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信樺文化事業有限公司

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庞 磊 昆明新东方中学部

高中数学新课标（人教版）必修 1 课件

高中数学思想剖析

数学五大基本思想

函数与方程的思想

数形结合思想 方程（或不等式）与函数是互相联系的，利用函数与方程（或不等式）之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力

函数中可利用的图形有类，即函数图象和函数运算结合在一起

分类讨论思想

化归（转化）思想

类比思想

分类讨论是一种重要的数学思想，它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏

( 不折不扣，不重不漏）

要解决一个新问题，常常采用由生疏到熟悉，由复杂到简单等的转化策略，使问题获得解决．转化时要注意问题的等价性．三角公式的应用及三角函数关系式的化简、计算、证明等都体现了转化（化归）思想．特别地，在三角变换解题时的一般思路是：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消约，引辅助

类比有助于解题．比如，我们常常会把函数与图象之间的变换和函数与图象之间的变换作一比较．类比的关键是要在不同之中找相同，在相似之中找不同．

引入新课 引入新课 方程解法史话

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月 . 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元 50 年—100 年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…

方程实例求解

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求下列方程的根：

(1) 3x+2=0;

(2) x2-5x+6=0;

(3) lnx+2x-6=0.

课程大纲（新增内容）高中数学

零点问题

主要内容

二次函数零点具体实例 抽象二次函数根的结论

二次函数五点注意

一般函数的图象与方程根的关系

数学思想：数形结合

函数的零点与方程的根的联系与区别

1 、根是横坐标的取值2 、零点不是点而是自变量的值 a

Δ> 0 两不等实根Δ= 0 两相等实根Δ< 0 无实数根

五、研究函数零点的方法六、在怎么样的条件下存在零点（零点定理）

七、 零点的唯一性确定

主要内容

课程大纲（新增内容）

新在哪里

引入新课 引入新课 问题 1 　填表，观察说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与 x 轴的交点的关系 .

问题 1 　填表，观察说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与 x 轴的交点的关系 .

方　　程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

方程的根函　　数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

函数 y=ax2 +bx+c(a>0) 的图象

函数的图象与 x轴的交点

x1=-1 ， x2=3 x1=x2=1 无实数根

2

-2

-4

3-1 1 2O

x

y

4

2

3-1 1 2O

x

y

4

2

3-1 1 2O

x

y

两个交点(-1,0),(3,0)

一个交点(1,0)

没有交点

结论： 1. 方程根的个数就是函数图象与 x 轴交点的个数 .

2. 方程的实数根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标 .

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引入新课 引入新课 　　问题 2 　若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 及相应的二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

　　问题 2 　若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 及相应的二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

方　　程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

方程的根函　　数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

函数 y=ax2 +bx+c(a>0) 的图象

函数的图象与 x轴的交点

x1=-1 ， x2=3 x1=x2=1 无实数根

2

-2

-4

3-1 1 2O

x

y

4

2

3-1 1 2O

x

y

4

2

3-1 1 2O

x

y

两个交点(-1,0) ， (3,0)

一个交点(1,0)

没有交点

判别式 Δ Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0

方程 ax2 +bx+c=0(a>0) 的根

两个不相等的实数根 x1 、 x2

有两个相等的实数根 x1 = x2

没有实数根

x1 x2

x1

(x1,0), (x2,0) (x1,0)

结论： 1. 方程根的个数就是函数图象与 x 轴交点的个数 .

2. 方程的实数根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标 .

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类比推广 类比推广

教师演示：在几何画板下展示类似如下函数

的图象：1. y ＝ 3x+2,2. y ＝ 2x-8,

问题 3 一般函数的图象与方程根的关系会是怎样呢？ 问题 3 一般函数的图象与方程根的关系会是怎样呢？

结论：和上面一样，但要注意，方程的实数根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标，而不是点；因此我们可以借助求出函数与 x 轴的交点坐标来求一些疑难方程的根。

××××

函数零点的定义 函数零点的定义

2 、区别：

1 、联系：①数值上相等：求函数零点就是求方程的根 .

②存在性相同：函数 y=f(x) 有零点 方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有

交点零点对于函数而言，根对于方程而言．

问题 4 函数的零点与方程的根有什么联系和区别？问题 4 函数的零点与方程的根有什么联系和区别？

对于函数 y=f(x), 我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数y=f(x) 的零点零点．

注意

××××

注意：零点是自变量的值，而不是一个点．

-1, 4 1, - 5

函数零点的定义 函数零点的定义

1 、函数 f (x)=x(x2-16) 的零点为 ( )A. (0,0), (4,0) B. 0, 4C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4

巩固练习

2 、求下列函数的零点：(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)

巩固练习

D

××××

问题 5 研究函数的零点有什么方法？问题 5 研究函数的零点有什么方法？

（代数法）求函数零点的步骤： (1) 令 f(x)=0; (2) 解方程 f(x)=0 ； (3) 写出零点 .

求方程根的方法①公式法

②求函数的零点法

求函数零点的方法①代数法：求相应方程的根，得零点 .②几何法：画函数图象得零点 .

函数零点的定义 函数零点的定义 ××××

函数零点存在性的探究 函数零点存在性的探究

观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象：在区间 [-2, 1] 上有零点 ______ ；f(-2)=_______ ， f(1)=_______ ，f(-2)·f(1)_____0 （“ <” 或“ >” ）．在区间 (2 ， 4) 上有零点 ______ ；f(2)=_______ ， f(4)=_______ ，f(2)·f(4)____0 （“ <” 或“ >” ）．

探究 :

问题 6: 在怎样的条件下，函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上存在零点？ 问题 6: 在怎样的条件下，函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上存在零点？

2

-2

-4

1

O 1-2 2 3 4

-3

-1-1

y

x

－1－ 45

<

3

<

-3 7

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问题 6: 在怎样的条件下，函数y=f(x) 在区间 [a,b] 上存在零点？ 问题 6: 在怎样的条件下，函数y=f(x) 在区间 [a,b] 上存在零点？

观察函数的图象并填空 :

①在区间 (a,b) 上 f(a)·f(b)_____0(“<” 或“ >”) ． 在区间 (a,b) 上 ______( 有 / 无 ) 零点；② 在区间 (b,c) 上 f(b)·f(c) _____ 0(“<” 或“ >”) ． 在区间 (b,c) 上 ______( 有 / 无 ) 零点；③ 在区间 (c,d) 上 f(c)·f(d) _____ 0(“<” 或” >”) ． 在区间 (c,d) 上 ______( 有 / 无 ) 零点；

有<

有<

有<

x

y

O

a

b

c

d

函数零点存在性的探究 函数零点存在性的探究 ××××

x

y

O x

y

Oba

abc c

如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) ·f(b)<0 ，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点． 即存在 c (∈ a,b) ，使得 f(c)=0 ，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根．

函数零点存在性定理 函数零点存在性定理

下列函数在相应区间内是否存在零点？

(1) f(x)=log2x, x [0.5, 2]∈ ； (2) f(x)=2x·ln(x-2)-3, x [3, 5] ∈ ．

巩固练习

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如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) ·f(b)<0 ，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点． 即存在 c (∈ a,b) ，使得 f(c)=0 ，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根．

函数零点存在性定理：

x

y

O ba c

x

y

O abc

x

y

O ba c

x

y

O abc

例 1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（ 1 ）已知函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f (a) ·f(b) < 0 ，

则 f(x) 在区间 (a,b) 内有且仅有一个零点 .

（ ）（ 2 ）已知函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f (a) ·f(b) ≥0 ，

则 f(x) 在区间 (a,b) 内没有零点 .

（ ）（ 3 ）已知函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 满足 f (a) ·f(b) < 0 ，则

f(x) 在区间 (a,b) 内存在零点 .

（ ）

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例 1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（ 1 ）已知函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f (a) ·f(b) < 0 ，

则 f(x) 在区间 (a,b) 内有且仅有一个零点 .

（ ）（ 2 ）已知函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f (a) ·f(b) ≥0 ，

则 f(x) 在区间 (a,b) 内没有零点 .

（ ）（ 3 ）已知函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 满足 f (a) ·f(b) < 0 ，则

f(x) 在区间 (a,b) 内存在零点 .

（ ）

a

bO x

y

a bO x

y

a

bO x

y

画图象举反例说明：

画图象举反例说明：

图 1 图 2 图 3

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x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函数在区间 [1, 6] 上的零点至少有（ ）个A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个

2 、函数 f (x)= – x 3 – 3x + 5 的零点所在的大致区间为（ ）

A. ( – 2 ， 0) B. (1 ， 2) C. (0 ， 1) D. (0 ， 0.5)

C

B

1 、已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，有如下对应值表：

零点存在性定理的应用：零点存在性定理的应用：巩固练习

××××

由表可知 f(2)<0 ， f(3)>0 ，从而 f(2)·f(3)<0 ， ∴函数 f(x) 在区间 (2,3) 内有零点．

由于函数 y=lnx 和 y=2x 在定义域域 (0,+∞)内是增函数， 所以函数 f(x) 在定义域 (0,+∞)内是增函数，因此它仅有一个零点．

用计算器或计算机作出 x 、 f(x) 的对应值表：解法 1 ：

零点存在性定理的应用： 零点存在性定理的应用：

问题 7 ：如何说明零点的唯一性？ 问题 7 ：如何说明零点的唯一性？

10

8

6

4

2

-2

-4

51 2 3 4 6 x

y

O

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x)

-1.3069 1.0986 3.3863 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

f(x)=lnx+2x- 6

-4

例 2 求函数 f(x)=lnx+2x- 6 的零点的个数，并确定零点所在的区间 [n, n+1] (n∈Z) .

××××

5.6094

解法 2 ：估算 f(x) 在各整数处的取值的正负：

解法 3 ：将函数 f(x)= lnx+2x-6 的零点的个

数转化为函数 y= lnx 与 y=-2x +6 的图象交点的个数．

y=-2x +6

y= lnx

x 1 2 3 4

f(x)

例 2 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数，并确定零点所在的区间 [n, n+1](n∈Z) .

- +

6

O x1 2 3 4

y

零点存在性定理的应用： 零点存在性定理的应用： ××××

+-

函数零点与方程根的关系 :

函数 方程

零点 根

数 值

存在性

个 数

函数方程思想；数形结合思想． 求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间．

课堂小结 ××××

一个关系：

三种题型：两种思想：

达标测试1 ．利用函数图象判断下列方程有几个根：

(1) 2x(x-2)=-3; (2) ex-1+4=4x.

2 ．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：

(1) f(x)=2xln(x-2)-3;

(2) f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.3 ．函数

(1) m 为何值时，函数的图象与 x 轴有两个零点； (2) 如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 m 的值．

　

124)1(2)( 2 mmxxmxf

××××

1.若函数 f(x)=x2+ax+b 的零点是 2 和 -4, 求 a,b 的值 . 2.若二次函数 f(x)=x2+mx+3 有唯一零点，则 m的值和零点分别是多少？

3.若函数 y=ax2-x-1只有一个零点，求 a 的值。

变式引申 ××××

4. 若 x0 是二次函数 y=f(x) 的零点，且 m<x0<n ，那么 f(m) · f(n)<0 一定成立吗？为什么？

制作 / 授课：庞磊

昆明新东方中学部