พชคณตบลน

Boolean Algebra

เนอหา พนฐานพชคณตบลน

กฎพนฐานและทฤษฎตางๆ

ตารางคาความจรง

เกตตรรกะและวงจร

การลดรปวงจร

วชา 4442103 คณตศาสตรดสครต คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยอสาน

2

พนฐานพชคณตบลน

จอรจ บล (George Boole) นกคณตศาสตรชาวองกฤษ ผคดคนพชคณตบลน

พนฐานพชคณตบลน ระบบของคณตศาสตรทางตรรกะ ซงเกยวของกบทฤษฎของบลน

(Boolean Theory) เปนทฤษฎทใชในการค านวณทางลอจก โดยใชหลกเลขฐาน 2 (0 กบ 1)

มความส าคญในการออกแบบวงจรลอจกเกท เปนพนฐานของการออกแบบอปกรณดจตอล

ผคดคน : จอรจ บล (George Boole) นกคณตศาสตรชาวองกฤษ คดคนเมอป ค.ศ. 1854

กฎพนฐานและทฤษฎตางๆ กฎของ OR กฎของ AND กฎของการคอมพลเมนท (Laws of Complementation) กฎการสลบท (Commutative Laws) กฎการจดกลม (Associative Laws) กฎการกระจาย (Distributive Laws) กฎการลดทอน (Absorbtive Laws) ทฤษฎของเดอมอรแกน (DeMorgan’s Theorems)

กฎของ OR กฎขอท 1 𝐴 + 0 = 𝐴

กฎขอท 2 𝐴 + 1 = 1

กฎขอท 3 𝐴 + 𝐴 = 𝐴

กฎขอท 4 𝐴 + 𝐴 = 1

กฎของ AND กฎขอท 5 𝐴 .0 = 0

กฎขอท 6 𝐴 . 1 = 𝐴

กฎขอท 7 𝐴 . 𝐴 = 𝐴

กฎขอท 8 𝐴 . 𝐴 = 0

กฎของการคอมพลเมนท กฎขอท 9 0 = 1

กฎขอท 10 1 = 0

กฎขอท 11 ถา 𝐴 = 0 แลว 𝐴จะเทากบ 1

กฎขอท 12 ถา 𝐴 = 1 แลว 𝐴จะเทากบ 0

กฎขอท 13 𝐴 = 𝐴

กฎการสลบท เปนกฎของการสลบท AND Gate และ OR Gate

กฎขอท 14 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

กฎขอท 15 𝐴 . 𝐵 = 𝐵 . 𝐴

กฎการจดกลม กฎขอท 16 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

กฎขอท 17 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷

กฎขอท 18 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶

กฎการกระจาย กฎขอท 19 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶

กฎขอท 20 𝐴 + 𝐵𝐶 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐶)

กฎขอท 21 𝐴 + 𝐴. 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

กฎการลดทอน กฎขอนชวยในการลดความซบซอนของวงจรลอจกเกตใหอยในรป

แบบอยางงาย ซงมกฎดงน

กฎขอท 22 𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝐴

กฎขอท 23 𝐴. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴

กฎขอท 24 𝐴. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴

ตวอยาง1 - กฎการลดทอน จงพสจนวาสมการบลน AB+ABC =AB เปนจรง วธท ำ

F = AB + ABC

= AB(1+C) : ดงตวรวม กฎขอท 19 = AB . 1 : เอกลกษณ กฎขอท 2

∴ F = AB : กฎขอท 6

ตวอยาง2 - กฎการลดทอน

จงพสจนวา (A+B)(A+C)+BC = A+BC วธท ำ F = (A+B)(A+C)+BC

= AA+AC+AB+BC+BC :กระจาย กฎขอท 19

= A+AC+AB+BC+BC : กฎขอท 7

= A+AB+AC+BC+BC : จดรป

= A(1+B)+AC+BC(1+BC) : ดงตวรวม กฎขอท 19

= A+AC+BC :1+B = 1 กฎขอท 2

= A(1+C)+BC : กฎขอท 19

= A+BC : กฎขอท 2

ทฤษฎของเดอมอรแกน (DeMorgan’s Theorems)

ใชในการลดรปสมการทซบซอน มกฎอย 2 ขอ ดงน กฎขอท 1 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 . 𝐵

กฎขอท 2 𝐴. 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

เทคนคการจ า : การแยกตวแปร เครองหมายตรงกนขาม

ตวอยาง - การลดทอนโดยใชทฤษฎเดอมอรแกน

𝐴 + 𝐵𝐶

วธท ำ 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶 ;เอาคอมพลเมนทออก = 𝐴. (𝐵 + 𝐶) ; สลบเครองหมาย = 𝐴 . (𝐵 + 𝐶 ) ; ใสคอมพลเมนทคน

∴ 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴 . (𝐵 + 𝐶 )

ตวอยาง2 - การลดทอนโดยใชทฤษฎเดอมอรแกน

𝐹 = (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) วธท ำ

𝑭 = (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) ; ใชทฤษฎเดอมอรแกน

= (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) ; เอาคอมพลเมนทออก

= 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 ; กลบเครองหมาย

= 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 ; น าคอมพลเมนทมาใสคน

∴ 𝑭 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

ตารางคาความจรง (Truth Table) เปนตารางทบอกถงฟงกชนเอาทพทของวงจรลอจก

มความสมพนธกบวงจรลอจก

ใชพสจนหาคาความจรงของสมการลอจกได

รปแบบมาตรฐานของฟงกชนบลน Standard Form of Boolean Function

ฟงกชนบลนมพนฐานบนเลขฐานสองกระท ากน มคาเปน 0 หรอ 1

มกกระท ากนดวย AND GATE, OR GATE, NOT GATE (INVERTER)

รปแบบของตวด าเนนการ

ผลรวมของผลคณ (The Sum of Production)

โดยทวไปสมการจะถกเขยนขนแทนดวย F ฟงกชน

จ านวนกรณคาความจรง ค านวณไดจาก

จ านวนกรณ = 2n โดย n คอจ านวนตวแปร

ตวอยางตารางคาความจรง 𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶

F มตวแปรทงหมด 3 ตว ดงนนเปนไปไดทงหมด 23 = 8 กรณ

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

ผลรวมของผลคณ (ตอ)

จาก 𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 จะเหนไดวามทงหมด 4 เทอมทท าการบวก(OR) กนอย เราเรยกแตละเทอมวา มน-เทอม (Minterms) ดงนนจงกลาวไดวา F คอผลรวมของ 4 มนเทอม

ผลรวมของผลคณ (ตอ)

ฟงกชนบลน 3 ตวแปร จะประกอบดวยมนเทอมทงหมด 23=8 โดยแถวหนงจะม 1 มนเทอมเรยงตามล าดบจาก 0 – 7 มนเทอม

มนเทอมแทนดวยสญลกษณ

m0, m1,m2,…,m2n-1 ;โดย n คอจ านวนตวแปร

ตวอยางมนเทอมของตวแปร 3 ตว เลขฐานสอง มนเทอมของ A,B,C

A B C

0 0 0 𝑚0 = 𝐴 𝐵 𝐶

0 0 1 𝑚1 = 𝐴 𝐵 𝐶

0 1 0 𝑚2 = 𝐴 𝐵𝐶

0 1 1 𝑚3 = 𝐴 𝐵𝐶

1 0 0 𝑚4 = 𝐴𝐵 𝐶

1 0 1 𝑚5 = 𝐴𝐵 𝐶

1 1 0 𝑚6 = 𝐴𝐵𝐶

1 1 1 𝑚7 = 𝐴𝐵𝐶

ผลคณของผลบวก (The Product of Sum)

เปนเหมอนสวนกลบของ “ผลรวมของผลคณ” เพยงแคเปลยนเครองหมายตรงกนขาม

F = A + B + C . A + B + C . A + B + C . (A + B + C)

เราเรยกแตละเทอมวา แมกซเทอม (Maxterms) เขยนสญลกษณแทนดวย ตว M ใหญ เพราะฉะนน F คอผลคณของ 4 แมกซเทอม

ผลคณของผลบวก (ตอ)

ฟงกชนบลน 3 ตวแปร จะประกอบดวยแมกเทอมทงหมด 23=8 โดยแถวหนงจะม 1 แมกซเทอมเรยงตามล าดบจาก 0 – 7 แมกซ-เทอม

แมกเทอมแทนดวยสญลกษณ M0, M1,M2,…,M2

n-1 ;โดย n คอจ านวนตวแปร

ตวอยางแมกซเทอมของตวแปร 3 ตว เลขฐานสอง แมกซเทอมของ A,B,C

A B C

0 0 0 M0 = A + B + C

0 0 1 M1 = A + B + C

0 1 0 M2 = A + B + C

0 1 1 M3 = A + B + C

1 0 0 M4 = A + B + C

1 0 1 M5 = A + B + C

1 1 0 M6 = A + B + C

1 1 1 M7 = A + B + C

การลดรปวงจร ม 2 วธ ดงน ใชทฤษฎพชคณตบลน ( Boolean Algebra)

แผนภาพคานอร (Karnaugh Map)

ลดรปโดย ใชทฤษฎพชคณตบลน

ลกษณะ

อาศยทฤษฎของพชคณตบลน

ตองใชทกษะในการแกโจทย

มความยาก หากขนาดของวงจรใหญๆ หรอ มความซบซอน

ลดรปโดย ใชแผนผงคานอร (Karnaugh Map)

เปนระบบทดดแปลงมาจาก พชคณตบลน ใหอยในรปตาราง

ท าการลดรปสมการลอจกไดอยางรวดเรว

สามารถลดรปสมการทมตวแปรไมเกน 6 ตว

K-Map

0 1

0

1

K-Map 2 ตวแปร

A B

00 01 11 10

0

1

AB C

K-Map 3 ตวแปร

00 01 11 10

00

01

11

10

AB CD

K-Map 4 ตวแปร

จ านวนชองตาราง = 2n

; n คอ จ านวนตวแปร

K-Map แสดงตามรหส

0 1

0 A B AB

1 A B AB

K-Map 2 ตวแปร

A B

00 01 11 10

0 A B C A BC ABC AB C

1 A B C A BC ABC AB C

AB C

K-Map 3 ตวแปร

00 01 11 10

00 A B C D A BC D ABC D AB C D

01 A B C D A BC D ABC D AB C D

11 A B CD A BCD ABCD AB CD

10 A B CD A BCD ABCD AB CD

AB CD

K-Map 4 ตวแปร

การแทนสมการ K-Map

วธกำร

ใส 1 ลงในชองทมคณสมบตตรงกบ ผลบวกของผลคณ (Min Term)

ใส 0 ลงในชองทมคณสมบตตรงกบ ผลคณของผลบวก (Max Term)

- Min Term ใส 1 ลงใน K-Map - Max Term ใส 0 ลงใน K-Map

ตวอยาง แทนMin Term สมการ 2 ตวแปร Q1 = A B + AB + AB

วธท ำ

1. สมการนม 2 ตวแปร ดงนน K-Map มจ านวนชอง 22 = 4 ชอง

2. ใส 1 ลงในตาราง ตามต าแหนง Min Term โดย A B = 00, AB = 10, AB= 11

0 1

0 1 1

1 1

A B

ตวอยาง2 แทนMin Term สมการ 3 ตวแปร 𝑄2 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + ABC

วธท ำ

1. สมการนม 3 ตวแปร ดงนน K-Map มจ านวนชอง 23 = 8 ชอง

2. ใส 1 ลงในตาราง ตามต าแหนง Min Term โดย𝐴 𝐵 𝐶 = 000, 𝐴 𝐵𝐶 = 010, 𝐴 𝐵𝐶= 011, 𝐴𝐵 𝐶=101, ABC =111

00 01 11 10

0 1 1

1 1 1 1

AB C

ตวอยาง3 แทนMin Term สมการ 4 ตวแปร 𝑄3 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴 𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶 D +𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶 𝐷 +𝐴𝐵𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷

วธท ำ 1. A B C D =0000,A B CD=0011, A BCD=0111,A B C D=0101,

AB CD=1011, ABC D =1100, ABC D=1101, ABCD=1111

00 01 11 10

00 1 1

01 1 1

11 1 1 1 1

10

AB CD

วธการรวมเทอมบน K-Map ใส 1 ในกรณ Min Term, 0 ในกรณ Max Term ในชอง K-Map ทมคณสมบต

ตรงกน

รวมเทอมทอยตดกนไดครงละ 2n ชอง(1,2,4,8,16,…) ใหไดมากทสด

เทอมทถกจบกลมไปแลวสามารถน ามาจบกบกลมอนไดอก

มองหาผลลพธ โดยตวแปรทซ ากนบาง แลวน ามา AND กนถาเปน Min Term หรอจบมา OR กนถาเปน Max Term

ผลลพธสดทายไดจาก น าผลลพธมา ORกน ในกรณของ Min Term

หรอน าผลลพธมา AND กน ในกรณของ Max Term

ตวอยางการลดรปโดยใช K-Map 𝑄1 = 𝐴 𝐵 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵

0 1

0 1 1

1 1

B A 𝐁

A

= 𝐴 + 𝐵

ตวอยาง 2 การลดรปโดยใช K-Map Q2 = A B + A B + AB

0 1

0 1 1

1 1

B A 𝐁

𝐀

= A + B

ตวอยาง 3 การลดรปโดยใช K-Map Q3 = A B + A B + AB + AB

0 1

0 1 1

1 1 1

B A 1

= 1