Post on 28-Feb-2019
Grafika inżynierska – geometria wykreślna
4. Wielościany.
Budowa. Przekroje.
dr inż. arch. Anna Wancław
Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr I
4. Wielościany.
Budowa. Przekroje.
• Wielościany – definicje, klasyfikacja
• Transformacja celowa – powtórzenie
• Budowa wielościanów - zadania
• Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
• Związki kolineacji i powinowactwa
Wielościany
wokół nas
Wielościany - definicja
Wielościan – bryła geometryczna, ograniczona powierzchnią
utworzoną ze skończonej ilości wielokątów spełniających
następujące warunki:
1) Każde dwa wielokąty mają bok, bądź wierzchołek wspólny,
albo nie mają żadnego punktu wspólnego,
2) Każdy bok wielokąta jest bokiem wspólnym tylko dla dwóch
wielokątów
3) Każdy wierzchołek wielokąta jest wspólny dla co najmniej
trzech wielokątów
Każdy wielościan utworzony jest ze ścian, krawędzi i
wierzchołków.
„Grzech pierworodny teorii wielościanów popełniony został już w czasach Euklidesa,
i był popełniany przez Keplera, Poinsota, Cauchy'ego i wielu innych. Nigdy nie udało
im się określić, czym są wielościany.” Branko Grünbaum
Wielościany - klasyfikacja
•Wielościany foremne (umiarowe, platońskie)
•Wielościany półforemne (archimedejskie)
•Ostrosłupy
•Graniastosłupy
•inne
- czworościan
- sześcian
- ośmiościan
- dwunastościan
- dwudziestościan
Wielościany foremne
Wielościany
półforemne
Istnieje 13 (15) wielościanów półforemnych
oraz dwie nieskończone serie.
Ostrosłupy
spodek
wysokości
wysokość
prosty
prawidłowy
Graniastosłupy
prostopadłościan
wysokość
prosty
prawidłowy
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
i prostopadle
do prostej.
Rzeczywista
wielkość odcinka.
P”
P’
R’
R” x12
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle do
prostej.
P”
P’
R’”
R’
R” x12
P’”
x13
Rzeczywista wielkość odcinka.
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
i prostopadle
do prostej.
P”
P’
R’”
R’
R” x12
P’”
x13
x34
PIV=RIV
Położenie rzutujące odcinka.
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Położenie rzutujące i rzeczywiste
wielkości na płaszczyźnie.
P”
P’
Q”
Q’
R’
R” x12
Q”
P”
P’
Q”
Q’
R’
R” x12
Q”
m”1”
1’m’
Wyznaczamy rzut poziomy prostej m.
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
Chcąc przyjąć trzecią rzutnię prostopadle
do płaszczyzny PQR przyjmujemy na niej
pomocniczą poziomą prostą m.
P”
P’
Q”
Q’
R’
R” x12
Q”
R”’
P”’=m’”=1’”
Q”’x13
1’m’
m”1”
Położenie rzutujące
trójkąta.
Przyjmujemy rzutnię
trzecią prostopadle do
płaszczyzny trójkąta PQR
(oś rzutów x12 jest
prostopadła do rzutu
poziomego prostej m).
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie
P”
P’
Q”
Q’
R’
R” x12
Q”
R”’
Q”’
RIV
PIV
QIV
x34x13
P”’=m’”=1’”
1’m’
m”1”
1IV
mIV
Rzeczywista wielkość
trójkąta.
Budowa wielościanów
Zadanie
Skonstruować rzuty
ostrosłupa prawidłowego
czworościennego,
którego krawędzią boczną
jest odcinek AW,
a przekątną podstawy
prosta p.
A’
A”
w’
W”
p”pA
W
p’
Budowa wielościanów
Zadanie
Skonstruować rzuty
ostrosłupa prawidłowego
czworościennego,
którego krawędzią boczną
jest odcinek AW,
a przekątną podstawy
prosta p.
a
A
WPLAN ROZWIAZANIA:
1. Ponieważ proste a i b określają
płaszczyznę przekroju ostrosłupa,
możliwe jest wyznaczenie trójkąta
przekroju AWC (prostopadle do p
prowadzimy wysokość ostrosłupa,
spodek wysokości S określi nam
środek podstawy i połowę
przekątnej.
2. Na prostej prostopadłej do AWC, w
odległości równej połowie
przekątnej będą leżały pozostałe
naroża podstawy – B i D.
Sprowadzając płaszczyznę przekroju
AWC do położenia rzeczywistych
wielkości (za pomocą transformacji),
będziemy mogli powyższy plan
wykonać w rzutach prostokątnych.
D
C
B
pS
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x12
Ze względu na miejsce do
konstrukcji, transformację
prostopadle do płaszczyzny a=a,p
przyjmiemy w stosunku do rzutni
pionowej.
W tym przypadku do wyznaczenia
rzutni trzeciaej przyjmiemy
pomocniczą prostą czołową n.
a”
p”
a’
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
Prostopadle do n”
przyjmujemy oś rzutów x23.
a”
a’
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=m’”=1’”
2’”
A’”
a”’=a”’=p’”
a”
a’
Wyznaczamy rzut trzeci
danych elementów,
płaszczyzna a będzie w
tym rzucie rzutująca.
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a’”=a”=p’”=x34
AIV
WIV2IV
pIV
Równolegle do płaszczyzny aprzyjmujemy rzutnię czwartą. Można
przyjąć rzutnię w tym samym miejscu
co płaszczyzna (a’”=x34).
a”
a’
aIV
nIV
1IV
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
SIV=BIV=DIV
a”
a’
Ponieważ w rzucie czwartym wielkości
są rzeczywiste, konstruujemy trójkąt
przekroju AWC. Z rzutem spodka
wysokości S pokryją się rzuty
prostopadłej przekątnej BD.
aIV
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
SIV=BIV=DIV
C’”
D’”
B’”
a”
a’
aIV
Wyznaczamy w rzucie trzecim punkt C
(leżący na p) oraz przekątną BD, która
jest w tym rzucie w rzeczywistej
wielkości.
S’”
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
SIVBIV=DIV
C’”
D’”
B’”
a”
a’
aIV
a”=p’”=x34
S’”
Wyznaczamy w rzucie trzecim
krawędzie ostrosłupa.
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
C’”
D’”
B’”
B”
D”
C”
a”
a’
Wyznaczamy w rzucie drugim
(pionowym) punkty B, C i D .
SIVBIV=DIV
aIV
S’”
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1” n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
BIV=DIV
C’”
D’”
B’”
B”
D”
C”
a”
a’
aIV
Wyznaczamy w rzucie drugim
(pionowym) krawędzie
ostrosłupa, określamy
widoczność.
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1” n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
BIV=DIV
C’”
D’”
B’”
B”
D”
C”
B’
D’
C’
a”
a’
aIV
Wyznaczamy w rzucie pierwszym
(poziomym) punkty B, C i D .
Budowa wielościanów
Zadanie
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1” n”
x23
x12
2”
2’
W”’=n’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV 2IV
pIV
CIV
BIV=DIV
C’”
D’”
B’”
B”
D”
C”
B’
D’
C’
a”
a’
aiV
Wyznaczamy w rzucie pierwszym
(poziomym) krawędzie
ostrosłupa, określamy
widoczność.
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
W’
D”C”
E”B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
W’
D”C”
E”B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
W’
D”C”
E”B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa
33
W”
W’
D”C”
E”B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”=k”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
p”
p’
k’=b’
a”
Osią powinowactwa (p) lub kolineacji (k) jest krawędź przecięcia się płaszczyzn podstawy i przekroju (a i e oraz b i g).
W”
W’
D”C”
E”
B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”=k”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
p”
p’
k’=b’
a”
P1”
R1”
S1” Q1”
D1”E1”
C1”
A1”B1”
P1’
S1’
Q1’
R1’
C1’
D1’ E1’
A1’
B1’
Konsekwentny system oznaczeń punktów
podstawy i przekroju ułatwi sprawdzenie związków kolineacji lub powinowactwa.
W”
W’
D”C”
E”
B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”=k”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
p”=I”=II”
p’
k’=b’
a”
P1”
R1”
S1” Q1”
D1”E1”
C1”
A1”B1”
P1’
S1’
Q1’
R1’
C1’
D1’ E1’
A1’
B1’
I”
II”
Proste na których położone są odpowiednie boki wielokąta
podstawy i przekroju przecinają się na osi powinowactwa . Punkty przecięcia opisujemy cyframi rzymskimi.
W”
W’
D”C”
E”
B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”=k”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
p”=I”=II”
p’
k’=b’
a”
P1”
R1”
S1” Q1”
D1”E1”
C1”
A1”B1”
P1’
S1’
Q1’
R1’
C1’
D1’ E1’
A1’
B1’
I’
II’
III”
III’
W”
W’
D”C”
E”
B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”=k”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
p”=I”=II”
p’
k’=b’
a”
P1”
R1”
S1” Q1”
D1”E1”
C1”
A1”B1”
P1’
S1’
Q1’
R1’
C1’
D1’ E1’
A1’
B1’
I’
II’
III”
III’
Rzuty punktu przecięcia się przedłużeń boków
podstawy i przekroju z osią kolineacji muszą leżeć na jednej odnoszącej (III’ i III”).
W”
W’
D”C”
E”
B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”=k”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach
p”=I”=II”
p’
k’=b’
a”
P1”
R1”
S1” Q1”
D1”E1”
C1”
A1”B1”
P1’
S1’
Q1’
R1’
C1’
D1’ E1’
A1’
B1’
I’
II’
III”
III’
IV”
IV’
Rzuty punktu przecięcia się przedłużeń boków podstawy
i przekroju z osią kolineacji muszą leżeć na jednej odnoszącej (III’ , IV’ i III”, IV”).
Skonstruować rzuty ostrosłupa
prawidłowego czworościennego,
którego krawędzią boczną jest
odcinek AW, a przekątną podstawy
prosta p.
A’
A”
w’
W”
p”
p’
a”
a’
A’
A”
w’
W”
p”
p’
1’ n’
1”
n”
x23
x12
2”
2’
W”’=m’”=1’”
2’”
A’”
a”=p’”=x34
AIV
WIV2IV
pIV
a”
a’
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą
W”
W’
D”C”
E”B”
A”
D’E’
B’
A’=C’
g”
P”S”
Q”R”
e”
P”
S”
Q’
R’