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7/23/2019 Slides Aulas Teoricas 15 e 16
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RESUMO DAS AULAS ANTERIORES
Anlise de circuitos RC/RL
um s condensador ou bobine, resistncias, fontes de tenso e de corrente
resposta ao degrau como varia v(t) quando um condensador descarregado (Vc=0) se liga a uma fonte no
ideal (fonte de tenso ideal em srie com uma resistncia interna)?
v(t) = Vf - Vf et/RC (Vf a tenso em regime permanente)
resposta completa
Sinais e fasores - 1
como var a v quan o um con ensa or com a guma carga parc a ra uz a numatenso Vi) carregado ou descarregado tendendo para uma tenso Vf (final)?
v(t) = Vf + (Vi Vf ) . et t0RC t t0 e v(t0- ) = v(t0+)
i(t) = If + (Ii If ) . et t0L/R t t0 e i(t0- ) = i(t0+)
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ONDAS SINUSOIDAIS...
Sinais e fasores - 2
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ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Anlise de circuitos em corrente alternada
Anlise de circuitos cuja alimentao efectuada comrecurso a fontes de corrente alternada sinusoidal
As fontes de corrente alternada geram sinais
Sinais e fasores - 3
(tenso ou corrente) que so sinais sinusoidais
Vamos estudar apenas a resposta em regimepermanente ou resposta forada
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Vmv v(t) = Vmcos(t+)
SINAIS SINUSOIDAIS
Sinal sinusoidal
V - am litude mxima
Sinais e fasores - 4
-Vm
t0
m
T
- ngulo de fase (rad, graus)
- frequncia angular (rad/s)
T - perodo do sinal (s)f - frequncia (Hz, s-1)
= 2f = 2/T
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Vmv
VmcostVmcos(t+)
SINAIS SINUSOIDAIS Fase
Sinais e fasores - 5
t0/
-VmDiferena de fase entre dois sinais: diferena de tempo entre as respectivaspassagens por zero; pode medir-se em unidades angulares: 1 perodo so360 ou 2: 15 com f=50Hz equivale a 20 ms (perodo) / 360 *15 = 0.833 ms
fase mede-se em radianosfrequncia angular mede-se em rad/s
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SINAIS SINUSOIDAIS
Valor mdio de um sinal peridico v(t) com perodo T
0
0
1V ( )t T
medt
v t dtT
+
= O valor mdio de um
sinal sinusoidal nulo
Sinais e fasores - 6
Valor eficaz de um sinal peridico v(t) com perodo T
0
0
21V V ( )t T
ef rmst
v t dt T
+
= =
O valor eficaz de um
sinal sinusoidal mV
2
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SINAIS SINUSOIDAIS
Interpretao do valor eficaz de um sinal peridicoO valor eficaz de um sinal peridico (tenso ou corrente) igual aovalor do sinal contnuo que fornece a mesma potncia mdia a umaresistncia R
+ +
Sinais e fasores - 7
ef
Se a soma de sinais sinusoidaisde frequncias diferentes, ento o seu valor eficaz
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 nV V V ... Vef ef ef ef = + + +
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nv t v t v t v t = + + +
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SINAIS SINUSOIDAIS
Na rede elctrica domstica:
V = 230V (valor eficaz ou rms)
f = 50Hz (frequncia)Tenso instantnea: v(t) = 230. . cos( 2 . 50 . t + )2
Exemplo
Sinais e fasores - 8
A corrente instant nea numa resist ncia de 100 :i(t) = 230. .cos( 2 . 50 . t + ) / 100
Irms = Vrms / 100 = 2.3A (lei de Ohm)
Os multmetros bsicos na funo AC medem o valoreficaz de tenses e correntes sinusoidais numa gama defrequncias em torno de 50 Hz
2
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES
Resposta a sinais sinusoidais
div Ri L= +
L
t= 0
i(t)+
v(t)
R
( )( ) V cos
(0) 0
mv t t
i
= +
=
Equao diferencial
Sinais e fasores - 9
( ) ( )2 2 2 2 2 2
V V( ) cos cos
Rt
m mLi t e t
R L R L
= + +
+ +
Resposta do circuito ( corrente i(t) ) ao sinal sinusoidal v(t)
resposta transitria resposta em regimepermanente
onde: = atan( L / R )
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES
L
t= 0
i(t)+
v(t)
R
Exemplo
Vm = 230 * = 325.3 V2R = 1
Sinais e fasores - 10
( ) ( )2 2 2 2 2 2
V V( ) cos cos
Rt
m mLi t e t R L R L
= + +
+ +
L = 0.1 Hf = 50 Hz (= 314.15 rad/s)
constante de tempo: L/R = 0.1s
v(t) = 325.3 cos( 314.15 t + 45)
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES Exemplo
L
t= 0
i(t)+v(t)
R
Vm = 230 * = 325.3 V2
Sinais e fasores - 11
( ) ( )2 2 2 2 2 2
V V( ) cos cos
Rt
m mLi t e t R L R L
= + +
+ +
regime permanente
constante de tempo: L/R = 0.1s
R = 1
L = 0.1 Hf = 50 Hz (= 314.15 rad/s)v(t) = 325.3 cos( 314.15 t + 45)
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES Exemplo
L
t= 0
i(t)+
vL(t)
R
v(t)v(t)
Sinais e fasores - 12
( ) ( )2 2 2 2 2 2
V V( ) cos cos
Rt
m mLi t e t R L R L
= + +
+ +
.
constante de tempo: L/R = 0.1s
regime transitrio (tmax = )
i(t)
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES Exemplo
L
t= 0
i(t)+
vL(t)
R
v(t)
Sinais e fasores - 13
( ) ( )2 2 2 2 2 2
V V( ) cos cos
Rt
m mLi t e t R L R L
= + +
+ +
.
regime permanente (tmax 5)
Em regime permanente, atenso e a corrente nabobine tm uma diferena
de fase de 90
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES Exemplo
L
t= 0
i(t)+
vL(t)
R
v(t)
5 ms ( do perodo ou 90 de fase)
Sinais e fasores - 14
( ) ( )2 2 2 2 2 2
V V( ) cos cos
Rt
m mLi t e t R L R L
= + +
+ +
.
regime permanente (tmax 5)
Em regime permanente, atenso e a corrente nabobine tm uma diferena
de fase de 90
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RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES
Resposta a sinais sinusoidais (regime permanente)
A resposta em regime permanente um sinal sinusoisal
A frequncia da resposta igual frequncia do sinal da
Sinais e fasores - 15
A amplitude mxima da resposta em geral difere daamplitude do sinal de entrada
O ngulo de fase da resposta geralmente difere do ngulode fase do sinal de entrada
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Steinmetz (1865 - 1923)
Sinais e fasores - 16
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Domnio dos
tempos(expresso temporal)
Domnio das
frequncias(fasor, transformada fasorial
ou de Steinmetz
FASORES
Transformada fasorial
Sinais e fasores - 17
( )( ) V cosmv t t = + V V
V cos V sen
j
m m
m m
e
j
= =
= +
V
O fasor um nmero complexodeterminado a partir da amplitude e da fase dafuno sinusoidal
V j
me
=V
( )( ) V cosmv t t = +
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FASORES
Um fasor um nmero complexo
Representa um vector no plano complexo Esse vector gira no sentido anti-horrio
com velocidade angular rad / s (=2f)
fasor
Re
Im
Sinais e fasores - 18
projeco do fasor (vector) correspondenteno eixo real
Retira a informao de frequncia do sinal
Em regime permanente e com fontessinusoidais todos os sinais tm a mesmafrequncia
v(t) = Vm.cos(t+)
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FASORES
Um fasor um nmero complexo
Representa um vector no plano complexo Esse vector gira no sentido anti-horrio
com velocidade angular rad / s (=2f)
fasor
Re
Im
Sinais e fasores - 19
projeco do fasor (vector) correspondenteno eixo real
Retira a informao de frequncia do sinal
Em regime permanente e com fontessinusoidais todos os sinais tm a mesmafrequncia
v(t) = Vm.cos(t+)
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RESUMO AULA 17
Introduo anlise de circuitos AC
resposta de circuitos RL e RC a sinais sinusoidais
reposta em regime permanente
representao de sinais sinusoidais no domnio das frequncias - fasores
Sinais e fasores - 20
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FASORES
( )( )( )
( ) V cos
V
m
j t
m
v t t
e
+
= +
= V Vjm m
e = = V
( )( )V V cosjm me F t = = +V
Transformadafasorial directa
Sinais e fasores - 21
( )
( )
V
V
j t jm
j j t
m
e e
e e
=
=
V cos V senm mj = +
( ) ( ) ( )1 V V V cosj j j tm m mF e e e t = = +
Transformadafasorial inversa
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Vantagem da representao fasorial
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
R
vs(t)
L
C ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
10= + + +
t
s c
di tv t Ri t L i t dt v
dt C
Sinais e fasores - 22
1s R j Lj C
= + +V I I I
R jL
1/(jC)Vs
I
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FASORES
Resposta a sinais sinusoidais
L
t= 0
i(t)+
v(t)
R
( )( ) I j t
rp mi t e
+=
podemos admitir que a equao dacorrente em regime permanente
.
( )( )( ) V j tmv t e += Sendo
Sinais e fasores - 23
Como os dois sinais devem verificar aequao diferencial do circuito:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
I I V
I V
I V
j t j t j t
m m m
j j t j j tm m
j j t j j t
m m
R e j L e e
R j L e e e e
R j L e e e e
+ + + + =
+ =
+ =
I j j t
me e
( )
V=
jj tme e
R j L
+
( )
VI =
jj m
m
ee
R j L
+
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v(t) i(t)
RELAO FASORIAL V-I Resistncia
i(t)
+ v(t)
R I
+ V
R
Sinais e fasores - 24
T tv(t) = R.i(t) = R.Im cos(t + )
V = R.Im e j
V = R . I
-
Numa resistncia, a tenso e a corrente esto sempre em fase.
.
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RELAO FASORIAL V-I Bobina
i(t)
+ v(t)
L I
+ V
Lv(t) i(t)
i(t) = Im cos(t + )v(t) = L di(t) / dt
v t = -.L.Im.sin t+
Sinais e fasores - 25
v(t) = Ldi/dt V = jLI
Numa bobina, a tenso est avanada de 90 em relao corrente.
t0 T/2 T 2T-T/2
90
v(t) = -.L.Im.cos(t+-90)V = -.L.Im. e j(-90)
V = -.L.Im. e j e-j90
V = j..L.Im. e j
.
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C
RELAO FASORIAL V-I Condensador
i(t)
+ v(t)
C I
+ V
v(t) i(t)
v(t) = Vm cos(t + )i(t) = C dv(t) / dt
i t = -.C.Vm.sin t+
Sinais e fasores - 26
i(t) = Cdv/dt I = jCV ouV=(1/jC)I
Num condensador, a tenso est atrasada de 90 em relao corrente.
-T/2 0 T 2T t
90
i(t) = -.C.Vm.cos(t+-90)I = -.C.Vm.e j(-90)
I = -.C.Vm.e j e-j90
I = j..C.Vm.e j
.
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Relao Impedncia Reactncia
IMPEDNCIA e REACTNCIA
V=ZI
Z = impedncia do elemento de circuito (complexo)
1/Z = Y = admitncia do elemento de circuito
Relao tenso-corrente num elemento passivo
Sinais e fasores - 27
asor aResistncia V= RI R 0
Bobina V = jLI jL L
Condensador V= I/ (jC) 1/(jC) -1/(C)
A unidade SI de impedncia o Ohm () e a unidade SI de admitncia o Siemens (S).
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RELAO DE FASE ENTRE V e I
Num condensador a corrente aparece antes da tenso
Sinais e fasores - 28
A tenso vem antes da corrente numa bobine
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Vantagem da representao fasorial
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
R
vs(t)
L
C ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
10= + + +
t
s c
di tv t Ri t L i t dt v
dt C
Sinais e fasores - 29
1s
R j Lj C
= + +V I I I
R jL
1/(jC)Vs
I
I =Vs
R + jL + 1 / (jC)
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Anlise de circuitos em regime permanente sinusoidal1. substituir o circuito original pela sua representao fasorial, onde:
i) as fontes independentes so representadas pelos
respectivos fasores: v(t) = Vm cos(t+) V = Vm / = Vm ejii) os elementos R, L, C so representados pelas respectivas impedncias:
resistncia: R, bobine: jL, condensador: -j/(C) = 1/(jC)
RESUMO DA AULA 16
Sinais e fasores - 30
.
resistivos (todos os mtodos, exceto os que se referem ao clculo daspotncias envolvidas nos elementos do circuito)
3. resolver sistemas de equaes lineares de nmeros complexos...Matlab/Scilab/Octave operam com nmeros complexos naturalmente...x = 123 + 678j % nmero complexo (real e imaginria)
y = 5.6*exp(1.45j) % nmero complexo (mdulo e fase)r = real(y) % r a parte real de y
g = imag(y) % g a parte imaginria de y
m = abs(x) % m o mdulo de x
a = angle(x) % a o ngulo (fase) de x
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Exemplo 1: calcular i(t)
( ) ( )750cos 5000 30 V
=5000 rad/s
sv t t
= +
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Sinais e fasores - 31
Representaofasorial do circuito
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Exemplo 1
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Sinais e fasores - 32
programa em Matlab:
resultado:
converso de 30 para radianos
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Leis de Kirchhoff (no domnio das frequncias)
+ V2
+
V
+
V
+
V
+ V3 V5 +
I1 II3
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
1 2 3 0
0
+ + =
+ + + =
I I I
V V V V
Sinais e fasores - 33
+ V7 4 5 6 7 0 + =V V V V
As leis de Kirchhoff das tenses permanecem vlidas no domnio dasfrequncias; assim, todos os mtodos antes estudados podem serusados directamente na representao fasorial dos circuitos decorrente alternada.
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I
Associao de impedncias
Zn
Z2 Zn-1
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
eq 1 2 1Z Z Z ... Z Zn n= + + + +
SrieZ1+V
Sinais e fasores - 34
Z2 Zn eq 1 2 1
1 1 1 1 1...
Z Z Z Z Zn n= + + + +
+
V
Paralelo
Z1
eq 1 2 1Y Y Y ... Y Yn n= + + + +
I
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Divisores de tenso / corrente
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
11
1 2
Z
Z Z=
+V V
Diviso de tenso+V2
I+
V Z2
Z1
+ V1
22
1 2
Z
Z Z=
+V V
Sinais e fasores - 35
2 1
11 2 1 2
Z Y
Z Z Y Y= =
+ +I I I
Diviso de corrente
1 22
1 2 1 2
Z Y
Z Z Y Y= =
+ +I I I
Z2Z1
I1 I2I+
V
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Exemplo 2
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
No circuito, determinar as expresses, em regime permanente,
de v, i1, i2 e i3 .
Sinais e fasores - 36
( ) 58cos 2 10 A= si t t( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5
5
1
5
2
5
3
40cos 2 10 36,87 V4cos 2 10 36,87 A
4 cos 2 10 90 A
8cos 2 10 53,13 A
=
=
=
= +
v t ti t t
i t t
i t t
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Exemplo 3
No circuito, determinar o fasor de tenso V0 usandotransformao de fontes.
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Sinais e fasores - 37
36,12 18,84 V
40,74 27,55 V
=
=
0V j
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Circuitos equivalentes
+VTH
ZTH
a
Thvenin
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Sinais e fasores - 38
a
b
Circuito
b
a
IN ZN
b
Norton
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Exemplo 4
Determinar o equivalente de Thvenin do circuito relativamente
aos terminais b e c .
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
a b
Sinais e fasores - 39
c
TH
68 26 V
Z 1,54 10,62
=
=
THV j
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Exemplo 5
Determinar o equivalente de Thvenin do circuito relativamente
aos terminais a e b.
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Sinais e fasores - 40
a
b
TH
97,01 14,03 V
Z 91, 2 38, 4
=
=
THV
j
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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SobreposioQuando os circuitos contm fontes que geram sinais com frequncias
diferentes, obrigatrio usar sobreposio para efectuar a respectivaanlise.
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
2 0.5 F
Sinais e fasores - 41
+
1
+
1 H
- v +
12 cos2tV
5 cos(t+45) V
v(t) = 10.5 cos(2t+137.7) + 3.5 cos(t+32.9) V
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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Diagramas fasoriaisUma vez que as tenses e correntes so representadas por
nmeros complexos, possvel resolver circuitos simples usandoas representaes grficas dos fasores no plano complexo.
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
Im
Sinais e fasores - 42
Re
ANLISE DE CIRCUITOS EM
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43/43
Exemplo 6Analisar o efeito em Vs da adio de um condensador entre osterminais da carga (R2 || L2), admitindo que a tenso VL se mantmconstante.
ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA
R1
+
L1
I IR2VLIR2 IL2
IC
Sinais e fasores - 43
VR1
VL1
I VL
Vs
+
VL
Vs R2 L2I
IL2C
IC
IVL
Vs