Post on 05-Aug-2020
Self-Gravitating Lattice Gas
Divana Boukari and Gerhard MullerUniversity of Rhode Island
Benaoumeur Bakhti and Philipp Maass
Universität Osnabrück
Michael KarbachBergische Universität Wuppertal
11/9/2017 [selgra1 – 1/22]
Ideal Lattice Gas
• volume of cell: Vc
• number of cells: Nc
• number of particles: N
• density: ρ = N/Nc
occupied cell
D = 3D = 2D = 1
vacant cell
Equations of state (EOS):
• Lattice gas:pVc
kBT= − ln
`
1 − ρ´
• FD gas:p
PT= fD/2+1(z), ρ
.=
vT
v= fD/2(z)
p ∼ ρ(D+2)/D (isotherm)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Ρ
pVc�
k BT
0 1 2 30
5
vT�v
p�p T
11/9/2017 [selgra2 – 2/22]
Equilibrium Condition
Heterogeneous environment:
• Presence of external potential U(r).
• Equilibrium condition has two parts:
- equation of state (EOS):(local) thermal equilibrium from minimized free energy density,
- equation of motion (EOM):mechanical equilibrium from balanced forces.
• Equilibrium establishes density profile ρ(r) and pressure profile p(r).
• Temperature T remains uniform.
• Potential U(r) here represented by long-range gravitational interactions.
• Mean-field approach proven exact.
• Ensemble inequivalence to be heeded.
11/9/2017 [selgra3 – 3/22]
Gravity in D = 1, 2, 3 Dimensions
Interaction potential Vij and force Fij between occupied cells of mass mc at distance rij :
Vij
Gm2c
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
rij : D = 1,
ln rij : D = 2,
−r−1ij : D = 3.
Fij = − Gm2c
rD−1ij
.
Gauss’ law:I
dA · g(r) = −ADGmin, AD =2πD/2
Γ(D/2)=
8
>
<
>
:
2 : D = 1,
2π : D = 2,
4π : D = 3.
Symmetric self-gravitating cluster with center of mass at r = 0.
Gravitational field: g(r) = − min
rD−1.
Gravitational potential U(r) from g(r) = −dUdr
.
11/9/2017 [selgra4 – 4/22]
Self-Gravitating Lattice Gas at Equilibrium
Thermal and hydrostatic equilibrium:
• EOS:p(r)Vc
kBT= − ln
“
1 − ρ(r)”
,
• EOM:dp
dr=
mc
Vcρ(r)g(r), g(r) = −Gmin
rD−1, min =
mc
Vc
Z r
0dr′
`
ADr′D−1´
ρ(r′).
Scaled variables:
• r.=
r
rs, p
.=
p
ps, T
.=
kBT
psVc, U .
=U
psVc,
• rDs =NVcDAD
, ps =ADG
2Dm2
c
V 2c
r2s .
Relations between profiles:
• EOS & EOM: p(r) = −T ln`
1 − ρ(r)´
,dp
dr= −2Dρ(r)
Z r
0dr′
„
r′
r
«D−1
ρ(r′),
• U(r) = T ln
„
1 − ρ(r)
1 − ρ(0)
ρ(0)
ρ(r)
«
. Reference value: U(0) = 0.
11/9/2017 [selgra5 – 5/22]
Profiles at T = 0: Solid Cluster
• ρ(r) =
(
1 : 0 ≤ r < 1,
0 : r > 1,
• p(r) =
(
1 − r2 : 0 ≤ r < 1,
0 : r > 1,
• U(r) = r2 : 0 ≤ r ≤ 1,
U(r) =
8
>
<
>
:
2r − 1 : D = 1,
2 ln r + 1 : D = 2,
3 − 2/r : D = 3,
9
>
=
>
;
r ≥ 1.0 1 2 3
0
1
2
3
r`
ΡHr`L
p`Hr`L
U`Hr`L
D = 1 D = 2
D = 3
Escape velocity finite in D > 2.
Stable clusters of finite mass exist
• at all T (D = 1),
• at T < Tc (D = 2),
• at T = 0 only (D = 3).
11/9/2017 [selgra6 – 6/22]
Differential Equations for Profiles
Analysis of EOS & EOM at T > 0:
• density: ρ′′ +D − 1
rρ′ − 1 − 2ρ
ρ(1 − ρ)(ρ′)2 +
2DT
ρ2(1 − ρ) = 0, ρ′(0) = 0,
• pressure: p′′ +D − 1
rp′ − 1 − ρ
T ρ(p′)2 + 2D(ρ)2 = 0, p′(0) = 0,
• potential: U ′′ +D − 1
rU ′ − 2Dρ = 0, U(0) = U ′(0) = 0,
with ρ(r) = 1 − e−p(r)/T ; ρ(r) =1
e(U(r)−µ)/T + 1, µ
.=
µ
psVc= −T ln
„
1 − ρ(0)
ρ(0)
«
.
Additional boundary conditions:
• density: DZ ∞
0dr rD−1ρ(r) = 1,
• pressure: 2D(D − 1)
Z ∞
0dr r2D−3p(r) = 1,
• in D = 1 only: p(0) = 1, ρ(0) = 1 − e−1/T .
11/9/2017 [selgra7 – 7/22]
Ideal Classical Gas Limit (1)
ICG assumption: low density ρ(r) ≪ 1 realized throughout the cluster.
ODE for density profile:ρ′′
ρ+
D − 1
r
ρ′
ρ−
„
ρ′
ρ
«2
+2DT
ρ = 0,
with boundary conditions as in ILG.
Analytic solutions for finite clusters:
• D = 1: ρ(r)ICG =1
Tsech2
„
r
T
«
,
solution normalized at all T ,
exponential decay: ρ(r) ∼ e−2r/T .
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
r`
Ρ
HdL
T`= 0, 0.1,
0.5, 1.0, 2.0
• D = 2: ρ(r)ICG =4c
T
"
1 + 2c
„
r
T
«2#−2
,
solution normalizable only for Tc =1
2,
power-law decay: ρ(r) ∼ r−4.
11/9/2017 [selgra8 – 8/22]
Ideal Classical Gas Limit (2)
ICG in D = 3 confined to sphere of radius R.= R/rs.
Rescaled variables: r.= r/R, ρ
.= R3ρ, T
.= RT .
ODE:ρ′′
ρ+
2
r
ρ′
ρ−
„
ρ′
ρ
«2
+6ρ
T= 0, ρ′(0) = 0, 3
Z 1
0dr r2ρ(r) = 1.
Normalizable solutions exist for T ≥ TC = 0.794422 . . .
Vega and Sanchez (2006) predict
• spinodal point: TC = 0.79442,
• transition point: TT = 0.8215,
based on computer simulations.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0
r
Ρ
T = T c
T = 0.8, 0.9, 1.0, 1.1
11/9/2017 [selgra22 – 9/22]
ILG Profiles in D = 1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r`
p`
HaL
T`= 0, 0.1,0.5, 1.0, 2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r`
Ρ
HbL
T`= 0, 0.1,
0.5, 1.0, 2.0
Analytic ICG profile:
ρ(r)ICG =1
Tsech2
„
r
T
«
Exact ILG asymptotics:
ρ(r)as ∼ e−2r/T : r ≫ 1
0 1 2 3 4 5 60.01
0.02
0.05
0.10
0.20
0.50
1.00
r`
Ρ
HcLT`= 1.0, 2.0, 3.0
11/9/2017 [selgra9 – 10/22]
ILG Profiles for D = 2: Unconfined Space
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r`
p`
HaL
T`= 0.1, 0.2,
0.3, 0.4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r`
Ρ
HbL
T`= 0.1, 0.2,
0.3, 0.4
Critical ILG profile: T . Tc = 12
ρ(r)ICG =4c
T
"
1 + 2c
„
r
T
«2#−2
Exact ILG asymptotics: 0 ≤ T ≤ Tc
ρ(r)as ∼ r−2/T : r ≫ 11.0 5.02.0 3.01.510-8
10-6
10-4
0.01
1
r`
Ρ
HcL
T`= 0.1, 0.2,
0.3, 0.4
11/9/2017 [selgra10 – 11/22]
ILG Profiles for D = 2: Confined Space
1 2 5 10 20 50 100
10-7
10-5
0.001
0.1
r`
Ρ T`= 0.45
T`= 0.5
HaL
1 2 5 10 20 50 10010-6
10-5
10-4
0.001
0.01
r`
Ρ T`= 0.55
HbL
ILG in D = 2 confined to disk of radius R = 20, 30, 50, 100.
• T = 0.45: stable cluster,
• T = 0.5: stability limit,
• T = 0.55: unstable cluster.
11/9/2017 [selgra23 – 12/22]
ILG Profiles for D = 3: Confined Space
ILG in D = 3 confined to sphere of radius R.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.001
0.0050.010
0.0500.100
0.5001.000
r`
Ρ
T`= 0.21, 0.22, 0.23,
0.235, 0.24, 0.25
0 1 2 3 4
0.001
0.0050.010
0.0500.100
0.5001.000
r`
Ρ
T`= 0.19, 0.195, 0.20,
0.205, 0.21
R = 3
• one normalizable solution at all T ,
• gradual cluster formation,
• no phase transition.
R = 4
• three normalizable solutions in T interval,
• two mechanically stable solutions,
• free energy minimum switches,
• first-order phase transition.
11/9/2017 [selgra24 – 13/22]
ILG Profiles for D = 3: First-Order Transition
ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé
é
ééééééééééééé éé ééééééééééééééé ééééééééééééééé é éééééééééééééé
é
ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
ΡH0L
T`t
ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé
0 0.01
0.14
0.15
0.16
0.17 ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé
0.99 1.
0.14
0.15
0.16
0.17
HaL
ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé
é
éééééééééééééééééééééééééééééé
0 0.1 0.2 0.30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1�R`
T`t
HbL
Guggenheim plot transition temperature Tt
• critical temperature: Tc . 0.23,
• critical radius: Rc & 3.1
11/9/2017 [selgra25 – 14/22]
Open ILG Clusters
• Closed system: finite mass, confined or unconfined space.
ρ′′ +D − 1
rρ′ − 1 − 2ρ
ρ(1 − ρ)(ρ′)2 +
2DT
ρ2(1 − ρ) = 0, ρ′(0) = 0, DZ R
0dr rD−1ρ(r) = 1.
r.=
r
rs, p
.=
p
ps, T
.=
kBT
psVc, U .
=Umc
psVc, rDs =
NVcDAD
, ps =ADG
2Dm2
c
V 2c
r2s .
• Open system: finite or infinite mass, unconfined space.
ρ′′ +D − 1
rρ′ − 1 − 2ρ0ρ
ρ(1 − ρ0ρ)
`
ρ′´2
+ ρ2(1 − ρ0ρ) = 0, ρ(0) = 1, ρ′(0) = 0.
r.=
s
2Dρ0
Tr, ρ
.=
ρ
ρ0.
• ICG limit ρ0 → 0:
ρ′′
ρ+
D − 1
r
ρ′
ρ−
„
ρ′
ρ
«2
+ ρ = 0 ⇒ ρ(r) ∼
8
>
>
>
<
>
>
>
:
e−√
2 r : D = 1,
r−4 : D = 2,
r−2 : D = 3.
11/9/2017 [selgra26 – 15/22]
Open ILG Cluster in D = 1
Use inverse function r(ρ) for analytic solution:
• r′′ +1 − 2ρ
ρ(1 − ρ)r′ − 1
ρ0ρ2(1 − ρ)(r′)3 = 0, ρ = ρ0ρ, r(ρ0) = 0, r′(ρ0) = −∞
• r(ρ) =
r
ρ0
2
Z 1
ρ
dρ′
ρ′(1 − ρ0ρ′)q
ln 1−ρ0ρ′
1−ρ0
: 0 ≤ ρ ≤ 1
• ρ(r)as ∼ e−ν1(ρ0)r
• ν1(ρ0) =
s
− 2
ρ0ln(1 − ρ0)
• ρ(r)ICG = sech2
„
r√2
«
• finite mass, exponential decay law
2 4 6 8 1010-6
10-5
10-4
0.001
0.01
0.1
1
r�
Ρ�
Ρ0 = 0, 0.9,0.99, 0.999
11/9/2017 [selgra27 – 16/22]
Open ILG Cluster in D = 2
Numerical solution:
• ρ(r)as ∼ r−ν2(ρ0), ν2(ρ0)ρ0→1−→ −2 ln(1 − ρ0)
• ρ(r)ICG =1
`
1 + r2/8´2
• finite mass, algebraic decay law
0.1 1 10 100 100010-9
10-7
10-5
0.001
0.1
r�
Ρ�
Ρ0 = 0, 0.9,0.99, 0.999 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•
•
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
5
10
15
20
ρ0
ν2
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
0.5 0.75 1.
1
2
3
4
ν2 / |2 ln(1-ρ0)|
11/9/2017 [selgra28 – 17/22]
Open ILG Cluster in D = 3
Numerical solution:
• ρ(r)as ∼ 2
r2
• infinite mass, algebraic decay law
• ICG: Bonnor-Ebert sphere◦ gaseous core◦ gaseous halo
• ILG: emerging horizon◦ condensed matter core◦ gaseous shell◦ gaseous halo
0.1 1 10 100 1000 10410-8
10-6
10-4
0.01
1
r�
Ρ�
Ρ0 = 0, 0.9, 0.99, 0.999
11/9/2017 [selgra29 – 18/22]
ICG Asymptotics in D ≥ 3
ρ′′
ρ+
D − 1
r
ρ′
ρ−
„
ρ′
ρ
«2
+ ρ = 0 ⇒ ρ(r) ∼
8
>
>
>
<
>
>
>
:
e−√
2 r : D = 1,
r−4 : D = 2,
r−2 : D = 3.
• ρ(r) ∼ ar−α; α = 2, a = 2(D − 2).
• infinite mass, algebraic decay law
0.1 1 10 100 1000 104
10-7
10-5
0.001
0.100
r˜
ρ˜
D = 3
(a)
1 2 5 10 20 500.001
0.005
0.010
0.050
0.100
0.500
1
r˜
ρ˜
D = 3, 4, 5
(b)
11/9/2017 [selgra30 – 19/22]
ICG Asymptotics in 2 ≤ D ≤ 3
• infinite mass, crossover between algebraic decay laws
0.1 1 10 100 1000 104
10-
10-5
0.001
0.100
r˜
ρ˜
D = 2.5
(a)
0.1 1 10 100 1000 104
10-7
10-5
0.001
0.100
r˜
ρ˜
D = 2.3
(b)
0.1 1 10 100 1000 104
10-7
10-5
0.001
0.100
r˜
ρ˜
D = 2.1
(c)
0.1 1 10 100 1000 104
10-
10-
0.001
0.100
r˜
ρ˜
D = 2.05
( )
11/9/2017 [selgra31 – 20/22]
ICG Asymptotics in 1 ≤ D ≤ 2
ρ′′
ρ+
D − 1
r
ρ′
ρ−
„
ρ′
ρ
«2
+ ρ = 0 ⇒ ρ(r) ∼
8
>
>
>
<
>
>
>
:
e−√
2 r : D = 1,
r−4 : D = 2,
r−2 : D = 3.
• ρ(r) ∼ exp“
−brβ”
; β = 2 −D, limD→1
b(D) =√
2, limD→2
β(D)b(D) = 4.
• finite mass, stretched exponential decay law
0 6 8 10 12-20
-15
-10
-5
0
r˜ 2-D
lnρ˜
� = �� ���� ���� ���
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00
1
2
3
4
5
6
7
D
b(D)
(2-D)·b(D)
11/9/2017 [selgra32 – 21/22]
Outlook
Rotating clusters:
• Competition between gravitational and centrifugal forces.
• Multivalued functional relation between ~L and ~ω.
• instabilities of density profiles:
- binary configurations in D = 1,- ring configurations in D = 2,- effects of hysteresis.
Quantum gas clusters:
• ODE for fugacity profile z(r).
• Comparison between FD and BE gases, CS generalization.
• FD Pauli principle vs ILG hardcore repulsion.
• Relativistic effects.
• BE condensation vs gravitational collapse.
• FD cluster drifting into region of magnetic field.
11/9/2017 [selgra33 – 22/22]