t)=-Is·1(t-to)

4.5 RC 电路对矩形脉冲的响应 根据输入矩形波的脉冲宽度 tp 和电路的时间常数τ ，分为 RC 微分电路和积分电路。4.5.1 RC 微分电路： （ C 上无贮能 )

电路结构如图所示，构成微分电路的条件：

由电路可知：dtdu

RCRtitu c )()(2

dtdu

tu c)(2我们需要： u1(t)≈uc(t) u1(t) = uc(t) + uR(t)

则要： uc(t) >> uR(t) 上式即满足

即： 要成立Rtidttict )(.)(1

∫i(t)·dt>>RC·i(t) ∵ τ<<tp , 即 τ很小， RC很小。

故： 满足 . 若 i(t)=Is, 则 Istp>>Is·RC

∴ u1(t)≈uc(t) 即 uc(t)>>uR(t)

则有： 成立 , 一般情况下

tpo tiRCdtt )()(

dttdu

RCtu)(

)( 12 pt)5

1~31(

作用：突出了输入信号变化的部分。

4.5.2 RC 积分电路

在零初始条件下： dtu

RCdt

Ru

cdtti

ctu R

R 11)(1)(2

要使： u2 与 u1成积分关系则有 u1≈uR ,u1(t) = uc(t) + uR

(t)

即： uR(t)>>uc(t) dttic

Rti )(1)(

只要 RC 有足够大上式即可满足。故有 dttu

RCtu )(1)( 12

4.6 一阶电路的全响应4.6.1 完全响应 == 零输入响应 + 零状态响应

此微分方程解为： uc(t)=uch(t)+ucp(t)

代入初始条件： A+IsR=Uo ∴ A=Uo-IsR

故可得： )()()( VRIeRIUtu s

t

soc t≥0

RIAe s

t

当 :Is=0 时 零输入

当 :Uo=0 时 零状态

故上式可写成：

t

oc eUtu

)(

)1()( t

sc eRItu

)1()( t

s

t

oc eRIeUtu

4.6.2 完全响应 == 固有响应 +强制响应 （有条件的相等）

RIeRIUtu s

t

soc )()(

固有（暂态） + 强制（稳态）

全响应 == 零输入 + 零状态

4.7 一阶电路的三要素法指数曲线由三个值所确定：

a. 起点，即参考时间（ t=0) 的纵坐标 f(0+)点。b. 终点，即 t=∞ 时指数曲线最终将趋近的值 f(∞)点。c. 由初始点到终点变化的快慢，即时间常数 τ 。

由零输入响应可得通式 : t

eoftf

)()(

由零状态响应可知： )1)(()( t

eftf

由全响应可知（零输入 + 零状态） )1)(()0()( tt

efeftf

整理得： t

effftf

)()0()()(

这就是三要素公式。f=(0+)表示电压、电流的初始值。f(∞)表示电压、电流的稳态值。τ…表示时间常数 =RoC 或

oRL

R0---- 由动态元件看进去的代维南等效电路。

例 1 ：已知 uc(0)=0 ，求 t≥0 时的 uc(t)=?

代入三要素公式 t

effftf

)()0()()(

)(1)10(1)( 2 Veetutt

c

t≥0

例 2 、（微分方程、三要素法）

由 KCL （节点 a ） 得： i1=4-iL 代入下式4

141

LiLu dtdi

Lu LL 42

141

LL idtdi得：

471

LL idtdi 01

71

S特征方程： ∴ S=-7

kst

L iAeti )(

(iLp)K 代入微分方程，可知 k=4

∴ i(0)=A+4=0 ∴ A=-4 故： t≥0))(1(444)( 77 Aeeti ttL

是一个零状态响应。 下面用三要素求解： 已知： iL(0)=0 iL(∞)=4A

由三要素公式：

t

L eti

)40(4)( )1(4 t

e

求 τ ，（求 Ro ）（外加电压法）

例 3 、已知 us(t)=1(t) ， 且 uc(o)=5(v) ，求 uo(t) ， t≥0

解：把电路视为二个独立的部分，分别求解： ∵ uo(t)=-0.5×2uc(t) 先求出 uc(t) ，利用三要素法： uc(o)=5(V)

)(522

51)( vuc

tc etu 278.0

525

52)(

)(

523

52 278.0 Ve t t≥0

))(523

52()( 278.0 Vetu t

o

=-(0.4+4.6e-0.278t)(v) t≥0

例 4 、已知 i （ o ） =2A ，求 t>o ，u （ t ）解：这是一个零输入响应，把电路结构换一下。

故： iL(t)=2e-2t A t≥0)(168 22 Vee

dtd

dtdi

Lu ttLL

t≥0

例 5 ：若 t=0- 时，电路处于稳态，试求 i(t) 及 u(t) 。 t>0

解：利用三要素法，依题意先求出 t=0- 时 uc(t) ， iL(t)

求 t=∞ 时值：

开关闭合后，电路变成两个独立的部分， 2 个 τ 。RC ： τ1=100k×1μF=10-1s ，RL ： )(10

10)51//3(10100 4

3

3

2 SRL

故： uc(t)=45e-10t(v) t≥0 iL(t)=-60+[-15+60]e-10+4t(mA))(4560

410 mAe t t≥0

)(45.0)( 10 mAedtdu

Cti tc

)(45)(410 Ve

dtdiLtu t

t≥0

t≥0

4.8 二阶电路的零输入响应用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。有三种类型：

看一个 RLC串联电路 (RLC—Srivese Circuit Zero input response)

在电路中以 uc 为求解对象

由数学知识可知：此二阶方程的解由其特征方程根来定故有特征方程为： 012

LCS

LRS

显见这一方程有二个根 S1 、 S2

LCLR

LRS 1)

2(

22

2,1

由于 R 、 L 、 C参数不同， S1 、 S2 可能出现三种不同的情况。

先讨论第一种情况 （过阻尼）1 、过阻尼：

LCLR 1)

2( 2 时； 即：

CLR 42 时

S1.S2 为不相等的负实数微分方程的解答为： tsts

c ekektu 2121)(

其中 K1 、 K2 由初始条件确定解得：

oc VSSSc

oiouSSS

K 212

212

11)()(1

12

11

212

)()(1SSVS

coiouS

SSK O

c

设初始条件 uc(0)=Vo i(0)=0

则有：OVSSS

K 212

11

12

12 SS

SVK o

;

))(()( 21

12

21 AeeSSSSCV

dtducti tstsoc

t≥0

)(2112

21VeSeS

SSV tstso

tsts

c eKeKtu 2121)( t≥0

由： （韦达定理）LCSS 1

21

* tm 的大小决定于电路的参数。在 t=tm 时， → uL=0由 uL 的表达式 ：

故有： (t=tm)

,0dtdi

0)( 2121

12

tstso

L eSeSSS

Vu

02121 tsts eSeS

)(

1

2 21 sstmeSS

取对数：

电流的最大值出现在换路的瞬间。整个过程，能量的转换可以用下图表示。

)( 211

2 SStSS

mn 1

2

21

1SS

SSt nm

2.Critically damped 临界阻尼当 S1.S2 为相等的负实数时，当 时固有频率为相等的负实数。微分方程解为：∴ uc(t)=(K1+K2t)est

积分常数由初始条件确定： uc(0)=Vo,i(0)=0 ， uc(0)=K1=Vo

LCLR 1)

2( 2

tstsc tekektu 21

21)( LRSSS221

CoiSKSK

dtdu

tc )(0210 故有： K1=Vo , K2=-VoS

)()1()()( VestVestVVtu sto

stooc t≥0

)()1()( VestVdtdiLtu st

oL t≥0

)()( AteLV

dtducti stoc

L

)()( VteVLRRitu st

oR

t≥0；t≥0

由电路各式可以看出，它们均单调衰减而最后趋于 0 ，所以仍属于非振荡类型。但这是一个临界点。（振荡和非振荡）

所以它们的变化曲线类似。3 、欠阻尼 (Under damped )

∴ S1.2=-а±jωd

tstsc ekektu 21

21)(

ttjtjtjtj eekekekek dddd 21)(

2)(

1

uc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt) 其中： A=K1+K2 B=j(K1-K2)

式中： ； 22 BAK )(1

ABtg

A 、 B 、可由初始条件确定。 uc(0)=Vo i(0)=0uc(0)=A=Vo [uc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt)]

0)( c

oiBAdtdu

dotc

odVB

1

uc(t) 的曲线如下：

当电路中 R较小时，符合 这一条件时是振荡性的，称为欠阻尼情况。理想情况 R=0 。无损耗的： а=0

这时两个特征方程根是虚数 S1=jωo S2=-jωo

uc(t)=KCon(ωot-φ) 是一个等幅振荡。由贮能元件确定ωo 称电路的谐振角频率。

CLR 2

а为衰减系数。ωd—— 衰减振荡的角频率。

习题课1 、求网络结构 已知：电源作用一阶网络时所到的响应如图所示。

解：（ 1 ）看波形：由数学上可知： to tdt

满足这种关系的电路是一个纯电容元件

dttic

tu )(1)(

(2) 由波形可知，充放电过程。 设想一种结构

（ 3 ）从波形上看，输出电压在此 0点↑ 3V。能满足此要求是电感。 ∵ 电感电压可以跃变 . 0≤t≤1 i(t)=1A u(0+)=3(v) 由波形可知∵τ=1s 可取 R=3Ω ； 取 L=3H t>1 时 i(t) =0 电感放电。通过 R 上电流反向。由负方向衰减到 0

∵ 放电时，通过 R 上电流反向（电感放电以电流的形式）

2 、求 t>0 时 uo(t) 的响应，零输入零状态全响应。

解： uo(t)=uc(t) 显见： uo(0-)=uc(0-)=V2

τ=RoC=(1+β)R2·C由三要素法：

t

o eRRV

VVRRV

Vtu

)()()( 2

1

1222

1

12

))(1(21

12 VeR

RV

Vt

t≥0

3 、开关 t=0 时闭合，闭合前电路处于稳态。在 t=100ms 时打开。求 uab(t)

解： t=0- 时，电容稳态开路。)(1503

6300)( vkk

ouc

故 uab(0+)=37.5mA×1k+150=187.5(v)

t=∞ 时：

1)1205.187(120)( t

ab etu

t

e

5.67120

100ms≥t≥0 显见 100ms>>τ1

当 t=100ms 时，由于 100ms>τ1 ，故电路已处于稳态。

由前面可知： uc(0.1)=uc(∞)=60(v)把电路化简：由 ab 端看入代维南等效电路

uab(∞)=uc(∞)=150(v) ； τ2=(1.5+2)103×5×10-6=17.5ms)(1.0

26.38150)(vt

ab etu

t≥100ms

4 、网络 N 是线性和纯电阻的，单位阶跃电压 1 （ t ）所于端纽 11′ ，在 22′ 上连接 2F 电容时，输出端的零状态响应为：)(1)

81

21()( 4

1

tetut

o

问若把电容换上一个电感 2H 的电感，零状态响应 uo(t) 应如何。

解：依题意：可把由电容两端看进去的代文宁等效电阻视为 Ro 。则由 τ=4 可知：

224

cRo

)(85)0( vuo ))

21

85(

21)((

t

o etu

在接电容时：)(

85)()0( vuu oo Ro=2Ω 故 1

22

1 RL

s

)(81

85)

85

21(

85)( veetu t

t

o

t≥0

5 、已知： uc （ 0- ） =1 （ v ） iL （ 0- ） =2A 求 t≥0,u(t)

解：分二部计算： RC ； RLRC ： uc(0)=1(v) uc(∞)=2(v) τ=RC=0.5×2=1s ∴ uc(t)=2+(1-2)e-t=2-e-t (v) t≥0RL ： i(o)=2A i(∞)=1A ∴ iL(t)=1+(2-1)e-2t=1+e-2t t≥0 故： u(t)=uc(t)+uL(t) =(2-e-t-2e-2t)v t≥0

)(2)( 2 vedtdiLtu tL

L

6 、

解：开关 K 闭合后： i(t)=iL(t)+ic(t) 分别求解

)(1)1()( 21

12te

RV

eRV

tit

st

s

欲使 i （ t ）一跃到达稳态。则暂态分量为 0 。即 021

12

t

st

s eRV

eRV

21

12

t

st

s eRV

eRV

；

7 、在图中（ a ）加一电容，使电路成为过阻尼还是欠阻尼 在图中（ b ）加一受控源（ θ<а<1 ）结果如何？

解： a) 原电路：

b) 原电路 82426

2 104)102()10102.0()

2(

L

R

862 10

101011

LC 即： 过阻尼LCL

R 1)2

( 2

故 Ro>R 故仍为过阻尼