Множество - набор различимых предметов, объединенных по некоторому признаку.

Множество - набор различимых предметов, объединенных по некоторому признаку.

{ … }

{ … , … , … , … , … }

Множество - набор различимых предметов, объединенных по некоторому признаку.

{ … , … , … , … , … }

{ … , … , … , … , … }

{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

Чаще всего обозначаются большими буквами латинского алфавита: A,B,C...

{ … , … , … , … , … }

{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

Способы задания множеств

1) Перечисление

Способы задания множеств

2) Задание посредством свойств

{................. | ……………...}

Описание структуры объекта “такое, что” Свойство, которым

обладает объект

Способы задания множеств

2) Задание посредством свойств

{................. | ……………...}{ цвет | ……………...}{ страна | ……………...}{ x | ……………...}{ (x,y) | ……………...}{ {.....} | ……………...}

Способы задания множеств

2) Задание посредством свойств

{................. | ……………...}{ цвет | присутствует в радуге}{ страна | находится в Африке}{ x | ……………...}{ (x,y) | ……………...}{ {.....} | ……………...}

Способы задания множеств

2) Задание посредством свойств

{ x | ……………...}{ x | x ∈ ℝ,ℕ,ℤ }

Знак принадлежности множеству

Целые

Натуральные

Вещественные

Способы задания множеств

2) Задание посредством свойств

{ x | ……………...}{ x | x ∈ ℕ и “делится на 3” } = {3, 6, 9, ...}

Способы задания множеств

2) Задание посредством свойств

{ (x,y) | ……………...}{ (x,y) | x ∈ {1,2,3,4,5,6}, y ∈ ℤ }

Мощность множества

A = {1,2,3,4,5,6,7}|A| = 7

Обозначение мощности, может быть ∞

Подмножества

{ , , }

Подмножества

{ ∅ }

Мощность 0 1 2 3

{ }{ }{ }

{ , }{ , }{ , }

{ , , }

Действия над множествами1) Объединение

Обозначение Смысл Пример

⋃

A⋃BA B

A = {4, 7, 12, 25}B = {2, 7, 12, 13, 28, 30}

A⋃B = {2,4,7,12,13,25,28,30}

Действия над множествами2) Пересечение

Обозначение Смысл Пример

⋂

A⋂BA B

A = {4, 7, 12, 25}B = {2, 7, 12, 13, 28, 30}

A⋂B = {7,12}

Действия над множествами3) Дополнение

Обозначение Смысл Пример

AA

A = { , , }X = {цвет | присутствует в радуге}

A = { , , , }X

Правило суммы

A B

Правило суммы

A B

|A⋃B| = |A|+|B|

Правило суммы

ABA⋂B

Правило суммы

AB

|A⋃B| ≠ |A|+|B|

A⋂B

Правило суммы

ABA⋂B

A’ B’

A = A’ ⋃ (A⋂B)

B = B’ ⋃ (A⋂B)➕

＝A⋃B = A’⋃B’⋃(A⋂B)

Правило суммы

A⋃B = A’⋃B’⋃(A⋂B)A BA⋂B

A’ B’

|A⋃B| = |A’ ⋃ B’ ⋃ (A⋂B)| ==|A’| + |B’| + |(A⋂B)| == |A - (A⋂B)| + |B - (A⋂B)| + + |(A⋂B)| = |A| + |B| - |(A⋂B)|

Обобщенное правило суммы: |A| + |B| - |(A⋂B)|

Правило суммы

A B

A⋂B

1 12

Тот же результат: |A| + |B| - |(A⋂B)|

Декартово произведение

A�B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}

Декартово произведение

A�B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}A = {1,2,3}, B = {4,5,6}

A�B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

Декартово произведение

A�B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}|A�B| = |A| * |B|

Декартово произведение

A�B�C = {(a,b,c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}

|A�B�C| = |A| * |B| * |C|

Декартово произведение

A�B�C�D = {(a,b,c,d) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, d ∈ D}

|A�B�C�D| = |A| * |B| * |C| * |D|

Метод включения-исключения

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| - - |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|

Метод включения-исключения

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - ...

1

1 1

2 2

2

3A

B

C

Метод включения-исключения

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| - - |B ⋂ C| + ...

1

1 1

1 1

1

0A

B

C

Метод включения-исключения

|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| - - |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|

1

1 1

1 1

1

1A

B

C

Метод включения-исключения

|Объединения множеств| = сумма (|каждого множества|) - - сумма (|пересечения всех пар|) + + сумма (|пересечения всех троек|) - - и т.д.

{ , , }

Подмножества = Сочетания

{ ∅ }

Мощность 0 1 2 3

{ }{ }{ }

{ , }{ , }{ , }

{ , , }

Сочетания из 3 по 0 из 3 по 1 из 3 по 2 из 3 по 3

Принцип пастуха

Принцип пастухаЕсли знаем количество ног - легко посчитать количество овец

Принцип пастухаЕсли знаем количество ног - легко посчитать количество овец

Если знаем количество овец - легко посчитать количество ног

Количество сочетаний

n-множество сочетания из n по m

m-перестановки

Количество сочетаний

n-множество сочетания из n по m

m-перестановки

Знаем мощности

Количество сочетаний

1

2

3

(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)

Количество сочетаний

1

2

3

(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)

1 m-сочетание = m! перестановок

Количество сочетаний

Свойства сочетаний

Свойства сочетаний

1)

Свойства сочетаний

1)

Соответствует полному или пустому множеству

Свойства сочетаний

2)

Свойства сочетаний

3)

Свойства сочетаний

3)

1 2 3 4 5 6 7

Свойства сочетаний

3)

1 2 3 4 5 6 7

Подмножество размера 3

Свойства сочетаний

3)

1 2 3 4 5 6 7

Подмножество размера 3

Подмножество размера 4

Свойства сочетаний

3)

Принцип биекции: если мы можем взаимооднозначно разбить элементы двух множеств по парам, то мощности этих множеств равны

Свойства сочетаний

4)

Свойства сочетаний

4)

Общее количество подмножеств

Свойства сочетаний

4)

1 2 3 4 ……………………………. n

Свойства сочетаний

4)

1 2 3 4 ……………………………. n

берем не берем

2

Свойства сочетаний

4)

1 2 3 4 ……………………………. n

берем не берем

2 2

Свойства сочетаний

4)

1 2 3 4 ……………………………. n

2 2 2

берем не берем

Свойства сочетаний

4)

1 2 3 4 ……………………………. n

2 2 2 2 …………………………….. 2

берем не берем

Свойства сочетаний

4)

1 2 3 4 ……………………………. n

2 * 2 * 2 * 2 * …………………………….. * 2

Свойства сочетаний

5)

Свойства сочетаний

5)

Количество подмножеств четной мощности

Количество подмножеств нечетной мощности

Свойства сочетаний

5)

1

1

Свойства сочетаний

5)

1

1

удаление/добавление единицы

удаление/добавление единицы

Свойства сочетаний

6)

Свойства сочетаний

6)

Подмножества с единицей Подмножества без единицы

Свойства сочетаний

6)

Подмножества с единицей Подмножества без единицы

Свойства сочетаний

6)

Подмножества с единицей Подмножества без единицы

Свойства сочетаний

6)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3 3

4

510105

6 15 20 15 6

7212525217

8 28 46 50 46 28 8

64

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3 3

4

510105

6 15 20 15 6

7212525217

8 28 46 50 46 28 8

64

Уровни0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3 3

4

510105

6 15 20 15 6

7212525217

8 28 46 50 46 28 8

64

Уровни0

1

2

3

4

5

6

7

8

Диагонали

0

1

2

3

4

5

6

7

8

(0,0)

(x,y)

(0,0)

(x,y)

Все искомые пути длины x+y

(0,0)

(x,y)

Все искомые пути длины x+y

Всего путей

Задача о разбиении числа на слагаемые

Задача о разбиении числа на слагаемые

Задача о разбиении числа на слагаемые

Задача о разбиении числа на слагаемые

Разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых считаются различными.

Задача о разбиении числа на слагаемые

Разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых считаются различными.Пример:

Различны, если

Задача о разбиении числа на слагаемые

2 = 2 + 0 + 02 = 0 + 2 + 02 = 0 + 0 + 22 = 1 + 1 + 02 = 1 + 0 + 12 = 0 + 1 + 1

Перевод числа в унарную систему счисления

0 = (пустое место)1 = 12 = 113 = 1114 = 1111…

Перевод числа в унарную систему счисления

8 = 3 + 2 + 0 + 3

8 = 111 + 11 + + 111

в обычной системе счисления

в унарной системе счисления

Перевод числа в унарную систему счисления

8 = 3 + 2 + 0 + 3

8 = 111 + 11 + + 111

в обычной системе счисления

в унарной системе счисления

Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет n + m - 1 знак

Задача и о разбиении числа на слагаемые

8 = 111 + 11 + + 111 в унарной системе счисления

Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет n + m - 1 знак

……………………………………….

n+m-1 позиция, необходимо выбрать m-1, чтобы поставить “+”

Задача о разбиении числа на слагаемые

8 = 111 + 11 + + 111 в унарной системе счисления

Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет n + m - 1 знак

Количество разбиений числа m на n неотрицательных слагаемых:

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

n 1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

Задача о сумме треугольных чисел

n 1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

Задача о сумме треугольных чисел

n 1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

Задача о сумме треугольных чисел

Пусть k = 3, а n = 7

3-я диагональ

1.

2.

1.

2.

1.

2.

1.

2.

В каждой скобке x

1.

2.

В каждой скобке x

В n-1 скобке - x, в 1 - y

1.

2.

В каждой скобке x

В n-1 скобке - x, в 1 - y В n-2 скобке - x, в 2 - y

1.

2.

В каждой скобке x

В n-1 скобке - x, в 1 - y В n-2 скобке - x, в 2 - yВ 1 скобке - x, в (n-1) - y

В каждой скобке y

Бином Ньютона

Бином Ньютона

Перестановки

Перестановки

Перестановки

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 N-1 N

Варианты

Позиции

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 N-1 N

Варианты

Позиции

N

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 N-1 N

Варианты

Позиции

N N-1

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 N-1 N

Варианты

Позиции

N N-1 N-2

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 N-1 N

Варианты

Позиции

N N-1 N-2 2 1

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 N-1 N

Варианты

Позиции

N N-1 N-2 2 1

Перестановки

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

Позиции

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

ПозицииN

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

ПозицииN N-1

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

ПозицииN N-1 N-2

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

ПозицииN N-1 N-2 N-K-2

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

ПозицииN N-1 N-2 N-K-2 N-K-1

Перестановки

…………………...

…………………...1 2 3 K-1 K

Варианты

ПозицииN N-1 N-2 N-K-2 N-K-1

Перестановки с повторениями

МультимножестваПример (легко понять):

МультимножестваПример (легко понять):

Формально верно:

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

MISSISSIPPI

Перестановки с повторениями

MISSISSIPPI

Циклические перестановки

Циклические перестановки

Циклические перестановки

12345

Циклические перестановки

12345

1

2

3 4

5

Циклические перестановки

12345

1

2

3 4

5

5

1

2 3

4

Циклические перестановки

12345

1

2

3 4

5

5

1

2 3

4

Циклические перестановки

12345

5

1

2 3

4

5

1

2 3

4

Циклические перестановки5

1

2 3

4

Циклические перестановки5

1

2 3

4

2

3

4 5

1

4

5

1 2

31

2

3 4

5

3

4

5 1

2

Циклические перестановки5

1

2 3

4

Общее количество перестановок с “помеченным местом”

Циклические перестановки5

1

2 3

4

Общее количество перестановок с “помеченным местом”

Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна без пометок

Циклические перестановки5

1

2 3

4

Общее количество перестановок с “помеченным местом”

Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна без пометок

Количество перестановок без пометок -

Циклические перестановки5

1

2 3

4

Общее количество перестановок с “помеченным местом”

Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна без пометок

Количество перестановок без пометок -

А если гостей больше чем мест, то