บทที่ 2 จํานวนจริง (The Real Numbers) · 46 บทที่ 2...

บทท 2 จานวนจรง

(The Real Numbers)

ระบบจานวนจรงสามารถอธบาย “ ฟลดอนดบบรบรณ ” ซงรายละเอยดจะมในเนอหาบทนตามลาดบ เรมตนจะเปนสมบต “ พชคณต ” บางครงจะเรยกวา “ ฟลด ” ในพชคณตนามธรรม ซงอยบนฐาน 2 การดาเนนการ คอ การบวก (+) และ คณ (×) และจะตามดวยสมบตเบองตนอนดบของ โดยอธบายดวยอสมการ ตอจากนน จะอธบายสมบตของคาสมบรณและการประยกตใชคาสมบรณ สมบตความบรบรณ ของจานวนจรง ซงการพฒนาการวเคราะหจานวนจรง จะเปนไปไมไดหากปราศจากสมบตความบรบรณ จากนนจะประยกตสมบตความบรบรณ เพออธบายพนฐานหลกมลหลายอยางเกยวกบ โดยประกอบดวยสมบตอาคมเดยน การมรากทสอง และ ความหนาแนนของจานวนตรรกยะใน สาหรบสดทายจะเปนสมบตชวงซอนใน เพอนาไปใชพสจนเซตนบไมไดของ

2.1 พชคณตและสมบตอนดบของจานวนจรง 45

2.1 พชคณตและสมบตอนดบของจานวนจรง (The Algebraic and Order Properties of Real Numbers)

เรมตนจะอธบายโครงสรางพชคณตของระบบจานวนจรง โดยจะระบสมบตพนฐาน ของการบวกและการคณจากสมบตพชคณตอนทงหมดทสามารถอธบายเหมอนทฤษฎบท ในพชคณตนามธรรมของระบบจานวนจรง คอ “ ฟลด ” ซงเกยวของกบการบวกและการคณ สมบตพนฐานทระบใน 2.1.1 ตอไปเปนทรจกกนในชอ “ สจพจนของฟลด”

2.1.1 สมบตพชคณตของจานวนจรง 1. การดาเนนการทวภาคการบวก (+) และคณ (⋅) บนเซตของจานวนจรง การดาเนนการทวภาคการบวก และการคณ บนเซตของจานวนจรง สอดคลองกบสมบตตอไปน (A1) สลบทการบวก

a + b = b + a ทก a, b ∈ (A2) เปลยนหมการบวก

(a + b) + c = a + (b + c) ทก a, b, c ∈ (A3) การมสมาชกศนย

มสมาชก 0 ∈ โดยท 0 + a = a และ a + 0 = a ทก a ∈ (A4) การมสมาชกลบ

สาหรบแตละ a ∈ จะมสมาชก -a ∈ โดยท a + (-a) = 0 และ (-a) + a = 0

(M1) สลบทการคณ a⋅b = b⋅a ทก a, b ∈

(M2) เปลยนหมการคณ (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c) ทก a, b, c ∈

(M3) การมสมาชกเอกลกษณ มสมาชก 1 ∈ ซง 1 ≠ 0 โดยท 1⋅a = a และ a⋅1 = a ทก a ∈

(M4) การมสมาชกผกผน สาหรบแตละ 0 ≠ a ∈ จะมสมาชก

a1 ∈ โดยท a⋅(

a1 ) = 1

และ (a1 )⋅a = 1

(D) แจกแจงการคณไปการบวก a⋅(b + c) = (a⋅b) + (a⋅c) และ (b + c)⋅a = (b⋅a) + (c⋅a) ทก a, b, c ∈

46 บทท 2 จานวนจรง

สมบตเหลาน เปนเรองทคนเคยกนด A1- A4 จะเกยวกบการบวก M1-M4 เปนการคณ และ (D) เกยวของกบการบวกและคณ สมบตดงกลาวเปนวธการทเหมอนกนทงหมดของพชคณต ซงทาใหวธการพชคณตอธบายโดยใช 9 สมบตน อปมาอปมยคลายกบทฤษฎบทเรขาคณตยคลด ทสามารถอธบายโดยใชสจพจนพนฐาน 5 สจพจน โดยยคลด จากสมบตพชคณตของ โดยขอเทจจรง สมาชก 0 และ 1 ทมการยนยนใน (A3) และ (M3) จะมความเปนไดอยางเดยว นนคอ สมาชก 0 และ 1 มเพยงตวเดยวเทานน นอกจากน การคณโดย 0 ผลจะเปน 0 เสมอ ดงทฤษฎบท 2.1.1 ทฤษฎบท 2.1.1 (1) ถา z และ a เปนสมาชกใน ซง z + a = a แลว z = 0 (2) ถา u และ b ≠ 0 เปนสมาชกใน ซง u⋅b = b แลว u = 1 (3) ถา a ∈ แลว a⋅0 = 0 พสจน (1) ใช (A3), (A4), (A2) สมมตฐาน z + a = a และ (A4) จะไดวา z = z + 0 = z + (a + (-a)) = (z + a) + (-a) = a + (-a) = 0 (2) ใช (M3), (M4), (M2) สมมตฐาน u⋅b = b และ (M4) จะไดวา u = u⋅1 = u⋅(b⋅(

b1 )) = (u⋅b)⋅(

b1 ) = b⋅(

b1 ) = 1

(3) a + a⋅0 = a⋅1 + a⋅0 = a⋅(1 + 0) = a⋅1 = a เพราะฉะนน จากขอ (1) จะไดวา a⋅0 = 0 # ตอไปจะเปนสมบตการคณทสาคญ 2 สมบต กลาวคอ ความเปนไดอยางเดยวของตวผกผนและขอเทจจรงของผลคณ 2 จานวน เปน 0 จะตองมตวประกอบอยางนอยหนงตวเปน 0 ทฤษฎบท 2.1.2 (1) ถา a ≠ 0 และ b เปนสมาชกใน โดยท a⋅b = 1 แลว b =

a1

(2) ถา a⋅b = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0 พสจน (1) ใช (M3), (M4), (M2) สมมตฐาน a⋅b = 1 และ (M3) จะไดวา b = 1⋅b = ((

a1 )⋅a)⋅b = (

a1 )⋅(a⋅b) = (

a1 )⋅1 =

a1

(2) เปนการเพยงพอทจะสมมต a ≠ 0 แลว จะพสจน b = 0 (เนองจากขอความ “ a = 0 หรอ b = 0 สมมลกบ ถา a ≠ 0 แลว b = 0 ” ) คณ a⋅b ดวย

a1 และประยกต (M2), (M4), (M3)


จะไดวา (a1 )⋅(a⋅b) = ((

a1 )⋅a)⋅b = 1⋅b = b

เนองจาก a⋅b = 0 โดยทฤษฎบท 2.1.1(3) จะไดวา (a1 )⋅(a⋅b) = (

a1 )⋅0 = 0

นนคอ b = 0 #

ทฤษฎบทดงกลาวเปนตวอยางหนงของสมบตพชคณตของระบบจานวนจรง 2. ความสมพนธของการดาเนนการบวก(+) กบลบ(-) และ การคณ (⋅) กบหาร(÷) การอธบายโครงสรางทางพชคณตของจานวนจรงในหวขอ 2.1.1 จะเหนวาไดกลาวถงสมบตพนฐานบนการดาเนนการทวภาคการบวก(+) และคณ(⋅) เทานน โดยไมไดระบถงการลบและการหารแตอยางใด เพราะเหตใดจงเปนเชนนน จากขอสงสยดงกลาว ถาพจารณาถงความสมพนธระหวางการบวกและลบ การคณและหาร สามารถตอบขอสงสยได ดงรายละเอยดของการดาเนนการของการลบและการหารตอไปน การดาเนนการของการลบ (subtraction) นยามโดย a – b = a + (-b) สาหรบ a, b ∈ ในทานองเดยวกน การหาร (division) นยามโดย a ÷ b = )

b1(a ⋅ สาหรบ a, b ∈ ซง

b ≠ 0 ตอไปจะใชสญลกษณ และสมบตทคนเคยของการดาเนนการเหลาน ab แทน a⋅b (a คณ b) a0 แทน 1 ; (a ≠ 0) a1 แทน a a2 แทน a⋅a a3 แทน (a2)a a4 แทน (a3)a ……………………………………………………………………………………... an - 1 แทน (an - 2)a an แทน (an - 1)a ; n ∈ a- 1 แทน

a1 ; (a ≠ 0) a- n แทน )

a1( n ; n ∈

2.1.2 จานวนตรรกยะและอตรรกยะ จะพจารณาเซต ของจานวนธรรมชาต ซงเปนเซตยอยของ โดยถอวา เปนอนเดยวกนกบจานวนธรรมชาต n ∈ ดวยผลบวก n เทาของสมาชกเอกลกษณ 1 ∈ ในทานองเดยวกน จะบอกลกษณะ 0 ∈ ดวยสมาชกศนยของ 0 ∈ และบอกลกษณะผลบวก n เทาของ -1 ดวยจานวนเตม - n นนคอ พจารณา และ เพอเปนเซตยอยของ

สมาชกของ สามารถเขยนในรป ba ซง a, b ∈ และ b ≠ 0 เรยกวา


จานวนตรรกยะ (rational numbers) โดยจานวนตรรกยะ ba อาจเปนจานวนเตม หรอเปนเศษสวน

ทไมใชจานวนเตม นนคอ มเซตยอยของจานวนจรงทสมาชกไมใชจานวนเตม ผลบวกและผลคณของ 2 จานวนตรรกยะเปนจานวนตรรกยะ และยงกวานน สมบตของฟลด สามารถทจะแสดงไดวาเปนจรง สาหรบ โดยขอเทจจรงมสมาชกใน ทไมอยใน ในศตวรรษท 6 กอน ค.ศ. สมยกรกโบราณ สมาคมของพทาโกรส คนพบวา เสนทแยงมมของสเหลยมจตรสซงมขนาดดาน 1 หนวย ไมสามารถแสดงเปนเศษสวนของจานวนเตม ทฤษฎบทพทาโกรสสาหรบสามเหลยม มมฉากนจะนาไปสการไมมจานวนตรรกยะกาลงสอง มคาเทากบ 2 การคนพบนมผลกระทบอยางมากสาหรบการพฒนาแนวคดจานวนจรงของนกคณตศาสตรกรก สงหนงนาไปสการเปนสมาชกของ ทไมอยใน ตอมากลายเปนทรจกกนวา จานวนอตรรกยะ(irrational numbers) ในความหมายทไมสามารถเปนเศษสวนของจานวนเตม ในขณะนจะพสจนวา ไมมจานวนตรรกยะซงกาลงสองไดเทากบ 2 ในการพสจนจะใชแนวคดของจานวนคและค (จานวนธรรมชาตเปนจานวนค ถาเขยนในรป 2n บาง n ∈ และเปนจานวนค ถาเขยนในรป 2n – 1 บาง n ∈ ) ทกจานวนธรรมชาตเปนจานวนคหรอคอยางใดอยางหนง และไมมจานวนธรรมชาตใดเปนทงจานวนคและค ทฤษฎบท 2.1.3 ไมมจานวนตรรกยะ r โดยท r2 = 2 พสจน สมมตโดยขดแยง มจานวนตรรกยะ r โดยท r2 = 2 จะไดวา p และ q เปนจานวนเตม โดยท 2)

qp( = 2

ให p และ q เปนจานวนเตมบวก และไมมตวประกอบรวมทมากกวา 1 เนองจาก p2 = 2q2 จะได p2 เปนจานวนค ดงนน p เปนจานวนคเชนเดยวกน (เพราะวา ถา p = 2n – 1 เปนจานวนค แลว P2 = 2(2n2 - 2n + 1) - 1 เปนจานวนค) และเนองจาก p และ q ไมม 2 เปนตวประกอบรวม ดงนน q จะตองเปนจานวนธรรมชาตค จาก p เปนจานวนค เราไดวา p = 2m บาง m ∈ นนคอ 4m2 = p2 = 2q2 จะไดวา 2m2 = q2 ดงนน q2 เปนจานวนค จะไดวา q เปนจานวนค นนคอ สมมตฐาน 2)

qp( = 2 นาไปสขอสรป q เปนจานวนคและค ซงเปนเทจ

เพราะฉะนน ไมมจานวนตรรกยะ r โดยท r2 = 2 #

2.1.3 สมบตอนดบของจานวนจรง 1. สมบตของจานวนจรงบวก และอนดบของจานวนจรง สมบตอนดบของจานวนจรง เกยวของกบแนวคดของจานวนจรงบวกและอสมการระหวางจานวนจรง เหมอนกบโครงสรางพชคณตของระบบจานวนจรง จะกระทาโดยแยก 3 สมบตพนฐาน(การบวก การคณ และการแจกแจง) จากสมบตอนดบอน ๆ ทงหมด และคานวณดวยอสมการ สามารถสรปโดยพจารณาจากหลกทวไปเพอไปสเรองเฉพาะ วธทงายทสดจะใชแนวคดของ “ การบวก ” เซตของจานวนจรงบวก (positive real numbers) เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของจานวนจรง ซงสอดคลองกบสมบตตอไปน (1) ถา a, b ∈ แลว a + b ∈ (2) ถา a, b ∈ แลว ab ∈ (3) ถา a ∈ แลว ขอความตอไปนเปนจรงเพยงอยางใดอยางหนง a ∈ , a = 0 , -a ∈ สาหรบ a ∈ จะเขยน a > 0 จะกลาววา “ a เปนจานวนบวก (positive) หรอ จานวนบวกโดยแท (strictly positive) ” และ a ∈ ∪ {0} จะเขยน a ≥ 0 จะกลาววา “ a ไมเปนจานวนลบ (nonnegative) ” ในทานองเดยวกน -a ∈ จะเขยน a < 0 จะกลาววา “ a เปนจานวนลบ (negative) หรอ จานวนลบโดยแท (strictly negative) ” และ -a ∈ ∪ {0} จะเขยน a ≤ 0 จะกลาววา “ a ไมเปนจานวนบวก (nonpositive) ” ดงนน จากสมบตของจานวนจรงบวก ดงกลาวขางตน จะกลาวไดวา (1) ถา a > 0, b > 0 แลว a + b > 0 (2) ถา a > 0, b > 0 แลว ab > 0 (3) ถา a ∈ แลว ขอความตอไปนเปนจรงเพยงอยางใดอยางหนง a > 0, a = 0, a < 0 จะเหนวา สมบตขอ (1) และ(2) ตรงกบอนดบดวยการดาเนนการ การบวกและคณ ตามลาดบ สวนสมบตขอ (3) โดยทวไป จะเรยกวา สมบตไตรวภาค (trichotomy property) เนองจาก แบงออกเปน 3 เซตยอย แตกตางกน คอ เซต {-a | a ∈ } ของจานวนจรงลบ เซต และ {0} ซงเซต เปนยเนยนของทง 3 เซตดงกลาว ทไมมสมาชกรวมกน และ ในบางครงจะใช + แทนเซตของจานวนจรงบวก และ − แทนเซตของจานวนจรงลบ

หมายเหต 2.1.1 สมบตของจานวนจรงบวกขางตน จะเรยกวา สมบตอนดบของจานวนจรง (The Order Properties of Real Numbers)

2. อสมการของจานวนจรง ความรของอสมการระหวางจานวนจรง 2 จานวน จะนยามในเทอมของเซต จานวนจรงบวก ดงบทนยาม 2.1.1 บทนยาม 2.1.1 สาหรบ a, b ∈ (1) a – b ∈ กตอเมอ a > b หรอ b < a (2) a – b ∈ ∪ {0} กตอเมอ a ≥ b หรอ b ≤ a

จากสมบตไตรวภาค จะกลาวไดวา สาหรบ a, b ∈ ขอความตอไปนเปนจรง เพยงอยางใดอยางหนง a > b, a = b, a < b ดงนน ถา a ≤ b และ b ≤ a แลว a = b สาหรบขอตกลงทว ๆ ไป จะเขยน a < b < c ซงหมายความวา a < b และ b < c ทงสองเปนจรง อสมการ a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c และ a b และ b > c แลว a > c (2) ถา a > b แลว a + c > b + c (3) ถา a > b และ c > 0 แลว ca > cb ถา a > b และ c < 0 แลว ca < cb พสจน (1) ถา a – b ∈ และ b – c ∈ ดงนน จากสมบตอนดบของ ขอ (1) จะไดวา (a – b) + (b – c) = a – c ∈ โดยบทนยาม 2.1.1(1) จะไดวา a > c (2) ถา a – b ∈ แลว (a + c) - (b + c) = a – b ∈ โดยบทนยาม 2.1.1(1) จะไดวา a + c > b + c (3) ถา a – b ∈ และ c ∈ โดยสมบตอนดบของ ขอ (2) จะไดวา ca – cb = c(a – b) ∈ โดยบทนยาม 2.1.1(1) จะไดวา ca > cb สาหรบ c > 0

ถา c < 0 แลว -c ∈ ในทานองเดยวกน จะไดวา cb – ca = (-c)(a – b) ∈ นนคอ cb > ca สาหรบ c < 0 # ทฤษฎบทตอไปเปนการแสดงเพอยอมรบจานวนธรรมชาตเปนจานวนจรงบวก โดยอธบาย จากสมบตพนฐานของอนดบ และกาลงสองของจานวนจรงทไมใช 0 เปนจานวนจรงบวก ทฤษฎบท 2.1.5 (1) ถา a ∈ และ a ≠ 0 แลว a2 > 0 (2) 1 > 0 (3) ถา n ∈ แลว n > 0 พสจน (1) โดยสมบตไตรวภาค ถา a ≠ 0 แลว a ∈ หรอ -a ∈ อยางใดอยางหนง ถา a ∈ โดยสมบตอนดบของ ขอ (2) จะไดวา a2 = a⋅a ∈

ในทานองเดยวกน ถา -a ∈ แลว a2 = (-a)(-a) ∈ สรปไดวา ถา a ≠ 0 แลว a2 > 0

(2) เนองจาก 1 = 12 จากขอ (1) จะไดวา 1 > 0 (3) ใชอปนยเชงคณตศาสตร

สาหรบ n = 1 จะได n = 1 > 0 เปนจรง โดยขอ (2) สมมตวา ถา k ∈ และ k > 0 เปนจรงสาหรบจานวนธรรมชาต k ดงนน k ∈ และเนองจาก 1∈ โดยสมบตอนดบขอ (1) จะไดวา k+1 ∈ เพราะฉะนน ถา n ∈ แลว n > 0 เปนจรง สาหรบทกจานวนธรรมชาต #

ขอสงเกต 2.1.1 ไมมจานวนจรงบวกทนอยสด ทสามารถหาคาได นนคอ ถา a > 0 แลว สามารถแสดงไดวา มจานวนจรงบวกทนอยกวา a กลาวคอ 0 < a

21 < a

ขอสงเกตดงกลาวน นาไปสการพสจนวา ถา a ≥ 0 แลว a = 0 เมอแสดงวา a นอยกวาจานวนจรงบวกใด ๆ ทฤษฎบท 2.1.6 ถา a ∈ โดยท 0 ≤ a < ε ทก ε > 0 แลว a = 0 พสจน ให a > 0 และ 0ε a

21

= จะไดวา 0 < 0ε < a

ดงนน ขอความ “ a < ε ทก ε > 0 ” เปนเทจ ซงขดแยงกบ a < ε เปนจรง

ดงนน สมมตฐาน a > 0 เปนไปไมได นนคอ a > 0 เปนเทจ เนองจาก สมมตฐาน a ≥ 0 เปนจรง เพราะฉะนน a = 0 # หมายเหต 2.1.2 สาหรบขอความตอไปนเปนจรงเชนเดยวกนกบทฤษฎบท 2.1.6 “ ถา a ∈ โดยท 0 ≤ a ≤ ε ทก ε > 0 แลว a = 0 ” (พสจนในทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 2.1.6 ใหแสดงเปนแบบฝกหด) สาหรบผลคณของจานวนจรง 2 จานวน เปนจานวนจรงบวก เปนทแนนอนวา จะไมนาไปสแตละตวประกอบเปนจานวนจรงบวกเสมอไป ดงทฤษฎบท 2.1.7 ตอไป ทฤษฎบท 2.1.7 สาหรบ ab > 0 ดงนนขอความตอไปนเปนจรงอยางใดอยางหนง (1) a > 0 และ b > 0 หรอ (2) a < 0 และ b < 0 พสจน จาก ab > 0 นาไปส a ≠ 0 และ b ≠ 0 จากสมบตไตรวภาค จะไดวา a > 0 หรอ a < 0 อยางใดอยางหนง (1) ถา a > 0 แลว 0

a1

>

ดงนน b = (a1 )(ab) > 0

(2) ในทานองเดยวกน ถา a < 0 แลว a1 < 0

ดงนน b = (a1 )(ab) < 0

# บทแทรก 2.1.1 สาหรบ ab < 0 ดงนนขอความตอไปนเปนจรงอยางใดอยางหนง (1) a < 0 และ b > 0 หรอ

(2) a > 0 และ b < 0 (พสจนในทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 2.1.7 ใหแสดงเปนแบบฝกหด) #

2.1.4 การประยกตสมบตอนดบของจานวนจรงกบอสมการ 1. การหาผลเฉลยของอสมการโดยใชสมบตอนดบของจานวนจรง ตวอยางตอไปจะเปนการใชสมบตอนดบของจานวนจรง หาผลเฉลยของอสมการ ตวอยาง 2.1.1 1. จงหาเซต A ของจานวนจรง x ทงหมด โดยท 2x + 3 ≤ 6 วธทา x ∈ A ⇔ 2x + 3 ≤ 6 ⇔ 2x ≤ 3 ⇔ x ≤

23

เพราะฉะนน A = {x ∈ | x ≤ 23 }

2. จงหาเซต B = {x ∈ | x2 + x > 2} วธทา ประยกตทฤษฎบท 2.1.7

x ∈ B ⇔ x2 + x – 2 > 0 ⇔ (x – 1)(x + 2) > 0 ดงนน จะม 1. x – 1 > 0 และ x + 2 > 0

หรอ 2. x – 1 < 0 และ x + 2 < 0 กรณ 1 จะไดวา x > 1 และ x > -2 ซงเปนจรง กตอเมอ x > 1 กรณ 2 จะไดวา x < 1 และ x < -2 ซงเปนจรง กตอเมอ x < -2 เพราะฉะนน B = {x ∈ | x > 1} ∪ {x ∈ | x < -2}

3. จงหาเซต C = {x ∈ | 2x1x2

++ < 1}

วธทา x ∈ C ⇔ 2x1x2

++ - 1 < 0 ⇔

2x1x

+− < 0

ดงนน จะม 1. x – 1 < 0 และ x + 2 > 0 หรอ 2. x – 1 > 0 และ x + 2 < 0

กรณ 1 จะไดวา x < 1 และ x > -2 ซงเปนจรง กตอเมอ -2 < x < 1 กรณ 2 จะไดวา x > 1 และ x < -2 ซงไมเปนจรง เพราะฉะนน C = {x ∈ | -2 < x < 1} #

2. การสรางรปแบบอสมการโดยใชสมบตอนดบของจานวนจรง ตวอยางตอไปแสดงการใชสมบตอนดบของจานวนจรง ในการสรางรปแบบอสมการ ตวอยาง 2.1.2 1. ให a ≥ 0 และ b ≥ 0 ดงนน a < b ⇔ a2 < b2 ⇔ ba <

วธทา พจารณา กรณ a > 0 และ b > 0 โดยสมบตอนดบของจานวนจรง ขอ (1) จะไดวา a + b > 0 เนองจาก b2 - a2 = (b - a)(b + a)

โดยทฤษฎบท 2.1.4(3) สาหรบ b – a > 0 และ a + b > 0 จะไดวา b2 - a2 > 0 โดยทฤษฎบท 2.1.7 สาหรบ b2 - a2 > 0 และ a + b > 0 จะไดวา b – a > 0 ดงนน a 0 และ b > 0 แลว a > 0 และ b > 0 เนองจาก a = ( a )2 และ b = ( b )2 ทงสองจะนาไปสขอสรปตามตองการ เมอ a แทนดวย a และ b แทนดวย b กรณ a = 0 (ใหแสดงเปนแบบฝกหด) ในทานองเดยวกนสามารถแสดงไดวา (1)′ a ≤ b ⇔ a2 ≤ b2 ⇔ a ≤ b

2. อสมการตวกลางเลขคณต - เรขาคณต (Arithmetric - Geometric Mean Inequality) สาหรบ a และ b เปนจานวนจรงบวก ตวกลางเลขคณต คอ ( )ba

21

+ และ ตวกลางเรขาคณต คอ ab อสมการตวกลางเลขคณต - เรขาคณต สาหรบ a และ b

คอ ( )ba21ab +≤ ……………………………. (2.1.1)

จะเปนสมการ กตอเมอ a = b วธทา ถา a > 0, b > 0 และ a ≠ b

แลว 0b,0a >> และ a ≠ b โดยทฤษฎบท 2.1.5(1) จะไดวา ( a - b )2 > 0 กระจายกาลงสองสมบรณ จะไดวา a - 2 ab + b > 0 นนคอ ab < ( )ba

21

+

เพราะฉะนน อสมการ (2.1.1) เปนจรง เมอ a ≠ b สาหรบ a = b (a ≠ 0, b ≠ 0) แลวทง 2 ขางของอสมการ (2.1.1) จะเทากบ a ดงนน อสมการ (2.1.1) จะกลายเปนสมการ นนคอ เปนการพสจนอสมการ (2.1.1) เปนจรง สาหรบ a > 0 และ b > 0 สมมต a > 0, b > 0 และ ab = ( )ba

21

+

ดงนน สาหรบ ab = ( )ba21

+ ยกกาลงสองทง 2 ขาง และคณดวย 4 จะไดวา 4ab = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


0 = a2 - 2ab + b2 = (a – b)2 ซงสมการน นาไปส a = b เพราะฉะนน อสมการ (2.1.1) จะเปนสมการ กตอเมอ a = b #

หมายเหต 2.1.3 รปทวไปอสมการตวกลางเลขคณต – เรขาคณต สาหรบ จานวนจรงบวก a1, a2, … , an

คอ n

a...aa)a...a.a( n21n

1

n21+++

≤ จะเปนสมการ กตอเมอ a1 = a2 = … = an สามารถพสจนรปทวไปโดยใชอปนยเชงคณตศาสตร

3. อสมการแบรนลล (Bernoulli ’s Inequality) ถา x > -1 แลว (1 + x)n ≥ 1 + n x สาหรบทก n ∈ …………………. (2.1.2) วธทา จะพสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร กรณ n = 1 จะไดวา (1 + x)n ≥ 1 + n x เปนจรง ตอไปสมมต กรณ n = k อสมการ (2.1.2) เปนจรง จะไดวา (1 + x)k ≥ 1 + k x และเนองจาก 1 + x > 0 ดงนน (1 + x)k + 1 = (1 + x)k⋅(1 + x) ≥ (1 + kx)⋅(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x นนคอ อสมการ (2.1.2) เปนจรง สาหรบ n = k + 1 เพราะฉะนน อสมการ (2.1.2) เปนจรง ทก n ∈

# สรปแนวคดพชคณตและสมบตอนดบของจานวนจรง 1. สมบต “ ฟลด ” ภายใตการดาเนนการทวภาค การบวก(+) และคณ(×) (A1) สลบทการบวก

a + b = b + a ทก a, b ∈ (A2) เปลยนหมการบวก

(a + b) + c = a + (b + c) ทก a, b, c ∈ (A3) การมสมาชกศนย

มสมาชก 0 ∈ โดยท 0 + a = a และ a + 0 = a ทก a ∈ (A4) การมสมาชกลบ

สาหรบแตละ a ∈ จะมสมาชก -a ∈ โดยท a + (-a) = 0 และ (-a) + a = 0

(M1) สลบทการคณ a⋅b = b⋅a ทก a, b ∈

(M2) เปลยนหมการคณ (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c) ทก a, b, c ∈

(M3) การมสมาชกเอกลกษณ มสมาชก 1 ∈ ซง 1 ≠ 0 โดยท 1⋅a = a และ a⋅1 = a ทก a ∈

(M4) การมสมาชกผกผน สาหรบแตละ a ≠ 0 ∈ จะมสมาชก

a1 ∈ โดยท a⋅(

a1 ) = 1

และ (a1 )⋅a = 1

(D) แจกแจงการคณไปการบวก a⋅(b + c) = (a⋅b) + (a⋅c) และ (b + c)⋅a = (b⋅a) + (c⋅a) ทก a, b, c ∈

2. ถา z และ a เปนสมาชกใน ซง z + a = a แลว z = 0 3. ถา u และ b ≠ 0 เปนสมาชกใน ซง u⋅b = b แลว u = 1 4. ถา a ∈ แลว a⋅0 = 0 5. ถา a ≠ 0 และ b ∈ โดยท a⋅b = 1 แลว b =

a1

6. ถา a⋅b = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0 7. ไมมจานวนตรรกยะ r โดยท r2 = 2 8. สาหรบ a, b ∈ 8.1 a – b ∈ กตอเมอ a > b หรอ b < a 8.2 a – b ∈ ∪ {0} กตอเมอ a ≥ b หรอ b ≤ a 9. ให a, b, c ∈ 9.1 ถา a > b และ b > c แลว a > c 9.2 ถา a > b แลว a + c > b + c 9.3 ถา a > b และ c > 0 แลว ca > cb ถา a > b และ c < 0 แลว ca < cb 10. ถา a ∈ และ a ≠ 0 แลว a2 > 0 11. 1 > 0 12. ถา n ∈ แลว n > 0 13. ถา a ∈ โดยท 0 ≤ a < ε ทก ε > 0 แลว a = 0

14. สาหรบ ab > 0 ดงนนขอความตอไปนเปนจรงอยางใดอยางหนง (1) a > 0 และ b > 0 หรอ (2) a < 0 และ b < 0 15. ให a ≥ 0 และ b ≥ 0 ดงนน a < b ⇔ a2 < b2 ⇔ ba < 16. อสมการตวกลางเลขคณต - เรขาคณต 16.1 สาหรบ a และ b เปนจานวนจรงบวก ดงนน ( )ba

21ab +≤

16.2 รปทวไปอสมการตวกลางเลขคณต – เรขาคณต สาหรบ จานวนจรงบวก a1, a2, … , an

คอ n

a...aa)a...a.a( n21n

1

n21+++

≤ 17. อสมการแบรนลล ถา x > -1 แลว (1 + x)n ≥ 1 + n x สาหรบทก n ∈

แบบฝกหด 2.1

1. สาหรบ a, b ∈ จงพสจนขอความแตละขอตอไปน 1.1 ถา a + b = 0 แลว b = -a 1.2 - (-a) = a 1.3 (-1)a = -a 1.4 (-1)(-1) = 1 1.5 -(a + b) = (-a) + (-b) 1.6 (-a)⋅(-b) = a⋅b 1.7 )

a1(

a)(1

−=−

; a ≠ 0 1.8 )ba(− =

ba)(− ; b ≠ 0

2. ถา a ∈ สอดคลองกบ a⋅a = a จงพสจนวา a = 0 หรอ a = 1 อยางใดอยางหนง 3. ถา a ≠ 0 และ b ≠ 0 จงแสดงวา )

b1)(

a1(

ab1

=

4. สาหรบ x, y ∈ จงแสดงวา 4.1 ถา x, y ∈ แลว x + y , xy ∈ 4.2 ถา x ∈ และ y เปนจานวนอตรรกยะ ดงนน (1) x + y เปนจานวนอตรรกยะ (2) xy เปนจานวนอตรรกยะ โดยท x ≠ 0 5. ให K = {s + t 2 | s, t ∈ } จงแสดงวา 5.1 ถา x1, x2 ∈ K แลว x1 + x2 ∈ K และ x1x2 ∈ K

5.2 ถา x ≠ 0 และ x ∈ K แลว x1 ∈ K

6. สาหรบ a, b, c, d ∈ จงแสดงวา 6.1 ถา a 0 แลว 0

a1

> และ a)

a1(

1=

7.2 ถา a < b แลว a < b)(a21

+ < b

8. สาหรบ a, b ∈ จงแสดงวา a2 + b2 = 0 กตอเมอ a = 0 และ b = 0

9. สาหรบ a, b ∈ และ 0 < a 0 จะม a ≤ b + ε จงแสดงวา a ≤ b 11. ให c ∈ 11.1 สาหรบ 0 < c < 1 จงแสดงวา 0 < c2 < c < 1 11.2 สาหรบ 1 < c จงแสดงวา 1 < c < c2 12. สาหรบ n ∈ จงพสจนวา 12.1 ไมม n โดยท 0 < n < 1 (ใชหลกการจดอนดบดของ ) 12.2 ไมม n โดยท n เปนทงจานวนคและค 13. ให c ∈ 13.1 สาหรบ c > 1 จงแสดงวา cn ≥ c ทก n ∈ และ cn > c, n > 1 13.2 สาหรบ 0 < c < 1 จงแสดงวา cn ≤ c ทก n ∈ และ cn < c, n > 1 14. ให a, b, c ∈ และ m, n ∈ 14.1 สาหรบ a > 0 และ b > 0 จงแสดงวา a 1 จงแสดงวา cm > cn กตอเมอ m > n 14.4 สาหรบ 0 < c < 1 จงแสดงวา cm < cn กตอเมอ m > n 14.5 สาหรบ c > 1 และคารากท m, n ของ c หาคาได

จงแสดงวา n1

m1

cc < กตอเมอ m > n

2.2 คาสมบรณและเสนจานวนจรง (Absolute Value and The Real Line) ทกจานวนจรงสามารถจบคไปยงเสนจานวนได กลาวคอ ทกจดบนเสนจานวนสามารถแทนดวยจานวนจรง ซงเรยกวา เสนจานวนจรง สาหรบคาสมบรณถาพจารณาในเชงเรขาคณต จะอยบนพนฐานของระยะทางบนเสนจานวนจรง 2.2.1 คาสมบรณ 1. ความหมายของคาสมบรณ จากสมบตไตรวภาค เปนทแนนอนวา ถา a ∈ และ a ≠ 0 แลว a หรอ -a เปนจานวนจรงบวกอยางใดอยางหนง คาสมบรณของ a ≠ 0 นยามเปนจานวนจรงบวกจานวนหนง ใน 2 จานวน (a หรอ -a) และคาสมบรณของ 0 นยามเปน 0 บทนยาม 2.2.1 คาสมบรณของจานวนจรง a เขยนแทนดวย a

โดยท a =

<−=>

0a;a0a;00a;a

สาหรบตวอยาง 55 = และ 8− = -(-8) = 8 จะเหนวา จากบทนยาม 2.2.1 จะไดวา a ≥ 0 ทก a ∈ และ a = 0 กตอเมอ a = 0 2. สมบตของคาสมบรณ จากความหมายของคาสมบรณในขอ 1 ขางตน จะได aa =− ทก a ∈ และสมบตเพมเตมดงทฤษฎบทและบทแทรกตอไป ทฤษฎบท 2.2.1 (1) baab = ทก a, b ∈ (2) a 2 = a2 ทก a ∈ (3) สาหรบ c ≥ 0 ดงนน a ≤ c กตอเมอ -c ≤ a ≤ c (4) - a ≤ a ≤ a ทก a ∈ พสจน (1) ถา a หรอ b เปน 0 อยางใดอยางหนง แลว ทง 2 ขางสมการ เทากบ 0 มกรณอนๆ 4 กรณ ทจะพจารณา ถา a > 0, b > 0 แลว ab > 0 ดงนน baab = ถา a > 0, b < 0 แลว ab < 0 ดงนน ba)b(aabab =−=−=

สาหรบกรณ a < 0, b < 0 และ a < 0, b > 0 สามารถแสดงไดในทานองเดยวกน

2.2 คาสมบรณและเสนจานวนจรง 61

(2) เนองจาก a2 ≥ 0 จะม a2 = 22 aaaaaa === (3) ถา a ≤ c แลวจะม a ≤ c และ -a ≤ c นนคอ -c ≤ a ≤ c

บทกลบ ถา -c ≤ a ≤ c แลวจะม a ≤ c และ -a ≤ c ดงนน a ≤ c

(4) แทน c = a ในขอ (3) จะไดตามตองการ #

ทฤษฎบท 2.2.2 อสมการสามเหลยม (Triangle Inequality) ถา a, b ∈ แลว baba +≤+ พสจน จากทฤษฎบท 2.2.1(4) เราม - a ≤ a ≤ a และ - b ≤ b ≤ b บวกอสมการทงสอง จะไดวา -( baba)ba +≤+≤+ โดยทฤษฎบท 2.2.1(3) จะไดวา baba +≤+

# สามารถทจะแสดงวา อสมการสามเหลยมเปนสมการ กตอเมอ ab > 0 ซงสมมลกบ a และ b มเครองหมายเหมอนกน บทแทรก 2.2.1 ถา a, b ∈ ดงนน (1) baba −≤− (2) baba +≤− พสจน (1) สาหรบ a = a – b + b ดงนน โดยอสมการสามเหลยม จะไดวา bbab)ba(a +−≤+−= ลบดวย b จะไดวา baba −≤− …………………………… (2.2.1) ในทานองเดยวกน จะม aaba)ab(b +−≤+−= จะไดวา - baabba −≤−−=− …………………………… (2.2.2) จากอสมการ (2.2.1) และ (2.2.2) โดยใชทฤษฎบท 2.2.1(3) ดงนน baba −≤− (2) แทน b ดวย -b ในอสมการสามเหลยม จะไดวา baba −+≤− เนองจาก bb =− ดงนน baba +≤−

#

บทแทรก 2.2.2 ถา a1, a2, … , an เปนจานวนจรงใด ๆ ดงนน n21n21 a...aaa...aa +++≤+++ (พสจนในทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 2.2.2 ใหแสดงเปนแบบฝกหด)

# 3. คาสมบรณกบการประยกตใช ตวอยางตอไปเปนสวนหนงของการประยกตใชคาสมบรณ ตวอยาง 2.2.1 1. จงหาเซต A ของ x ∈ โดยท 3x2 + < 7 วธทา จากทฤษฎบท 2.2.1(3) สาหรบกรณอสมการโดยแท จะไดวา x ∈ A ⇔ -7 < 2x + 3 < 7 ⇔ -10 < 2x < 4 ⇔ -5 < x < 2 ดงนน A = {x ∈ | -5 < x < 2} 2. จงหาเซต B = {x ∈ | x1x <− } วธทา วธท 1 จะพจารณาคาสมบรณทสามารถจะเปนไปได ซงจะพจารณากรณตอไปน (1) x ≥ 1 (2) 0 ≤ x < 1 (3) x < 0 กรณ (1) อสมการ x1x <− จะกลายเปน x – 1 < x ซงเปนจรงโดย

ไมมขอจากด ดงนน ทก x โดยท x ≥ 1 อยใน B กรณ (2) อสมการ x1x <− จะกลายเปน -(x – 1) < x ซงตองกาหนด

x > 21 นนคอ กรณนสอดคลองทก x โดยท

21 < x < 1 ในเซต B

กรณ (3) อสมการ x1x <− จะกลายเปน -(x – 1) < -x ซงสมมลกบ 1 < 0 เนองจาก 1 < 0 เปนเทจ ดงนน ไมมคา x จากกรณ (3) สอดคลองกบ อสมการ เพราะฉะนน ยเนยนทง 3 กรณ จะไดขอสรป

B = {x ∈ | x > 21 }

วธท 2 หาเซต B บนขอเทจจรง a < b กตอเมอ a2 < b2 ซงทง a ≥ 0 และ b ≥ 0 นนคอ อสมการ x1x <− สมมลกบอสมการ 22 x1x <− โดยทฤษฎบท 2.2.1(2) จะไดวา (x – 1)2 = | x - 1|2 < |x|2 = x2 นนคอ (x – 1)2 < x2

กระจายกาลงสองสมบรณ จะไดวา x2 – 2x + 1 < x2 ซงทาให x > 21


ดงนน B = {x ∈ | x >21 }

3. ให f(x) = 1x2

1x3x2 2

−++ สาหรบ 2 ≤ x ≤ 3

จงหา คาคงท M โดยท M)x(f ≤ สาหรบทก x สอดคลองกบ 2 ≤ x ≤ 3

วธทา พจารณาแยกเศษและสวนของ 1x2

1x3x2)x(f

2

−

++=

จากอสมการสามเหลยม จะไดวา 1x3x21x3x2 22 ++≤++ ≤ 2(3)2 + 3(3) + 1 = 28 สาหรบ x โดยท x ≤ 3 เชนเดยวกน ≥−≥− 1x21x2 2(2) – 1 = 3 สาหรบ x โดยท 2x ≥ นนคอ

1x21−

≤ 31 สาหรบ x ≥ 2

ดงนน สาหรบ 2 ≤ x ≤ 3 เราม 3

28)x(f ≤

เพราะฉะนน M = 328 โดยท M)x(f ≤ ทก x สอดคลองกบ 2 ≤ x ≤ 3

# 2.2.2 เสนจานวนจรง 1. เสนจานวนจรงและระยะทางระหวางจานวนจรง 2 จานวน การแสดงในเชงเรขาคณตของระยะทางระหวางจานวนจรง ทสะดวกและ คนเคยกนจะเปนเสนจานวนจรงในความหมายดงน คาสมบรณ a ของ a ∈ จะพจารณาเหมอนระยะทางจากจดเรมตน 0 ถง a และสาหรบรปทวไปของระยะทางระหวางสมาชก a และ b ใน จะเขยนแทนดวย ba − ดงรปท 2.2.1

รปท 2.2.1 : ระยะทางระหวาง a = -2 และ b = 3

เพออธบายเกยวกบ จานวนจรงหนง “ ใกลชดกบ (close to )” จานวนจรงอนๆ สามารถพจารณาไดดงน ถา a เปนจานวนจรง แลวจะกลาววา “ จานวนจรง x ใกลชดกบ a กตอเมอ

ax − มคานอย ” สามารถอธบายแนวคดโดยใชคาวา “ ยานใกลเคยง ” ดงหวขอตอไป

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

| (-2) – 3 | = 5

2. ความหมายยานใกลเคยงของจานวนจรง ยานใกลเคยงของจานวนจรงสามารถอธบายได ดงบทนยาม 2.2.2 บทนยาม 2.2.2 สาหรบ a ∈ และ ε > 0 ε - ยานใกลเคยงของ a ( ε - neighborhood) คอ )a(Vε ⊆ โดยท )a(Vε = {x ∈ | ax − < ε } จากบทนยาม 2.2.2 สาหรบ a ∈ ขอความซง x อยใน )a(Vε จะสมมลกบขอความ “ - ε < x – a < ε ⇔ a - ε < x < a + ε ” สาหรบทก ε > 0 ถาเลอก ε = 0ε > 0 สามารถเขยนกราฟไดดงน

รปท 2.2.2 : 0ε - ยานใกลเคยงของ a ทฤษฎบท 2.2.3 ให a ∈ ถา x ∈ )a(Vε สาหรบทก ๆ ε > 0 แลว x = a พสจน ให x ∈ )a(Vε ดงนน ax − < ε ทก ε > 0 โดยทฤษฎบท 2.1.6 จะไดวา ax − = 0 เพราะฉะนน x = a # ตวอยาง 2.2.2 1. ให U = {x | 0 < x < 1} ถา a ∈ U และให 0ε เปนจานวนทนอยกวา a และ 1 – a ดงนน สามารถแสดงไดวา )a(V

0ε ⊆ U นนคอ แตละสมาชกของ U จะม 0ε - ยานใกลเคยง เปนเซตยอยของ U 2. ถา K = {x | 0 ≤ x ≤ 1} ดงนน สาหรบแตละ ε > 0 ยานใกลเคยง )0(Vε จะมสมาชกบางตวทไมอยใน K นนคอ )0(Vε ไมเปนเซตยอยของ K

( • ) a + 0ε a - 0ε a

เชน εx = - 2ε ∈ )0(Vε แต -

2ε ∉ K

3. ถา ax − < ε และ by − < ε จากอสมการสามเหลยม จะไดวา byax)by()ax()ba()yx( −+−≤−+−=+−+ < 2 ε นนคอ ถา x อยใน ε - ยานใกลเคยงของ a และ y อยใน ε - ยานใกลเคยงของ b ดงนน x + y จะอยใน 2 ε - ยานใกลเคยงของ a + b (แตไมจาเปนทจะอยใน ε - ยานใกลเคยงของ a + b) # สรปแนวคดคาสมบรณและเสนจานวนจรง 1. สาหรบ a ∈

a =

<−=>

0a;a0a;00a;a

2. baab = ทก a, b ∈ 3. a 2 = a2 ทก a ∈ 4. สาหรบ c ≥ 0 ดงนน a ≤ c กตอเมอ -c ≤ a ≤ c 5. - a ≤ a ≤ a ทก a ∈ 6. สาหรบ a, b ∈ 6.1 อสมการสามเหลยม ; baba +≤+ 6.2 baba −≤− 6.3 baba +≤− 7. สาหรบ a1, a2 , … , an เปนจานวนจรงใด ๆ n21n21 a...aaa...aa +++≤+++ 8. สาหรบ a ∈ และ ε > 0 ε - ยานใกลเคยงของ a คอ )a(Vε ⊆ โดยท )a(Vε = {x ∈ | ax − < ε } 9. สาหรบ a ∈ ถา x ∈ )a(Vε สาหรบทก ๆ ε > 0 แลว x = a

1. สาหรบ a, b ∈ และ b ≠ 0 จงแสดงวา 1.1 2aa = 1.2

ba

ba

=

2. สาหรบ a, b ∈ จงแสดงวา baba +=+ กตอเมอ ab ≥ 0 3. จงแสดงวา ax − < ε กตอเมอ a - ε < x < a + ε 4. จงหา x ∈ ทสอดคลองกบอสมการตอไปน 4.1 135x4 ≤− 4.2 31x 2 ≤− 4.3 1x1x +>− 4.4 21xx <++ 4.5 4 < 51x2x <−++ 5. จงเขยนกราฟของสมการ y = 1xx −− 6. จงหาเซต (x, y) ∈ × ทสอดคลองแตละขอตอไปน 6.1 yx = 6.2 1yx =+ 6.3 2xy = 6.4 2yx =− 6.5 yx ≤ 6.6 1yx ≤+ 6.7 2xy ≤ 6.8 2yx ≥− 7. ให ε > 0, δ > 0 และ a ∈ จงแสดงวา )a(Vε ∩ )a(Vδ และ )a(Vε ∪ )a(Vδ เปน γ - ยานใกลเคยงของ a สาหรบบาง γ > 0 8. จงแสดงวา ถา a, b ∈ และ a ≠ b แลว จะม ε - ยานใกลเคยง U ของ a และ ε - ยานใกลเคยง V ของ b โดยท U ∩ V = φ


9. จงแสดงวา สาหรบ a, b ∈ ดงนน 9.1 max {a, b} = )baba(

21

−++ และ min {a, b} = )baba(21

−−+ 9.2 min {a, b, c} = min {min {a, b}, c} 10. จงแสดงวา สาหรบ a, b, c ∈ ดงนน คากลางของจานวนจรง (middle number) คอ mid {a, b, c} = min { max {a, b}, max {b, c}, max {c, a}} 11. สาหรบ x ∈ และ V(x) เปนเซตของยานใกลเคยงทงหมดของ x ใหยกตวอยางประกอบเซตของแตละขอตอไปน 11.1 ถา A ∈ V(x) แลว x ∈ A 11.2 ถา A, B ∈ V(x) แลว A ∩ B ∈ V(x) 11.3 ถา A ∈ V(x) และ A ⊆ B แลว B ∈ V(x) 11.4 แตละ B ∈ V(x) จะม A ∈ V(x) ซง A ⊆ B และ B ∈ V(y) ทก y ∈ A


2.3 สมบตความบรบรณของจานวนจรง (The Completeness Property of Real Numbers)

ไดมการอธบายเกยวกบสมบตพชคณต และสมบตอนดบของจานวนจรง มาบางแลว สาหรบในหวขอน จะกลาวถงสมบตของจานวนจรง ซงเรยกวา “ สมบตความบรบรณ ” โดยสมบตความบรบรณน เปนสมบตปกตของ ซงจะกลาววา เปนฟลดอนดบบรบรณ 2.3.1 เซตยอยของจานวนจรงทมขอบเขต 1. คาขอบเขตบนและขอบเขตลางของเซตยอยจานวนจรง ขอบเขตบนและขอบเขตลางของเซตยอยจานวนจรง สามารถนยามไดดงน บทนยาม 2.3.1 สาหรบ S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ (1) S มขอบเขตบน (bounded above) กตอเมอ ม u ∈ โดยท s ≤ u ทก s ∈ S แตละจานวน u จะเรยกวา ขอบเขตบน (upper bound) ของ S (2) S มขอบเขตลาง (bounded below) กตอเมอ ม w ∈ โดยท w ≤ s ทก s ∈ S แตละจานวน w จะเรยกวา ขอบเขตลาง (lower bound) ของ S จากบทนยาม 2.3.1 สามารถเขยนกราฟไดดงรปท 2.3.1 และ 2.3.2

รปท 2.3.1 : ขอบเขตบนของ S

รปท 2.3.2 : ขอบเขตลางของ S

S {x∈ | x ≤ w} •

ขอบเขตลางของ S

S {x ∈ | x ≥ u} ⋅

• u

ขอบเขตบนของ S

w

2.3 สมบตความบรบรณของจานวนจรง 69

ตวอยาง 2.3.1 1. S1 = {1, 3, 5, 7} เปนเซตทมขอบเขตบนและขอบเขตลาง ขอบเขตบนของ S1 ไดแก 7 และจานวนจรงทมากกวา 7 ขอบเขตลางของ S1 ไดแก 1 และจานวนจรงทนอยกวา 1 2. S2 = {x ∈ | x < 2} เปนเซตทมขอบเขตบนแตไมมขอบเขตลาง ขอบเขตบนของ S2 ไดแก 2 และจานวนจรงทมากกวา 2 3. S3 = {x ∈ | x > 3} เปนเซตทไมมขอบเขตบนแตมขอบเขตลาง ขอบเขตลางของ S3 ไดแก 3 และจานวนจรงทนอยกวา 3 4. S4 = {x ∈ | -1 ≤ x < 10} เปนเซตทมขอบเขตบนและขอบเขตลาง ขอบเขตบนของ S4 ไดแก 10 และจานวนจรงทมากกวา 10 ขอบเขตลางของ S4 ไดแก -1 และจานวนจรงทนอยกวา -1 5. S5 = เปนเซตทไมมทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง

# ถาเซตมขอบเขตบน แลว จะมขอบเขตบนหลายคา เพราะวา ถา u เปนขอบเขตบนของ S แลว u + 1, u + 2, … จะเปนขอบเขตบนของ S ดวย (ในทานองเดยวกนจะสมเหตสมผล สาหรบขอบเขตลาง) 2. เซตยอยจานวนจรงทมทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง จากตวอยาง 2.3.1(1), (4) จะเหนวา เซตยอยดงกลาวมทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง ซงจะกลาววา เซตยอยนนเปนเซตทมขอบเขต ดงบทนยาม 2.3.2 บทนยาม 2.3.2 สาหรบ S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ S เปนเซตทมขอบเขต (bounded) กตอเมอ S มขอบเขตบนและขอบเขตลาง

รปท 2.3.3 : S เปนเซตทมขอบเขต

ในเซตขอบเขตบนและขอบเขตลางของ S จะมคานอยสดและคามากสด ตามลาดบ

{x∈ | x ≤ w} {x∈ | x ≥ u}

• •

u w ขอบเขตลางของ S ขอบเขตบนของ S

S

inf S sup S

• •

S

2.3.2 คาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด 1. ความหมายคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด บทนยาม 2.3.3 สาหรบ S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ (1) ถา S มขอบเขตบน ดงนน จานวนจรง u จะเรยกวา คาขอบเขตบนนอยสด (supremum or least upper bound) ของ S กตอเมอ สอดคลองกบเงอนไขตอไปน 1.1 u เปนขอบเขตบนของ S และ 1.2 ถา v เปนขอบเขตบนของ S แลว u ≤ v (2) ถา S มขอบเขตลาง ดงนน จานวนจรง w จะเรยกวา คาขอบเขตลางมากสด (infimum or greatest lower bound) ของ S กตอเมอ สอดคลองกบเงอนไขตอไปน 2.1 w เปนขอบเขตลางของ S และ 2.2 ถา t เปนขอบเขตลางของ S แลว t ≤ w สาหรบการแสดงวาคาขอบเขตบนนอยสดมเพยงคาเดยว สามารถแสดงไดดงน ให u1 และ u2 เปนคาขอบเขตบนนอยสดของ S ถา u1 < u2 และ จากสมมตฐาน u2 เปนคาขอบเขตบนนอยสด ดงนน u1 ไมเปนขอบเขตบนของ S ขดแยง นนคอ u1 < u2 เปนไปไมได ในทานองเดยวกน u2 < u1 เปนไปไมได เพราะฉะนน u1 = u2 กรณคาขอบเขตลางมากสด แสดงไดในทานองเดยวกน ถา S มคาขอบเขตบนนอยสด หรอขอบเขตลางมากสด จะเขยนแทนดวย sup S หรอ inf S ตามลาดบ พจารณากราฟตอไปน

รปท 2.3.4 : inf S และ sup S

ขอสงเกต 2.3.1 1. สาหรบ u′ เปนคาขอบเขตบนใดๆ ของเซต S ≠ φ ดงนน sup S ≤ u′ 2. สาหรบเซตยอย S ทไมใชเซตวางของ จะมกรณทเปนไปได 4 กรณ

ขอบเขตลางของ S ขอบเขตบนของ S

2.1 S มทงคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด 2.2 S มคาขอบเขตบนนอยสดแตไมมขอบเขตลางมากสด 2.3 S มคาขอบเขตลางมากสดแตไมมขอบเขตบนนอยสด 2.4 S ไมมทงคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด

2. ทฤษฎบทเกยวกบคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด สาหรบ u ∈ และ φ ≠ S ⊆ ขอความตอไปนสมมลกน (1) u เปนขอบเขตบนนอยสดของ S (1′) s ≤ u ทก s ∈ S ในกรณคลายกน ขอความตอไปนสมมลกนสาหรบขอบเขตบนนอยสด u ของเซต S (2) ถา v เปนขอบเขตบนใดๆ ของ S แลว u ≤ v (2′) ถา z 0 แลว จะม εs ∈ S โดยท u - ε < εs ดงนน จะไดกฎเกณฑ สาหรบคาขอบเขตบนนอยสด ดงทฤษฎบท 2.3.1 และบทแทรก 2.3.1 ทฤษฎบท 2.3.1 สาหรบ φ ≠ S ⊆ จานวนจรง u เปนคาขอบเขตบนนอยสดของ S กตอเมอ u สอดคลองกบเงอนไข ตอไปน (1) s ≤ u ทก s ∈ S (2) ถา v < u แลว จะม s′ ∈ S โดยท v < s′ พสจน (⇒) ให u = sup S จะไดวา u เปนขอบเขตบนของ S โดยบทนยาม 2.3.1 จะไดวา s ≤ u ทก s ∈ S นนคอ จะไดขอ (1) เปนจรง ตอไปจะแสดงขอ (2) เปนจรง ให v < u และเนองจาก u เปนขอบเขตบนนอยสด จะไดวา v ไมเปนขอบเขตบนของ S ดงนน จะม s′ ∈ S โดยท v < s′ นนคอ จะไดขอ (2) เปนจรง (⇐) สมมตใหเงอนไขขอ (1) และ (2) เปนจรง จากขอ (1) โดยบทนยาม 2.3.1(1) จะไดวา u เปนขอบเขตบนของ S

ให u′ เปนขอบเขตบนใด ๆ ของ S และ u′ 0 จะม εs ∈ S โดยท u - ε < εs พสจน (⇐) ถา u เปนขอบเขตบนของ S สอดคลองกบเงอนไข v 0 และ ม εs ∈ S โดยท v = u - ε < εs โดยบทนยาม 2.3.1(1) จะไดวา v ไมเปนขอบเขตบนของ S โดยบทนยาม 2.3.3(1) จะไดวา u = sup S (⇒) สมมตวา u = sup S และใหแตละ ε > 0 เนองจาก u - ε 0 เขยนกราฟไดดงน

รปท 2.3.5 : u - 0ε < 0

s ε ในทานองเดยวกนสาหรบคาขอบเขตลางมากสด จะไดดงทฤษฎบท 2.3.2 และ บทแทรก 2.3.2 ทฤษฎบท 2.3.2 สาหรบ φ ≠ S ⊆ จานวนจรง w เปนคาขอบเขตลางมากสดของ S กตอเมอ w สอดคลองกบเงอนไข ตอไปน

u - 0ε 0

s ε u = sup S

• • •

S ขอบเขตบนของ S

⋅

(1) w ≤ s ทก s ∈ S (2) ถา w < v แลว จะม s′ ∈ S โดยท s′ < v พสจน พสจนในทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 2.3.1 # บทแทรก 2.3.2 สาหรบ φ ≠ S ⊆ ขอบเขตลาง w ของเซต S เปนขอบเขตลางมากสดของ S กตอเมอ สาหรบแตละ ε > 0 จะม εs ∈ S โดยท εs < w + ε พสจน พสจนในทานองเดยวกนกบบทแทรก 2.3.1 # จากบทแทรก 2.3.2 ถาเลอก ε = 0ε > 0 เขยนกราฟไดดงน

รปท 2.3.6 : 0

s ε < w + 0ε ตวอยาง 2.3.2 1. สาหรบ φ ≠ S1 มจานวนสมาชกจากด ดงนน สามารถแสดงวา S1 มสมาชกมากสด u และนอยสด w จะไดวา u = sup S1 และ w = inf S1 ซงทงสองเปนสมาชกของ S1 2. S2 = {x | 0 ≤ x ≤ 1} เหนไดชดวา ม 1 เปนขอบเขตบน จะแสดงวา 1 เปนขอบเขตบนนอยสด สาหรบ v < 1 จะม s′∈ S2 โดยท v < s′ ดงนน v ไมเปนขอบเขตบนของ S2 และเนองจาก v เปนสมาชกใดๆ ซง v < 1 จะไดวา sup S2 = 1 ในทานองเดยวกน inf S2 = 0 จะเหนวา คาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดของ S2 อยใน S2

S ขอบเขตลางของ S ⋅

w = inf S w + ε 0s ε

⋅ ⋅

3. S3 = {x | 0 < x < 1} เหนไดชดวา ม 1 เปนขอบเขตบน ในทานองเดยวกนกบขอ 2 จะไดวา sup S3 = 1 และ inf S3 = 0 ในกรณน คาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดไมอยใน S3

# ตอไปจะเปนสจพจนททาให เปนฟลดอนดบบรบรณ (complete ordered field) สจพจน 2.3.1 สมบตความบรบรณของ (The Completeness Property) ทกเซตยอยทไมใชเซตวางของจานวนจรงทมขอบเขตบน จะมขอบเขตบนนอยสดในเซต ของจานวนจรง จากสจพจน 2.3.1 ดงกลาวอาจจะเรยกวา “ สมบตขอบเขตบนนอยสดของ ” คลายกน สมบตสาหรบขอบเขตลางมากสด สามารถอธบายจากสมบตความบรบรณ ดงทฤษฎบท 2.3.3 ทฤษฎบท 2.3.3 ทกเซตยอยทไมใชเซตวางของจานวนจรงทมขอบเขตลาง จะมขอบเขตลาง มากสดในเซตของจานวนจรง พสจน ให S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ ทมขอบเขตลาง และให φ ≠ S = { - s | s ∈ S} เนองจาก S มขอบเขตลาง ดงนน จะมจานวนจรง u ซง u ≤ s ทก s ∈ S จะไดวา - s ≤ - u ทก - s ∈ S นนคอ S เปนเซตทมขอบเขตบน โดยสจพจน 2.3.1 จะไดวา S มขอบเขตบนนอยสด ให v = sup( S ) ดงนน สาหรบทก s ∈ S จะไดวา - s ≤ v นนคอ s ≥ - v จะไดวา - v เปนขอบเขตลางของ S ให w เปนจานวนจรงซง - v < w ดงนน - w < v เนองจาก v เปนขอบเขตบนนอยสดของ S ดงนน จะม s ∈ S ซง - w < - s นนคอ s < w โดยทฤษฎบท 2.3.2 จะไดวา - v = inf S #

สรปแนวคดสมบตความบรบรณของจานวนจรง

สาหรบ φ ≠ S ⊆ 1. S มขอบเขตบน กตอเมอ ม u ∈ โดยท s ≤ u ทก s ∈ S แตละจานวน u จะเรยกวา ขอบเขตบนของ S 2. S มขอบเขตลาง กตอเมอ ม w ∈ โดยท w ≤ s ทก s ∈ S แตละจานวน w จะเรยกวา ขอบเขตลางของ S 3. S เปนเซตทมขอบเขต กตอเมอ S มขอบเขตบนและขอบเขตลาง 4. ถา S มขอบเขตบน ดงนน จานวนจรง u จะเรยกวา คาขอบเขตบนนอยสดของ S กตอเมอ สอดคลองกบเงอนไข ตอไปน (1) u เปนขอบเขตบนของ S และ (2) ถา v เปนขอบเขตบนของ S แลว u ≤ v 5. ถา S มขอบเขตลาง ดงนน จานวนจรง w จะเรยกวา คาขอบเขตลางมากสดของ S กตอเมอ สอดคลองกบเงอนไขตอไปน (1) w เปนขอบเขตลางของ S และ (2) ถา t เปนขอบเขตลางของ S แลว t ≤ w 6. จานวนจรง u เปนคาขอบเขตบนนอยสดของ S กตอเมอ u สอดคลองกบเงอนไข ตอไปน (1) s ≤ u ทก s ∈ S (2) ถา v 0 จะม εs ∈ S โดยท u - ε < εs 8. สาหรบ φ ≠ S ⊆ จานวนจรง w เปนคาขอบเขตลางมากสดของ S กตอเมอ w สอดคลองกบเงอนไข ตอไปน (1) w ≤ s ทก s ∈ S (2) ถา w < v แลว จะม s′ ∈ S โดยท s′ < v 9. สาหรบ φ ≠ S ⊆ ขอบเขตลาง w ของเซต S เปนขอบเขตลางมากสดของ S กตอเมอ สาหรบแตละ ε > 0 จะม εs ∈ S โดยท εs < w + ε


10. สมบตความบรบรณของ “ ทกเซตยอยทไมใชเซตวางของจานวนจรงทมขอบเขตบน จะมขอบเขตบนนอยสดในเซตของจานวนจรง ” 11. ทกเซตยอยทไมใชเซตวางของจานวนจรงทมขอบเขตลาง จะมขอบเขตลางมากสดในเซต ของจานวนจรง


แบบฝกหด 2.3 1. ให S1 = {x ∈ | x ≥ 0} จงแสดงวา 1.1 S1 มขอบเขตลางแตไมมขอบเขตบน 1.2 inf S1 = 0 2. ให S2 = {x ∈ | x > 0} จงแสดงวา S2 มขอบเขตลาง ขอบเขตบน inf S2 หรอ sup S2 หรอไม

3. ให S3 = {1 - n

)1( n− | n ∈ } จงหา inf S3 และ sup S3 4. ให S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ ทมขอบเขตลาง จงพสจนวา inf S = - sup {-s | s ∈ S} 5. สาหรบ S ⊆ มขอบเขตบนของตนเองคาหนงเปนสมาชก จงแสดงวา ขอบเขตบนดงกลาวเปนขอบเขตบนนอยสดของ S 6. ให φ ≠ S ⊆ จงแสดงวา u ∈ เปนขอบเขตบนของ S กตอเมอ ถา t ∈ และ t > u แลว t ∉ S 7. ให φ ≠ S ⊆ จงแสดงวา ถา u = sup S แลว จานวน u -

n1 ไมเปนขอบเขตบนของ S

แต u + n1 เปนขอบเขตบนของ S สาหรบแตละ n ∈

8. สาหรบ A ⊆ และ B ⊆ จงแสดงวา 8.1 ถา A และ B เปนเซตทมขอบเขต แลว A ∪ B เปนเซตทมขอบเขต 8.2 sup (A ∪ B) = sup {sup A, sup B} 9. ให S เปนเซตทมขอบเขตใน และ φ ≠ S0 ⊆ S จงแสดงวา inf S ≤ inf S0 ≤ sup S0 ≤ sup S 10. ให S ⊆ และ สมมต S∗ = sup S อยใน S สาหรบ u ∉ S จงแสดงวา sup (S ∪ {u}) = sup {S∗, u} 11. ให S = {x | ,

n2n3

x+

= n ∈ +} จงแสดงวา 11.1 ขอบเขตบนนอยสดของ S คอ 5 11.2 ขอบเขตลางมากสดของ S คอ 3

12. จงแสดงวา เซตยอยจากด S ทไมใชเซตวางของ จะมคาขอบเขตบนนอยสดใน S 13. จงแสดงวา เซตของจานวนจรง E เปนเซตทมขอบเขต กตอเมอ มจานวนบวก r โดยท rx < ทก x ∈ E 14. สาหรบเซต E เปนเซตจากดทไมใชเซตวาง จงแสดงวา sup E = max E 15. สาหรบ S เปนเซตทมขอบเขตลาง จงแสดงวา S มขอบเขตลางมากสดเพยงคาเดยวเทานน

2.4 การประยกตสมบตขอบเขตบนนอยสด 79

2.4 การประยกตสมบตขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด (Application of the Supremum and Infimum Property) ตอไปจะอธบายวธการทางานดวยคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด ซงจะมความสาคญตอการประยกตบางอยางของแนวคดเหลาน เพออธบายสมบตหลกมลของ จะเรมตนดวยตวอยางการอธบายเทคนคการประยกตแนวคดของคาขอบเขตบนนอยสด และขอบเขตลางมากสด จากนนจะอธบายการประยกตเกยวกบฟงกชน สมบตอารคมเดยน การมคา 2 และความหนาแนนของจานวนตรรกยะใน ตามลาดบ 2.4.1 ตวอยางการอธบายเทคนคการประยกต การอธบายเทคนคการประยกตของคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดเปนขอเทจจรงทสาคญทกลาวถงคาขอบเขตบนนอยสด และคาขอบเขตลางมากสดของเซตทสอดคลองกนดวยสมบตพชคณตของ ดงตวอยาง 2.4.1 ขอ 1 ซงกลาวถง การสอดคลองกนของคาขอบเขตบนนอยสดกบการบวก และขอ 2 กลาวถงความสมพนธอนดบระหวางคาขอบเขตบนนอยสดกบขอบเขตลางมากสดของเซต 2 เซต ตวอยาง 2.4.1 1. ให S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ ทมขอบเขตบน และ a เปนจานวนใด ๆ สาหรบ a + S = {a + s | s ∈ S} จงพสจนวา sup(a + S) = a + sup S พสจน ถา u = sup S และ x ≤ u ทก x ∈ S ดงนน a + x ≤ a + u เพราะฉะนน a + u เปนขอบเขตบน สาหรบเซต a + S จะไดวา sup(a + S) ≤ a + u ………………………………. (2.4.1) ถา v เปนขอบเขตบนใด ๆ ของเซต a + S แลว a + x ≤ v ทก x ∈ S จะไดวา x ≤ v – a ทก x ∈ S ดงนน v – a เปนขอบเขตบนของ S เพราะฉะนน u = sup S ≤ v – a ซง a + u ≤ v เนองจาก v เปนขอบเขตบนใด ๆ ของ a + S ดงนน สามารถแทน v ดวย sup(a + S ) จะไดวา a + u ≤ sup(a + S) ………………………………… (2.4.2) จากอสมการ (2.4.1) และ (2.4.2) จะไดวา sup(a + S) = a + u = a + sup S 2. ให A และ B เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของ ทสอดคลองกบสมบต a ≤ b ทก a ∈ A และ b ∈ B จงพสจนวา sup A ≤ inf B


พสจน ให b ∈ B และเราม a ≤ b ทก a ∈ A นนคอ b เปนขอบเขตบนของ A ดงนน sup A ≤ b เนองจาก a ≤ b เปนจรงทก b ∈ B นนคอ sup A เปนขอบเขตลางของ B เพราะฉะนน sup A ≤ inf B

# 2.4.2 การประยกตเกยวกบฟงกชน แนวคดของขอบเขตบนและขอบเขตลาง นามาประยกตเกยวกบฟงกชนโดยพจารณาเรนจของฟงกชน ดงน ให f : D → จะกลาววา f มขอบเขตบน ถา f(D) = {f(x) | x ∈ D} มขอบเขตบนใน นนคอ ม b ∈ โดยท f(x) ≤ b ทก x ∈ D ในทานองเดยวกน f มขอบเขตลาง ถา f(D) มขอบเขตลาง และจะกลาววา “ f มขอบเขต กตอเมอ f มทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง ” ซงสมมลกบขอความ “ ม b ∈ โดยท b)x(f ≤ ทก x ∈ D ” ตวอยางตอไปเปนรายละเอยดเกยวกบคาขอบเขตบนและขอบเขตลางของฟงกชน ตวอยาง 2.4.2 ให f และ g เปนฟงกชนคาจรง ซงโดเมนรวม D ⊆ และ f, g เปนฟงกชนทมขอบเขต 1. ถา f(x) ≤ g(x) ทก x ∈ D แลว sup f(D) ≤ sup g(D) (บางครงจะเขยน sup

Dx∈

f(x) ≤ supDx∈

g(x) )

วธทา ให f(x) ≤ g(x) ทก x ∈ D เนองจาก g(x) ≤ sup g(D) ดงนน f(x) ≤ g(x) ≤ sup g(D) ซงจะไดวา sup g(D) เปนขอบเขตบนสาหรบ f(D) เพราะฉะนน sup f(D) ≤ sup g(D) 2. จากสมมตฐาน f(x) ≤ g(x) ทก x ∈ D ในขอ 1 จงแสดงวา sup f(D) ≤ inf g(D) ไมจาเปนจะตองเปนจรง วธทา สาหรบตวอยาง f(x) = x2 และ g(x) = x ซง D = {x | 0 ≤ x ≤ 1} ดงนน f(x) ≤ g(x) ทก x ∈ D อยางไรกตาม จะเหนวา sup f(D) = 1 และ inf g(D) = 0 นนคอ sup f(D) ≤ inf g(D) ไมจรง และ ไมสามารถนาไปสความสมพนธอนดบระหวาง sup f(D) และ inf g(D)

3. ถา f(x) ≤ g(y) ทก x, y ∈ D แลว sup f(D) ≤ inf g(D) วธทา เนองจาก f(x) ≤ g(y) ทก x, y ∈ D

ดงนน เหนไดชดวา sup f(D) ≤ inf g(D) ซงอาจจะเขยน sup

Dx∈

f(x) ≤ infDy∈

g(y )

# สาหรบความสมพนธระหวางคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดของฟงกชน อนๆ อก มในแบบฝกหด 2.4 2.4.3 การประยกตเกยวกบสมบตอารคมเดยน เหนไดชดวา “ เซต ของจานวนธรรมชาต ไมมขอบเขตใน ” อยางไรกตามสามารถพสจนขอความทเหนไดชดดงกลาวขางตน ซงการพสจนไมสามารถพสจนโดยใชแตเพยงสมบตพชคณตและอนดบ จะตองใชสมบตความบรบรณของ คลายกบการอปนยสมบตของ

(นนคอ ถา n ∈ แลว n + 1 ∈ ) การไมมขอบเขตบนของ หมายความวา สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ จะมจานวนธรรมชาต n โดยท x < n ทฤษฎบท 2.4.1 สมบตอารคมเดยน (The Archimedean Property) ถา x ∈ แลว จะม nx ∈ โดยท x < nx พสจน สมมตโดยขอขดแยง ใหขอความในทฤษฎบท 2.4.1 เปนเทจ นนคอ สาหรบ x ∈ จะไดวา n ≤ x ทก n ∈ เพราะฉะนน x เปนขอบเขตบนของ ดงนน โดยสมบตความบรบรณ จะไดวา φ ≠ มคาขอบเขตบนนอยสด u ∈ เนองจาก u – 1 เปนจานวนนอยกวาคาขอบเขตบนนอยสด u ของ ดงนน u – 1 ไมเปนขอบเขตบนของ จะไดวา ม m ∈ ซง u – 1 < m นนคอ u < m + 1 เนองจาก m + 1 ∈ ขดแยงกบ u เปนขอบเขตบนนอยสดของ ดงนน สมมตฐาน “ ขอความในทฤษฎบท 2.4.1 เปนเทจ ” จงเปนไปไมได เพราะฉะนน ทฤษฎบท 2.4.1 เปนจรงตามตองการ

# บทแทรก 2.4.1 ถา S = {

n1 | n ∈ } แลว inf S = 0

พสจน เนองจาก S ≠ φ มขอบเขตลาง

ให w = inf S เหนไดชดวา w ≥ 0 สาหรบ ε > 0 โดยสมบตอารคมเดยน จะไดวา ม n ∈ โดยท

ε1 < n

นนคอ n1 < ε ดงนน 0 ≤ w ≤

n1 < ε

เนองจาก ε > 0 เปน ε ใด ๆ โดยทฤษฎบท 2.1.6 จะไดวา w = 0

# บทแทรก 2.4.2 ถา t > 0 แลว จะม n t ∈ โดยท 0 <

tn1 < t

พสจน เนองจาก inf {n1 | n ∈ } = 0 และ t > 0

ดงนน t ไมเปนขอบเขตลางสาหรบเซต {n1 | n ∈ }

นนคอ จะม n t ∈ โดยท 0 < tn

1 < t

# บทแทรก 2.4.3 ถา y > 0 แลว จะม n y ∈ โดยท ny – 1 ≤ y < ny พสจน โดยสมบตอารคมเดยน เปนทแนนอนวา เซตยอย Ey = {m ∈ | y < m} ของ ไมเปนเซตวาง โดยหลกการจดอนดบดของ จะไดวา Ey มสมาชกนอยสด ซงแทนดวย ny ดงนน ny – 1 ไมอยใน Ey เพราะฉะนน จะม ny – 1 ≤ y < ny

# 2.4.4 การประยกตเกยวกบการมคา 2 ตอไปจะอธบายโดยพสจนการมจานวนจรงบวก x โดยท x2 = 2 นนคอ รากทสองของ 2 ทเปนจานวนบวก โดยท x ไมสามารถเปนจานวนตรรกยะ ซงเปนการอธบายการมจานวนอตรรกยะอยางนอยทสดหนงคา ทฤษฎบท 2.4.2 การมคา 2 (The Existence of 2 ) มจานวนจรงบวก x โดยท x2 = 2 พสจน ให S = {s ∈ | 0 ≤ s, s2 < 2} เนองจาก 1 ∈ S จะไดวา S ≠ φ

เนองจาก ถา t > 2 แลว t2 > 4 ดงนน t ∉ S ดงนน S มขอบเขตบนโดย 2 โดยสมบตขอบเขตบนนอยสด จะไดวา S มขอบเขตบนนอยสดใน และให x = sup S เหนไดชดวา x > 1 จะแสดงวา x2 = 2 โดยตดโอกาส ทเปนไปไดของ 2 อสมการ คอ x2 < 2 และ x2 > 2

กรณ (1) สมมตวา x2 < 2 จะแสดงวา สมมตฐานขดแยงกบ x = sup S โดยหา n ∈ โดยท x +

n1 ∈ S

ซงนาไปส x ไมเปนขอบเขตบนของ S เพอแสดงดงกลาวน พจารณาเลอก n โดยท 2n

1 ≤ n1

ดงนน (x +n1 )2 = x2 +

nx2 + 2n

1 ≤ x2 + n1 (2x + 1)

จะไดวา ถาเราสามารถเลอก n โดยท n1 (2x + 1) < 2 – x2

จะนาไปส (x +n1 )2 < x2 + (2 – x2) = 2

โดยสมมตฐาน จะม 2 – x2 > 0 ดงนน 1x2

x2 2

+− > 0

โดยบทแทรก 2.4.2 จะไดวา n1 <

1x2x2 2

+−

ขนตอนเหลานสามารถยอนกลบไปสการเลอก n โดยท n1 <

1x2x2 2

+−

ดงนน จะม x + n1 ∈ S ซงขดแยงกบ x เปนขอบเขตบน

จะไดวา x2 < 2 เปนไปไมได

กรณ (2) สมมตวา x2 > 2 จะแสดงวา มความเปนไปไดทหา m ∈ โดยท x -

m1 เปนขอบเขตบนของ S

ขดแยงกบ x = sup S เพอแสดงดงกลาวนจะพจารณาเลอก m ดงตอไปน เนองจาก (x -

m1 )2 = x2 -

mx2 + 2m

1 > x2 - mx2

ดงนน ถาเราสามารถเลอก m โดยท mx2 < x2 – 2

จะนาไปส (x - m1 )2 > x2 – (x2 – 2) = 2

โดยสมมตฐาน จะม x2 – 2 > 0 ดงนน x2

2x 2 − > 0

โดยบทแทรก 2.4.2 จะไดวา จะม m ∈ โดยท m1 <

x22x 2 −

ในทานองเดยวกนกบกรณ (1) จะไดวา การเลอก m จะม (x -m1 )2 > 2

ถา s ∈ S แลว s2 < 2 < (x - m1 )2 นนคอ s < x -

m1

จะไดวา x - m1 เปนขอบเขตบนของ S ซงขดแยงกบ x = sup S

จะไดวา x2 > 2 เปนไปไมได จากกรณ (1) และ (2) เปนไปไมได เพราะฉะนน x2 = 2

# โดยการเปลยนแปลงการอางเหตผลดงกลาว สามารถแสดงไดวา “ ถา a > 0 แลว จะม b > 0 เพยงคาเดยว ซงทาให b2 = a ” เรยก b วา รากทสองทเปนจานวนบวกของ a เขยน

แทนดวย b = a หรอ b = 21

a การอางเหตผลโดยใชทฤษฎบททวนาม สามารถกาหนด

เพอสรางการมรากท n ทเปนจานวนบวกเพยงคาเดยวของ a เขยนแทนดวย n a หรอ n1

a สาหรบแตละ n ∈

หมายเหต 2.4.1 สาหรบการพสจนทฤษฎบท 2.4.2 ถาแทนเซต S ดวยเซตของจานวนตรรกยะ T = {r ∈ | 0 ≤ r, r2 < 2} จะใหผลสรป y = sup T สอดคลอง y 2 = 2 จากทฤษฎบท 2.1.3 จะไดวา y ไมสามารถเปนจานวนตรรกยะทสอดคลองเซต T ซงประกอบดวยจานวนตรรกยะ จะไมมคาขอบเขตบนนอยสดอยใน นนคอ ฟลดอนดบ ของจานวนตรรกยะ จะไมครอบคลมสมบตความบรบรณ

2.4.5 การประยกตเกยวกบความหนาแนนของจานวนตรรกยะใน ขณะนมจานวนจรงอตรรกยะอยางนอยสดหนงคา 2 และทเปนอยในขณะน มจานวนอตรรกยะมากกวาจานวนตรรกยะ ในความหมายเซตของจานวนตรรกยะทเปนเซตนบได ขณะทเซตของจานวนอตรรกยะเปนเซตนบไมได อยางไรกตามตอไปจะแสดงเซตของจานวนตรรกยะเปนเซตหนาแนนใน นนคอระหวาง 2 จานวนจรงใด ๆ จะมจานวน ตรรกยะ (โดยขอเทจจรงมจานวนตรรกยะเปนอนนต) ทฤษฎบท 2.4.3 ความหนาแนนของจานวนตรรกยะใน (Density of Rational Numbers) ถา x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ ซง x < y ดงนน จะมจานวนตรรกยะ r ∈ โดยท x < r < y

พสจน ไมเสยความเปนทว ๆ ไป สมมต x > 0 เนองจาก y – x > 0 โดยบทแทรก 2.4.2 จะม n ∈ โดยท

n1 < y – x

ดงนน จะม nx + 1 < ny ประยกตบทแทรก 2.4.3 สาหรบ nx > 0 จะไดวา ม m ∈ ซง m – 1 ≤ nx < m ดงนน m ≤ nx + 1 < ny ซง nx < m < ny เพราะฉะนน มจานวนตรรกยะ r =

nm สอดคลองกบ x < r < y

# เพออธบายใหครอบคลมทเกยวโยงกนของจานวนตรรกยะและอตรรกยะ ซงคลายกบมสมบตระหวางกน สาหรบเซตของจานวนตรรกยะ จะไดดงบทแทรก 2.4.4 บทแทรก 2.4.4 ถา x และ y เปนจานวนจรง ซง x < y ดงนน จะมจานวนอตรรกยะ z โดยท x < z < y พสจน ถาประยกตทฤษฎบท 2.4.3 สาหรบจานวนจรง

2x และ

2y

จะไดวา มจานวนตรรกยะ r ≠ 0 โดยท 2

x < r < 2

y ซงสมมลกบ x < r 2 < y

เนองจาก r 2 เปนจานวนอตรรกยะ ให z = r 2 ดงนน มจานวนอตรรกยะ z ซงสอดคลองกบ x < z < y # สรปแนวคดการประยกตสมบตขอบเขตบนนอยสด 1. ให f, g เปนฟงกชนคาจรง ซงโดเมนรวม D ⊆ และ f, g เปนฟงกชนทมขอบเขต 1.1 ถา f(x) ≤ g(x) ทก x ∈ D แลว sup f(D) ≤ sup g(D) 1.2 ถา f(x) ≤ g(y) ทก x, y ∈ D แลว sup f(D) ≤ inf g(D) 2. สมบตอารคมเดยน : ถา x ∈ แลว จะม nx ∈ โดยท x < nx 3. ถา S = {

n1 | n ∈ } แลว inf S = 0

4. ถา t > 0 แลว จะม n t ∈ โดยท 0 < tn

1 < t

5. ถา y > 0 แลว จะม n y ∈ โดยท ny – 1 ≤ y < ny 6. มจานวนจรงบวก x โดยท x2 = 2 7. สมบตความหนาแนน : สาหรบ x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ ซง x < y ดงนน 7.1 จะมจานวนตรรกยะ r ∈ โดยท x < r < y 7.2 จะมจานวนอตรรกยะ z โดยท x < z < y

1. จงแสดงวา sup{1 -n1 | n ∈ } = 1

2. ให φ ≠ S ⊆ จงพสจนวา สาหรบจานวน u ใน มสมบต “ จานวน u -

n1 ไมเปนขอบเขตบนของ S และ

จานวน u + n1 เปนขอบเขตบนของ S ทก n ∈ ” ดงนน u = sup S

3. ให S เปนเซตทไมใชเซตวางทมขอบเขตใน 3.1 สาหรบ a > 0 และ aS = {as | s ∈ S} จงพสจนวา inf(aS) = a inf S และ sup(aS) = a sup S 3.2 สาหรบ b < 0 และ bS = {bs | s ∈ S} จงพสจนวา inf (bS) = b sup S และ sup (bS) = b inf S 4. ให φ ≠ X และ f : X → เรนจมขอบเขตใน สาหรบ a ∈ จงแสดงวา จากตวอยาง 2.4.1(1) จะไดวา sup {a + f(x) | x ∈ X} = a + sup {f(x) | x ∈ X} และ inf {a + f(x) | x ∈ X} = a + inf {f(x) | x ∈ X} 5. ให A และ B เปนเซตยอยทไมใชเซตวางทมขอบเขตของ และ A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} จงพสจนวา sup (A + B ) = sup A + sup B และ inf (A + B) = inf A + inf B 6. ให φ ≠ X สาหรบ f และ g นยามบน X และเรนจมขอบเขตใน จงแสดงวา sup {f(x) + g(x) | x ∈ X} ≤ sup {f(x) | x ∈ X} + sup {g(x) | x ∈ X} และ inf {f(x) | x ∈ X} + inf {g(x) | x ∈ X} ≤ inf {f(x) + g(x) | x ∈ X} พรอมกนนใหยกตวอยางเพอแสดงวา แตละอสมการเหลานสามารถเปนสมการ หรอ อสมการโดยแทอยางใดอยางหนง 7. ให X = Y = {x ∈ | 0 < x < 1} กาหนด h : X × Y → โดยท h(x, y) = 2x + y 7.1 สาหรบแตละ x ∈ X จงหา f(x) = sup {h(x, y) | y ∈ Y} และ inf {f(x) | x ∈ X} 7.2 สาหรบแตละ y ∈ Y จงหา g(y) = inf {h(x, y) | x ∈ X} และ sup {g(y) | y ∈ Y} และเปรยบเทยบผลกบขอ 7.1

8. ให A ⊆ โดยท A2 = {x2 | x ∈ A} จงอธบายความสมพนธระหวาง inf และ sup ของ A และ A2 9. ให E ⊆ และ A = { x | x ∈ E} จงอธบายความสมพนธระหวาง inf และ sup ของ A และ E 10. ให x ∈ จงแสดงวา จะม n ∈ เพยงคาเดยว โดยท n – 1 ≤ x < n 11. สาหรบ y > 0 จงแสดงวา จะม n ∈ โดยท n2

1 < y 12. โดยการขยายการอางเหตผลในทฤษฎบท 2.4.2 จงแสดงวา 12.1 มจานวนจรงบวก y โดยท y2 = 3 12.2 ถา a > 0 แลว จะมจานวนจรงบวก z โดยท z2 = a 12.3 มจานวนจรงบวก u โดยท u3 = 2 13. สาหรบ u > 0 เปนจานวนจรงใด ๆ และ x < y จงแสดงวา มจานวนตรรกยะ r โดยท x < ru < y (นนคอ เซต {ru | r ∈ } หนาแนนใน )

2.5 ชวง (Intervals) ความสมพนธอนดบบน กาหนดบนเซตยอยทเรยกวา “ ชวง ” ซงเปนทคนเคยกนในเนอหาวชาน ถา a, b ∈ สอดคลองกบ a < b ดงนน ชวงเปด (open interval) กาหนดโดย a และ b คอ เซต (a, b) = {x ∈ | a < x < b} จด a และ b เรยกวา จดปลาย (endpoints) ของชวง ซงจดปลายไมอยในชวงเปด แตถาจดปลายทงคผนวกเขากบชวงดงกลาว จะได ชวงปด (closed interval) ซงกาหนดโดย a และ b คอ เซต [a, b] = {x ∈ | a ≤ x ≤ b} ชวงครงเปด (half – open) หรอ ชวงครงปด (half – closed) กาหนดโดย a และ b คอ [a, b) ซงมจดปลาย a อยในชวง และ (a, b] มจดปลาย b อยในชวง แตละชวงดงกลาวขางตนเปนเซตทมขอบเขต และมความยาวกาหนดโดย b – a ถา a = b ชวงเปดจะเปนเซตวาง (a, a) = φ สวนชวงปดจะเปนเซตโทน (singleton) [a, a] = {a} นอกจากนยงมชวงอก 5 ชนด ทไมมขอบเขต โดยใชสญลกษณ ∞ (หรอ + ∞) และ -∞ แทนทจดปลาย ดงตอไปน ชวงเปดอนนต (infinite open intervals) เปนเซต (a, ∞) = {x ∈ | x > a} ไมมขอบเขตบน และ (-∞, b) = {x ∈ | x < b} ไมมขอบเขตลาง ถามจดปลายอยในชวง จะใชชวงปดอนนต (infinite closed intervals) ซงเปนเซต [a, ∞) = {x ∈ | a ≤ x} และ (-∞, b] = {x ∈ | x ≤ b} บางครงจะเขยนแทนเซต เหมอนเปนชวงอนนต ในกรณนจะเขยน (-∞, ∞) = ไมมจดทเปนจดปลายของ (-∞, ∞) หมายเหต 2.5.1 (1) ∞ และ - ∞ ไมเปนสมาชกของ แตเปนเพยงสญลกษณเทานน (2) สาหรบ ∪ {∞, - ∞} จะเรยกวา จานวนจรงภาคขยาย (the extended real numbers) อยางไรกตาม เพอความสะดวกในการใช ∞ และ - ∞ เราสามารถนยามการ บวก ลบ คณ และหารของสมาชกใน ∪ {∞, - ∞} ดงน a + ∞ = ∞ + a = ∞ เมอ - ∞ < a ≤ ∞ a + (-∞) = (-∞) + a = - ∞ เมอ - ∞ ≤ a < ∞ (∞) a = a (∞) = ∞ เมอ 0 < a ≤ ∞ (∞) a = a (∞) = - ∞ เมอ - ∞ ≤ a < 0

2.5 ชวง 89

∞a = 0 เมอ - ∞ < a < ∞

แตจะไมนยาม ∞ - ∞, - ∞ + ∞, ∞±∞± , ( ∞± )0 และ 0( ∞± )

2.5.1 เซตยอยของจานวนจรงกบการเปนชวง เหนไดชดวา สมบตของชวง จะเปนสาหรบจด 2 จด x, y ซง x < y อยในชวง I แลวจดใด ๆ ระหวาง x และ y จะอยใน I นนคอ ถา x < t < y แลวจด t อยในชวงเดยวกนกบ x และ y และอาจจะกลาววา ถา x และ y อยในชวง I แลวชวง [x, y] เปนเซตยอยของ I ตอไปจะแสดงวา เซตยอยของ มสมบตเปนชวง ทฤษฎบท 2.5.1 สาหรบ φ ≠ S ⊆ สอดคลองกบเงอนไขตอไปน ถา x, y ∈ S และ x < y แลว [x, y] ⊆ S ดงนน S เปนชวง พสจน ม 4 กรณ ทจะพจารณา (1) S มขอบเขต (2) S มขอบเขตบนแตไมมขอบเขตลาง (3) S มขอบเขตลางแตไมมขอบเขตบน (4) S ไมมทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง

กรณ (1) ให a = inf S และ b = sup S ดงนน S ⊆ [a, b] และจะแสดงวา (a, b) ⊆ S ถา a < z < b แลว z ไมเปนขอบเขตลางของ S ดงนน จะม x ∈ S ซง x < z ในทานองเดยวกน z ไมเปนขอบเขตบนของ S ดงนน จะม y ∈ S ซง z < y จะไดวา z ∈ [x, y] ดงนน โดยสมมตฐานทกาหนด จะไดวา z ∈ S เนองจาก z เปนสมาชกใด ๆ ของ (a, b) จะไดวา (a, b) ⊆ S ขณะน ถา a ∈ S และ b ∈ S แลว S = [a, b] ถา a ∉ S และ b ∉ S แลว S = (a, b) ถา a ∉ S และ b ∈ S แลว S = (a, b] และ ถา a ∈ S และ b ∉ S แลว S = [a, b)

กรณ (2) ให b = sup S ดงนน S ⊆ (-∞, b] และจะแสดงวา (-∞, b) ⊆ S

ให z ∈ (-∞, b) จะไดวา z < b ดงนน จะม x, y ∈ S โดยท z ∈ [x, y] ⊆ S จะไดวา (-∞, b) ⊆ S ถา b ∈ S แลว S = (-∞, b] และ ถา b ∉S แลว S = (-∞, b) กรณ (3) และ (4) พจารณาไดในทานองเดยวกน (ใหแสดงเปนแบบฝกหด)

# 2.5.2 ชวงซอนใน 1. ลกษณะชวงซอนใน ลาดบของชวง In โดยท n ∈ ซอนใน (nested) ถาสอดคลองกบเงอนไขลกโซของการเปนเซตยอยตอไปน I1 ⊇ I2 ⊇ … ⊇ In ⊇ In + 1 ⊇ …

รปท 2.5.1 : ชวงซอนใน

สาหรบตวอยาง ถา In = [0, n1 ] โดยท n ∈ แลว In ⊇ In + 1 แตละ n ∈

ดงนน ลาดบของชวงนซอนใน ในกรณนสมาชก 0 อยใน In ทงหมด และสมบตอารคมเดยน สามารถใชเพอแสดงวา 0 เปนจดรวมเพยงจดเดยว จะเขยนแทนดวย I

∞

= 1nnI = {0}

โดยทว ๆไป ลาดบซอนในของชวงไมจาเปนจะตองมจดรวมกน เชน Jn = (0, n1 ) โดยท n ∈

ลาดบของชวงนซอนใน แตไมมจดรวมกน เนองจาก สาหรบทก ๆ x > 0 จะม m ∈

I 1

I 3 I 5 [ [ [ [ [ . . . ] ] ] ] ]

I 4

I 2

2.5 ชวง 91

โดยท m1 < x ดงนน x ∉ Jm ในทานองเดยวกน ลาดบของชวง Kn = (n, ∞) โดยท n ∈

ซอนใน แตไมมจดรวมกน 2. สมบตชวงซอนใน สมบตหนงทสาคญของ “ ทก ๆ ลาดบซอนในของชวงปดทมขอบเขต จะมจดรวมกน ” ดงทฤษฎบท 2.5.2 ทฤษฎบท 2.5.2 สมบตชวงซอนใน (Nested Intervals Property) สาหรบ n ∈ ถา In = [an, bn] เปนลาดบซอนในของชวงปดทมขอบเขต แลว จะม ξ ∈ โดยท ξ ∈ In ทก n ∈ พสจน เนองจากชวง In = [an, bn] เปนชวงซอนใน จะม In ⊆ I1 ทก n ∈ ดงนน an ≤ b1 ทก n ∈ จะไดวา φ ≠ {an | n ∈ } เปนเซตทมขอบเขตบน และให ξ เปนคาขอบเขตบนนอยสด เหนไดชดวา an ≤ ξ ทก n ∈

จะแสดงวา ξ ≤ bn ทก n นนคอ สาหรบจานวน n ใด ๆ จานวน bn เปนขอบเขตบนของเซต {ak | k ∈ } ซงสามารถพจารณาได 2 กรณ กรณ (1) ถา n ≤ k ดงนน เนองจาก In ⊇ Ik จะม ak ≤ bk ≤ bn กรณ (2) ถา k < n ดงนน เนองจาก Ik ⊇ In จะม ak ≤ an ≤ bn (ดงรปท 2.5.2) นนคอ จะสรปวา ak ≤ bn ทก k ดงนน bn เปนขอบเขตบนของ {ak | k ∈ } จะไดวา ξ ≤ bn สาหรบแตละ n ∈ เนองจาก an ≤ ξ ≤ bn ทก n จะม ξ ∈ In ทก n ∈ #

รปท 2.5.2 : ถา k < n แลว In ⊆ Ik

ak an bn bk

Ik

In

ทฤษฎบท 2.5.3 สาหรบ n ∈ ถา In = [an, bn] เปนลาดบซอนในของชวงปดทมขอบเขต โดยท ความยาว bn – an ของ In สอดคลองกบ inf {bn – an | n ∈ } = 0 ดงนน มจานวน ξ เพยงจานวนเดยวทอยใน In ทก n ∈ พสจน ถา η = inf {bn | n ∈ } ดงนน โดยการอางเหตผลคลายกนกบการพสจนทฤษฎบท 2.5.2 สามารถแสดงวา an ≤ η ทก n และดงนน ξ ≤ η บาง ξ ∈

โดยขอเทจจรงจะไดวา x ∈ In ทก n ∈ กตอเมอ ξ ≤ x ≤ η ตอไปจะพจารณาวา ξ = η เปนเพยงจดเดยวทอยใน In ทก n ∈ สาหรบ inf {bn – an | n ∈ } = 0 ดงนน แตละ ε > 0 จะม m ∈ โดยท 0 ≤ η - ξ ≤ bm - am < ε โดยทฤษฎบท 2.1.6 จะไดวา η - ξ = 0 เพราะฉะนน ξ = η เปนเพยงจดเดยวทอยใน In ทก n ∈

# 2.5.3 การนบไมไดของเซตจานวนจรง แนวคดของเซตนบไดมการอธบายในหวขอ 1.3 และไดอธบายการนบไดของเซต จานวนตรรกยะ ขณะนจะใชสมบตชวงซอนในเพอพสจนเซต เปนเซตนบไมได การพสจนใหโดย เกออรก คนทอร ในป ค.ศ. 1874 ทฤษฎบท 2.5.4 เซตของจานวนจรง เปนเซตนบไมได พสจน จะพสจนชวงหนวย I = [0, 1] เปนเซตนบไมได แลวนาไปสเซต เปนเซต นบไมได โดยใชทฤษฎบท 1.3.6(2) สาหรบ I ⊆

( ถาเซตยอย I เปนเซตนบไมได แลว เปนเซตนบไมได) จะพสจนโดยขดแยง ; สมมต I เปนเซตนบได ดงนน สามารถทจะนบเซต I = {x1, x2, … , xn, …} ขนแรกจะเลอกชวงยอยปด I1 ของ I โดยท x1 ∉ I1 แลวเลอกชวงยอยปด I2 ของ I1 โดยท x2 ∉ I2 กระบวนการตอเนองไปเรอย ๆ จะไดชวงปดทไมใชเซตวาง I1 ⊇ I2 ⊇ … ⊇ In ⊇ … โดยท In ⊆ I และ xn ∉ In ทก n โดยทฤษฎบท 2.5.2 จะไดวา มจด ξ ∈ I โดยท ξ ∈ In ทก n ฉะนน ξ ≠ xn ทก n ∈ ดงนน การแจงนบของสมาชกใน I ยงไมครบในการระบสมาชกของ I ขดแยงกบ ทกลาวอางไว

2.5 ชวง 93

จะไดวา I เปนเซตนบไมได และ เนองจาก I ⊆ โดยทฤษฎบท 1.3.6(2) จะไดวา เปนเซตนบไมได #

โดยขอเทจจรงเซต ของจานวนจรงเปนเซตนบไมได ประกอบดวยเซต ของจานวนตรรกยะเปนเซตนบได และเซต \ ของจานวนอตรรกยะเปนเซตนบไมได ซงสามารถพจารณา \ เปนเซตนบไมได ดงน เนองจาก ยเนยนของเซตนบได 2 เซต เปนเซตนบได ให \ เปนเซตนบได และ เนองจาก = ∪ ( \ ) ดงนน เปนเซตนบได ซงเกดขอขดแยง เพราะฉะนน เซตของจานวนอตรรกยะ \ เปนเซตนบไมได

สรปแนวคดชวงของจานวนจรง 1. สาหรบ φ ≠ S ⊆ สอดคลองกบเงอนไขตอไปน “ ถา x, y ∈ S และ x < y แลว [x, y] ⊆ S ” ดงนน S เปนชวง 2. สมบตของชวงซอนใน : สาหรบ n ∈ ถา In = [an, bn] เปนลาดบซอนในของ ชวงปดทมขอบเขต แลว จะม ξ ∈ โดยท ξ ∈ In ทก n ∈ 3. สาหรบ n ∈ ถา In = [an, bn ] เปนลาดบซอนในของชวงปดทมขอบเขต โดยท ความยาว bn – an ของ In สอดคลองกบ inf {bn – an | n ∈ } = 0 ดงนน ม ξ เพยงจานวนเดยวทอยใน In ทก n ∈ 4. เซตของจานวนจรง เปนเซตนบไมได



1. จงอธบายสวนเตมเตมบนชวงตอไปน 1.1 ชวงเปด

1.2 ชวงปด 2. สาหรบ A และ B เปนชวง ซง A ∩ B ≠ φ จงแสดงวา

2.1 A ∩ B เปนชวง 2.2 A ∪ B เปนชวง

3. ถา I = [a, b] และ I′ = [a′, b′] เปนชวงปดใน จงแสดงวา I ⊆ I′ กตอเมอ a′ ≤ a และ b ≤ b′ 4. สาหรบ φ ≠ S ⊆ จงแสดงวา S เปนเซตทมขอบเขต กตอเมอ มชวงปดทมขอบเขต I ททาให S ⊆ I 5. ถา φ ≠ S ⊆ เปนเซตทมขอบเขต และ IS = [inf S, sup S] จงแสดงวา S ⊆ IS และ ถา J เปนชวงปดใด ๆ ทมขอบเขต ซง S ⊆ J แลว IS ⊆ J 6. ถา I1 ⊇ I2 ⊇ … ⊇ In ⊇ … เปนลาดบซอนในของชวง และ In = [an, bn ] จงแสดงวา a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ≤ … และ b1 ≥ b2 ≥ … ≥ bn ≥ … 7. ให Jn = (0,

n1 ) สาหรบ n ∈ จงพสจนวา I

∞

= 1nnJ = φ

8. ให Kn = (n, ∞ ) สาหรบ n ∈ จงพสจนวา I∞

= 1nnK = φ

9. ให In = [0, n1 ] สาหรบ n ∈ จงพสจนวา I

∞

= 1nnI = {0}

10. มชวงของจานวนจรงเปนเซตนบไดหรอไม เพราะเหตใด จงอธบาย

บทที่ 2 จํานวนจริง (The Real Numbers) · 46 บทที่ 2...

Documents

Transcript of บทที่ 2 จํานวนจริง (The Real Numbers) · 46 บทที่ 2...