Post on 08-Feb-2020
2 10 8
kpss
ÖABT
Öncebiz sorduk
50 Soruda
SORU30
GüncellenmişYeni
Baskı
İLKÖĞRETİMMATEMATİK
ANALİZDİFERANSİYEL DENKLEMLER
Fikret Hemek
ÖABT İlköğretim Matematik Analiz-Diferansiyel Denklemler
ISBN 978-605-318-898-8
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
4.Baskı: 2018, Ankara
Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLERMATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a. Analiz
b. Cebir
c. Geometri
d. Uygulamalı Matematik
% 24
% 16
% 16
% 24
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015–2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
ÖN SÖZ .................................................................................................................................................. III
1. KISIMÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARPARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 5MUTLAK DEĞER FONKSİYONU .......................................................................................................................... 6MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ...................................................................................... 8SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ........................................................................................................................ 10İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ .................................................................................................................. 12TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ...................................................................................................... 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ .................................................................................................. 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ................................................................................................... 16FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ................................................................................................... 18
LİMİTLİMİT ...................................................................................................................................................................... 27SAĞ – SOL LİMİT................................................................................................................................................... 27GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ........................................................................................................... 29LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER .............................................................................................................................. 30ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ........................................................................................................... 32MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ...................................................................................................... 33SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ..................................................................................................................... 35TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ........................................................................................................... 36BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................ 37TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................... 38∞/∞ BELİRSİZLİĞİ .................................................................................................................................................. 41∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................................................. 420 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................................................... 44ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU .................................................................................................. 45SÜREKLİLİK ........................................................................................................................................................... 46SÜREKLİLİK TEOREMLERİ .................................................................................................................................. 47SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ..................................................................................................................................... 47 Kaldırılabilir Süreksizlik ................................................................................................................................. 47 Sıçrama Süreksizliği ..................................................................................................................................... 47 Sonsuz Süreksizliği ....................................................................................................................................... 48 Balzano Teoremi ........................................................................................................................................... 48DÜZGÜN SÜREKLİLİK .......................................................................................................................................... 49
TÜREVTÜREV ................................................................................................................................................................... 59SAĞ–SOL TÜREV.................................................................................................................................................. 60LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ............................................................................................................... 60TÜREV ALMA KURALLARI.................................................................................................................................... 61YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ................................................................................................................... 76ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ........................................................................................................ 79 Parçalı Fonksiyonların Türevi ....................................................................................................................... 79MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................... 80SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................................. 81TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ............................................................................................................ 81
vi
TÜREVİN UYGULAMALARI................................................................................................................................... 91 L'Hospital Kuralı ............................................................................................................................................ 91ÜSTEL BELİRSİZLİKLER....................................................................................................................................... 94 1∞, 00, ∞0 Belirsizlikleri ................................................................................................................................ 94TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU .............................................................................................................................. 96POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ................................................................................................................................. 97DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ........................................................................................................................ 97MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ............................................................................................................. 98 Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar .............................................................. 101TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ........................................................................................................................ 105 Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ......................................................................................................................... 105ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 110YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ....................................................................................................................... 113 Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ............................................................................................ 114TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ .......................................................................................................................... 114 Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ........................................................................................... 116TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ .................................................................................... 119ASİMPTOT KAVRAMI ............................................................................................................................................ 124 Düşey Asimptot ............................................................................................................................................. 124FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ............................................................................................................................... 127TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ............................................................................................................................. 128
İNTEGRALBELİRSİZ İNTEGRAL............................................................................................................................................. 147TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ................................................................................................................. 148İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ .......................................................................................................................... 153 Değişken Değiştirme Yöntemi....................................................................................................................... 153ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................................................................ 156
a x2 2- İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................................ 156
RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ................................................................................................. 159TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ............................................................................................ 163 İndirgeme Bağıntıları..................................................................................................................................... 165KISMİ İNTEGRASYON ........................................................................................................................................... 166BELİRLİ İNTEGRAL ............................................................................................................................................... 172 Reimann Kavramları ..................................................................................................................................... 172İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ....................................................................................................... 174 Belirli İntegralin Özellikleri ............................................................................................................................. 174ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ .................................................................................................. 179İNTEGRALDE ALAN .............................................................................................................................................. 181İNTEGRALDE HACİM ............................................................................................................................................ 182 Kabuk Yöntemi.............................................................................................................................................. 188 Dönel Yüzeyin Alanı...................................................................................................................................... 193 Pappus – Guldin Teoremi.............................................................................................................................. 196
ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARTANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ............................................................................................................................. 201 Seviye Eğrileri ............................................................................................................................................... 204 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ........................................................................................ 204 Süreklilik........................................................................................................................................................ 207 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) .................................................................................... 207 Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi....................................................................................................... 209
vii
Zincir Kuralı ................................................................................................................................................... 210 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi.............................................................................. 211ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ........................................................................ 212 Yerel Maksimum ........................................................................................................................................... 212 Yerel Minimum .............................................................................................................................................. 212 Kritik Nokta – Eyer Nokta .............................................................................................................................. 212 Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ...................................................................................................................... 213 Maksimum–Minumum Problemleri................................................................................................................ 214ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ............................................................................................ 216 Çift Katlı İntegral ........................................................................................................................................... 216 Sınır Değiştirme ............................................................................................................................................ 218 Bölge Değiştirme........................................................................................................................................... 219 Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ........................................................................................ 220 İki Katlı İntegralin Uygulamaları .................................................................................................................... 221 Hacim Hesabı ............................................................................................................................................... 224ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ............................................................................................................................. 226 Kütle Hesabı ................................................................................................................................................. 226AĞIRLIK MERKEZİ ................................................................................................................................................ 227ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ...................................................................................................................................... 227
KUTUPSAL KOORDİNATLARKUTUPSAL KOORDİNATLAR ............................................................................................................................... 235KARDİYOİD EĞRİSİ............................................................................................................................................... 237 Gül Eğrilerinin Çizimi..................................................................................................................................... 243
DİZİLER – SERİLERDİZİ ...................................................................................................................................................................... 253 Sonlu Dizi ...................................................................................................................................................... 253 Sabit Dizi ....................................................................................................................................................... 253EŞİT DİZİLER ......................................................................................................................................................... 254ALT DİZİ ................................................................................................................................................................. 254DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ...................................................................................................................................... 255DİZİLERDE SINIRLILIK .......................................................................................................................................... 256DİZİLERDE MONOTONLUK .................................................................................................................................. 256ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ................................................................................................................. 257 Aritmetik Dizi ................................................................................................................................................. 257 Geometrik Dizi .............................................................................................................................................. 258DİZİLERDE LİMİT ................................................................................................................................................... 259 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler .................................................................................................................... 261 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları .............................................. 262SERİLER ................................................................................................................................................................ 263 Geometrik Seri .............................................................................................................................................. 265 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ............................................................................................... 268 Genel Terim Testi .......................................................................................................................................... 268 İntegral Testi.................................................................................................................................................. 268 p – Testi......................................................................................................................................................... 269 Karşılaştırma Testi ........................................................................................................................................ 269 Karşılaştırma Testinin Limit Formu................................................................................................................ 269 Cauchy – Kök Testi ....................................................................................................................................... 270 D'alambert Oran Testi ................................................................................................................................... 271 Alterne Seriler ............................................................................................................................................... 272
viii
Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ....................................................................................................... 272KUVVET SERİLERİ ................................................................................................................................................ 273 Yakınsaklık Yarıçapı ...................................................................................................................................... 273 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ................................................................................ 274 Taylor ve Maclaurin Serileri ........................................................................................................................... 275 Önemli Maclaurin Seri Açılımları................................................................................................................... 276ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 291
2. KISIMDİFERANSİYEL DENKLEMLERDİFERANSİYEL DENKLEMLER ............................................................................................................................ 403 Giriş ............................................................................................................................................................... 403 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................................... 404 Genel ve Özel Çözümler ............................................................................................................................... 405 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ............................................................................ 407
DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLERDEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ................................................................................................ 411DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER .......................................................... 413HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................................................................... 414 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................... 414HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 415TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER .................................................................................................................... 417İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ................................................ 419LİNEER DENKLEMLER ......................................................................................................................................... 421 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi............................................................................................ 421BERNOULLİ DENKLEMLERİ ................................................................................................................................. 423RİCCATİ DENKLEMİ .............................................................................................................................................. 424
BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERBİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ........................................................ 431 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler .................................................................................... 431 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ........................................................................................................... 431 x'e Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................. 432 y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................ 432CLAİRAUT DENKLEMİ .......................................................................................................................................... 433LAGRANGE DENKLEMİ ........................................................................................................................................ 434İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 435
YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERYÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ..................................................................... 439 Mertebe İndirgeme ........................................................................................................................................ 440 Sabit Katsayılı Denklemler ............................................................................................................................ 441 Farklı Reel Kökler ......................................................................................................................................... 441 Katlı Reel Kökler ........................................................................................................................................... 442 Kompleks Kök ............................................................................................................................................... 442 Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ....................................................................... 445 Belirsiz Katsayılar Yöntemi ........................................................................................................................... 445PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ............................................................................................................. 449CAUCHY – EULER DENKLEMİ ............................................................................................................................. 451ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 457
1. KISIM
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
5
PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR
Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı ta-nımlı fonksiyon denir.
( )
( ),
( ),
( ),
f x
f x x a
f x a x b
f x b x
<
1
2
3
1
#
#
=
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur. b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f’nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır.
( ),
,f x
x x
x x2
3 1
1
<2
$- =
- -
-* ise f(x)’in grafiğini çizelim.
Çözüm
f(x - 2) fonksiyonunda x → x + 2 için;
( ),
( ) ,;f x
x x
x xolup
1 1
2 1
<2
$=
- -
+ -*
y
x olur.
4
-1
-1-2
-2
y x 1= -y x 2 2= +^ h
1
Uyarı !, ,y f x k k y f x02= + =^ ^h h in y ekseninde k birim pozitif yönde öte-lenmişidir.
, ,y f x k k y f x02= - =^ ^h h in y ekseninde k birim negatif yönde öte-lenmişidir.
,y f x k k ise y f x02= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sola ötelenmi-şidir.
,y f x k k ise y f x01= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sağa ötelenmi-şidir.
,y f x y f x=- =^ ^h h x eksenine göre simetriğidir.
,y f x y f x= - =^ ^h h in y eksenine göre simetriğidir.
x
y
y=f(x)
3
2
-1
y f x= ^ h in grafiği verilmiştir. Buna göre y f x 1=- +^ h
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
;y f x f x1= +^ ^h h in x ekseninde 1 birim sola ötelenmi-şidir.
x
x
y
y
2
2
-2
2
-2
-2
-1
-1
y=-f(x+1)
y=f(x+1)
elde edilir.
Buradan
6
Tek - Çift Fonksiyonlar
f A B"| için x A iken x A! !- olsun.
• f x f x- =^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir.
• f x f x- =-^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir.
Uyarı !Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir.
Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.
NOTHem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiyondur.
İki tek fonksiyonun çarpımı veya bö-lümü çift fonksiyondur.
Bir fonksiyon çift veya tek olmak zo-runda değildir.
tanf xx
x x
1 2 3
2$
=
-
^^
hh
fonksiyonu için;
tan tanf xx
x x
x
x x f x1 12 3
2
2 3
2$ $ $
- =- -
- -=
-
-=-^
^
_ ^
^
^^h
h
h i
h
hh oldu-
ğundan f x^ h tektir.
cosg xx
x x
1 2
3 4$
=+
^ h fonksiyonu için;
cos cosg xx
x x
x
x x g x1 12
3 4
2
3 4$ $
- =+ -
- -=
+=^
^
^
^^h
h
h
hh oldu-
ğundan g x^ h çifttir.
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU;;;
f xf x f x
f xf x f x
00 0
0
2
1
= =
-
^
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
h
Z
[
\
]]]]]]]]]]
şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyo-nu adı verilir.
NOTMutlak değer fonksiyonlarının gra-fikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizi-lir ve daha sonra x ekseninin altın-da kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır.
f x x2 3= -^ h fonksiyonunun grafiğini çizelim:
ç .y x i in x y ve y x olur2 3 0 3 023
& &= - = =- = =
x
y
y
x
y=2x-3
-3
3
23
23
f x x2 3= -^ h
Bu grafikten
grafiği elde edilir.
7
-41
y=f(x)
y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y f x=- ^ h grafiğini çizelim.
Çözüm
,y f x y f x f x&= =^ ^ ^h h h in mutlak değer fonksiyonu olup y f x=- ^ h fonksiyonunun grafiği ise y f x= ^ h in x eksenine göre simetriğidir.
-4
-4
1
1
Buradan
grafiği elde edilir.
y f x= ^ h
y f x=- ^ h
●
●
●
●
y x= bağıntısının grafiğini çizelim.
Çözüm
.y x y x ve y x tir&= = =-
y=-x
y=xy
x
x y 24$ = bağıntısının grafiğinde koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulunuz.
x y 24$ =
şeklinde bir grafiği vardır.
Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı kadardır.
24 ün pozitif bölen sayısı; 24 2 3 4 2 83&$ $= = oldu-
ğundan koordinatları tam sayı olan 8 4 32$ = farklı nok-ta vardır.
2 10 8
kpss
ÖABT
Öncebiz sorduk
50 Soruda
SORU30
GüncellenmişYeni
Baskı
İLKÖĞRETİMMATEMATİK
SOYUT CEBİRLİNEER CEBİR
KomisyonÖABT İlköğretim Matematik
Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı
ISBN: 978-605-318-898-8Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
4. Baskı: 2018, Ankara
Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Soyut Ce-bir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğ-retmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı
Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel
olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a. Analiz
b. Cebir
c. Geometri
d. Uygulamalı Matematik
% 28
% 18
% 18
% 16
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu
bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-
leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
SOYUT CEBİR
1. Sayılar ve Özellikleri ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.1. Rakam ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.2. Sayma Sayıları ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.3. Doğal Sayılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.4. Tam Sayılar ....................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................3
1.5. Aralarında Asallık ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.6. Rasyonel Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.7. İrrasyonel Sayılar .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.8. Reel Sayılar ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.9. Tek ve Çift Sayılar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3
1.10. Ardışık Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4
1.13. En Büyük Ortak Bölen ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
1.14. En Küçük Ortak Kat ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 7
2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler .......................................................................................................................................................................................................................................................... 8
3. Euler {-Fonksiyonu .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................11
{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri .................................................................................................................................................................................................................................................................................................11
4. Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13
Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................13
5. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri ........................................................................................................................................................................................................................................17
İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................18
6. İkinci Dereceden Kalanlar...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................19
İkinci Dereceden Kongüranslar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................19
7. Gruplar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................28
7.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................28
7.2. Mertebe ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30
8. Alt Gruplar ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................31
8.1. Normal Alt Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................33
9. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar .....................................................................................................................................................................................................................................................................34
10. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm .................................................................................................................................................................................................................................................................................35
10.1. Homomorfizma .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35
10.2. İzomorfizma......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35
11. Bölüm Grupları ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
12. Devirli Gruplar .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39
12.1. Devirli Grupların Alt Grupları .............................................................................................................................................................................................................................................................................................40
12.2. Üreteç Sayısı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41
13. Çarpım Grupları .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41
İzomorf olmayan Abelyan Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................42
vi
14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................42
14.1. Alt Halka ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................44
14.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................44
14.3. Bölüm Halkası .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
14.4. İdeal ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
14.5. Nilpotent Eleman .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
15. Polinom Halkası ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
16. Cisim ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46
16.1. Cebirsel Sayı .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46
16.2. Transandant Sayı ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46
16.3. Sayılabilir Küme ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46
Çözümlü Test 1 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49
Çözümlü Test 2 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................51
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................53
Çözümlü Test 3 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
Çözümlü Test 4 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................61
LİNEER CEBİR
1. Vektör Uzayları ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66
1.1. Tanım ve Aksiyomlar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66
2. Alt Vektör Uzayı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68
2.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık .......................................................................................................................................................................................................................................................................72
3. İç Çarpım Uzayları ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................74
3.1. İç Çarpım ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................74
3.2. Norm ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................76
4. Ortonormal Baz ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................82
5. Direkt Toplam Uzayı................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86
6. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................87
7. Lineer Dönüşümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89
8. Matrisler ve Matris Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................96
8.1. Matris Toplamı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97
8.2. Skaler ile Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97
8.3. Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97
8.4. Bir Matrisin Transpozu .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99
8.5. Kare Matrisler .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................100
8.6. Bir Matrisin Tersi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................100
9. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) ...........................................................................................................................................................................................................................................................................110
10. Determinantlar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................111
10.1 Sarrus Kuralı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................112
10.2 Minör ve Kofaktör ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114
vii
11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................121
11.1 n-Lineer Fonksiyonlar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................121
12. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ..................................................................................................................................................................................................................................................................121
Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı..........................................................................................................................................................................................................................................................................122
13. Matrislerin Polinomu ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................123
13.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler .........................................................................................................................................................................................................................123
13.2. Karakteristik Uzay .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125
13.3. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem .................................................................................................................................................................................................................................125
Çözümlü Test 1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................128
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131
Çözümlü Test 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................135
Çözümlü Test 3 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................137
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................140
Çözümlü Test 4 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................142
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................144
Çözümlü Test 5 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................146
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148
SOYUT CEBİR
3
SOYUT CEBİR
1. Sayılar ve Özellikleri1.1 Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir.
1.2 Sayma Sayıları{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayıları kümesidir.
1.3 Doğal Sayılar N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N+ pozitif doğal sayılar kü-mesini ifade eder.
1.4 Tam Sayılar Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z–), pozitif tam sayılar (Z+) ve {0} kümesidir. Ayrıca Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ dır.1.5 Aralarında Asallıkp ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayı-larını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir.
1.6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q ≠ 0} kümesidir.
1.7 İrrasyonel Sayılar
I = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel ol-mayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.
1.8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q ∪ Q´ dür.
x, y, z ∈ Z olmak üzere,
x . y = 12, y . z = 4 ve x . z = 3eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük top-lamı en küçük toplamından kaç fazladır?
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
.
.. .y z
x yzx x z bulunur4
12 3 3& &= = =
Bu ifade x . z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa3z2 = 3 ⇒ z = "1 bulunur.z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.8 – (–8) = 16'dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir.
a, b, c ∈ N olmak üzere
3a + 6b – c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerle-ri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur.a + b + c = 4 olur.
a ve b doğal sayılardır.
56 . a = b3
eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır?
Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 23.756.a = 23.7.a = b3 tür.Buradan a = 72 seçilirse b = 2.7 = 14 bulunur.
1.9 Tek ve Çift Sayılar2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n ∈ Z).
1.9.1 Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler
1) T " T = Ç 5) Ç . Ç = Ç
2) Ç " Ç = Ç 6) T . T = T
3) T " Ç = T 7) n ∈ N olmak üzere Tn = T
4) T . Ç = Ç 8) n ∈ N+ olmak üzere Çn = Ç'dir.
Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlana-maz. Örneğin 40 çift sayıdır.
, , T240
4040
6040Ç= = sayısı ne tek ne de çifttir.
4
1.10 Ardışık Sayılarn ∈ Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardışık tam sayılar denir.
Kural:n ∈ Z+ için
....
nn n
1 2 21
+ + + =+` j
dir.
n ∈ Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına
ardışık tek sayılar denir.
Kural: n ∈ Z+ için
1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir.
n ∈ Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardışık çift sayılar denir.
Kural: n ∈ Z+ için
2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.
Kural:Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide
Terim Sayısı = + 1Son Terim – İlk Terim
Artış miktarı
ve
Terim Toplamı = Terim Sayısı . (Son terim + İlk terim)
2dir.
1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler1) (–) . (–) = (+) 5) (–) / (–) = (+)
2) (–) . (+) = (–) 6) (–) / (+) = (–)
3) (+) . (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+)
4) (+) . (–) = (–) 8) (+) / (–) = (–)
9) n ∈ N olmak üzere (–)2n = (+) dır.
10) n ∈ N olmak üzere (–)2n–1 = (–) dir.
11) n ∈ N olmak üzere (+)n = (+) dır.
1.12 Tam Sayılarda Bölünebilmem, n, r ∈ Z olmak üzere m . n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m | r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir.
1.12.1 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bö-lünür.
1.12.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top-lamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür.
1.12.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basa-mağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.
1.12.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama-ğı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.
1.12.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları al-tına sağdan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür.
1.12.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basa-mağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür.
1.12.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top-lamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.
1.12.8 10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basa-mağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.
1.12.9 11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.
NOTVerilen bağıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örneğin 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana eşit ve 1'dir.
Hangi n doğal sayıları için (n + 1)|(n2 + 1) dir.
n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) olduğundan ∀ n ∈ N için(n + 1)|(n2 – 1) dir.(n + 1)|(n2 + 1) ve (n + 1)|(n2 – 1) olduğundann + 1|[(n2 + 1) – (n2 – 1)] ⇒ n + 1|2 olur. n ∈ N olduğundan ve n + 1 ≤ 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir.
Kural:[1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı
nx& 0 dir.
Kural:a ∈ Z ve m, n ∈ N olsun.
n < m için a
a
2 1
2 1
n
m
+
− dir.
Kural:n ≥ 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun.n – 1|nk – 1 dir.
5
Kural:n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun.(1 + 2 + ... + n)|(1k + 2k + ... + nk) dır.
Kural:a, b ∈ Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise 2a – 1 sayısı 2b – 1 ile bölündüğünde kalan 2r – 1'dir.
{1, 2, ..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır?
13600 46=' 1 adettir.
1000'den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür?
[1, 1000] kümesinde
171000 58=) 3 ve 0 ∈ N için 17|0 olup toplam 58 + 1 = 59
adet sayı 17 ile tam bölünür.
N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölüne-bilmesi için n en az kaç olmalıdır?
N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) = (12 + 1) + (22 + 2) + ... + (n2 + n) = (12 + 22 + ... + n2) + (1 + 2 + ... + n)
.n n n n n
n n n6
1 2 12
1
31 2
=+ +
++
=+ +
` ` `
` `
j j j
j j
sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çar-panlarından en az biri 41'e bölünmelidir.n + 2 = 41 ⇒ n = 39 olmalıdır.
Teorem:m, n ve r tam sayı olmak üzere,
i) ∀m ∈ Z iken al0 dır.
ii) ∀m ∈ Z için ±1lm ve ±mlm dir.
iii) ml±1 ⇔ m = "1 dir.
iv) mln ise ±ml±n dir.
v) mln ve nlr ise mlr dir.
vi) mln ve nlm ise m = ±n dir.
vii) c ≠ 0 olmak üzere cmlcn ise mln dir.
viii) ve ise ..
mn
mn
m mn n
11
22
1 21 2
dir.
ix) mln ve mlr ise mln+r dir.
Çıkmış Sorular
k m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğü-nü ifade eder.
Buna göre a, b ve c tam sayıları için,
I. c a b$ ise c a ve c b 'dir.
II. a b c$ ise a c ve b c 'dir.
III. a b ve b c ise a c 'dir.
yargılarından hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III
D) II ve III E) Yalnız III
c sayısı a⋅b yi bölüyor ise c a ve c b doğru olmayabilir, 6 2 3$ tür ama 6 2 ve 6 3 yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur.
Cevap D
Tanım:(Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir.
Tanım: (Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combi-ned) sayı denir.
Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir.
Teorem: Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır.
Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.
2 10 8
kpss
ÖABT
Öncebiz sorduk
50 Soruda
SORU30
GüncellenmişYeni
Baskı
İLKÖĞRETİMMATEMATİK
GEOMETRİİSTATİSTİK ve OLASILIK
Komisyon
ÖABT İlköğretim Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı
ISBN: 978-605-318-898-8
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
4. Baskı: 2018, Ankara
Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Geomet-ri-İstatistik ve Olasılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Ma-tematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerek-li bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı
Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel
olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a. Analiz
b. Cebir
c. Geometri
d. Uygulamalı Matematik
% 28
% 18
% 18
% 16
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu
bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-
leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
UZAYDA VEKTÖRLER
UZAYDA VEKTÖRLER ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5
İki Vektörün Paralelliği................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
Vektörlerin Lineer Bileşimi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
Standart Birim Vektörleri ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 6
Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
İki Vektör Arasındaki Açı.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7
Dik İzdüşüm Vektörü ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7
Vektörel (Çapraz) Çarpım ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................8
Paralelkenarın Alanı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................9
Paralelyüzün Hacmi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10
Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................15
UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ .......................................................................................................................................................................................................................................................................17
İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi ..................................................................................................................................................................................................................................................................................19
Düzlem ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................20
Çözümlü Sorular - I .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................22
Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................25
Çözümlü Sorular - II ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................25
Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması ..................................................................................................................................28
Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................29
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30
İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı ...................................................................................................................................................................................34
Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı .........................................................................................................................................................................................................................................................................34
İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................34
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34
Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ......................................................................................................................................................................................................................................................................................36
Uzayda Simetri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................37
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
Çözümlü Test - 1 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................43
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
Çözümlü Test - 2 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49
vi
YÜZEYLER
E3 DE YÜZEY .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55
KÜRE ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55
Küre Olma Koşulları ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................56
Kürenin Parametrik Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
Kürenin Teğet Düzlemi ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
SİLİNDİR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
KONİ .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59
Bazı Kuadratik Yüzeyler ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63
Silindirin İsimlendirilmesi ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................64
Dönel Yüzeyler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68
KÜRESEL KOORDİNATLAR .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68
Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................69
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................71
KONİKLER
TANIM ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................75
Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi Yok Etme ...............................................................................................................................................................................................................................................75
ELİPS - HİPERBOL - PARABOL
ELİPS .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79
Elipsin Denklemi ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79
Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri......................................................................................................................................................................................................................................................................................80
Elipsin Parametrik Denklemi...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................81
HİPERBOL ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83
Hiperbolün Denklemi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83
PARABOL ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86
Parabolün Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86
Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................91
Karma Test - 1 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................95
Karma Test - 2 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99
vii
2. BÖLÜM
İSTATİSTİK VE OLASILIK
TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Değişken ve Türleri .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Fonksiyon ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Evren ve Örneklem..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107
İstatistik ve Parametre..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................108
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................110
VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ
VERİNİN DÜZENLENMESİ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113
Grafik Çizme ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113
Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................114
Mod (Tepedeğer) ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114
Medyan (Ortanca) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114
Aritmetik Ortalama ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................115
Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması .....................................................................................................................................................................................................................................116
Ağırlıklı Ortalama ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................117
DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Ranj (Açıklık) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Mutlak Kayma .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Varyans ve Standart Kayma ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Bağıl Değişkenlik Katsayısı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120
STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ................................................................................................................................................................................................................................................................120
z Puanı ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120
T Puanı ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................122
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125
viii
OLASILIK
TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................129
Olasılık ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................130
Birleşik Olayların Olasılığı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131
Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ..................................................................................................................................................................................................................................................................................131
Olaylar Arasındaki Bağıntılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................132
Bağımsız Olaylar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133
TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER ...............................................................................................................................................................136
Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri ...............................................................................................................................................................................................................................................................................142
Varyansın Hesabı ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................145
Momentler ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................157
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................160
OLASILIK DAĞILIMLARI
OLASILIK .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165
Binom Olasılık Dağılımı .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165
Poisson Olasılık Dağılımı..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................167
Hipergometrik Olasılık Dağılımı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................168
Normal Olasılık Dağılımı ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................175
Standart Normal Olasılık Dağılımı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................176
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................178
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................181
Çözümlü Deneme - 1 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................184
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................187
Çözümlü Deneme - 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................190
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................193
1. BÖLÜM
UZAYDA VEKTÖRLER
5
UZAYDA VEKTÖRLER
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza-yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.
z
y
P(a, b, c)
0
x
, ,a b cOP = ` j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gös-terilir.
, , .a b c a b c dirOP OP P 2 2 2&= = = + +` j
AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek-törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.
A(x1, y
1, z
1) ve B(x
2, y
2, z
2) ise;
, ,x x y y z z
x x y y z zOP
AB
AB
2 1 2 1 2 1
2 12
2 12
2 12
= − − −
= = − + − + −
`
` ` `
j
j j j
Normu 1 olan vektöre birim vektör denir.
z
y0
x
A(x1, y1,z1) B(x2, y2,z2)
P(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Çıkmış Sorular
Uzayda A(1, 2, 3), B(2, -1, -4) ve C(m, 2, -1) noktaları veriliyor.
AB AC= olduğuna göre m kaçtır?
A) -27 B) -29 C) 14 D) 29 E) 27
, , , ,mAB AC1 3 7 1 0 4= − − = − −` `j j
.
.
d rm
mm olur
AB AC AB AC 01 1 3 0 7 4 0
27 027
ı& $
$
= =
− + − + − − =+ ==−
` ` ` `j j j j
Cevap A
ÖrnekA(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.
AB 26= br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
, ,a
a
a
aa a veya a
AB
AB
1 1 4
26 1 1 4 26
1 17 26
1 91 3 2 4
2 2 2
2
2
&
&
&
& &
= + −
= + + + − =
+ + =
+ =+ = = =−
`
`
`
` `
j
j
j
j j
Çıkmış Sorular
Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektör-
leri için u v 8$ = , u v u v 16+ + − = olduğuna göre
u v+ değeri kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
.
u v u v u v
u v u v u v
u u v u v olurv
2
2
4
2 2
2 2
2
2
2
2&
$ $
$ $
$ $
+ = + +
− = + +
=+ − −
Buna göre;
u v u v u v u v 4 816
$ $+ + − + − − =` `j j1 2 3444444444 444444444
u v u vu v u v
u v
216
+ − − =
+ + + + = +
+ .olur9=Cevap B
6
İki Vektörün Paralelliği
, , 0, ,a b aR k b 003d ! !! olmak üzere,
. //a b a bk += dir.
, , , ,a x y z ve b x y z olmak zereü1 1 1 2 2 2= =` `j j
//a bxx
yy
zz
2
1
2
1
2
1+ = = dir.
Örnek
A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile
, ,v x y x y2 1= − +` j vektörü veriliyor.
// vAB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.
Çözüm
2
, ,
, ,
//
, , .
v
v
x yx y
x y x y
x y x y
x y olur
AB
AB
2 1
4 2 2
2 1
4 22
21
1 1
&
&− =
+ =−
= −
= − +
−=
−
+=
= −
`
`
` `
j
j
j j4
Vektörlerin Lineer Bileşimi
, , , ...,, , , ..., R ve k k k k RV V V Vn n1 2 33
1 2 3d d
olmak üzere,
. . .. ...u k k kk V V VV n n2 2 3 311= + + + + vektörüne,
, , , ...,V V V Vn1 2 3 vektörlerinin lineer bileşimi denir.
Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık
, , , ...IR de V V V Vn3
1 2 3 vektörleri verilsin.
. . .. ...c c cc V V V V 0n n1 2 2 3 31 + + + + = denklemi yalnız
c1 = c
2 = c
3 ... = c
n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer
bağımsız; c1 = c
2 = c
3 ... = c
n = 0 değerlerinden en az
biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.
Uyarı, , ...V V V V1 2 n= & 0, IR3 uzayının bir alt kü-
mesi olmak üzere , , ...det AV V Vn1 2 =b l
olsun.
I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı,
II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.
Standart Birim Vektörleri
z
y0
x
e3 = 0,0,1` j
e1 = 1,0,0` j
e2 = 0,1,0` j
R3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.
, ,
, ,
, ,
e i
e j
e k
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
3
=
= =
= =
= `
`
`
j
j
j
Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı
Her , RA B 3! için;
, , , ,x y z ve x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j olmak üzere,
, x x y y z zA B A B< > 1 2 1 2 1 2$ $ $$ = = + +
şeklinde tanımlanan işleme, "R3 de Öklid iç çarpım işle-mi" denir.
Özellikleri
1. ,A A A A A A2
$ $= =
2. A B B A$ $= (değişme özelliği)
3. A B C A B A C$ $ $+ = +` j (çarpmanın toplama üzeri-ne dağılma özelliği)
7
Örnek
, , , ,a ve aA B3 2 2 10= − =` `j j vektörleri veriliyor.
A B 5$ = olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bu-lunuz.
Çözüm
..a aaa
A B 53 2 2 10 5
5 255
=
+ − =
=
=
İki Vektör Arasındaki Açı
, RA B 3! verilsin. veA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere,
cosA B A B$ $ $ a= olur.
A B= ise a = 90° için cosa = 0 olduğundan
.A B A B 0+= = olur.
Örnek
, , , ,veA B1 2 3 1 1 2= − = −` `j j vektörleri arasındaki
açının cosinüsünü bulunuz.
Çözüm
. . .
. .
.
cos
cos
cos
A B A B
1 2 6 1 2 3 1 1 2
14 63
2 213
2 2 2 2 2 2i
i
i
=
− − + = − + + + − +
= =
` `j j
Örnek
, , , ,veA B1 1 2 3 1 3 1 4= = − − −` `j j vektörleri ara-sındaki açının cosinüsünü bulunuz.Çözüm
.
.
.
( ) ( ) ( )
..
cos
cos
cos
olur
A BA B
A B
A
B
3 1 3 1 8 6
1 1 2 16
3 1 3 1 4
4 2 3 4 2 3 1624 2 6
6 2 66
21
2 2 2
2 2 2
i
i
i
=
= − − − + =
= + + =
= − + − − +
= − + + +
= =
=
=
` `j j
Örnek
ileA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45°,
veA B2 2 3= = olduğuna göre,
. 3 2A B A B+ −` `j j iç çarpımının sonucunu bulunuz.
Çözüm
. . . . . . . .
. . .
. . . .
.
cos
olur
A B A B A A A B A B B B
A A B B
3 2 3 3 2 2
3 2
3 8 2 2 3 45 2 9
24 6 1812
°
2 2
+ − = + − −
= + −
= + −
= + −
=
` `j j
Dik İzdüşüm Vektörü
0 Hu
A
B
, , , , ,x y z x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j vektörleri verilsin.
A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü
uOH = olsun. ileA B arasındaki açı a olmak üzere;
..
.cos cosdir u
A B
A
A
Ba a= = yazılırsa
.
. .u uA A B
A
B
A BB&= = dik izdüşüm vektörünün
uzunluğudur.
.u uB
B= olacağından
. .uB
A B B2= dik izdüşüm vektörünü verir.
2 10 8
kpss
ÖABT
Öncebiz sorduk
50 Soruda
SORU30
GüncellenmişYeni
Baskı
İLKÖĞRETİMMATEMATİK
ALAN EĞİTİMİ
Komisyon
ÖABT İlköğretim Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı
ISBN 978-605-318-898-8
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
4. Baskı: 2018, Ankara
Proje-Yayın: Çağla Bardakçıoğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Gamze Şahin
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde
Yenimahalle/ANKARATel : 0312 394 55 91
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a. Analiz
b. Cebir
c. Geometri
d. Uygulamalı Matematik
% 28
% 18
% 18
% 16
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
ÖN SÖZ ..................................................................................................................................................................... iii
1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR?Matematik Nedir?......................................................................................................................................................3
Mutlakçılar .............................................................................................................................................................3
Yarı Deneyselciler ..................................................................................................................................................4
Teorik-Uygulamalı Matematik ................................................................................................................................4
Klasik-Modern Matematik ......................................................................................................................................4
Akademik-Okul Matematiği ....................................................................................................................................4
Çözümlü Test .........................................................................................................................................................6
Çözümler ...............................................................................................................................................................8
2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETMEMatematiği Öğrenme ve Öğretme ........................................................................................................................ 11
Bilişsel Öğrenme Alanı ........................................................................................................................................ 11
Duyuşsal Öğrenme Alanı ..................................................................................................................................... 11
Devinişsel Öğrenme Alanı ................................................................................................................................... 11
Davranışçı Yaklaşım ............................................................................................................................................ 11
Klasik Koşullanma .......................................................................................................................................... 11
Edimsel Koşullanma .......................................................................................................................................12
Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım ..........................................................................................................................12
Fonksiyonalist Yaklaşım ......................................................................................................................................12
Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım .................................................................................................................................12
Yapılandırmacı Yaklaşım .....................................................................................................................................12
Buluş Yoluyla Öğrenme .......................................................................................................................................13
Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) .......................................................................................................................14
Bilgi-İşlem Yaklaşımı ............................................................................................................................................14
Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) .........................................................................................................14
Gerçekçi Matematik Eğitimi .................................................................................................................................14
Çoklu Zekâ Kuramı ..............................................................................................................................................15
Öğrenme Stilleri ...................................................................................................................................................15
Matematik Öğretimi Yöntemleri ...........................................................................................................................15
Düz Anlatım Yöntemi ......................................................................................................................................15
Tanımlar Yardımıyla Öğretim ..........................................................................................................................15
Buluş Yoluyla Öğretim ....................................................................................................................................15
Analizle Öğretim .............................................................................................................................................16
Senaryo ile Öğretim ........................................................................................................................................16
Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim ..........................................................................................................16
Kurallar Yardımıyla Öğretim ............................................................................................................................16
Deneysel Etkinliklerle Öğretim ........................................................................................................................16
Oyunlarla Öğretim...........................................................................................................................................16
Çözümlü Test .......................................................................................................................................................17
Çözümler .............................................................................................................................................................19
vi
3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Matematik Dersi Öğretim Programı ................................................................................................................... 23
2004 Programının Özellikleri ...............................................................................................................................23
4+4+4 Eğitim Sistemi ...........................................................................................................................................24
Öğretim Programının Temel Felsefesi .................................................................................................................25
Öğretim Programının Genel Amaçları .................................................................................................................25
Öğretim Programında Temel Beceriler ................................................................................................................26
Öğretim Programında Değerler Eğitimi................................................................................................................27
Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı ..................................................................................27
Öğretim Programında Rehberlik Yaklaşımı .........................................................................................................28
Öğretim Programının Yapısı ................................................................................................................................28
Çözümlü Test .......................................................................................................................................................32
Çözümler .............................................................................................................................................................34
4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME Problem Çözme .....................................................................................................................................................37
Problem Nedir? ....................................................................................................................................................37
Problem Çözme ...................................................................................................................................................37
Problemi Anlama ............................................................................................................................................37
Çözüm Için Plan Yapma .................................................................................................................................37
Planın Uygulanması........................................................................................................................................37
Değerlendirme ................................................................................................................................................37
Problem Çözme Öğretimi ....................................................................................................................................39
Sistematik Liste Yapma ..................................................................................................................................39
Tahmin ve Kontrol ...........................................................................................................................................39
Diyagram Çizme .............................................................................................................................................39
Bağıntı Bulma .................................................................................................................................................40
Değişken Kullanma .........................................................................................................................................40
Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma .............................................................................................40
Geriye Doğru Çalışma ....................................................................................................................................40
Eleme..............................................................................................................................................................40
Tablo Yapma ...................................................................................................................................................40
Muhakeme Etme........................................................................................................................................... 40
Problem Kurma .................................................................................................................................................. 41
Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma .............................................................................................. 41
Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma................................................................................................... 41
Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma ...................................................................................................... 41
Matematik Eğitiminde Problem Çözme.............................................................................................................. 41
Problem Çözme İçin Öğretim........................................................................................................................ 41
Problem Çözmeye İlişkin Öğretim ................................................................................................................ 41
Problem Çözme ile Öğretim.......................................................................................................................... 41
Çözümlü Test ..................................................................................................................................................... 42
Çözümler ........................................................................................................................................................... 44
vii
5. BÖLÜM: DOĞAL SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİDoğal Sayılar ve Dört İşlem Öğretimi ................................................................................................................. 47
Sayma Sistemleri ............................................................................................................................................... 47
Doğal Sayılar ..................................................................................................................................................... 47
Onluk Sayma Sistemi ................................................................................................................................... 48
Doğal Sayıların Öğretimi.................................................................................................................................... 48
İşlem Öğretimi.................................................................................................................................................... 49
Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi ................................................................................................................. 49
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ......................................................................................................................... 50
İşlem Tekniğinin Öğretimi.............................................................................................................................. 50
İşlem Sağlamasının Öğretimi........................................................................................................................ 50
Toplama ve Çıkarma İşlemini Gerektiren Problemler ................................................................................... 50
Çarpma İşlemi Öğretimi ..................................................................................................................................... 51
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ......................................................................................................................... 51
İşlem Tekniğinin Öğretimi.............................................................................................................................. 52
İşlem Sağlamasının Öğretimi........................................................................................................................ 52
Çarpma İşlemini Gerektiren Problemler........................................................................................................ 52
Bölme İşlemi Öğretimi........................................................................................................................................ 53
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ......................................................................................................................... 53
İşlem Tekniğinin Öğretimi.............................................................................................................................. 54
Kalanlı Bölme İşleminin Öğretimi .................................................................................................................. 54
İşlem Sağlamasının Öğretimi........................................................................................................................ 54
Çarpanlar ve Katlar ............................................................................................................................................ 55
Bölünebilme Öğretimi ........................................................................................................................................ 55
Asal Sayılar .................................................................................................................................................. 55
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) .................................................................. 56
Çözümlü Test ..................................................................................................................................................... 57
Çözümler ........................................................................................................................................................... 58
6. BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİKümeler Öğretimi ...................................................................................................................................................61
Temel Kavramların Öğretimi ................................................................................................................................61
Liste Yöntemi ..................................................................................................................................................61
Ortak Özellik Yöntemi .....................................................................................................................................61
Venn şeması ...................................................................................................................................................61
Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi ................................................................................................................62
Kümelerle İşlemler ...............................................................................................................................................63
Birleşim İşlemi .................................................................................................................................................63
Kesişim İşlemi .................................................................................................................................................63
Çözümlü Test .......................................................................................................................................................64
Çözümler .............................................................................................................................................................66
viii
7. BÖLÜM: TAM SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİTam Sayılar ve Dört İşlem Öğretimi ......................................................................................................................69
Tam Sayılar ..........................................................................................................................................................69
Tam Sayıların Öğretimi ........................................................................................................................................69
Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi ...................................................................................................................70
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ...........................................................................................................................71
Çarpma İşlemi Öğretimi .......................................................................................................................................72
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ...........................................................................................................................72
Bölme İşlemi Öğretimi..........................................................................................................................................73
Çözümlü Test .......................................................................................................................................................74
Çözümler .............................................................................................................................................................76
8. BÖLÜM: KESİR SAYILARI VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİKesir Sayıları ve Dört İşlem Öğretimi ...................................................................................................................79
Kesir Sayılarının Öğretimi ....................................................................................................................................79
Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi ...................................................................................................................81
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ...........................................................................................................................81
Çarpma İşlemi Öğretimi .......................................................................................................................................82
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ...........................................................................................................................82
Bölme İşlemi Öğretimi..........................................................................................................................................84
Çözümlü Test .......................................................................................................................................................86
Çözümler .............................................................................................................................................................88
9.. BÖLÜM: ONDALIK GÖSTERİM VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİOndalık Gösterim ve Dört İşlem Öğretimi ............................................................................................................91
Ondalık Kesirlerin Öğretimi ................................................................................................................................ 91
Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi ................................................................................................................. 93
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ...........................................................................................................................94
Çarpma İşlemi Öğretimi ..................................................................................................................................... 95
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ...........................................................................................................................96
Bölme İşlemi Öğretimi........................................................................................................................................ 96
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................100
Çözümler ...........................................................................................................................................................102
10. BÖLÜM: RASYONEL SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİRasyonel Sayılar ve Dört İşlem Öğretimi ...........................................................................................................105
Rasyonel Sayıların Öğretimi ............................................................................................................................ 105
Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi ............................................................................................................... 107
İşlem Özelliklerinin Öğretimi .........................................................................................................................108
Çarpma İşlemi Öğretimi ................................................................................................................................... 108
İşlem Özelliklerinin Öğretimi .........................................................................................................................109
Bölme İşlemi Öğretimi...................................................................................................................................... 109
Çözümlü Test ..................................................................................................................................................... 110
Çözümler ........................................................................................................................................................... 112
ix
11. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİGerçek Sayılar ve Dört İşlem Öğretimi ............................................................................................................... 115
Gerçek Sayıların Öğretimi ................................................................................................................................. 115
Karekök Öğretimi ............................................................................................................................................... 116
Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi ............................................................................................................... 117
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ......................................................................................................................... 117
Çarpma İşlemi Öğretimi ................................................................................................................................... 117
İşlem Özelliklerinin Öğretimi ......................................................................................................................... 118
Bölme İşlemi Öğretimi...................................................................................................................................... 118
Gerçek Sayılar ................................................................................................................................................... 119
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................120
Çözümler ...........................................................................................................................................................122
12. BÖLÜM: ORAN, ORANTI VE YÜZDE ÖĞRETİMİOran, Orantı ve Yüzde Öğretimi ..........................................................................................................................125
Oran Öğretimi ....................................................................................................................................................126
Orantı Öğretimi ..................................................................................................................................................127
Orantı Özelliklerinin Öğretimi ........................................................................................................................128
Orantı Çeşitlerinin Öğretimi ..........................................................................................................................128
Yüzde Öğretimi ..................................................................................................................................................129
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................131
Çözümler ...........................................................................................................................................................133
13. BÖLÜM: HARFLİ İFADELER,, ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA ÖĞRETİMİHarfli İfadeler, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Öğretimi ..............................................................................137
Harfli İfadeler Öğretimi .......................................................................................................................................138
Cebirsel İfadelerde Toplama İşlemi Öğretimi .....................................................................................................139
Cebirsel İfadelerde Çıkarma İşlemi Öğretimi .....................................................................................................139
Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemi Öğretimi ......................................................................................................139
Özdeşlikler Öğretimi ..........................................................................................................................................140
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Özdeşliği .................................................................................................................140
(a - b)2 = a2- 2ab + b2 Özdeşliği ...................................................................................................................141
(a+b)(a-b) = a2 - b2 Özdeşliği........................................................................................................................141
Çarpanlara Ayırma Öğretimi ..............................................................................................................................142
Ortak Çarpan Parantezine Alma ...................................................................................................................142
Gruplandırma ................................................................................................................................................142
Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması ....................................................................................................142
a2 + 2ab + b2 Ifadesinin Çarpanlara Ayrılması .............................................................................................142
a2 - 2ab + b2 Ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ..............................................................................................143
a2 - b2 Ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ........................................................................................................144
ax2 + bx + c Ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ................................................................................................144
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................145
Çözümler ...........................................................................................................................................................147
x
14. BÖLÜM: DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER ÖĞRETİMİDenklemler ve Eşitsizlikler Öğretimi...................................................................................................................151
Denklemler Öğretimi ..........................................................................................................................................151
Kartezyen Koordinat Sistemi .............................................................................................................................153
Doğrusal Denklemin Grafiği ...............................................................................................................................153
Eşitsizlikler Öğretimi ..........................................................................................................................................154
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................157
Çözümler ...........................................................................................................................................................159
15. BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİGeometri Öğretimi ................................................................................................................................................163
Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi ....................................................................................................163
Geometri Öğretimi .............................................................................................................................................165
Açılar Öğretimi ...................................................................................................................................................167
Düzlemsel Şekiller Öğretimi...............................................................................................................................167
Eşlik ve Benzerlik Öğretimi ................................................................................................................................169
Üçgenlerin Eşliği ...........................................................................................................................................170
Üçgenlerin Benzerliği ...................................................................................................................................171
Pisagor Bağıntısı ...............................................................................................................................................171
Dönüşüm Geometrisi .........................................................................................................................................171
Geometrik Cisimler ............................................................................................................................................173
Çember ve Daire................................................................................................................................................176
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................178
Çözümler ...........................................................................................................................................................180
16. BÖLÜM: UZUNLUK, ALAN VE HACİM ÖLÇÜLERİ ÖĞRETİMİUzunluk, Alan ve Hacim Ölçüleri Öğretimi .........................................................................................................183
Uzunluk Ölçüleri Öğretimi ..................................................................................................................................184
Alan Ölçüleri Öğretimi ........................................................................................................................................185
Hacim Ölçüleri Öğretimi .....................................................................................................................................188
Çözümlü Test .....................................................................................................................................................190
Çözümler ...........................................................................................................................................................192
xi
17. BÖLÜM: İSTATİSTİK VE OLASILIK ÖĞRETİMİİstatistik ve Olasılık Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������195
İstatistik Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������196
Veri Toplama �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������196
Tablo ve Grafikler ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������196
Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������197
Aritmetik Ortalama �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������197
Tepe Değer (Mod) ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������198
Ortanca (Medyan) ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������198
Açıklık (Ranj) �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������198
Olasılık Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������199
Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������199
Kesin ve İmkânsız Olaylar ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������200
Çözümlü Test ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������202
Çözümler ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������204
KAYNAKLAR ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������205
MATEMATİK NEDİR?
3
MATEMATİK NEDİR?
Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise mede-niyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şe-killer, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonk-siyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir.
Örnek Soru
“İki çift sayının çarpımı, çifttir.” önermesinde matematik-sel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır?
A) İndirgeme
B) Genelleme
C) Soyutlama
D) Tümevarım
E) Tümdengelim
Çözüm
“İki çift sayının çarpımı çifttir” önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak is-pat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğrulu-ğu gösterilmiş olunur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. “Genelden özele” şeklinde özetlenebi-len bu düşünce yapısı Tümdengelim’dir.
Cevap E
Bugünkü matematik bilgisinin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir:
1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti.
2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti.
Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çıkaracak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örnek-lerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran’dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci’nin meşhur tavşan probleminden yola çıkarak ulaştığı Fibo-nacci Dizisi 1,1,2,3,5,8,13,… şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsadığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sa-yıları ve gerekse Altın Oran sayısı doğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır.
Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda “kendi ken-dine yeterlik” özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaş-maktadır. Yeni matematik bilgi üretmek için geçmiş bilgi-lerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur.
Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlam-landırmak, tam anlamıyla “matematik yapmak” demektir.
Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik-matematiğe dayanan matematikçiler “amaç olarak ma-tematik” görüşünü savunurken uygulamalı matematiğe dayanan matematikçiler ise “araç olarak matematik” gö-rüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise bugünkü bil-gilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm arama amacıyla ortaya çıktığı yönündedir.
Örnek Soru
Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir?
A) Sosyoloji-Psikoloji
B) Dil-Mantık
C) Fizik-Kimya
D) Tıp-Biyoloji
E) Tarih-Edebiyat
Çözüm
Matematiğin “kendi kendine yeterlik” özelliği olduğu ha-tırlanırsa, yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanın-da matematiğe katkısı olan bilim dalları sadece Dil ve Mantık’tır.
Cevap B
Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmek-tedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algı-lamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır.
Mutlakçılar
Eflatuncular, matematiğin nesnelerinin ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmekte-dirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesnelerin ve yapıların keşfedilmesidir.
Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebile-ceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temel-ler üzerinde inşa etmeyi amaçlamıştır ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır.
Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan Mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantık-tan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kural-larına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savu-nanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.
4
Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan te-rimler anlamsız birer simge ilişkileri dile getiren ifadeler içerikten yoksun birer önerme kalıbıdır. Formalistler ma-tematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalıştılar. Bu görüşü savunanların başın-da Hilbert gelmektedir.
Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullan-madan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğru-luğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tü-mevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meş-hur sezgiciler Brouwer ile Poincare’dir.
Yarı Deneyselciler
Lakatos’a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematik-çiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre matematiksel doğru-lar her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir.
Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak ge-lenekselcilere göre matematiğin bilgileri ve doğrulukları, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şe-killenir. Wittgenstein’a göre matematiksel ve mantıksal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağ-lıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve grameri-ni bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur.
Örnek Soru
Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır?
A) Sezgici Yaklaşım
B) Deneyselci Yaklaşım
C) Mutlakçı Yaklaşım
D) Formalist Yaklaşım
E) Mantıkçı Yaklaşım
Çözüm
Formalist Yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nes-ne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler.
Cevap D
Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. teorik-uygulamalı matematik, klasik-mo-dern matematik, akademik-okul matematiği gibi.
Teorik-Uygulamalı Matematik
Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teo-rik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi ente-lektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy’nin dediği gibi, teo-rik matematikçinin, üzerinde uğraştığı sorunların ve problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur.
Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matema-tikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur.
Klasik-Modern Matematik
Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel iş-lemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir geometrinin ele alındığı matematiktir.
1960’lı yıllarda ABD’de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullana-rak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Mo-dern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanılarak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağım-sız gibi görünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlantılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970’li yılların başında uygulanmaya başladı.
Akademik-Okul Matematiği
Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı ma-tematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin ama-cı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır.
Okul matematiği “toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz?” sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili “ne öğretelim?” ve “nasıl öğretelim?” konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin, genç nesillere ak-tarılması okul matematiğinin işidir.
Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim dü-zeyinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen matematik kültürünü vermek ve temel matematiksel be-ceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliş-tirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır.
5
Örneğin, Fen Fakültesi Matematik Bölümünde okutulan matematiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken; Eğitim fakültesinde okutulan matematiğin amacı, öğretmen adayına sahip olması ge-reken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır.
Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir:
• Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp, iletişim kurabilmelerine yardımcı olma
• Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama
• Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme
• Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme
• Zihinsel bağımsızlığı geliştirme
• Estetik değerleri geliştirme
• Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma
• Toplumun gelişmesine katkıda bulunma.
Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci;
• Matematiğe değer vermeyi öğrenir,
• Matematiksel düşünme becerisi kazanır,
• Matematiği iletişim aracı olarak kullanır,
• Problem çözme becerisi kazanır.
Örnek Soru
“Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, mate-matiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak” hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır?
A) Okul öncesi
B) İlköğretim
C) Ortaöğretim
D) Yükseköğretim (Fen Fakültesi)
E) Yükseköğretim (Eğitim Fakültesi)
Çözüm
Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matema-tiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen Fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir.
Cevap D
ÖABT Çıkmış Soru
Matematiğin tarihsel gelişimi göz önünde bu-lundurulduğunda aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Pisagor, çalışmalarıda türev ve integral arasındaki ilişkiyi kanıtlamıştır.
B) Yunan matematikçi Apollonius, cebir alanında önemli çalışmaları olan Harezmi'den büyük oran-da etkilenmiştir.
C) Euclid, "Elementler" isimli kitabında Euclid dışı geometrilere eleştiriler getirmiştir.
D) Eski Mısırlılar, kesirleri birim kesirlerin toplamı biçiminde göstermişlerdir.
E) Karmaşık sayıların keşfi, sıfırın keşfini önemli ölçüde kolaylaştırmıştır.
Çözüm
Türev ve integral kavramları Pisagor’dan çok sonrala-rı ortaya konmuştur. Yunan matematikçi Apollonius ise Harezmi’den çok önceki dönemlerde yaşamıştır. Euclid dışı geometriler Euclid’den çok sonraları 19. Yüzyılda ortaya atılmıştır. Karmaşık sayıların keşfi ise sıfırın keş-finden çok sonraları 16. Yüzyılda gerçekleşmiştir. Buna göre soruda verilen ifadeler arasında yalnız “eski Mısırlılar kesirleri, birim kesirlerin toplamı biçiminde göstermişlerdir” bilgisi doğrudur.
Cevap D