Post on 05-Mar-2016
description
11
Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu
OSNOVE BIOMETRIKEKoordinator:
Prof. dr. sc. Marija Pecina mpecina@agr.hr
Suradnici:
Prof. dr. sc. Jerko Gunjaa jgunjaca@agr.hr
Dr. sc. Silvio imon, poslijedoktorand ssimon@agr.hr
Maja ulj Mihaljevi, dipl.ing, znan. novak mzulj@agr.hr2
Nalazimo se ...
VI Paviljon III kat
u Zavodu za oplemenjivanje bilja, genetiku i biometriku
Oglasna ploa!
Tajnica ga. Jasna Bajan
3
Naa prava i obaveze:
Nastava, evidencija, ...
Potpisi na kraju semestra (uvjeti!)
Ispit (pismeni i usmeni)
3 x redovito + 1 x pred povjerenstvom
odravanje modula u sustavu Merlin
(prezentacije, zadaci, statistike tablice, obavijesti razne popisi, rezultati, i sl)
4
Vaa prava i obaveze: Redovito pohaanje i angaman u nastavi Obavezna:
prijava na modul i praenje sadraja u sustavu Merlin (uz lozinku OB1516) biljenica za vjebe NA KVADRATIE, kalkulator, statistike tablice
U biljenici Uredno pisanje i crtanje Izrada zadataka
Polaganje 2 meuispita
Svi navedeni angamani se ocjenjuju i imaju utjecaj na krajnju ocjenu !
Literatura: Nastavni materijal (na Merlin-u)
predavanja ppt prezentacije, vjebe- zadaci u excelu Biljeke s nastave, izraeni zadaci Vasilj, . 2000. Biometrika i eksperimentiranje u bilinogojstvu. HAD. Zagreb
do 119 str.
25
Literatura (preporuena):
Sokal, RR and Rohlf, FJ. 1994. Biometry: The Principles and Practice of Statistics in Biological Research. WH Freeman & Co.
Steel, RGD, Torrie, JH and Dickey, DA, 1996. Principles and Procedures of Statistics: A Biometrical Approach. McGraw-Hill Higher Education.
Gomez, KA, and Gomez, AA, 1984. Statistical Procedures for Agricultural Research. John Wiley & Sons.
Petz, B, 1981. Osnovne statistike metode za nematematiare. Sveuilina naklada Liber, Zagreb.
Petz, B, 1994. Statistika za praksu. Ministarstvo unutarnjih poslova RH.
6
Sadraj predmeta: 1/2
Biometrika: pojam, ciljevi, svrha, kratka povijest. Deskriptivna i inferencijalna statistika.
Osnovni elementi biometrike: Podaci; Varijable; Varijabilnost; Populacija vs.Uzorak;
Distribucija frekvencije - numerika i grafika, kvalitativna i kvantitativna.
Metode opisne statistike: mjerila centralne tendencije - sredine (aritmetika sredina, medijana, modus); Mjerila varijabilnosti - disperzije (varijacijska irina, standardna devijacija, varijanca, varijacijski koeficijent).
Teoretske distribucije frekvencija: Nekontinuirana sluajna varijabla i binomna distribucija; Kontinuirana sluajna varijabla i normalna distribucija (granice pouzdanosti; standardizirana sluajna varijabla).
7
Sadraj predmeta: 2/2
Procjena parametara populacije iz uzoraka (sampling distribucija); Sredinji granini teorem.
Zakljuivanje temeljeno na jednom uzorku: procjena granica pouzdanosti u t distribuciji; Nulta hipoteza i testiranje H0; Razina signifikantnosti (znaajnosti): p vrijednost; Snaga testa;
Zakljuivanje temeljeno na dva uzorka: Usporedba prosjeka (t testom nezavisni i zavisni uzorci; LSD); Usporedba varijanci (F testom) dvije populacije.
Analiza varijance: Usporedba dva i vie od dva prosjeka; jednosmjerna i dvosmjerna ANOVA. Pretpostavke za ANOVU.
Jednostavna linearna korelacija i regresija: korelacijski i regresijski koeficijent, pojam i testiranje koeficijenata r i b, kovarijanca.
8
STATISTIKA - BIOMETRIKA
status = lat. Stanje
bios = gr. ivot
metron = gr. Mjeriti
39
STATISTIKA je
znanost o podacima
"vodi u nepoznato (Tanur et al. 1989.)
... pomo u razumijevanju neodreenosti
... pomo u organiziranju svijeta, prirode, znanja...
Znanost i vjetina prikupljanja, analiziranja, interpretacije i prezentacije podataka i rezultata analize
10
STATISTIKA
je skupina metoda:
za prikupljanje, saimanje, tabeliranje (klasifikaciju), organiziranje, opis (deskripciju) i prezentaciju podataka
za analizu i interpretaciju rezultata, te poopavanje -donoenje zakljuaka o populaciji iz koje su uzeti
11
BIOSTATISTIKA je primjena statistike u biolokim znanostima
(agronomija, umarstvo, genetika, botanika, ekologija, zoologija, medicina, veterina, )
12
DVA SU OSNOVNA DIJELA STATISTIKE:
OPISNA (DESKRIPTIVNA) STATISTIKA
INFERENCIJALNA STATISTIKA iliSTATISTIKA ZAKLJUIVANJA
413
OPISNA (DESKRIPTIVNA) STATISTIKA:
koristi se numerikim i grafikim metodama koje opisuju
sredinu jednog skupa podataka i njihovu
meusobnu razliitost
14
INFERENCIJALNA STATISTIKA iliSTATISTIKA ZAKLJUIVANJA:
koristi podatke uzorka
za procjenu, odluivanje, predvianje (predikciju) ili neko drugo poopavanje
o veem skupu podataka - populaciji.
15
OSNOVNI TERMINI (izrazi):
POPULACIJAUZORAKJEDINKA ili VARIJANTASVOJSTVO ili VARIJABLAVARIJABILNOST ili DISPERZIJA
16
POPULACIJA je
skup svih jedinki koje imaju neke zajednike karakteristike (svojstva), a predmet su i interes naeg istraivanja
517
Populacija - konana:
svi glasai u RH, svi studenti II god. Agronomskog fakulteta sve biljke F1 nekog krianja sve biljke nekog hibrida kukuruza na
naem polju sve voke neke sorte jabuka u jednom
vonjaku svi trsovi neke sorte vinove loze u
vinogradu 18
Populacija - beskonana:
svi ljudi na svijetu sve biljke nekog hibrida kukuruza svi plodovi neke sorte jabuka svi trsovi neke sorte vinove loze
19
UZORAK je
konani dio populacije podskup populacije populacija u malom
20
JEDINKA ili VARIJANTA (INDIVIDUA, OPAAJ) je
najmanji dio populacije ili uzorka u konanici jedan osnovni podatak
ovjek, biljka, dio biljke, skupina biljaka, kolonija mikroorganizma, dogaaj, objekt, koliina vina, povrina tla, trs, petrijevka,
621
VARIJABLA
je SVOJSTVO po kojemu su varijante (jedinke) meusobno sline ili razliite
je karakteristika, osobitost ili izraz jedne varijante (jedinke) u populaciji ili uzorku
varira, mijenja se (promjenjiva je)
npr. visina 185 cm 85 kg96 kg
106 kg125 kg 22
Na jedinki mjerimo i opaamo svojstva (varijable)
ovjek spol, starost, visina, teina, krvni tlak, kapacitet plua, boja oiju ...
biljka vrsta, sorta, visina, boja cvijeta, promjer debla, prinos, sadraj bjelanevina-eera-kiselina, broj klasia, duljina klipa, masa suhe tvari, zaraza ...
23
VARIJABILNOST =DISPERZIJA = RAZLIITOST =
(biljnog svijeta) osnovni je razlog za potrebu:
mjerenja
opaanja
statistike analize tih izmjera i
interpretacije rezultata statistikih analiza
24
Bioloka varijabilnost
uvjetovana je:
genetskim uincima
okolinskim uincima
grekama u mjerenju
725
POPULACIJA vs. UZORAK
Zadaa uzorka je
da dobro predstavlja populaciju !
Radimo s uzorcima,
a zakljuujemo o populaciji
26
POKUS = EKSPERIMENT
je kreiranje / izazivanje neke pojave ili stanja u svrhu zapaanja, istraivanja i tumaenja
je planirani proces prikupljanja podataka sa svrhom donoenja zakljuaka
27
ZAKLJUAK se moe odnositi na:
prikupljene podatke
vei skup slinih podataka uz predvianje buduih rezultata istih ili slinih pojava
ali uz neku vjerojatnost !
(pogreke ili sigurnosti procjene)
28
TO JE DOBAR UZORAK ?
REPREZENTATIVAN SLUAJNO IZABRAN iz populacije
DOVOLJNO VELIK
829
Populacija vs. Uzorci
PopulacijaN = 958
n = 20
n = 250
n=10
n = 35
Uzorci
30
REPREZENTATIVNI UZORAK
sadri sve tipine varijante populacije iz koje je uzet
svakoj varijanti populacije dati jednaku priliku (ansu) da bude izabrana i ukljuena u uzorak
31
DOVOLJNO VELIKveliina uzorka = n
Openito: velika varijabilnost - vei uzorak mala varijabilnost - manji uzorak
RADIMO S UZORCIMA,ZAKLJUUJEMO O POPULACIJI !!!
pritom uvijek inimo stanovitu (manju ili veu) pogreku !32
KAKO OSIGURATI DOBAR UZORAK ?
sluajnim (random) uzimanjem varijanata iz populacije primjenom objektivnog postupka: metoda tablice sluajnih brojeva svaka deseta, petnaesta varijanta raunalna randomizacija
Samo ako imamo dobar uzorak smijemo poopiti - zakljuiti iz UZORKA o POPULACIJI !
933
ELEMENTI OPISNE STATISTIKE
(DESKRIPTIVNE STATISTIKE):
1. populacija ili uzorak koji istraujemo2. varijabla (svojstvo) koje istraujemo3. tablice, grafikoni ili numerike metode4. utvrivanje i usporeivanje pravilnosti
(nepravilnosti) u podacima
34
ELEMENTI STATISTIKE ZAKLJUIVANJA
(INFERENCIJALNE STATISTIKE):
1. populacija koju istraujemo2. varijabla (svojstvo) koje istraujemo3. uzorak iz populacije4. zakljuak o populaciji temeljem uzorka5. pouzdanost zakljuka
35
POVIJESNI RAZVOJ STATISTIKE - BIOMETRIKE
Statistika - relativno nova disciplina primjena metoda datira od razdoblja 3000
godina p. n. e. (popis stanovnitva u vojne i financijske svrhe Kina, Egipat, Grka, ..., Nazaret ...).
temelji - poetak 17. stoljea povezan je s razvojem teorije vjerojatnosti
36
Teorija vjerojatnosti:
Blaise Pascal (1623-1662) - franc.
Pierre de Fermat (1601-1665) - franc.
Jacques Bernoulli (1654-1705) - belg.
10
37
Normalna distribucija: Abraham de Moivre (1667-1754) -
franc. Pierre Simon Laplace (1749-1827) -
franc.
Karl Fridrich Gauss (1777-1855) - njem.
38
Primjena statistike u analizi bioloke raznolikosti (genetika):
Adolphe Quetelet (1796-1874) ) - belg.
Francis Galton (1822-1911) - eng.
Karl Pearson (1857-1936) - eng.
39
Osobiti doprinos razvoju biometrike u agronomiji:
sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)- eng.planiranje i analiza eksperimenata u agronomskim istraivanjima
William Sealey Gosset Student (1876-1937) eng.
akad. Alois Tavar (1898-1979) 1929. kod nas prva primjena u agronomiji (knjiga udbenik):
"Variaciona statistika
u eksperimentalnoj poljoprivredi" 40
Biometrika danas! intenzivni razvoj statistikih znanosti i primjene
biometrijskih metoda u svim granama ljudske djelatnosti
razvoj biometrike je u stalnoj interakciji s razvojem drugih prirodnih znanosti
upotreba raunala i raunalnih programa u statistikoj obradi podataka
http://www.statsoft.com/textbook/stathome.htmlhttp://www.sportsci.org/resource/stats/index.html
11
41
OPISNA (DESKRIPTIVNA)STATISTIKA
Tipovi podataka i varijabli
42
PODACI su materijal s kojim statistiar radi vrijednosti koje poprima varijabla
(svojstvo) pod razliitim utjecajima (genetskim, okolinskim)
prikupljaju se : MJERENJEMBROJANJEMOPAANJEM
43
PODACI185.5 cm uto 5.26 cm
72.3 kg ocjena 3 0.58 g 34.26 dt/ha
klasa_II 312 zrna na klipu
1.8 % Ca u listu B zaraza_ 25%
okruglo 726 klasova / m2 zaraza_7
44
KVANTITATIVNI PODACI
185.5 cm 5.26 cm 726 klasova / m2 72.3 kg 0.58 g 34.26 dt/ha 312 zrna na klipu 1.8 % Ca u listu
rezultat su mjerenja prema numerikoj skali (KONTINUIRANI, NEPREKINUTI)ili brojanja (NEKONTINUIRANI, DISKRETNI)
KVALITATIVNI PODACI
zaraza_ 25% klasa_II uto ocjena 3 okruglo zaraza_7 B
rezultat su opaanja ne mogu biti izmjereni prema numerikoj skali nastaju klasificiranjem u jednu kategoriju u skupini kategorija (NOMINALNU stanje ili ORDINALNU redoslijed) binarni i nebinarni
12
45
VARIJABLE ili SVOJSTVAprema tipu podataka:
KVANTITATIVNE(MJERNE, NUMERIKE)
KVALITATIVNE(ATRIBUTIVNE, KATEGORIKE)
46
KVANTITATIVNE VARIJABLE(MJERNE, NUMERIKE)
1. KONTINUIRANE, NEPREKINUTE
2. DISKONTINUIRANE -NEKONTINUIRANE, DISKRETNE
IZVEDENE (DERIVIRANE)
47
1. KONTINUIRANE VARIJABLE
mjere se iz beskonane populacije n beskonaan broj vrijednosti izmeu dva fiksna
broja izmeu duljina 1.5 m i 1.6 m moe se izmjeriti
beskonano mnogo duljina to ovisi o preciznosti mjernog instrumenta
realni su brojevi (decimalni)
48
PRIMJERI:
prinos zrna (dt/ha) temperatura zraka ( C) opseg ploda jabuke (cm) povrina lista (cm2) vremenski period (min, sec.)
1. KONTINUIRANE VARIJABLE
13
49
2. DISKONTINUIRANE VARIJABLE
broje se iz beskonane ili konane populacije
one koje imaju vrijednost nekog fiksnog broja tako da nema intermedijarnih vrijednosti (ili 5 ili 6 )
prirodni su brojevi (cijeli)
50
2. DISKONTINUIRANE VARIJABLE
PRIMJERI:
broj mahuna na biljci soje broj zrna na klipu kukuruza broj zametnutih plodova jabuke broj cvatova I klase na gladioli
51
IZVEDENE (DERIVIRANE) VARIJABLE dobiju se iz dvije ili vie mjernih, neovisno izmjerenih kao omjeri, postoci,
indeksi esto sadre i neku konstantu
Primjeri:indeks lisne povrine (LAI leaf area index)
LAI = Plista (m2) / Ptla (1 ha tj 10 000 m2)
uinkovitost pesticidaUinkovitost insekticida Abbott = 100 * 1- (T / C) (%)
T = br. insekata na tretiranoj povrini nakon tretiranjaC = br. insekata na kontrolnoj povrini nakon tretiranja
kvaliteta gustog soka eerne repe (JQ juice quality)JQ = 99,36 - 0,1427 * (KD + NAD + AND) (meq/100S)
KD, NAD, AND = kalij natrij , aminoduik na digestiju
broj zrna u mahuni soje (br. zrna na biljci / br. mahuna na biljci) , itd
52
KVALITATIVNE VARIJABLE(ATRIBUTIVNE, KATEGORIKE)
ne mjere se, ne broje se, podaci se kategoriziraju
po redoslijedu (veliine): ORDINALNE - RANGOVI, OCJENE
ili po opisu stanja (nazivu):
NOMINALNE - ATRIBUTI, OBILJEJA
14
53
ORDINALNE - RANGOVI, OCJENE kategorije po veliini
varijable kojima se biljei jaina dogaaja
ta veliina se pridruuje kategorijama (po veliini) nejednakih intervala
npr. razlika izmeu 3 i 4 ne mora i nije jednaka, ili proporcionalna onoj izmeu 5 i 6, kako je to kod diskontinuiranih
PRIMJERI: stanje mora (0 - 12)znanje (1 - 5)zaraza nekom bolesti (1 - 9) 54
NOMINALNE - ATRIBUTI, OBILJEJA
opisuju stanje odnose se na kvalitetu pripadnosti
PRIMJERI: ensko-muko boja cvijeta, perikarpa, ploda stadij razvoja insekta
55
GRAFIKE METODE ZA OPIS KVALITATIVNIH VARIJABLI
kategorije se definiraju tako da svaka varijanta (opaaj) moe ui samo u jednu kategoriju
56
Primjer:Poljoprivredno zemljite u RH (stanje 1991.)
Nain koritenja 1000 ha %Oranice 1466Vrtovi 23Vonjaci 70Vinogradi 71Livade 413Panjaci 1155ume 1978Total 5176
15
57
Primjer:Poljoprivredno zemljite u RH (stanje 1991.)
Nain koritenja 1000 ha %Oranice 1466 28.32Vrtovi 23 0.44Vonjaci 70 1.35Vinogradi 71 1.37Livade 413 7.98Panjaci 1155 22.31ume 1978 38.21Total 5176 100
58
Pie Chart = torta, pita..
59
Bar (Column) Chart = stupasti
1466
23
70
71
413
1155
1978
0 500 1000 1500 2000
Oranice
Vrtovi
VonjaciVinogradi
Livade
Panjaciume
ha
60
ili ...
0% 20% 40% 60% 80% 100%
1
OraniceVrtoviVonjaciVinogradiLivadePanjaciume
16
61
Uestalost dolaska ispitanika u Park Maksimir
171517
28
20
3
1817
25
20 20
005
1015202530
%
stanovnici posjetitelji
svaki dan
2-3 puta tjednojednom tjednojednom mjeseno2-3 puta godinjeuope ne idem
62
Razlozi dolaska ispitanika u ParkMaksimir
44
1411
9 9 7 5 1
52
105 7
14
5 3 4
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
stanovnici posjetitelji
etnja posjet Zoo-vrtuvonja biciklomsusret s ljudimaetnja psajoggingigra ( nogomet I s l.)pecanje, jahanje
63
NUMERIKE I GRAFIKE METODE ZA OPISKVANTITATIVNIH VARIJABLI
FREKVENCIJA =uestalost pojavljivanja pojedine varijante u uzorku ili populaciji
DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA =RAZDIOBA, RASPODJELA uestalosti pojavljivanja varijanata u uzorku ili populaciji
Moe biti numerika ili grafika64
UZORAK VELIINE n = 11
Vrijednosti varijable x:
7 6 5 7 8 9 6 7 4 6 7
Poredane po veliini:
4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 9
17
65
Numerika distribucija frekvencije n = 11
x f f cum
4 1 1
5 1 2 (f) = ?6 3 5
7 4 9
8 1 10
9 1 1166
Numerika distribucija frekvencije n = 11
x f f cum
4 1 1
5 1 2 (f) = n = 116 3 5
7 4 9
8 1 10
9 1 11
67
frekvencijski histogram
02468
1012
4 5 6 7 8 9x
f ff cum
68
frekvencijski poligon
02468
1012
4 5 6 7 8 9x
f ff cum
18
69
to je potrebno prije konstrukcije distribucije frekvencije?
varijacijska irina ili rasponv = xmax - xminvarijacijski red= prikaz redoslijeda frekvencija po rastuim
vrijednostima varijable (svojstva)
razredi= odsjeci u varijacijskom redu jednake veliine koje smo
proizvoljno odredili temeljem v (cca 8 - 15)
razredni razmak (areal , a) = raspon izmeu gornje i donje granice u razredu
70
Kultura /vrsta = jabukaVarijabla x = opseg ploda (cm)Veliina uzorka n = 32 ploda
r.br. x r.br. x r.br. x r.br. x
1 15.8 9 20.4 17 26.4 25 19.1
2 17.2 10 18.2 18 16.2 26 20.2
3 18.6 11 19.7 19 24.2 27 22.4
4 20.3 12 22.2 20 16.4 28 19.5
5 14.4 13 21.1 21 22.5 29 14.1
6 13.1 14 21.4 22 20.0 30 19.6
7 23.4 15 25.3 23 21.3 31 20.5
8 21.2 16 20.5 24 12.2 32 19.1
min = ? max = ?
71
Kultura /vrsta = jabukaVarijabla x = opseg ploda (cm)Veliina uzorka n = 32 ploda
r.br. x r.br. x r.br. x r.br. x
1 15.8 9 20.4 17 26.4 25 19.1
2 17.2 10 18.2 18 16.2 26 20.2
3 18.6 11 19.7 19 24.2 27 22.4
4 20.3 12 22.2 20 16.4 28 19.5
5 14.4 13 21.1 21 22.5 29 14.1
6 13.1 14 21.4 22 20.0 30 19.6
7 23.4 15 25.3 23 21.3 31 20.5
8 21.2 16 20.5 24 12.2 32 19.1
min
max
72
varijacijska irina ili rasponv = xmax - xminv = 26.4 - 12.2 = 14.2 cm
razredni razmak (areal , a)a = 2 cm
19
73
Numerika distribucija frekvencije n = 32
varijabla x simbol frekvencija fkumulativna frek. f cum
(12.0 , 14.0] II 2 2(14.0 , 16.0] III 3 5(16.0 , 18.0] III 3 8(18.0 , 20.0] IIII II 7 15(20.0 , 22.0] IIII IIII 10 25(22.0 , 24.0] IIII 4 29(24.0 , 26.0] II 2 31(26.0 , 28.0] I 1 32
74
Graf distribucije frekvencijeHistogram
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
opseg
0
2
4
6
8
10
12
f
r
e
k
v
e
n
c
i
j
a
75
Graf distribucije kumulativne frekvencije
Histogram
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
opseg
0
5
10
15
20
25
30
35
k
u
m
u
l
a
t
i
v
n
a
f
r
e
k
v
e
n
c
i
j
a
76
Primjer: n = 422 klipa kukuruzaPodaci za 3 varijable
r.br. DULJINA BR_REDOVA BR_ZRNA1 20.7 12 5012 17.1 14 4423 20.5 12 4894 16.8 16 476* * * *
* * * *
* * * *
418 15.9 14 349419 14.5 14 311420 20.5 12 453421 22.0 14 616422 16.0 12 432
20
77
Primjer: n = 422 klipa kukuruzaOpisna statistika za 3 varijable
Varijable Prosjek Min Max Raspon
DULJINA 18.03 9.50 28.00 18.50
BR_REDOVA 13.31 8 18 10
BR_ZRNA 429.89 63 797 734
78
DULJINA (cm) frekvencija
kumulativnafrekvencija
postotakfrekvencije(relativna f)
kumulativni postotak
frekvencije
a = 5 cm f f cum. f (%) f cum (%)(5.00 , 10.00] 1 1
(10.00 , 15.00] 52 53(15.00 , 20.00] 281 334(20.00 , 25.00] 86 420(25.00 , 30.00] 2 422
n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponDULJINA 18.03 9.50 28.00 18.50
? ?
79
DULJINA (cm) frekvencija
kumulativnafrekvencija
postotakfrekvencije(relativna f)
kumulativni postotak
frekvencije
a = 5 cm f f cum. f (%) f cum (%)(5.00 , 10.00] 1 1 0.24 0.24
(10.00 , 15.00] 52 53 12.32 12.56(15.00 , 20.00] 281 334 66.59 79.15(20.00 , 25.00] 86 420 20.38 99.53(25.00 , 30.00] 2 422 0.47 100.00
n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponDULJINA 18.03 9.50 28.00 18.50
0.24 = 100 / 422
12.32 = 52*100 / 422
f % = f * 100 / n
80
BR_REDOVA frekvencija kumulativna frekvencija
postotak frekvencije
kumulativni postotak
frekvencije
a = 2 reda f f cum. f (%) f cum (%)8 1
10 6
12 175
14 200
16 36
18 4
n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponBR_REDOVA 13.31 8 18 10
21
81
BR_REDOVA frekvencija kumulativna frekvencija
postotak frekvencije
kumulativni postotak
frekvencije
a = 2 reda f f cum. f (%) f cum (%)8 1 1 0.24 0.24
10 6 7 1.42 1.66
12 175 182 41.47 43.13
14 200 382 47.39 90.52
16 36 418 8.53 99.05
18 4 422 0.95 100.00
n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponBR_REDOVA 13.31 8 18 10
82
BR_ZRNA frekvencija kumulativnafrekvencija
postotak frekvencije
kumulativni postotak
frekvencijea = 100 zrna f f cum. f (%) f cum (%)
(0 , 100] 1 1 0.24 0.24(100 , 200] 6 7 1.42 1.66(200 , 300] 38 45 9.00 10.66(300 , 400] 107 152 25.36 36.02(400 , 500] 166 318 39.34 75.36(500 , 600] 94 412 22.27 97.63(600 , 700] 9 421 2.13 99.76(700 , 800] 1 422 0.24 100.00
n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponBR_ZRNA 429.89 63 797 734
83
Frekvencijski histogram
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
BR_
ZRNA
(0 ,
100]
(100 ,
200]
(200 ,
300]
(300 ,
400]
(400 ,
500]
(500 ,
600]
(600 ,
700]
(700 ,
800]
ff cum
84
Frekvencijski poligon
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
BR_
ZRNA
(0 ,
100]
(100 ,
200]
(200 ,
300]
(300 ,
400]
(400 ,
500]
(500 ,
600]
(600 ,
700]
ff cum
22
85
n = 422 klipa kukuruzaareal, a = 5 cm
Histogram: DULJINAK-S d=.07806, p