22. สมบติัความบรบูิรณ์ของเซตของจำานวนจรงิ

(The Completeness Property of )

บทนิยาม 2.2.1 ให ้A 1. สำ�หรบั u และ a u ทกุๆ a

A จะเรยีก u ว�่เป็น ขอบเขตบน (upper bound) ของเซต A และเรยีก A ว�่ เซตท่ีมีขอบเขตบน (bounded above)

2. สำ�หรบั l และ a l ทกุๆ a A จะเรยีก l ว�่เป็น ขอบเขตล่าง (lower bound) ของเซต A และเรยีก A ว�่ เซตท่ีมีขอบเขตล่าง (bounded below)

3. จะเรยีกเซต A ว�่ เซตท่ีมขีอบเขต (bounded) ถ้� A เป็นเซตที่มทัีง้ขอบเขตบน และขอบเขตล่�ง

ตัวอยา่ง 1 กำ�หนด A = { 1, , , ... }21 31 ให ้ a A เหน็ชดัว�่ a 1 , a A A เป็นเซตท่ีมขีอบเขตบน โดยมจีำ�นวนจรงิท่ีมี

ค่�ม�กกว�่ หรอืเท่�กับ 1 เป็นขอบเขตบนของเซต A

และ a 0 , a A A เป็นเซตท่ีมขีอบเขตล่�ง โดยมจีำ�นวนจรงิที่มี

ค่�น้อยกว�่หรอืเท่�กับ 0 เป็นขอบเขตล่�งของเซต A

ดังนัน้ A เป็นเซตที่มขีอบเขต

บทนิยาม 2.2.2 A เป็นเซตยอ่ยของ 1. ถ้� A เป็นเซตที่มขีอบเขตบน จะเรยีก v ว�่เป็น

ขอบเขตบนน้อยสดุ (leastupper bound or supremum) ของ A เมื่อ (i) v เป็นขอบเขตบนของ A (ii) ถ้� u เป็นขอบเขตบนของ A แล้ว v u ถ้� v เป็นขอบเขตบนท่ีน้อยที่สดุของ A เขยีนแทน

ด้วย l.u.b. A = v หรอื sup A = v

2 .ถ้� A เป็นเซตที่มขีอบเขตล่�ง จะเรยีก w ว�่เป็น ขอบเขตล่างมากสดุ (greatest lower bound or infimum)

ของ A เมื่อ (i) w เป็นขอบเขตล่�งของ A (ii) ถ้� l เป็นขอบเขตล่�งของ A แล้ว w

l ถ้� w เป็นขอบเขตล่�งท่ีม�กท่ีสดุของ A เขยีน

แทนด้วย g.l.b. A = w หรอื inf A = w

ตัวอยา่ง 3 ให ้ A = { x | 0 x 1 }

สำ�หรบั x A แล้ว x 1, 1 เป็นขอบเขตบนของ A และถ้� r เป็นขอบเขตบนของ A จะได้ว�่ 1 r ดังนัน้ l.u.b. A = 1

สำ�หรบั x A แล้ว x 0, 0 เป็นขอบเขตล่�งของ A และถ้� w เป็นขอบเขตล่�งของ A จะได้ว�่ w 0 ดังนัน้ g.l.b. A = 0

ตัวอยา่ง 4 กำ�หนด A = [ -2, 10 ] A เป็นเซตที่มขีอบเขต และ l.u.b. A = 10,

g.l.b. A = -2

nn2

12

21 43 87ตัวอยา่ง 5 กำ�หนด A = { n = 1, 2, 3, … } จะได้ A = { , , ,...}

A เป็นเซตที่มขีอบเขต และ l.u.b. A = 1, g.l.b. A = 21

หมายเหต ุ 1. ขอบเขตบนน้อยสดุไมจ่ำ�เป็นจะต้องเป็นสม�ชกิของเซตนัน้ 2. ขอบเขตล่�งม�กสดุไมจ่ำ�เป็นจะต้องเป็นสม�ชกิของเซตนัน้

บทต้ัง 2.2.3 ให ้ S โดยที่ S ถ้� u เป็นขอบเขตบนของ S, u เป็นขอบเขตบนน้อยสดุของ S ก็ต่อเมื่อ สำ�หรบัจำ�นวนจรงิ > 0 จะม ี s S ซึ่ง u – < s

การพสิจูน์ ให ้ u เป็นขอบเขตบนของ S ท่ีสอดคล้อง

กับเง่ือนไขที่ว�่ สำ�หรบัจำ�นวนจรงิ > 0 จะม ีs S ซึ่ง

u – < s จะแสดงว�่ u เป็นขอบเขตบนน้อยสดุของ S

ให ้ v เป็นขอบเขตบนของ S ซึ่ง v u

สมมติ v < u ดังนัน้ u – v > 0เลือก = u – v

จะม ี s S ซึ่ง v = u – < s ซึ่งเป็นไปไมไ่ด้ เพร�ะขดัแยง้กับที่ v เป็นขอบเขตบนของ S

ดังนัน้ u < v นัน่คือ u เป็นขอบเขตบนน้อยสดุ

ในท�งกลับกัน ใหจ้ำ�นวนจรงิ > 0 และ u = l.u.b. S

เนื่องจ�ก u – < u แล้ว u – ไมใ่ช่ขอบเขตบนของ S

จงึม ี s S ซึ่ง u – < s

สมบติัขอบเขตบนน้อยสดุของ สจัพจน์การมขีอบเขตบนน้อยสดุ (Least Upper Bound Axiom)

กำ�หนดให ้ A เป็นเซตยอ่ยที่ไมเ่ป็นเซตว่�งของเซตจำ�นวนจรงิ และ A มขีอบเขตบน แล้ว A จะมขีอบเขตบนน้อยสดุใน

ทฤษฎีบท 2.2.4 ถ้� A เป็นเซตยอ่ยของ เซตจำ�นวนจรงิ ท่ีมขีอบเขตล่�ง และ A ไมเ่ป็นเซตว�่ง แล้วเซต A จะมขีอบเขตล่�งม�กสดุใน

การพสิจูน์ ให ้ S = { s | s เป็นขอบเขตล่�งของ

A } เนื่องจ�กเซต A มขีอบเขตล่�ง ดังนัน้ S สำ�หรบั x A, x s s S ดังนัน้ x

เป็นขอบเขตบนของ S S เป็นเซตมขีอบเขตบน

ให ้ a = l.u.b. S ดังนัน้ a x ทกุ x A จงึได้ว�่ a เป็นขอบเขตล่�งตัวหนึ่งของเซต A และ s a, s S

นัน่คือ a เป็นขอบเขตล่�งม�กสดุของ A

ทฤษฎีบท 2.2.5 สมบติัอารคี์มเีดียน (Archimedean Property)

การพสิจูน์ ให ้ x สมมติ x n สำ�หรบัทกุ n ทำ�ให ้ x เป็นขอบเขตบนของ และ เซต จงึมขีอบเขตบนน้อยสดุ ให ้ u = l.u.b. จ�กบทตัง้ 2.2.3 จะม ี m ซึ่ง u – 1 < m u < m + 1 แต่ m + 1 เกิดก�รขดัแยง้ท่ี

u = l.u.b. นัน่คือจะม ี n ซึ่ง x < n

ถ้� x แล้วจะมจีำ�นวนเต็มบวก n ซึ่ง x < n

บทแทรก 2.2.7 ให ้ y และ z เป็นจำ�นวนจรงิบวก จะได้ว�่

(1) จะม ี n ซึ่ง z < ny (2) จะม ี n ซึ่ง 0 < < y

(3) จะม ี n ซึ่ง n – 1 z < nn1

การพสิจูน์ ให ้ y, z +

(1) เนื่องจ�ก > 0 จะม ี n ซึ่ง < n ดังนัน้ z < yn

yz yz

(2) จ�ก (1) z < yn ให ้ z = 1 จะได้ว�่ 1 < ny ดังนัน้ 0 < < yn1

(3) พจิ�รณ�เซต { m | z < m } จ�กสมบติัของอ�รคี์มเิดียนจะได้ว�่เซตนี้ไมเ่ป็นเซตว�่ง

ให ้ n เป็นสม�ชกิที่น้อยที่สดุในเซตน้ี

ดังนัน้ n – 1 z < n

ทฤษฎีบท 2.2.8 มจีำ�นวนจรงิบวก x ซึ่ง x2 = 2

สมบติัความหนาแน่นของจำานวนตรรกยะใน ทฤษฎีบท 2.2.9 The Density

Theorem ถ้� x และ y เป็นจำ�นวนจรงิใดๆ โดยท่ี x

< y แล้วจะมจีำ�นวนตรรกยะ r ซึ่ง x < r < y

บทแทรก 2.2.10 ถ้� x และ y เป็นจำ�นวนจรงิใดๆซึ่ง x < y แล้วจะมีจำ�นวนอตรรกยะ r ซึ่ง x < r< y

ชว่ง (Intervals) เซตยอ่ยของจำ�นวนจรงิในลักษณะต่อไปนี้เรยีกว�่ ชว่งถ้� a, b และ a < b(1) ชว่งเปิด ( a, b ) = { x | a

< x < b }(2) ชว่งปิด [ a, b ] = { x | a

x b }(3) ชว่งครึง่เปิด (หรอืครึง่ปิด) ( a, b ] = { x | a

< x b } [ a, b ) = { x | a

x < b } ชว่ง (1) – (3) เป็นชว่งที่มี

ขอบเขต (bounded intervals) มคีว�มย�วชว่งจำ�กัด

คว�มย�วชว่งคือ | a – b |

(4) ชว่งอนันต์ ( a, ) = { x | x > a

} ( –, a ) = { x | x <

a } [ a, ) = { x | x a

} ( –, a ] = { x | x

a } ( –, ) = ชว่ง (4) เป็นชว่งท่ีไมม่ขีอบเขต

(unbounded intervals)หมายเหต ุ (1) สญัลักษณ์ และ – ไม่

ส�ม�รถบอกเป็นค่�จำ�กัดได้ว�่มค่ี�เท่�ใดสว่นจำ�นวนจรงิทกุจำ�นวนเป็นจำ�นวนจำ�กัด , – จงึไมใ่ชจ่ำ�นวนจรงิ

(2) สำ�หรบั a , ( a, a ) = และ [ a, a ] = { a }

23. ทอพอโลยบีนเซตจำานวนจรงิ บทนิยาม 2.3.1 ให ้ x0 จะเรยีกเซต ว�่ ยา่นของจุด x0 (neighborhood of x0) เมื่อมจีำ�นวนจรงิบวก ซึ่ง ( x0 – , x0 + ) ย�่นของจุด x0 เขยีนแทนด้วย ( x0 )บทนิยาม 2.3.2 ใหเ้ซต G เป็นเซตยอ่ยของ จะเรยีก G ว�่ เซตเปิด (open set) ใน ถ้�แต่ละ x G จะมยี�่นของจุด x ท่ี ( x ) G

จงึกล่�วได้ว�่เซต G เป็นเซตเปิด ก็ต่อเมื่อส�ม�รถแสดงได้ว�่ทกุๆx G จะม ี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x ) G

ทฤษฎีบท 2.3.3 (1) เป็นเซตเปิด (2) เป็นเซตเปิดการพสิจูน์

(1) ให ้ x , n ซึ่ง x < n ให ้ x = | n – x | ซึ่ง ( x – x, x +

x ) นัน่คือ เป็นเซตเปิด

(2) จะแสดงว�่ เป็นเซตเปิด นัน่คือ “ ถ้� x แล้วจะม ี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x ) ” แต่เนื่องจ�กขอ้คว�มดังกล่�วมค่ี�คว�มจรงิ เป็นจรงิ ดังนัน้ เป็นเซตเปิด

ตัวอยา่ง 2 (1) ( 0, 1 ) เป็นเซตเปิดใน เนื่องจ�กทกุ x ( 0, 1 ) x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x ) ( 0,1 ) (2) [ 0, 1 ] ไมเ่ป็นเซตเปิดใน เพร�ะว�่ม ี 0 [ 0, 1 ] ท่ีไม่ส�ม�รถห� > 0 ซึ่ง ( –, ) [ 0, 1 ] (3) { 1, 2, 3 } ไมเ่ป็นเซตเปิดใน

บทนิยาม 2.3.4 ใหเ้ซต F เป็นเซตยอ่ยของ จะเรยีก F ว�่เป็น เซตปิด (closedset) ใน เมื่อ FC เป็นเซตเปิดใน

จงึกล่�วได้ว�่เซต F เป็นเซตปิด ก็ต่อเมื่อแต่ละ x FC จะม ี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x ) F = หรอื ( x – x, x + x ) FC ทฤษฎีบท 2.3.5 (1) เป็นเซตปิด

(2) เป็นเซตปิด

ทฤษฎีบท 2.3.6 ยูเนียนของเซตเปิดใดๆ เป็นเซตเปิดการพสิจูน์

ให ้ { G | G เป็นเซตเปิด และ , โดยที่ เป็นเซตดรรชนี }

จะแสดงว�่ เป็นเซตเปิด

ถ้� = แล้วโดยทฤษฎีบท 2.3.3(2) จะได้ เป็นเซตเปิด

ถ้�

ให ้x จะได้ว�่ x G

G

G

G

G

G

เนื่องจ�ก G เป็นเซตเปิด จะม ี > 0 ซึ่ง x ( x – , x + ) G

นัน้คือ เป็นเซตเปิด

G

G

ทฤษฎีบท 2.3.7 อินเตอรเ์ซกชนัอย�่งจำ�กัดของเซตเปิดเป็นเซตเปิด

การพสิจูน์ ให ้ G1, G2, G3, …, Gn เป็นเซตเปิด จะแสดงว�่เป็นเซตเปิด

ถ้� = แล้วโดยทฤษฎีบท 2.3.3(2) จะได้ เป็นเซตเปิด

ถ้� =

ให ้ x ยอ่มได้ว�่ x G1 , และ x G2,

และ x G3, …, และ x Gn

n

1i iG

n

1i iG

n

1i iG

n

1i iG

n

1i iG

x G1 1 > 0 ซึ่ง ( x – 1, x + 1 ) G1

x G2 2 > 0 ซึ่ง ( x – 2, x + 2 ) G2

………………………………………….

x Gn n > 0 ซึ่ง ( x – n, x + n ) Gn

ให ้ = min { 1, 2, 3, …, n }ทำ�ให ้ ( x – , x + ) Gi i = 1, 2,

3, …, n

ดังนัน้ ( x - , x + )

นัน้คือ เป็นเซตเปิด

n

1i iG

n

1i iG

ทฤษฎีบท 2.3.8 อินเตอรเ์ซกชนัใดๆของเซตปิดเป็นเซตปิดการพสิจูน์ ให ้ { F | F เป็นเซตปิด, }

จแสดงว�่ เป็นเซตเปิด

เนื่องจ�ก ( )C = ซึ่ง , เป็นเซตเปิด

จ�กทฤษฎีบท 236. . เป็นเซตเปิด

นัน้คือ เป็นเซตปิด

F

F

CF CF

CF

F

บทแทรก 2.3.9 ยูเนียนอย�่งจำ�กัดของเซตปิดเป็นเซตปิดตัวอยา่ง 4 กำ�หนด Gn = ( 1, 2 + ) , n

Gn เป็นเซตเปิด , n

พจิ�รณ�

จะได้ว�่ = ( 1, 2 ] ซึ่งไมเ่ป็นเซตปิด

n1

1n nG

1n nG

ตัวอยา่ง 5 กำ�หนด Fn = ( 1, 2 - ) , n

Fn เป็นเซตเปิด , n

พจิ�รณ�

จะได้ว�่ = [ 0, 1 ) ซึ่งไมเ่ป็นเซตปิด

n1

1n nF

1n nF

บทนิยาม 2.3.10 ให ้A และ x A จะเรยีก x ว�่เป็น จุดภายใน (interiorpoint) ของ A ถ้�มยี�่นของจุด x เป็นเซตยอ่ยของ Aบทนิยาม 2.3.11 ให ้ A และ x จะเรยีก x ว�่เป็น จุดลิมติ (cluster points or limit points) ของ A ถ้�ทกุๆย�่นของจุด x บรรจุสม�ชกิของเซต A ท่ีไมใ่ช ่ x

นัน่คือ x เป็นจุดลิมติของ A เมื่อแต่ละ > 0 , (x) ( A – { x } )

ทฤษฎีบท 2.3.12 เซตยอ่ยของเซตของจำ�นวนจรงิ ท่ีไมใ่ชเ่ซตว�่ง เป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อเซตนัน้บรรจุทกุๆจุดลิมติของเซตการพสิจูน์ ให ้ F เป็นเซตปิด F และ x เป็นจุดลิมติ

ของ F จะแสดงว�่ x F สมมติ x F ดังนัน้ x FC

เนื่องจ�ก FC เป็นเซตเปิด จงึมยี�่นของจุด x, (x) ซึ่ง (x) FC

ดังนัน้ (x) F = เกิดก�รขดัแยง้ ที่ว�่ x เป็นจุดลิมติของ

F ดังนัน้ xF

ในท�งกลับกัน ให ้ F ท่ีบรรจุทกุๆจุดลิมติของ F จะแสดงว�่ F เป็นเซตปิด

ให ้ y FC ดังนัน้ y จงึไมเ่ป็นจุดลิมติของ F ทำ�ใหม้ยี�่นของ

y , (y) ซึ่ง (y) ( F – { y } ) = แต่ y FC, (y) F =

(y) FC

ทำ�ให ้ FC เป็นเซตเปิด ดังนัน้ F เป็นเซตปิด

บทนิยาม 2.3.13 ชว่งซอ้นใน (Nested Intervals)

ลำ�ดับของชว่ง In, n จะเรยีกว�่เป็นชว่งซอ้นใน (nested) ดังรูป ถ้� I1 I2 I3 … In In+1 …

I5I4

I3

I2

I1

[ [ [ [ [ ] ] ] ] ]

ทฤษฎีบท 2.3.14 สมบติัของชว่งซอ้นใน (Nested Intervals Property)ถ้� In = [ an, bn ] , n เป็นชว่ง

ซอ้นในท่ี In เป็นชว่งปิดทกุๆ n แล้วจะมจีำ�นวนจรงิ x0 ซึ่ง x0 In สำ�หรบัทกุ n

และถ้� g.l.b. { bn – an In = [ an, bn ] , n } = 0 แล้ว In , n จะมีสม�ชกิรว่มเพยีงตัวเดียว

ทฤษฎีบท 2.3.15 ทฤษฎีโบลซาโน–ไวแยรส์ตราสส์ (Balzano–Weierstrass Theorem) ทกุเซตยอ่ยของเซตของจำ�นวนจรงิ ท่ีเป็นเซตอนันต์และมขีอบเขต จะต้องมจุีดลิมติ