A. Menentukan orde galat

Pada penurunan rumus turunan numerik dengan deret Taylor, kita dapat langsung

memperoleh rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi kita harus mencari

rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.

1. Hampiran selisih-maju

Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan

dengan deret Taylor di sekitar x0:

E =

=

=

=

=

=

= O(h)

Jadi, hampiran selisih – maju memiliki galat E = , dengan orde

O(h).

1

2. Hampiran selisih-mundur

Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan

dengan deret Taylor di sekitar x0:

E =

=

=

=

=

=

= O(h)

Jadi, hampiran selisih – mundur memiliki galat E = ,

dengan orde O(h).

3. Hampiran selisih-pusat

2

Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan

dengan deret Taylor di sekitar x0:

E =

=

=

=

=

=

= O(h2)

Jadi, hampiran selisih – pusat memiliki galat E = ,

dengan orde O(h2).

Contoh menentukan orde galat:

Tentukan nilai galat dari turunan f(x) = –0,1x4 – 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2 pada x = 0,5 dengan h = 0,5.

Jawaban:

f(x) = –0,1x4 – 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2

3

f’(x) = –0,4x3 – 0,45x2 – x – 0,25

f”(x) = –1,2x2 – 0,9x – 1

f ”’(x) = –2,4x – 0,9

1. Hampiran selisih–maju:

E = – f”(t)

= – (–1,2x2 – 0,9x – 1)

= – (–1,2(0,5)2 – 0,9(0,5) – 1)

= – (–0,3 – 0,45 – 1)

= – (–1,75)

= 0,4375

2. Hampiran selisih–mundur:

E = f”(t)

= (–1,2x2 – 0,9x – 1)

= (–1,2(0,5)2 – 0,9(0,5) – 1)

= (–0,3 – 0,45 – 1)

= (–1,75)

= –0,4375

3. Hampiran selisih–pusat:

E = – f”’(t)

4

= – (–2,4x – 0,9)

= – (–2,4(0,5) – 0,9)

= – (–1,2 – 0,9)

= – (–2,1)

=

= 0,0875

TURUNAN NUMERIK UNTUK TURUNAN KEDUA

Penurunan Formula Derifatif Dan Orde Galatnya

A. Penurunan Formula Derifatif

Penurunan Formula (rumus) turunan numerik dengan polinom interpolasi

Misalkan diberikan titik-titik data berjarak sama,

dan

.

Bentuk inter polasi Newton – Gregory nya adalah sebagai berikut :

Yang dalam hal ini,

Turunan pertama dari adalah :

5

Berdasarkan (P. 7. 12), diperoleh rumus turunan numeric dengan ketiga pendekatan (maju, mundur, pusat) sebagai berikut :

a. Hapiran selisih-maju

- Bila digunakan untuk titik – titik :

- Bila digunakan titik – titik :

Untuk titik , sehingga

b. Hampiran selisih-mundur

- Bila digunakan titik – titik :

- Bila digunakan titik – titik :

6

c. Hampiran selisih-pusat

- Bila diunakan titik – titik

- Bila digunakan titik – titik

Untuk titik = , sehingga

7

Untuk titik

Untuk titik , sehingga

B. Penentuan Orde Galat

Pada penurunan rumus numerik dengan deret taylor, kita dapat langsung memoeroleh rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi, kita harus mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor. Contohnya kita akan menentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numerik hampiran selisih- pusat:

Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan

deret Taylor disekitar :

8

=

Jadi, hampiran selisih-pusat memiliki galat E , dengan

orde .

PENGERTIAN INTEGRAL DAN ATURAN

A. Metode Simpson

Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain

untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih

tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di

antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar

7.5a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b),

maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 7.5b).

Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode

(aturan) Simpson.

Gambar 7.5. Aturan Simpson

1) Aturan Simpson 1/3

Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang

melalui titik f (xi – 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat

diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.

9

(7.11)

Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi:

(7.12)

Dengan memperhatikan Gambar 7.6. dan persamaan (7.12) maka persamaan deret

Taylor adalah:

(7.13)

(7.14)

Pada Gambar 7.6, nilai I (xi + 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi + 1.

Sedangkan nilai I (xi - 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi - 1). Dengan demikian luasan di

bawah fungsi antara batas xi - 1 dan xi + 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi - 1)

atau persamaan (7.13) dikurangi persamaan (7.14).

Ai = I (xi + 1) – I (xi - 1)

atau

10

(7.15)

Gambar 7.6 Penurunan metode Simpson

Nilai f ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat:

Kemudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (7.15). Untuk memudahkan

penulisan, selanjutnya notasi f (xi) ditulis dalam bentuk fi, sehingga persamaan (7.15)

menjadi:

atau

(7.16)

Persamaan (7.16) dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi tambahan nama 1/3

karena Dx dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias, , sehingga persamaan

(7.16) dapat ditulis dalam bentuk:

(7.17)

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:

Oleh karena , maka:

11

Contoh soal:

Hitung dengan aturan Simpson 1/3.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (7.17) maka luas bidang adalah:

Kesalahan terhadap nilai eksak:

Terlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil lebih

baik dari rumus trapesium.

1) Aturan Simpson 1/3 Dengan Banyak Pias

Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan

membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama (Gambar

7.6):

dengan n adalah jumlah pias.

gambar 7.7. Metode Simpson dengan banyak pias

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 7.7.

12

(7.18)

Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap. Apabila persamaan (7.16)

disubstitusikan ke dalam persamaan (7.18) akan diperoleh:

atau

(7.19)

Seperti pada Gambar (7.7), dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak pias ini

jumlah interval adalah genap. Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson

untuk banyak pias adalah:

dengan adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.

Contoh soal:

Hitung dengan metode Simpson dengan Dx = 1.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (7.19) maka luas bidang adalah:

Kesalahan terhadap nilai eksak:

13

2) METODE SIMPSON 3/8

Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga

yang melalui empat titik.

Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh:

(7.20)

dengan:

Persamaan (7.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena Dx dikalikan dengan

3/8. Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:

(7.21)

Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:

(7.22a)

Mengingat , maka:

(7.22b)

Metode Simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan

hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang membutuhkan

empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk

jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode

14

trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup

besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan

metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.

Contoh soal:

Dengan aturan Simpson 3/8 hitung . Hitung pula integral tersebut dengan

menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias

dengan Dx = 0,8.

Penyelesaian:

a) Metode Simpson 3/8 dengan satu pias

Integral dihitung dengan menggunakan persamaan (7.21):

Besar kesalahan adalah:

b) Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah:

f (0) = e0 = 1 f (2,4) = e2,4 = 11,02318.

f (0,8) = e0,8 = 2,22554 f (3,2) = e3,2 = 24,53253.

f (1,6) = e1,6 = 4,9530 f (4) = e4 = 54,59815.

Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan

7.17):

15

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8:

Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas:

Kesalahan terhadap nilai eksak:

4) Metode Integrasi Gauss

Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data diskrit,dengan

batasan :

H sama ( h = b-a )

Luas dihitung dari a sampai b

Maka mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.

Misalkan menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida

Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error

integrasinya min.

16

Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara

tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara

tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

Didapat

Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

Transformasikan Dari Persamaan Satu Ke Persamaan Satunya

Range [a,b] = [-1,1]

X = u f(x) = g(u) dx = du

17

Analisa perbandingan antara metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8)

dengan metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi

aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi

Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

18

Hitung

Contoh Soal

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa

kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

19

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

20

21