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IES Real Instituto de Jovellanos de Gijón Programación Lineal en pruebas PAU de Asturias
Pág. 1
Programación Lineal en las PAU de Asturias – Matemáticas Aplicadas a las CCSS
Jun 94 x = nº de coches vendidos del modelo A y = nº de coches vendidos del modelo B
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 25,1 +=
≥≥
≥+≥−
≤≤
→
≥≥
≥+≥≤≤
0
0
1243
0
10
20
0
0
625,1
10
20
y
x
yx
yx
y
x
y
x
yx
yx
y
x
Jun 95 x = nº de coches fabricados del modelo básico y = nº de coches fabricados del modelo de lujo
Objetivo: Maximizar nº total de coches Función Objetivo: yxN +=
≥≥≤
≥−≤+
→
≥≥≤≥
≤+
0
0
45
0
12032
0
0
45
605,1
y
x
x
yx
yx
y
x
x
yx
yx
Sept 95 x = m² plantados de lechuga y = m² plantados de repollo
Objetivo: Minimizar Tiempo
Función Objetivo: yxT 5045 +=
≥≥
≥+≥+−
≤+
→
≥≥
≥++≥≤+
0
0
2001310
3
40
0
0
10000650500
3
40
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
xy
yx
Jun 96 x = millones de pesetas invertidas en A y = millones de pesetas invertidas en B
Objetivo: Maximizar el Rendimiento
Función Objetivo: yxR 12,009,0 +=
≥≥≤≥
≤+
0
7
2
10
y
yx
x
x
yx
Sept 96 x = nº de clientes interesados en la opción A y = nº de clientes interesados en la opción B
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 7500050000 +=
≥≤+
≤≥
0
20
12
8
x
yx
y
y
Jun 97 x = nº de copias vendidas del disco barato
y = nº de copias vendidas del disco caro
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 18001750 +=
≥≥≥
≥+≤
0
0
500
1500
y
x
xy
yx
y
Sept 97 x = Kilos de pienso A en la dieta y = Kilos de pienso B en la dieta
Objetivo: Minimizar Costes
Función Objetivo: yxC 150100 +=
≥≤+
≥≥+
→
≥≤+
≥
≥+
0
632
12
2
0
3001501002
12
x
yx
y
yx
x
yx
y
yx
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Jun 98 x = nº de unidades producidas de tarta Imperial y = nº de unidades producidas de tarta de Lima
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 15001200 +=
≥≥
≤+≤+
→
≥≥
≤+
≤+
0
0
15
202
0
0
12088
102
1
y
x
yx
yx
y
x
yx
yx
Sept 98 x = nº de unidades pedidas de películas de estreno
y = nº de unidades pedidas de películas nuevas
Objetivo: Minimizar nº total de películas Función Objetivo: yxN +=
≥≥
≥+≥−≤+
→
≥≥
≥+
≥
≤+
0
0
2002
02
94503776
0
0
1002
2
94500370760
y
x
yx
yx
yx
y
x
xy
yx
yx
Jun 99 x = nº de anuncios en televisión y = nº de cuñas radiofónicas
Objetivo: Maximizar nº total de actuaciones publicitarias. Función Objetivo: yxN +=
≥≤≥
≤+
→
≥≤≥
≤+
0
100
50
1010
0
100
50
10000001000001000000
x
y
y
yx
x
y
y
yx
Sept 99 x = nº de traductores de una sola lengua y = nº de traductores de más de una lengua
Objetivo: Minimizar Gastos Función Objetivo:
yxG 300000200000 +=
≥≤+
≥≥≤+
→
≥≤+
≥≥≤+
0
302
1
50
0
12000000800000400000
1
50
x
yx
yx
y
yx
x
yx
yx
y
yx
Jun 00 x = nº de unidades de muebles modelo clásico y = nº de unidades de muebles modelo funcional
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 23 +=
≥≥
≤+≤+
0
0
153
102
y
x
yx
yx
Sept 00 x = nº de faldas vendidas y = nº de pantalones vendidos
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 50003000 +=
≥≥
≥+−≤+
→
≥≥≥
≤+
0
0
02
50002
0
0
2
50002
y
x
yx
yx
y
x
xy
yx
Jun 01 x = nº de unidades de plantas de interior y = nº de unidades de plantas de exterior
Objetivo: Minimizar el Precio Función Objetivo: yxP 200100 +=
≥+≤+
≥≥
→
≥+≤+
≥≥
30056
24043
30
20
30005060
48008060
30
20
yx
yx
y
x
yx
yx
y
x
Sept 01 x = nº de préstamos personales
y = nº de préstamos hipotecarios
Objetivo: Maximizar la Comisión Función Objetivo:
yxC 10000040000 +=
≥≤+
≤+−≤≥
→
≥≤+
≤
≤≥
0
402
02
8
2
0
60000030000150002
8
2
x
yx
yx
y
y
x
yx
xy
y
y
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Jun 02 x = nº de empresas captadas como clientes y = nº de particulares captados como clientes
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 179286 +=
≥≤+
≥+−≥
→
≥≤+
≥≥
0
90
02
20
0
90
2
20
y
yx
yx
x
y
yx
xy
x
Sept 02 x = nº de ventas de teléfonos móviles con contrato de alta y = nº de ventas de teléfonos móviles con tarjeta
Objetivo: Maximizar la Comisión Función Objetivo: yxC 1015 +=
≥≥
≥−≤+
≤
→
≥≥
+≥≤+
≤
0
0
603
100
0
0
21206
100
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
Jun 03 x = nº de pedidos de trajes de fabricación nacional y = nº de pedidos de trajes de importación
Objetivo: Minimizar el nº total de trajes Función Objetivo: yxN +=
≥≤+≥−
≤≥
→
≥≤+
≥≤≥
0
9053
03
20
10
0
36002001203
20
10
y
yx
yx
x
x
y
yx
yx
x
x
Sept 03 x = nº de autobuses contratados y = nº de microbuses contratados
Objetivo: Minimizar el nº total de vehículos Función Objetivo: yxN +=
≥≥
≥+≥+−
≤≤
→
≥≥
≥+
+≥
≤≤
0
0182
0410
16
0
04502550
)(100
2010
16
y
xyx
yxy
x
y
xyx
yxy
y
x
Jun 04 x = nº de cámaras de vigilancia y = nº de alarmas
Objetivo: Maximizar el nº total de dispositivos Función Objetivo: yxN +=
≤+≥≤≥
→
≤+≥≤≥
722
6
15
6
360005001000
6
15
6
yx
y
x
x
yx
y
x
x
Sept 04 x = nº de ordenadores portátiles a comprar y = nº de ordenadores de sobremesa a comprar
1er Objetivo: Maximizar el nº total de ordenadores Función Objetivo: yxN +=
2º Objetivo: Minimizar el nº de portátiles Función Objetivo: xP =
≥≥
≤+≥−
≥+
→
≥≥
≤+
+≥
≥+
0
0
882
09
30
0
0
8800010002000
)(100
1030
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yxx
yx
Jun 05 x = nº de sindicalistas y = nº de independientes
Objetivo: Maximizar nº de independientes Función Objetivo: yN =
≥≥
≥+−≥−
≤+≥+
→
≥≥
≥
+≥
≤+≥+
0
004
02320
10
0
04
)(100
4020
10
y
xyy
yxyx
yx
y
x
xy
yxx
yx
yx
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Sept 05 x = nº de paquetes de café normal y = nº de paquetes de café descafeinado
1er Objetivo: Maximizar el nº paquetes de café descafeinado Función Objetivo: yD =
2º Objetivo: Maximizar el nº paquetes de café normal Función Objetivo: xN =
≥≥
≥−≥+−
≤+
→
≥≥≥
≥
≤+
0
0
02
05
210
0
0
2100
20210
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
xy
yx
Jun 06 x = nº de aulas pequeñas habilitadas
y = nº de aulas grandes habilitadas
1er Objetivo: Minimizar el nº de aulas pequeñas Función Objetivo: xP =
2º Objetivo: Maximizar la capacidad total Función Objetivo: yxC 12060 +=
≥≤≥
≤+−≥+
→
≥≤≥
+≤
≥+
0
15
1
04
8
0
15
1
)(100
258
x
x
y
yx
yx
x
x
y
yxy
yx
Sept 06 x = litros de gasóleo A pedidos y = litros de gasóleo B pedidos
Objetivo: Minimizar el Coste del pedido Función Objetivo: yxC 7,09,0 +=
≥≥+−
≥+≤≥
→
≥+≥
≥+≤≥
0
1000
5000
3600
1000
0
1000
5000
3600
1000
y
yx
yx
y
x
y
xy
yx
y
x
Jun 07 x = nº de empleados con contrato eventual y = nº de empleados con contrato fijo
1er Objetivo: Maximizar el nº total de contratados Función Objetivo: yxN +=
2º Objetivo: Minimizar el nº de contratos eventuales Función Objetivo: xE =
≥≤−
≤≥
≤+
→
≥+≤
≤≥
≤+
0
14
24
10
480158
0
14
24
10
480158
x
yx
y
y
yx
x
yx
y
y
yx
Sept 07 x = m² dedicados a aparcamiento
y = m² dedicados al área recreativa
1er Objetivo: Maximizar el Coste Función Objetivo: yxC 4515 +=
2º Objetivo: Maximizar los m² de aparcamiento Función Objetivo: xA =
≥≤−≥−
≥≤+
→
≥+≤+≥
≥≤+
0
700
300
150
1100
0
700
300
150
1100
x
yx
yx
y
yx
x
yx
yx
y
yx
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Jun 08
x = nº de farolas colocadas y = nº de jardineras colocadas
≥≥
≥+−≤+−
≤≤
≥+
→
≥≥
+⋅≥
≤
≤≤
≥+
0
0
04
03
12
40
20
0
0
)(100
203
12
40
20
y
x
yx
yx
y
x
yx
y
x
yxy
xy
y
x
yx
1er Objetivo: Maximizar la diferencia entre farolas y jardineras Función Objetivo: yxD −=
5515)5 ,15(
241236)12 ,36(
281240)12 ,40(
301040)10 ,40(
12416)4 ,16(
=−=→=−=→=−=→=−=→
=−=→
D
D
D
D
D
La mayor diferencia (30) se consigue poniendo 40 farolas y 10 jardineras.
2º Objetivo: Maximizar el nº total de piezas colocadas Función Objetivo: yxN +=
20515)5 ,15(
481236)12 ,36(
521240)12 ,40(
501040)10 ,40(
20416)4 ,16(
=+=→=+=→=+=→=+=→
=+=→
N
P
N
N
N
No, se colocarían más piezas (52 piezas) poniendo 40 farolas y 12 jardineras
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Sept 08
X = nº de chalets Y = nº de bloques de pisos
≥≥≥≤
≤+−≤+
→
≥≥≥≤
+⋅≤
≤+
0
0
2
12
032
15
0
0
2
12
)(100
40
15
y
x
y
x
yx
yx
y
x
y
x
yxy
yx
Pueden construirse 10 chalets y 4 bloques de pisos porque el punto P(10, 4) pertenece a la región factible, como se ve en el gráfico.
Objetivo: Maximizar la diferencia entre chalets y pisos Función Objetivo: yxD −=
369)6 ,9(
9312)3 ,12(
10212)2 ,12(
123)2 ,3(
=−=→=−=→=−=→
=−=→
D
D
D
D
La mayor diferencia (10) se consigue construyendo 12 chalets y 2 bloques de pisos.
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Jun 09
X = nº de lotes de alimentos Y = nº de lotes de medicamentos
≥≤+≥+
≤≥
→
≥≤+≥+
≤≥
0
162
122
8
4
0
3224
2424
8
4
x
yx
yx
y
y
x
yx
yx
y
y
Pueden enviarse 4 lotes de alimentos y 5 lotes de medicamentos porque el punto P(4, 5) pertenece a la región factible, como se ve en el gráfico.
Objetivo: Maximizar el nº total de lotes Función Objetivo: yxN +=
1082)8 ,2(
1284)8 ,4(
1046)4 ,6(
844)4 ,4(
=+=→=+=→=+=→=+=→
N
N
N
N
Se maximizará (12) el número total de lotes enviando 4 de alimentos y 8 de medicamentos.
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Sept 09
X = nº de auxiliares en servicio de corta estancia Y = nº de auxiliares en servicio de planta
≥≥
≥+−≤+
→
≥≥
+≥≤+
0
4
8
24
0
4
8
24
y
x
yx
yx
y
x
xy
yx
1er Objetivo: Minimizar el nº total de auxiliares yxN +=
24204)20 ,4(
24168)16 ,8(
16124)12 ,4(
=+=→=+=→=+=→
N
N
N
Minimizará (16) el personal combinando 4 auxiliares en servicio de corta estancia y 12 en planta.
2º Objetivo: Maximizar el nº de auxiliares de corta estancia Función Objetivo: xC =
4)02 ,4(
8)16 ,8(
4)21 ,4(
=→=→=→
C
C
C
Maximizará (8) el número de auxiliares en servicio de corta estancia combinando 4 de ellos con 12 en planta.
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Jun 10 Fase general
X = nº de raciones de fabada tradicional Y = nº de raciones de fabada light
≥≥
≤+≤+
≥
→
≥≥
≤+≤+
≥
0
0
1242
11001110
4
0
0
620050100
11000110100
4
y
x
yx
yx
y
y
x
yx
yx
y
1er Objetivo: Maximizar el nº total de raciones yxN +=
1001000)001 ,0(
1028022)08 ,22(
64460)4 ,60(
440)4 ,0(
=+=→=+=→
=+=→=+=→
N
N
N
N
Maximizará (N=102) el número total de fabadas preparando 22 tradicionales y 80 light.
2º Objetivo: Maximizar el nº de raciones de fabada tradicional Función Objetivo: xT =
0)001 ,0(
22)08 ,22(
60)4 ,60(
0)4 ,0(
=→=→
=→=→
T
T
T
T
Maximizará (T = 60) el número de fabadas tradicionales preparando 60 tradicionales y 4 light.
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Jun 10 Fase general
x = nº de días utilizando energía eólica y = nº de días utilizando energía eléctrica 1er Objetivo: Minimizar Gastos Función Objetivo: yxG 25001000 +=
2ª Objetivo: Minimizar el nº de días de abastecimiento Función Objetivo: yxD +=
≥≥
≤+≥+≥+
→
≥≥
≤+≥+≥+
0
0
20
609
182
0
0
20
6009010
3604020
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
Jun 10 Fase específica
X = nº de niños Y = nº de adultos
≥≥
≤+−≤−≤+
→
≥≥≤≤
≤+
0
0
02
0
300
0
0
2
300
y
x
yx
yx
yx
y
x
xy
yx
yx
1er Objetivo: Minimizar Ganancias Función Objetivo: yxG 3015 +=
€75002003010015)002 ,100(
€67501503015015)150 ,150(
0030015)0 ,0(
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
=⋅+⋅=→
G
G
G
Maximizará (7500€) sus ganancias vendiendo 100 entradas de niños y 200 de adultos.
2ª Objetivo: Maximizar el nº de días Función Objetivo: xN =
100)002 ,100(
150)150 ,150(
0)0 ,0(
=→=→
=→
N
N
N
Maximizará (150) el número de niños vendiendo 150 entradas de niños y 150 de adultos.
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Jun 10 Fase específica
x = nº de mesas que debe fabricar diariamente y = nº de sillas que debe fabricar diariamente
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 50100 +=
≥≥
≤+≤+
≤+
→
≥≥
≤+≤+
≤+
0
0
183
8
142
0
0
183
3244
142
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
Sept 10 Fase general
X = nº de tartas Y = nº de bizcochos
≤+≥≥
802
10
20
yx
y
x
1er Objetivo: Minimizar Costes Función Objetivo: yxC 1215 +=
€66030122015)03 ,20(
€102010126015)01 ,60(
€42010122015)01 ,20(
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
C
C
C
Minimizará los costes (420€) elaborando 20 tartas y 10 bizcochos.
2º Objetivo: Maximizar nº total de productos elaborados Función Objetivo: yxN +=
503020)03 ,20(
701060)01 ,60(
301020)01 ,20(
=+=→=+=→=+=→
N
N
N
Maximizará el nº de productos elaborados fabricando 60 tartas y 10 bizcochos.
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Sept 10 Fase específica
X = nº de helados Y = nº de flanes
≥≥≤
≥−≥+
→
≥≥≤
+≥≥+
0
0
14
2
10
0
0
14
2
10
y
x
x
yx
yx
y
x
x
yx
yx
Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 23 +=
€264263)4 ,6( =⋅+⋅=→ I
€3002103)0 ,10( =⋅+⋅=→ I
€4202143)0 ,14( =⋅+⋅=→ I
€66122143)21 ,14( =⋅+⋅=→ I
Maximizará sus ingresos sirviendo 14 helados y 12 flanes. Los ingresos serán de 66€.
Junio 11 Fase
general
X = nº de entrevistados españoles Y = nº de entrevistados extranjeros
( )
≥≥
≥+−≤
≥+
→
≥≥
+≥
≤≥+
0
0
09
1000
2300
0
0100
10
1000
2300
y
x
yx
y
yx
y
x
yxy
y
yx
Objetivo: Maximizar Costes
Función Objetivo: ( )yxC += 6
( ) €13800100013006)0001 ,1300( =+=→ C
( ) €60000100090006)0001 ,9000( =+=→ C
( ) €13800302 20706)302 ,2070( =+=→ C
El coste máximo será de 60 000€ entrevistando a 9 000 españoles y 1 000 extranjeros.
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Junio 11 Fase específica
X = nº de camiones de hulla Y = nº de camiones de antracita
≥≥
≤+≥
10
0
80
3
y
x
yx
yx
No se podrían extraer 20 camiones de hulla y 15 de antracita porque ese punto no pertenece a la zona factible. Objetivo: Maximizar Ganancias Función Objetivo: yxG 60004000 +=
€360000206000604000)02 ,60(
€340000106000704000)01 ,70(
€180000106000304000)01 ,30(
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
G
G
G
Se maximizarían las ganancias con 60 camiones de hulla y 20 de antracita.
Junio 11 Fase
específica
X = horas semanales de preparación física Y = horas semanales de preparación técnica
≥≥
≥+≥
≤+
0
2
30
5
48
y
xy
yx
x
yx
Objetivo: Minimizar Costes Función Objetivo: yxC 8050 +=
€22502580550)25 ,5(
€36904380550)34 ,5(
€272032801016)23 ,16(
€210020801050)02 ,10(
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
C
C
C
C
El coste mínimo será de 2 100€ dedicando a 10 horas semanales de preparación física y 20 a la preparación técnica.
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Pág. 14
Junio 11 Fase específica
X = nº de faldas Y = nº de pantalones
≥≥≥
≤+
0
4
362
x
y
yx
yx
Objetivo: Minimizar Costes Función Objetivo: yxC 93 +=
€144129123)21 ,12(
€12049283)4 ,28(
€484943)4 ,4(
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
=⋅+⋅=→
C
C
C
El coste mínimo será de 48€ produciendo 4 faldas y 4 pantalones.
Jul 11 Fase general
X = nº de quesos tipo mezcla producidos diariamente Y = nº de quesos tipo tradicional producidos diariamente
≥≥
≥+−≤
≤+
→
≥≥≥
≤≤+
0
0
0
20
1442
0
0
50025
36005025
y
x
yx
x
yx
y
x
xy
x
yx
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 43 +=
€28472403)72 ,0(
€408624203)26 ,20(
€140204203)02 ,20(
€00403)0 ,0(
=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→=⋅+⋅=→
=⋅+⋅=→
B
B
B
B
Se maximizarían los beneficios produciendo 20 quesos de mezcla y 62 tradicionales. El beneficio sería de 408€.
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Pág. 15
Jul 11 Fase específica
X = nº de bicicletas fabricadas mensualmente Y = nº de patinetes fabricados mensualmente
≥≥
≤+≤≤
0
0
10002
600
480
y
x
yx
y
x
Objetivo: Maximizar el nº total de juguetes
Función Objetivo: yxT +=
6006000)600 ,0(
800600200)600 ,200(
52040480)40 ,480(
4800480)0 ,480(
000)0 ,0(
=+=→=+=→
=+=→=+=→
=+=→
T
T
T
T
T
Se fabricarían el mayor número de juguetes haciendo 200 bicicletas y 600 patinetes, lo que hace un total de 800 juguetes.
Jul 11
Fase específica
X = nº de gallinas Y = nº de ocas
≥≥≤
≤+
0
0
5
2005
y
x
yx
yx
Podría albergar 40 gallinas y 20 ocas porque, como se ve en el gráfico, ese punto pertenece a la región factible.
Objetivo: Maximizar el nº total de animales
Función Objetivo: yxT +=
40400)40 ,0(
300200100)200 ,100(
000)0 ,0(
=+=→=+=→
=+=→
T
T
T
El mayor número de animales que puede albergar la granja es de 300, en concreto 100 gallinas y 200 ocas.
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Pág. 16
Jun 12 Fase general
x = nº de bidones de cerveza negra y = nº de bidones de cerveza rubia
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 4060 +=
≥≥
≤+≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+≤+
0
0
22
402
6032
0
0
22
8024
6032
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
Jun 12 Fase específica
X = nº de paquetes tipo A Y = nº de paquetes tipo B
≥≥
≤+→
≥≥
≤+
20
15
20054
20
15
10002520
y
x
yx
y
x
yx
La combinación de paquetes que se pueden transportar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Podría transportar 17 paquetes tipo A y 25 del tipo B porque, como se ve en el gráfico, ese punto P(17,25) pertenece a la región factible.
Objetivo: Maximizar el nº total de paquetes Función Objetivo: yxT +=
452025)20,25(
352015)20,15(
432815)28,15(
=+=→=+=→
=+=→
TC
TB
TA
El mayor número de paquetes que se pueden transportar es de 45, en concreto 25 paquetes tipo A y 20 del tipo B.
Jun 12 Fase general
x = nº de lotes de tapas y = nº de lotes de envases
Objetivo: Maximizar las ganancias Función Objetivo: yxG 40003000 +=
≥≥
≤+≤+
≤+
0
0
650
300034
10002
y
x
yx
yx
yx
Jul 12 Fase específica
x = nº de ratones y = nº de teclados
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 54 +=
≥≥
≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+
0
0
95
36043
0
0
95
36004030
y
x
yx
yx
y
x
yx
yx
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Pág. 17
Jul 12 Fase específica
X = nº de piezas tipo A Y = nº de piezas tipo B
≥≥≤
≤+≥+
→
≥≥≤
≤+≥+
0
0
4
202
6
0
0
4
160168
6
y
x
x
yx
yx
y
x
x
yx
yx
La combinación de piezas que se pueden fabricar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 100120 +=
1000)10 ,0(
1280800480)8 ,4(
680200480)2 4,(
600)6 ,0(
=→=+=→=+=→
=→
BD
BC
BB
BA
Obtendrá un máximo beneficio de 1280€ fabricando 4 piezas del tipo A y 8 piezas del tipo B.
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Pág. 18
Jun 13 Fase general
x = nº casas tipo A construídas y = nº casas tipo B construídas
≥≥≥
≤+
→
≥≥≥
≤+
xy
y
x
yx
xy
y
x
yx
3
18
4
502
3
18
4
10024
El número de casas que se pueden construir de cada tipo son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
No podrá construir 5 casas tipo A y 11 tipo B porque, como se ve en el gráfico, ese punto no pertenece a la región factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente únicamente cumple la segunda de ellas.
Objetivo: Maximizar los Beneficios Función Objetivo: yxB 00060000100 +=
€0004801),4(
€0009202)42,4(
€0008002)00(
€0006801),6(
=→=→=→
=→
BD
BC
BB
BA
18
3 ,1
18
Obtendrá un máximo beneficio de 2 920 000€ construyendo 4 casas del tipo A y 42 casas del tipo B
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Pág. 19
Jun 13 Fase específica
x = nº piezas fabricadas por la máquina A y = nº piezas fabricadas por la máquina B
≥≥≥≤+≥+
0
0
100
30
y
x
yxyx
yx
El número de piezas que pueden confeccionar semanalmente con cada máquina son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Objetivo: Minimizar el Consumo de Energía.
Función Objetivo: yxC 49 +=
kWhConsumoD
kWhConsumoB
kWhConsumoB
kWhConsumoA
195)15,15(
650)50,50(
900),100(
270)0,30(
=→=→=→
=→
0
El Consumo de Energía mínimo semanal será de 195 kWh fabricando 15 piezas con la máquina A y 15 piezas con la máquina B
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Pág. 20
Jul 13 Fase general
x = nº pendientes fabricados tipo A y = nº pendientes fabricados tipo B
≥≥
≤+≤+
0
0
60023
60032
y
x
yx
yx
El número de pendientes de cada tipo que pueden fabricar semanalmente se corresponden con los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
1er Objetivo: Maximizar Ingresos Función Objetivo: yxI 200100 +=
€00040)200,0(
€00036)120,120(
€00020)0,200(
€0)0,0(
=→=→
=→=→
IC
IB
IA
IO
Maximizaría sus ingresos fabricando 200 pendientes tipo B y ninguno tipo A, así conseguiría subir sus ingresos a 40 000€.
2º Objetivo: Maximizar el nº total de pendientes fabricados
Función Objetivo: yxN +=
200)200,0(
240)120,120(
200)0,200(
0)0,0(
=→=→
=→=→
NC
NB
NA
NO
Si pretende conseguir el mayor número de pendientes posible debería fabricar 120 pendientes tipo A y 120 pendientes tipo B. Obviamente serían 240 pendientes en total.
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Pág. 21
Jul 13 Fase general
x = nº paquetes tipo A que debe comer y = nº paquetes tipo B que debe comer
≥≥
≥+≥+≥+
0
01623
202582
y
xyx
yxyx
El número de paquetes que se utilizar para alimentar al animal son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que se trata de una región abierta, que incluye soluciones infinitas para ambas incógnitas.
Objetivo: Minimizar Costes. Función Objetivo:
yxCoste 7,12 +=
Es obvio que las soluciones infinitas no minimizarían los costes, sino lo contrario.
€17),0(
€50,12),2(
€40,11),4(
€60,13)0,8(
=→=→=→=→
CosteD
CosteC
CosteB
CosteA
10
5
2
El coste mínimo diario será de 11,40€ utilizando en la alimentación 4 paquetes tipo A y 2 tipo B
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Pág. 22
Jul 13 Fase específica
x = nº delineantes y = nº arquitectos
≥≤+
≥≥
0y
20yx
5x
yx
El número de empleados de cada tipo que puede tener la empresa se corresponden con los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
No podrían contratar 18 delineantes y 15 arquitectos ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente la tercera.
Objetivo: Minimizar Costes.
Función Objetivo: yxC 00035001 +=
€50022)5,5(
€00045)10,10(
€00030),20(
€5007)0,5(
=→=→=→
=→
CosteD
CosteC
CosteB
CosteA
0
Minimizarán los costes contratando únicamente 5 delineantes y ningún arquitecto. Así pagarán 7 500€ en salarios
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Pág. 23
Jul 13 Fase específica
x = nº bombillas tipo A almacenadas y = nº bombillas tipo B almacenadas
≥≥
≥+≤≥
→
≥≥
≥+≤≥
0
0302
40
0
03000020001000
40
y
xyx
xyx
y
xyx
xyx
El número de bombillas de cada tipo que pueden tener en el almacén se corresponden con los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Objetivo: Minimizar Costes.
Función Objetivo: yxC 106 +=
€160)10,10(
€640)40,40(
€240)0,40(
€180)0,30(
=→=→
=→=→
CosteD
CosteC
CosteB
CosteA
Minimizarán los costes almacenando 10 bombillas tipo A y 10 bombillas tipo B que costarían 160€.
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Pág. 24
Jun 14 Fase general
x = nº de cámaras SX230 fabricadas y = nº de cámaras WX245 fabricadas
≥≥
≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+
0
0
3002
60043
0
0
30001020
60004030
y
x
yx
yx
y
x
yx
yx
a) El número de cámaras que se pueden fabricar semanalmente son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
No se podrán fabricar 100 cámaras de cada tipo ya que el punto (100, 100) no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna de las inecuaciones, concretamente la primera.
b) Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 6050 +=
€900)150 ,0(
€6009)60 ,120(
€5007)0 ,150(
€0)0 ,0(
=→=→
=→=→
BenD
BenB
BenB
BenA
El beneficio máximo será de 9.600€ fabricando 120 cámaras SX230 y 60 del tipo WX245.
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Pág. 25
Jun 14 Fase específica
x = cm. fabricados de tablas grosor fino
y = cm. fabricados de tablas grosor grueso
≥≥
≤+→
≥≥
≤+
60
100
80054
60
100
4005,22
y
x
yx
y
x
yx
a) El total de centímetros que se pueden fabricar diariamente de cada tipo de tabla son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
b) Objetivo: Minimizar Costes. Función Objetivo: yxyxf 64),( +=
€880),()80 ,100(
€840),()60 ,120(
€760),()06 ,100(
=→=→=→
yxfC
yxfB
yxfA
El mínimo de los costes de fabricación será de 760€ fabricando cada día 100 centímetros de tablas de grosor fino y 60 de centímetros de tablas de grosor grueso.
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Pág. 26
Jul 14 Fase general
x = nº botes envasados tipo Normal y = nº botes envasados tipo Light
≥≥
≥+≤≤≤
0
0
50
150
100
y
x
yx
yx
y
x
a) El número de botes que se pueden envasar diariamente son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Se podrán envasar 40 botes tipo Normal y 100 botes Light ya que dicho punto pertenece a la zona factible. Es decir, que cumple todas las inecuaciones.
b) Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxBen 45 +=
€600)150 ,0(
€1001)150 ,100(
€900)100 ,100(
€225)25 ,25(
€200)50 ,0(
=→=→=→
=→=→
BenE
BenD
BenB
BenB
BenA
Los beneficios serán máximos envasando 100 botes tipo Normal y 150 botes Light por minuto y alcanzarán 1 100€.
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Pág. 27
Jul 14 Fase general
x = nº Lavavajillas
y = nº Lavadoras
≥≥
≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+
0
0
2502
200
0
0
50000200400
200
y
x
yx
yx
y
x
yx
yx
a) El número de electrodomésticos de cada tipo que puede tener el día de la inauguración son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
b) Objetivo: Maximizar Beneficios.
Función Objetivo:
yxBen 20025,04002,0 ⋅+⋅=
€00010)200 ,0(
€50011)150 ,50(
€00010)0 ,125(
€0)0 ,0(
=→=→
=→=→
BenD
BenC
BenB
BenO
Los beneficios diarios serán máximos disponiendo en la nave de 50 Lavavajillas y 150 Lavadoras y alcanzarán 11 500€.
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Pág. 28
Jul 14 Fase específica
x = nº bombillas Halógenas fabricadas y = nº bombillas LED fabricadas
≥≥≤≤
≤+
0
0
600800
1000
y
x
yx
yx
a) El número de bombillas que se pueden producir diariamente son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
No se podrán producir 700 bombillas Halógenas y 500 bombillas LED ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente la primera.
b) Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 32 +=
€800.1)600 ,0(
€600.2)600 ,400(
€200.2)020 ,800(
€600.1)0 ,800(
€0)0 ,0(
=→=→=→
=→=→
BenD
BenC
BenB
BenA
BenO
Los beneficios diarios serán máximos produciendo en 400 bombillas Halógenas y 600 bombillas LED alcanzando 2 600€.
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Pág. 29
Jul 14 Fase específica
x = nº de días usados con línea A y = nº de días usados con línea B
≥≥
≥+≥+
≥+
0
0
20025
18023
802
y
x
yx
yx
yx
El número de días que se pueden usar en cada línea de producción son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que se trata de una región abierta, que incluye soluciones infinitas para ambas incógnitas.
Objetivo: Minimizar Costes Función Objetivo: yxC 00010002 +=
€000160)0,80(
€000115)15,50(
€00095)75,10(
€000100)100,0(
=→=→=→=→
CD
CC
CB
CA
Es obvio que las soluciones infinitas no minimizarían los costes, sino lo contrario. El coste mínimo será de 95 000€ usando 10 días con la primera línea de producción y 75 días la segunda.
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Pág. 30
Jun 15
Fase general
x = nº de productos A puestos a la venta
y = nº de productos B puestos a la venta
≥≥
≥+≥≤≤
→
≥≥
≥+≥≤≤
0
0
62
10
20
0
0
600200100
10
20
y
x
yx
yx
y
x
y
x
yx
yx
y
x
El número de productos que se pueden vender son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
No se podrán vender 15 unidades de cada producto ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto no pertenece a la zona factible. Es decir, que incumple alguna inecuación, concretamente la segunda.
Objetivo: Maximizar Ingresos. Función Objetivo: yxI 200100 +=
(6, 0) 600€
(20, 0) 2 000€
(20, 10) 4 000€
(10, 10) 3 000€
(2, 2) 600€
A I
B I
C I
D I
E I
→ =→ =→ =→ =
→ =
Los ingresos máximos alcanzarán de 4 000€ vendiendo 20 unidades de los productos tipo A y 10 unidades de los productos tipo B.
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Pág. 31
Jun 15
Fase específica
x = nº lotes tipo A preparados y = nº lotes tipo B preparados
≥≥
≤+≤+
≤+
0
0
27023
95
24032
y
x
yx
yx
yx
El número de lotes que se pueden producir son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que las tres rectas se cortan en un mismo punto.
Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 2225 +=
€7601)80,0(
€3302)15,80(
€2502)0,90(
€0)0,0(
=→=→
=→=→
BenC
BenB
BenA
BenO
El beneficio máximo será de 2 330€ preparando 80 lotes tipo A y 15 lotes tipo B.
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Pág. 32
Jun 15 Fase específica
x = nº lotes producidos de refresco Normal y = nº lotes producidos de refresco Ligero
≥≥
≤+≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+≤+
0
0
50
802
18043
0
0
20044
802
36086
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
El número de lotes que se pueden producir son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico. Observamos que las tres rectas se cortan en un mismo punto.
Objetivo: Maximizar Beneficios. Función Objetivo: yxB 800650 +=
€000.32)40 ,0(
€000.37)03 ,20(
€500.32)0 ,50(
€0)0 ,0(
=→=→
=→=→
BenC
BenB
BenA
BenO
El beneficio máximo será de 37 000€ produciendo 20 lotes de refresco Normal y 30 lotes de refresco Ligero.
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Pág. 33
Jul 15 Fase general
x = nº ordenadores a comprar y = nº licencias a comprar
≥≤+
≥≥
→
≥≤+
≥≥
0
2402
20
0
00096800400
20
y
yx
xy
x
y
yx
xy
x
El número de ordenadores y licencias que se pueden comprar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
1er Objetivo: Minimizar Costes
Función Objetivo: yxC 800400 +=
€00096)110 ,20(
€00096)80 ,80(
€00048)20 ,20(
=→=→=→
CostesC
CostesB
CostesA
2º Objetivo: Maximizar nº Licencias.
Función Objetivo: yL =
110)110,20(
80)80,80(
20)20,20(
=→=→=→
LicenciasC
LicenciasB
LicenciasA
Minimizará los costes, reduciéndolos a 48 000€, comprando 20 ordenadores y 20 Licencias mientras que para maximizar el número de Licencias, consiguiendo 110, debería comprar 20 ordenadores y 110 Licencias.
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Pág. 34
Jul 15 Fase general
x = nº proyectores tipo A comprados y = nº proyectores tipo B comprados
≥≤+
≥≥
0
100
10
y
yx
yx
x
El número de proyectores de cada tipo que se pueden comprar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Objetivo: Minimizar Costes. Función Objetivo:
yxC 70003000 +=
€00030)0,10(
€000100)10,10(
€000500)50 ,50(
€000300)0,100(
=→=→=→=→
CostesC
CostesC
CostesB
CostesA
El menor coste será de 30 000€ comprando 10 proyectores tipo A y ninguno del tipo B.
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Pág. 35
Jul 15 Fase específica
x = nº empleados especializados y = nº empleados no cualificados
≥≥≤≥≤
0
0
3
2
12
y
x
xy
xy
x
El número de empleados de cada tipo que se pueden contratar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Podrá contratar 5 empleados especializados y 12 no cualificados ya que, como se ve en el gráfico, dicho punto pertenece a la zona factible. Es decir, que cumple todas las inecuaciones.
Objetivo: Maximizar los ingresos por subvenciones.
Función Objetivo: yxI 100120 +=
( ) €040536,12
€8403)24,12(
€0)0,0(0
=→=→
=→
IB
IA
I
Conseguiremos maximizar estos ingresos contratando 12 empleados especializados y 36 no cualificados,
consiguiendo un total de 5 040€ de subvenciones
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Pág. 36
Jul 15
Fase específica
x = nº billetes de 20€ introducidos y = nº billetes de 50€ introducidos
≥≥≥
≤+
→
≥≥≥
≤+
0
100
2
200052
0
100
2
200005020
x
y
yx
yx
x
y
yx
yx
El número de billetes que se pueden introducir son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Objetivo: Minimizar nº total de billetes. Función Objetivo: yxN +=
66,6669
6000
9
2000,
9
4000
850)100,750(
300)100,200(
≈=→
=→=→
NC
NB
NA
Como mínimo deberemos introducir en el cajero 300 billetes: 200 de 20€ y 100 de 50€, que sumarán entonces un total de 9 000€.
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Pág. 37
Jun 16
Fase general
x = nº de trofeos de fútbol y = nº de trofeos de baloncesto
≥≥
≤+≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+≤+
0
0
1604
1302
56054
0
0
161,04,0
393,06,0
565,04,0
y
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
El número de trofeos que se pueden elaborar son los puntos pertenecientes a la zona factible señalada en el gráfico.
Objetivo: Maximizar los Ingresos Función Objetivo: yxI 7501200 +=
€84000)112,0(
€93000)100,15(
€48000)0 ,40(
€0)0,0(
=→=→
=→=→
ID
IC
IB
IA
Conseguiremos maximizar estos ingresos elaborando 15 trofeos de fútbol y 100 trofeos de baloncesto, ascendiendo estos ingresos a 93 000€.
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Pág. 38
Jun 16
Fase general
x = nº de acciones de la compañía A y = nº de acciones de la compañía B
≥≥
≤+→
≥≥
≤+
5
5
656
5
5
6500600100
y
x
yx
y
x
yx
Objetivo: Maximizar el beneficio Función Objetivo: yxB 10822 +=
€1190)10,5(
€1310)5 ,35(
€650)5,5(
=→=→
=→
BenC
BenB
BenA
Conseguiremos subir los beneficios hasta un máximo de 1 310€, comprando 35 acciones de la compañía A y 5 acciones de la compañía B. Jun 16
Fase específica
x = unidades fabricadas del producto A y = unidades fabricadas del producto B
≥≥
≤≥−≤+
→
≥≥
≤≥
≤+
0
0
45
0
12032
0
0
45
6000150100
y
x
x
yx
yx
y
x
x
yx
yx
Objetivo: Maximizar el nº total de productos Función Objetivo: yxN +=
48)24,24(
55)10,45(
45)0 ,45(
0)0,0(
=→=→
=→=→
ND
NC
NB
NA
Conseguirá completar el mayor número posible de productos, fabricando 45 productos del tipo A y 10 del tipo B, subiendo los costes de fabricación a los 6000 € de que disponía.
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Pág. 39
Jul 16
Fase general
x = Kilogramos comprados de naranjas y = Kilogramos comprados de manzanas
≥≥
≤+≤+
→
≥≥
≤+≤+
0
0
400045
900
0
0
4004,05,0
900
y
x
yx
yx
y
x
yx
yx
Objetivo: Maximizar los beneficios
Función Objetivo: yxyxB 6,07,0)4,01()5,02,1( +=−+−=
€540)900,0(
€580)500,400(
€560)0 ,800(
€0)0,0(
=→=→
=→=→
BenD
BenC
BenB
BenA
Conseguiremos subir los beneficios hasta un máximo de 580€, comprando 400 kg. de naranjas y 500 kg. de manzanas.
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Jul 16
Fase específica
x = Temas estudiados de matemáticas y = Temas estudiados de economía
≤≤≥≥
≤+
10
20
2
5
322
y
x
y
x
yx
Objetivo: Maximizar el nº total de temas estudiados
Función Objetivo: yxN +=
15)10,5(
22)10,12(
26)6 ,20(
22)2 ,20(
7)2,5(
=→=→
=→=→
=→
ND
ND
NC
NB
NA
Conseguirá completar el mayor número posible de temas, estudiando 20 temas de matemáticas y 6 de economía, es decir, un total de 26 temas.
Modelo
17 Es el
mismo de
Junio 11
fase
general