GRASPGreedy Randomized Adaptative

Search Procedure

Luzia Vidal de Souza – UFPR – Meta-Heurísticas

GRASP

Método de otimização combinatorial; Desenvolvido por Feo e Resende (1989, 1995); É um processo iterativo, no qual a cada iteração

uma nova solução inicial é gerada aleatoriamente; Cada iteração consiste em 2 fases:

Construtiva: Geração Gulosa,Randômica e Adaptativa; Busca local: gera alguma melhoria na solução corrente,

através de uma busca local na vizinhança para encontrar o ótimo local.

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Algoritmo

Memoriza melhores soluções

Critério de parada atingido?

Retorna a melhor solução

Construção da

Solução inicial

S

N

Busca Local

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Fase Construtiva

Demanda maior esforço computacional; Constrói soluções, iterativamente, inserindo-se na

solução, um elemento de cada vez; A cada iteração, a escolha do próximo elemento a

ser adicionado é determinado pela ordenação de todos os elementos candidatos, em uma lista de candidatos;

Essa ordenação é feita mediante a avaliação de cada elemento, conforme a função “gulosa”;

Essa função seleciona, sequencialmente, o elemento que minimiza o custo de incremento da solução parcial, atualizando o benefício a outros elementos a cada iteração (heurística adaptativa).

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Componente Probabilística

A componente probabilística é caracterizada pela escolha aleatória de um dos melhores candidatos da lista L, mas não necessariamente o melhor.

A lista resultante com os melhores resultados é chamada de Lista Restrita de Candidatos (LRC).

Através da aleatoriedade, não é certa a obtenção da melhor solução, porém permite-se uma melhor diversificação.

Esta fase é dita dinâmica, pois o valor da função gulosa varia a cada adição de um novo elemento, o que difere da estática que fixa o valor de cada elemento, antes do início desta fase.

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Lista Restritiva de Candidatos Um fator importante do GRASP é a qualidade dos

elementos da lista restrita de candidatos.

Essa lista pode ser limitada por um número de elementos ou pela qualidade dos elementos que a compõem.

Se a lista for limitada a um elemento, a solução encontrada será a única solução e não haverá uma diversificação da solução.

Se a lista for ampla, serão geradas várias soluções diferentes produzindo uma maior variação.

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Algoritmo de construção

Procedimento Construção(s) S { } Enquanto solução não completa faça: LCR = {c ϵ C / g(c) ≤ s1 + (s2 – s1)} c= selec_elem_aleat(LRC) S=S U {c} Fim enquantoFim Construção

s1 = min{ g(t), t ϵ C}

s2 = max{ g(t), t ϵ C}, ϵ (0,1).

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Parâmetro De acordo com Feo e Resende (1995), a escolha do

parâmetro produz construções diferentes: Para = 0, t = s1 + (s2 – s1)} t = s1

(construção gulosa) Para = 1, t = s1 + (s2 – s1)} t = s2

(construção aleatória)

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Fase de Busca Local

Procedimento de busca local para melhoria da solução;

A busca é realizada na estrutura de vizinhança (viz(s));

Trocando a solução corrente, sempre que uma solução melhor foi encontrada;

O procedimento termina quando nenhuma solução melhor e encontrada;

Procedimento Buscalocal(s, viz(s)) Enquanto solução não ótima faça: Encontrar uma melhor solução v ϵ viz(s); s v; Fim enquanto Retorna(s);Fim Buscalocal

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Estratégias de Busca Local

Best-improving - todos os vizinhos são analisados e o melhor entre eles é selecionado;

First-improving - é adotada a primeira solução cujo valor da função é menor que da solução atual; First-improving - requer um menor tempo

computacional;

Best-improving - converge prematuramente para um ótimo local (Yamamoto, 2007).

Podem ser utilizados: Hill Climbing e Simulated Annealing e Busca Tabu.

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GRASP - PCVSolução_Inicial = Primeira_Cidade;Parâmetro ;Adiciona Elemento Solução;Seleciona Elemento;Lista Candidatos (LC);Lista Candidatos Restrita (LCR);Parâmetro Aleatório/Guloso;Até Solução Completa;Solução Completa para Busca Local;

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Grasp para o problema das p-medianas

i mede a variação na função objetivo ao designar o ponto i para o conjunto de medianas.

Função de benefício para cada mediana

Na fase construtiva do algoritmo GRASP seleciona-se uma nova mediana, aleatoriamente, entre os elementos de uma Lista Restrita de Candidatos (LRC), que contém os índices das medianas cujo valor correspondente é menor ou igual a certo valor calculado da seguinte forma:

contráriocaso

CCseCC iaiijiaiiji

0

}min{ )(,)(,

Ni ij SS)(

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RCL=

O parâmetro define a fase de construção como gulosa (se = 0) ou aleatória (se porcentagem de aceitação).

}{min \min jSJj

}{max \max jSJj

)()(:\ minmaxmin SSJj j

Grasp para o problema das p-medianas

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Fase de Melhoria

Utiliza-se um procedimento de busca local. Estrutura de vizinhança, onde o conjunto de

soluções é formado por soluções vizinhas. Soluções vizinhas são todas aquelas que substituem

uma mediana selecionada por uma mediana não selecionada , e os demais pontos são novamente designados à sua melhor mediana.

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PCV - GRASP Considerar o depósito inicial: D 1ª Fase: Construção Repita

Escolha os candidatos da lista LRC, tal que:

1 2 1g(c) s s s Escolha, aleatoriamente um dos candidatos (c1) da

lista LRC e montar a rota inicial: D – c1 – D; Calcular o custo da rota

Até que todos os pontos tenham sido designados Fim da 1ª Fase.

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2ª Fase: Melhoria Selecione dois pontos da rota

Efetue todas as trocas possíveis Calcule o custo da nova rota Se o custo da nova rota for menor do que

o custo da rota anterior, então troque. Parar quando não houver mais melhoria

na FO.

PCV - GRASP

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Solução do PCV - GRASP

3

4

2

6

51

1 2 3 4 5 61 0 2 2 4 4 42 2 0 1 2 3 23 2 1 0 2 2 34 4 2 2 0 3 35 4 3 2 3 0 56 4 2 3 3 5 0

Matriz de Distâncias

Considere um conjunto com 6 cidades

Mecanismos de Memória

evitar trabalho redundante guardar todas as soluções usadas

como soluções iniciais na busca local Filtrar as soluções construídas, muito

ruins...eliminar construir um conjunto de soluções

elites

PATH-RELINKING

Path-Relinking, melhoramento em tempo e qualidade da solução

Path-Relinking, explora trajetórias conectando soluções.

Path-Relinking

Originalmente proposto por Glower (TABU)

Estratégia de intensificação que explora trajetórias de soluções elites obtidas por TABU ou SCATTER

Partindo de 1 ou mais soluções de elite são gerados caminhos para outras soluções

Caminhos

Movimentos que introduzam os atributos presentes nas soluções são selecionados

Implementações

Relink periódico: não sistemático, mais periódico

Forward: aplicado entre o pior Xs e Xt Backward: Back e Forward Mixed: Back e Forward ate uma solução

equidistante. Movimentos Aleatórios Truncada: alguns movimentos são

explorados.

GRASP com Path-Relinking

Path-Relinking é aplicado a todos os pares de soluções elites. seja periodicamente durante as iterações

GRASP após todas as iterações GRASP, pos-

otimização path-relinking aplicado como estratégia de

intensificação após a fase local.

Soluções Elites

Cada solução da busca local Medidas de similaridades Soluções Geradas no Path-Relinking

3 Fases GRASP

Fase de Construção Busca Local Path-Relinking