MATEMATIKA

Linearna algebradeterminante

DETERMINANTA MATRICE

Algebarski komplement Aij elementa aij definiramo:

Mij nazivamo subdeterminantom (minorom) n-1. redakoja se dobije kad se iz zadane determinante n-tog reda izostavii-ti redak i j-ti stupac

• Izračunajmo determinantu matrice

Determinantu ćemo npr. naći Laplace-ovim razvojem po 1.redu:

iz zadanedeterminanteizbacimo 1. redak i1. stupac

• Izračunajmo općenito determinantu 2. reda:

• Npr.

Ovaj izvod možemo koristitikao formulu pri računanju bilokoje determinante 2. reda.

• Izračunajmo determinantu matrice

• Determinantu ćemo izračunati npr. Laplace-ovim razvojem po2. stupcu:

• Za praktično računanje determinanti koristit ćemo sljedećasvojstva determinante:

1. determinanta se množi brojem tako da se bilo koji redak(stupac) pomnoži tim brojem

2. vrijednost determinante se ne mijenja ako svim elementimanekog retka (stupca) dodamo korespondentne elemente nekogdrugog retka (stupca)

3. ako su dva retka (stupca) jednaka ili proporcionalna, onda jevrijednost determinante jednaka 0.

BINET-CAUCHYJEV TEOREM:Neka su matrice A i B kvadratne matrice reda n. Tada vrijedi:

det(A · B) = det A · det B.

• Determinanta gornje trokutaste (donje trokutaste)matrice jednaka je produktu elemenata na glavnoj dijagonali.

• Determinanta jedinične matrice I jednaka je 1.

• Navedena pravila omogućuju nam da se u nekom retku (stupcu)postigne maksimalan broj nula (najviše jedan element uodabranom retku ili stupcu je različit od nule), pa se izvrširazvoj po tom retku ili stupcu.

• Odredimo determinantu matrice

Budući da 3. stupacima najviše nula, toćemo u njemuosigurati nulu i namjestu a43 .

Zadatak: Dokažite da je

INVERZNA MATRICA

Inverzna matrica matrice A, oznaka A-1, je matrica zakoju vrijedi relacija:

A · A-1 = A-1 · A = I

Iz definicije slijedi da matrice A i A-1 moraju bitikvadratne matrice istog tipa.

• Pokažimo da je matrica

inverzna matrica matrice

Dakle, moramo pokazati da je A · B = I

• Za kvadratnu matricu A n-tog reda kažemo da je regularnaako je njezina determinanta različita od nule, tj. ako jedet A ≠ 0.

• Ako je det A = 0, za matricu kažemo da je singularna.

• Za matricu B kažemo da je adjungirana matrica (adjunkta)matrice A ako su njeni elementi zadani formulom

bij = Aji,

gdje je Aji algebarski komplement elementa aji matrice A.

TEOREM:Neka je A kvadratna matrica reda n.

1. Matrica A je invertibilna, tj. postoji A-1 ako i samo ako jematrica A regularna.

2. Inverzna matrica A-1 regularne matrice A jednaka je

gdje je adjunkta matrice A.

• Odredimo inverznu matricu, ako postoji matrice

Prvo moramo provjeriti determinantu matrice:

Adjunkta matrice A izgleda ovako:

Trebamo izračunati:

Dakle, po teoremu inverzna matrica zadane matriceje:

Provjerite rezultat!

SVOJSTVA MATRIČNOG INVERZA:

1. (A-1)-1 = A

2. (AB)-1 = B-1 A-1

Zadatak: Zadana je matrica

Provjerite relaciju:

Rješenje: