电磁感应中的能量转化

吕叔湘中学庞留根

2005年 1月Email: dyszplg@yahoo.com.cn

复习精要

例1 P165/例1 例2

89年高考26 练习1 例3

93年高考29 P167/练习2

练习2 例4 例5

2005 年广东卷 6 2005 年江苏高考 16

电磁感应中的能量转化

复习精要

1. 电磁感应现象的实质是不同形式能量转化的过程。产生和维持感应电流的存在的过程就是其它形式的能量转化为感应电流电能的过程。

2. 安培力做正功的过程是电能转化为其它形式能量的过程 , 安培力做多少正功 , 就有多少电能转化为其它形式能量

3. 安培力做负功的过程是其它形式能量转化为电能的过程 , 克服安培力做多少功 , 就有多少其它形式能量转化为电能 .

4. 导体在达到稳定状态之前，外力移动导体所做的功，一部分用于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能或最后转化为焦耳热 . ，另一部分用于增加导体的动能。

5. 导体在达到稳定状态之后，外力移动导体所做的功，全部用于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能并最后转化为焦耳热 .

6. 用能量转化和守恒的观点解决电磁感应问题, 只需要从全过程考虑 , 不涉及电流产生过程的具体的细节 , 可以使计算方便 , 解题简便 .

例 1. 如图所示，在一个光滑金属框架上垂直放置一根长 l=0.4m 的金属棒 ab ，其电阻 r=0.1Ω ．框架左端的电阻 R=0.4Ω ．垂直框面的匀强磁场的磁感强度 B=0.1T ．当用外力使棒 ab 以速度 v=5m ／ s 右移时， ab 棒中产生的感应电动势 E=_ ___ ，通过 ab 棒的电流 I=____ ．ab 棒两端的电势差 Uab=____ ，在电阻 R 上消耗的功率 PR= ____ ，在 ab 棒上消耗的发热功率 Pr= ____ ，切割运动中产生的电功率 P= ____ ．

0.2V

0.4A

0.16V

0.064W

0.016W

0.08W

B vR

b

a

P165/ 例 1 如图所示，矩形线框先后以不同的速度v1 和 v 2 匀速地完全拉出有界匀强磁场．设线框电阻为 R ，且两次的始末位置相同 , 求(1) 通过导线截面的电量之比(2) 两次拉出过程外力做功之比(3) 两次拉出过程中电流的功率之比解 : q=I Δt= E Δt／ R=ΔΦ/ R

∴ q1 /q2 =1W=FL=BIlL=B2 l2 vL／ R v∝

∴ W1／W2=v1／ v2

P= E2／ R = B2 l2 v2／ R v∝ 2

∴ P1／ P2= v12 ／ v2

2

v

B

例 2 、如图所示，电阻为 R 的矩形线框，长为 l ，宽为 a ，在外力作用下，以速度 v 向右运动，通过宽度为 d ，磁感应强度为 B 的匀强磁场中，在下列两种情况下求外力做的功： (a) l <d 时； (b) l >d 时。

d

Bl

a

解： （ a ）线框进入和穿出时产生感应电动势 E=Bav进入时做功 W1=E2 t /R= （ Bav ） 2×l /v×R= B2a2 l v/R 穿出时做功 W2= W1

∴ W=2B2a2 l v/R

d

Bl

a

（ b ）线框进入和穿出时产生感应电动势 E=Bav 进入时做功 W1=E2 t′/ R

= （ Bav ） 2×d /v×R= B2a2 d v/R

穿出时做功 W2= W1

∴ W=2B2a2 d v/R

电阻为 R 的矩形导线框 abcd, 边长 ab=l,

ad=h, 质量为 m, 自某一高度自由落体 , 通过一匀强磁场 , 磁场方向垂直纸面向里 , 磁场区域的宽度为 h , 如图 , 若线框恰好以恒定速度通过磁场 , 线框内产生的焦耳热等于 . ( 不考虑空气阻力 )

l

h

h

a b

c d解 : 由能量守恒定律 , 线框通过磁场时减少的重力势能转化为线框的内能 ,

所以 Q=2mgh

2mgh

89 年高考 26 、

a

b d f

ec

练习 1 、 用同种材料粗细均匀的电阻丝做成 ab 、 cd 、ef 三根导线， ef 较长，分别放在电阻可忽略的光滑平行导轨上，如图，磁场是均匀的，用外力使导线水平向右做匀速运动，（每次只有一根导线在导轨上），而且每次外力做功的功率相同，则下列说法正确的是 ( )

A ab 运动得最快 B. ef 运动得最快 C. 导线产生的感应电动势相等 D. 每秒钟产生的热量相等提示： L 指切割磁感应线的有效长度 , 所以三次的 感应电动势相等 .

P=E2/R= （ BLv ） 2/R

三根电阻丝的电阻 Rab ＜ Rcd ＜ Ref

B D

例 3 ．如图示， MN 和 PQ 为平行的水平放置的光滑金属导轨，导轨电阻不计， ab 、 cd 为两根质量均为 m 的导体棒垂直于导轨，导体棒有一定电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，原来两导体棒都静止．当 ab 棒受到瞬时冲量而向右以速度 v0 运动后，（设导轨足够长，磁场范围足够大，两棒不相碰） [ ]

A ． cd 棒先向右做加速运动，然后做减速运动B ． cd 棒向右做匀加速运动C ． ab 棒和 cd 棒最终将以 v0 /2 的速度匀速向右运动D ．从开始到 ab 、 cd 都做匀速 运动为止，在两棒的电 阻 上消耗的电能是 1/4 mv 0

2

M N

P Q

a

b d

c

C D

两金属杆 ab 和 cd 长均为 l , 电阻均为 R, 质量分别为M 和 m, M>m. 用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路 , 并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧 . 两金属杆都处在水平位置 ,

如图所示 . 整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中 , 磁感应强度为 B. 若金属杆 ab 正好匀速向下运动 , 求运动的速度 .

93 年高考 29.

M

dc

ba

m

M

dc

ba

m

解：设磁场方向垂直纸面向里 ,ab 中的感应电动势 E1=Bvl,方向由 a→b.cd 中的感应电动势 E2=Bvl,方向由 d→c.回路中电流方向由 a→b→d→c,大小为 I= (E1 + E2 )/2R= Bvl /Rab 受到的安培力向上 , 大小为 F

a b

Mg

F 安TT

当 ab 匀速下滑时 , 对 ab 有 2T+F = Mg

对 cd 受到的安培力向下 , 有 2T = F + mg

c d

mg

F 安

T T

式中 2T 为杆所受到的导线的拉力 解得 2F=(M - m) g 即 2BI l =(M - m)g

2B2l 2v /R=(M-m)g v =(M-m)gR/ 2B2l 2

磁场方向垂直纸面向外，结果相同。

又解:

M

dc

ba

m

由能量守恒定律 ,

匀速运动过程中 , 在时间 t 内 , 系统重力势能的减少等于两棒中产生的电能 :

Mgvt － mgvt =2×I2 R t = 2 ×(B l v) 2 t /R

2B2l 2v /R=(M-m)g

∴ v =(M-m)gR/ 2B2l 2

P167/ 练习 2 ．如图所示，在磁感强度为 B 的匀强磁场中，有半径为 r 的光滑半圆形导体框架，OC 为一能绕 O 在框架上滑动的导体棒， OC之间连一个电阻 R ，导体框架与导体棒的电阻均不计，若要使 OC 能以角速度 ω 匀速转动，则外力做功的功率是 ( )

A. B2 ω2 r4 ／ R B. B2 ω2 r4 ／ 2RC. B2 ω2 r4 ／ 4RD. B2 ω2 r4 ／ 8R

解： E=1/2 B ω r2

P=E 2／ R=B2 ω2 r4 ／ 4R

C

a

cω

O

R

练习 2 ．竖直放置的平行光滑导轨 , 其电阻不计 , 磁场方向如图所示 , 磁感强度 B=0.5T ，导体 ab 及 cd 长均为0.2m ，电阻均为 0.1Ω, 重均为 0.1N, 现用力向上推动导体 ab, 使之匀速上升 ( 与导轨接触良好 ), 此时， c d 恰好静止不动，那么 ab 上升时 , 下列说法正确的是 [ ]A ． ab 受到的推力大小为 0.2NB ． ab 向上的速度为 2m/sC ．在 2s 内，推力做功转化的电能是 0.4JD ．在 2s 内，推力做功为 0.6J

dc

ba解： cd 静止 , 受力如图：

mg

F1

F1 =mg=0.1N

ab 匀速上升，受力如图：mg

F

F1F= F1 +mg=0.2N

F1 =BIL=B2 L2 v/2R=0.1N ∴v=2m/sS=vt=4m 拉力做功 WF =FS=0.8J

安培力做功 WF1 =F1 S=0.4J

A B C

例 4 、如图所示， MN 为金属杆，在竖直平面上贴着光滑的金属导轨下滑，导轨间距 l ＝ 0.1m ，导轨上端接有电阻 R ＝ 0.5Ω ，导轨与金属杆电阻匀不计，整个装置处于磁感应强度 B ＝ 0.5T 的水平匀强磁场中 . 若杆 MN 以稳定速度下滑时，每秒有 0.02J 的重力势能转化为电能，则 MN 杆下滑速度 v ＝ m/s.解：由能量守恒定律， 重力的功率等于电功率

P=E2/R=(BLv)2 /R=0.02

2m/s0.05

0.50.02

(BL)

PRv

22

2

v

R

NM

M

N

P

Q

a

b

B

rR

例 5. 如图所示，一个“ ” 形导轨 PMNQ 的质量为 M ，水平固定在一个竖直向下的匀强磁场中，导轨上跨放一根质量为 m 的金属棒 ab ，导轨的 MN 边和金属棒 ab 平行，它们的电阻分别是 R 和 r ，导轨的其余部分的电阻不计。若沿着 MP 方向作用在金属棒上一个水平冲量使 ab 在很短时间内由静止得到速度 v

0 ，设导轨足够长。求在金属棒 ab 中产生的热量。

解 :

M

N

P

Q

a

bB

rR

金属棒 ab 在冲量作用下获得速度 v0 ，

v0

相应的动能 Ek= 1/2 mv02

ab 切割磁感线运动，产生感应电流受到磁场力 F

作用做减速运动，直到速度减为零停止下来，

F

在这个过程中， ab 棒的动能转化为电能，最终转 化成导轨与 ab 棒产生的焦耳热 Q1 和 Q2 ，满足 Q1 ＋ Q2 ＝ Ek

因导轨电阻 R 和 ab 棒电阻 r是串联关系，则 Q1/Q2=R/r

由以上各式可解得，金属棒上产生的热量

Q2 ＝ m v02 r / 2(R ＋ r)

05 年广东卷 6. 6. 如图所示 , 两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面 , 导轨上横放着两根相同的导体棒 ab 、 cd, 与导轨构成矩形回路 . 导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧 ,两棒的中间用细线绑住 , 它们的电阻均为 R, 回路上其余部分的电阻不计 . 在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场 . 开始时 , 导体棒处于静止状态 . 剪断细线后 , 导体棒在运动过程中 ( )A. 回路中有感应电动势B. 两根导体棒所受安培力的方向相同C. 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒、机械能守恒D. 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒、机械能不守恒

db

a c

A D

2005 年江苏高考 16

m

b

R

v0

BL

16. （ 16 分）如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为 L ，左端接有阻值为 R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。质量为 m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度 v0 ，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。（ 1 ）求初始时刻导体棒受到的安培力（ 2 ）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为 Ep ，则在这一过程中安培里所做的功 W1

和电阻 R 上产生的焦耳热 Q1 分别是多少？ （ 3 ）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻 R 上产生的焦耳热 Q 为多少？

作用于棒上的安培力的大小： F=BIL=B2Lv02/R

（ 2 ）由功能关系得：

（ 3 ）由能量转化及平衡条件等，可判断出：

解： （ 1 ） 初始时刻棒中感应电动势 E=BLv0

棒中感应电流 I=E/R

安培力的方向： 水平向右

安培力做功 W1 =EP -1/2 mv02

电阻 R 上产生的焦耳热 Q1= 1/2 mv02 - EP

棒最终静止于初始位置电阻 R 上产生的焦耳热 Q 为Q= 1/2 mv0

2