Nelineární lomová mechanika

Jan KoroušBisafe s.r.o

ÚTAM AV ČR

Plastická zóna Případ plastizace malého rozsahu (Small Scale

Yielding) Irwinova korekce

Model Dugdale - Barenblatt

kp 2

cosra

a

2

kp

Kk1

r

CTOD CTOD=Crack Tip Opening

Displacement Rozevření na čele trhliny

Ostrá trhlina

Otupená trhlina

Výpočet CTOD Vztah mezi rozevřením na čele trhliny a

součinitelem intenzity napětí Irwinova korekce

Dugdale – Barenblatt

Z Taylorova rozvoje plyne přibližný vztah:

2

kEK4

k

k

2secln

Ea8

EK

k

2

J-integrál Definice: (J.1)

Vektor sil na integrační křivkce Hustota deformační energie

dsxu

TdyJ ii

jiji nT

ij

0ijijd

T

Vlastnosti J-integrálu J=0 po uzavřené křivce

J nezávisí na integrační cestě

Důkaz 1 Křivkový integrál lze převést na plošný

integrál: (J.2)

Hustota deformační energie představuje elastický potenciál a tudíž platí:

První člen v integrálu (J.2) lze potom následovně upravit:

(J.3)

dxdyxu

xxJ

A

iij

j

ijij

xxxij

ijij

ij

Důkaz 1 Definice tenzoru deformace: Po dosazení do rovnice (J.3) a využití symetrie

symetrie tenzoru napětí (platí ij = ji) dostáváme:

(J.4)

Současně musí být splněna podmínka rovnováhy:

i

j

j

iij x

u

xu

21

xu

xx

u

xxu

x21

xi

jij

i

j

j

iij

0xj

ij

Důkaz 1 Vztah (J.4) lze potom dále upravit do tvaru:

(J.5)

Ze vztahu (J.5) je již přímo vidět, že oba členy v rozdílu v (J.1) jsou shodné a tudíž platí, že J = 0 po uzavřené křivce

xu

xxu

xxi

ijj

i

jij

Důkaz 2 Pro J-integrál po uzavřené křivce = 1+ 2+

2+ 3 platí:0JJJJJ 4321

1

2

1

4

x

y

Důkaz 2 Poněvadž platí, že dy = 0 podél křivek 2 a 4 je

první člen integrálu (J.1) podél křivek 2 a 4 nulový Za předpokladu, že líce trhliny nejsou zatíženy, je i

druhý člen integrálu (J.1) podél křivek 2 a 4

nulový. Z uvedeného předpokladu totiž vyplývá, že Ti = 0 křivek 2 a 4.

Z výše uvedeného vyplývá: J2 = J4 = 0 J1 = -J3 Rozdíl ve znaménku J1 a J3 je způsoben rozdílnou

orientací křivek 1 a 3

Závěr: Hodnota J-integrálu nezávisí na volbě integrační cesty

J-integrál jako parametr pole Popis singulárního pole napětí v elasticko-

plastickém materiálu s popisem tahového diagramu podle Ramberg-Osgoodova vztahu

Ramberg – Osgoodk, k … napětí a deformace na mezi kluzu

,n … materiálové konstanty Pro složky tenzoru napětí lze najít vztah HRR (Hutchinson-Rice-Rosengreen) pole

n

kkk

n11

ij rJ

)r,(~rI

EJij

n11

nkkij

Parametry HRR pole E … modul pružnosti J … J-integrál ,n … materiálové koeficienty Ramberg-

Ogoodova vztahu In … bezrozměrná funkce exponentu n r… vzdálenost od čela trhliny … bezrozměrná tvarová funkce

Pouze J je závislé na zatížení tělesa!

)r,(~ij

Vztah J a K Elastické kontinuum: J = G

Rovinná napjatost: E’ = E

Rovinná deformace:

'EK

J2

)1(E

'E 2

Vztah J a CTOD Rozevření

J-integrál

Obecně

K

2

EK4

'EK

J2

K4J

21m;mJ k

Výpočet J-integrálu Numericky – MKP

Z definice Doménová definice

Přibližné formule: EPRI

plel JJJ

Výpočet J-integrálu

HRR pole:

Je-li J řídící parametr, zatížení je proporcionální a napětí jsou úměrné zatížení P

?J;'E

KJ pl

2

el

)r,(~rI

EJij

n11

nkkij

1nij

1n

k

ijnkk

~rIJ

Výpočet J-integrálu

h … bezrozměrné funkce závislá na geometrii tělesa s trhlinou

L … charakteristický rozměr konstrukce

P0… referenční zatížení, limitní zatížení

1n

0kkpl P

PhLJ

Kritérium Dosažení kritické hodnoty

Houževnaté materiály vykazují stabilní nárůst trhliny před lomem – odolnost proti lomu se vyjadřuje pomocí tzv. J-R křivky

ICJJ

J-R křivky Po fázi otupování čela trhliny nastane stabilní

růst Část J-R křivky, která odpovídá fiktivnímu růstu

vlivem otupování čela trhliny, se nazývá čára otupení

J-R křivky Kritérium: Jap odpovídá

vnějšímu zatížení P Provede se výpočet

Jap pro zadané P a různé délky trhliny a.

Hodnota P2 je kritická hodnota zatížení

dadJ

da

dJJJ Rap

Rap

Failure Assessment Diagrams Zkratka FAD Odvození z modelu plastické zóny podle

Dugdale - Barenblatt

21

k2kef 2

secln8

aK

21

k2

kef

2secln

8K

aK

K

Failure Assessment Diagrams Dosazení vztahu pro K: Pro lom platí: Kef = KIC

Zavedené bezrozměrných souřadnic Kr a Sr

Výsledek

aK

Kr

ICr S;

KK

K

21

r2rr S2

secln8

SK

Failure Assessment Diagrams FAD používají metodiky pro posuzování

přípustnosti defektů: např. British Energy R6, API579, SINTAP

Hodnocení přípustnosti konstrukce má několik úrovní, kdy se použijí odlišné diagramy

Např. R6, Level 1 používá )S6.0exp(7,03,0)S5,01(K 6

R2Rr

Failure Assessment Diagrams Porovnání křivek

Failure Assessment Diagrams posouzení přípustnosti trhliny – vypočtou se

hodnoty Kr a Lr vynesou se do grafu

Dvouparametrová lomová mechanika Problémy:

Lomová houževnatost závisí na geometrii zkušebního tělesa

Plastická zóna má pro stejnou hodnotu K pro různé geometrie rozdílnou velikost a tvar

Zaveden pojem „constraint“ – stísnění plastické deformace před čelem trhliny

Popis stísnění – Použitím dalších lomových parametrů

Vliv geometrie na pl. zónu CT

CCT

SENB

DENT

T napětí První nesingulární člen rozvoje napětí:

T napětí: složka napětí ve směru osy x Interpretace: záporná hodnota T – malé

stísnění, kladná hodnota T – vysoké stísnění Použití pro malé plastické deformace Biaxialita:

j1i1ij T)(fr2

K

KaT

T napětí pro různá tělesa

Napětí před čelem trhliny Mez kluzu 0

Modified boundary layer Oblast s okrajovými podmínkami

podle vztahu:j1i1ij T)(f

r2K

Q parametr Odvozen z porovnání skutečného a

referenčního pole napětí

O´Dowd, Shih:difijHRRijij )()(

2/proQ)( ijkHRRijij

Q parametr Smluvní výpočet

2J

ra0pro

)(Q k

k

HRRyyyy

Interpretace Vysoká hodnota Q – velké stísnění

Prakticky: záporné hodnoty = nízké stísnění, rozvoj plastické deformace

Vliv na J-R křivky

Využití Při aplikaci je třeba znát závislost JIC na Q,

popř. KIC na T (nutno zjistit experimentálně) Pro posuzovanou konstrukci se vypočte

hodnota Q, hodnota JIC se určí ze závislosti JIC na Q

Provede se kontrola kriteria J = JIC

Využití Relace Jc - Q

Využití Modifikace FAD podle R6:

f(Sr) … viz např. FAD R6 , m … materiálové konstanty B … parametr stísnění odvozený z

T napětí, resp. Q parametru

])B(1)[S(fK mrr

rrk SQ

B.respST

B

Vliv stísnění