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Chapitre 2
METHODES D’ÉTUDEDES CIRCUITS ÉLECTRIQUES
Prof. Mourad ZEGRARI
2Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Plan
Notations de base
Lois de Kirchhoff
Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff
Théorèmes généraux
(Théorème de Millman, Théorème de superposition,
Théorème de Thévenin, Théorème de Norton)
3Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Notations de base
RéseauEnsemble d’éléments électriques reliés de manière à constituer un circuit fermé.
NœudPoint du réseau où se rejoignent au moins trois conducteurs.
BrancheGroupe d’éléments situé entre deux nœuds successifs.
MailleEnsemble de branches reliées dans un circuit fermé (le nœud de départ est le même que celui d’arrivée).
4Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.1
On considère le circuit suivant :
Nombre de nœuds : n = 2
Nombre de branches : b = 3
Nombre de mailles : m = 3
On distingue :
Nombre de nœuds indépendants : N = (n – 1)
Nombre de mailles indépendantes : M = b – (n – 1)
E2E1
R1 R2
R3
E3
A
B
D
C
F
E
1 2
5Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Loi de KIRCHHOFF : Nœuds
On considère le nœud suivant :
La quantité de charge amenée par les courants entrants (+) est égale à celle retirée par les courant sortants (-) :
I1 + I2 + I5 = I3 + I4La somme algébrique des courants dans un nœud est nulle :
I1
I2 I3
I4I5
A
0In
1ii
6Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Loi de KIRCHHOFF : Mailles
On considère la maille suivante :
Si l’on parcoure toute la maille :
VAA = V1 + V2 + V3 + V4 = 0
La somme algébrique des tensions dans une maille est nulle :
0Vn
1ii
E1R1
R2
R4
D C
BA
E2
R3E3
V1
V2
V3
V4
7Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Analyse des circuits électriques
L’analyse d’un circuit électrique repose sur la détermination es courants qui circulent dans toutes les branches de ce circuit.
Le nombre de branches = b
il faut déterminer (b) courants
On met en place :
N équations de nœuds indépendants
M équations de mailles indépendants
On dispose de : N + M = b équations.
La détermination de tous les courants devient possible.
8Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Formulation des équations
Les équations de maille sont reformulées telle que :
Ei : Somme algébrique des f.é.m. de chaque maille. Les f.é.m. sont affectées du signe de la borne par laquelle on sort suivant le sens de parcours.
RiIi : Somme des tensions résistives dans chaque maille. Un produit (RiIi) est compté positif si le sens du courant Ii est le même que celui de parcours de la maille. Il est compté négatif s’il est en sens inverse.
n
1iii
n
1ii IRE
9Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Formulation matricielle
Les équations de maille sont reformulées sous la forme matricielle suivante :
Avec :
IRE
: Matrice colonne des forces électromotrices. E
R : Matrice (carrée) des résistances.
I : Matrice colonne des courants.
10Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Méthode des déterminants
La résolution du système matriciel passe par le calcul des éléments : Déterminant principal : Δ
On calcule le déterminant de la matrice des résistances.
Déterminants particuliers : ΔIi
Dans la matrice (R), on substitue la colonne (i) par la colonne (E) des forces électromotrices.
Calcul des courants
On détermine chaque courant en fonction de son déterminant particulier :
ii
II
11Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.2
On considère le même circuit précédent :
Nombre de nœuds : n = 2
Nombre de branches : b = 3
Soit : N = n – 1 = 1
M = b – N = 2
On écrit :
Nœud A : I1 + I2 = I3
Maille (1) : E1 = R1 I1 + R3 I3 = (R1 + R3) I1 + R3 I2
Maille (2) : E2 = R2 I2 + R3 I3 = R3 I1 + (R2 + R3) I2
E2E1
R1 R2
R3
E3
A
B
1 2
I1 I2
I3
12Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.2
Ce système d’équations peut s’écrire sous la forme matricielle :
On obtient alors :
2
1
323
331
2
1
I
I
RRR
RRR
E
E
21213
2313211 RRRRR
ERERRII
21213
1323122 RRRRR
ERERRII
21213
2112213 RRRRR
ERERIII
13Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Méthode des courants fictifs
1. On associe à chaque maille indépendante un courant fictif J (appelé courant de maille). Tous les courants de maille doivent être choisis dans le même sens.
2. On effectue la formulation matricielle suivante :
3. On calcule les courants J par la méthode des déterminants.
4. On déduit les courants réels par les équations de liaison.
JRE
14Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Formulation Matricielle
La matrice principale est telle que :
[E] :Matrice colonne de la somme algébrique des f.é.m. de chaque maille. L’affectation des signes se fait selon le sens de parcours.
[R] : Matrice des résistance. Elle est constituée comme suit :
Rii > 0 : éléments de la diagonale : Somme des résistances de la
maille d’ordre (i).
Rij = Rji < 0 : éléments correspondants. Somme des résistances
communes aux maille (i) et (j) avec le signe négatif.
[J] : Matrice colonne des courants fictifs de caque maille.
JRE
15Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.3
On considère le même circuit précédent :
Les courants s’écrivent :
I1 = J1
I2 = – J2
I3 = J1 – J2
On écrit directement la formule matricielle suivante :
E2E1
R1 R2
R3
E3
J1 J2
I1 I2
I3
2
1
323
331
2
1
J
J
RRR
RRR
E
E
16Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.3
On obtient :
Soit :
21213
2313211 RRRRR
ERERRJJ
21213
1323122 RRRRR
ERERRJJ
21213
2112213 RRRRR
ERERJJI
21213
2313211 RRRRR
ERERRJI
21213
13231222 RRRRR
ERERRJJI
17Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Diviseur de tension
Une source de tension (E, R1) alimente une résistance R2 :
La loi des mailles donne :
E = V1 + V2 = (R1+R2) I
La tension V2 aux bornes de la résistance R2 s’écrit :
21 RRE
I
E
R1
R2
I
V2
V1
ERR
RV
21
22
Équation d’un diviseur
de tension.
18Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Diviseur de courant
Une source de courant (I0, R1) alimente une résistance R2 :
La loi des nœuds donne :
Le courant I2 qui circule dans la résistance R2 s’écrit :
21
21
210 RR
VRRR//R
VI
021
12 I
RRR
I
Équation d’un diviseur de courant.
R1R2
I0
VI0
I2I1
21210 R
VRV
III
19Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Théorème de Millman
On considère le nœud suivant :
La loi des nœuds au point M donne :
Soit :
0
RVV
In
1i i
MAin
1ii
I1
I2I3
I4
A1
R1
A2
R2
R3
A3
R4 A4M
n
1i i
n
1i i
Ai
M
R1
RV
V Théorème de Millman.
20Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.4
On désire calculer le potentiel au point A :
Le théorème de Millman donne directement :
V71.4
2001
5001
1001
2008
50010
1006
VA
100
V
500 200
6 V 10 V 8 V
A
B
21Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Théorème de Superposition
On considère un système linéaire possédant une sortie S et plusieurs entrées Ei :
La sortie S du système soumis simultanément à plusieurs entrées Ei est égale à la somme des réponses Si du système à chaque entrée Ei appliquée séparément :
n
1iiSS
SystèmeLinéaire
E1
E2
En
S
E1 active et Ei(i≠1) = 0 S = S1
E2 active et Ei(i≠2) = 0 S = S2
En active et Ei(i≠n) = 0 S = Sn
22Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.5
On considère le même circuit précédent :
Les courants s’écrivent :
I1 = I’1 – I"1
I2 = I"2 – I’2
I3 = I’3 + I"3
E2E1
R1 R2
R3
I1 I2
I3
E2 = 0E1
R1 R2
R3
I’1I’2
I’3
E2E1
R1 R2
R3
I’’1I’’2
I’’3
(a)
(b)
23Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.5
On calcule les différents courants :
E2E1 = 0
R1R2
R3
I’’1I’’2
I’’3
E2 = 0E1
R1 R2
R3
I’1I’2
I’3Req1
21213
132
1eq
11 RRRRR
ERRRE
'I
21213
131
32
32 RRRRR
ER'I
RRR
'I
21213
121
32
23 RRRRR
ER'I
RRR
'I
(b) :
(a) :
Req2
21213
231
2eq
22 RRRRR
ERRRE
''I
21213
232
31
31 RRRRR
ER''I
RRR
''I
21213
212
32
13 RRRRR
ER''I
RRR
''I
24Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Théorème de Thévenin
Tout réseau actif vu entre deux points A et B, peut être modélisé par un générateur de tension, de force électromotrice ET et de résistance interne RT :
Réseau ActifB
A
ET
RT
A
B
ET : Différence de potentiel à vide entre les points A et B.
ET = (VA – VB)I=0
RT : Résistance équivalente du réseau passif vu entre A et B.On court-circuite les sources de tension et on ouvre les sources de courant
25Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.6
On désire calculer le courant I dans la résistance R :
Les courant I est donné par la relation :
E
R1 A
R2
I
B
RC ET
RT A I
B
RC
CT
T
RRE
I
26Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.6
Déterminons les paramètres ET et RT :
On obtient : et21
2T RR
ERE
E
R1 A
R2
B
ET
ET :R1 A
R2
B
RT :
Req
21
21T RR
RRR
21C21
2
CT
T
RRRRRER
RRE
I
27Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Théorème de Norton
Tout réseau actif vu entre deux points A et B, peut être modélisé par un générateur de courant, de courant électromoteur IN et de résistance interne RN :
Réseau ActifB
A
IN : Courant de court-circuit quand les points A et B sont reliés.
IN = ICC (VAB=0)
RN : Résistance équivalente du réseau passif vu entre A et B.
RN = Req(AB)
IN RN
A
B
28Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.7
On désire calculer le courant I dans la résistance R :
Les courant I est donné par la relation :
E
R1 A
R2
I
B
RC INRN
A I
B
RC
NCN
N IRR
RI
29Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 2.7
Déterminons les paramètres IN et RN :
On obtient : et1
N RE
I
E
R1 A
R2
B
IN
IN : R1 A
R2
B
RN :
Req
21
21N RR
RRR
21C21
2
CN
NN
RRRRRER
RRIR
I
30Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Equivalence Thévenin-Norton
Un même réseau actif peut être modélisé soit par un générateur de tension (Thévenin) ou de courant (Norton). Comme ces générateurs représentent le même réseau, on peut alors établir l’équivalence suivante :
Soit : et
ET
RT
A
B
IN RN
A
B
T
TN R
EI TN RR