ANALIZA LINEARNIH SISTEMA AUTOMATSKOG

UPRAVLJANJA

• Sistem automatskog upravljanja (SAU) predstavlja aktivnu mrežu sačinjenu od aktivnih i pasivnih električnih kola; elektromehaničkih, mehaničkih, hidrauličnih, pneumatskih i drugih komponenata.

• Zbog toga pre nego što se pristupi analizi SAU potrebno je poznavati dinamičke karakteristike pojedinih njegovih delova.

• Naučni prilaz u izučavanju osobina elemenata i sistema zasniva se na korišćenju matematičkih (apstraktnih) modela kojima se određuju kvantitativne i kvalitativne sprege elemenata i podsistema u dinamičkom sistemu. Matematički model je skup diferencijalnih i algebarskih jednačina koje s većim ili manjim stepenom aproksimacije opisuju ponašanje sistema.

• Kako su sistemi koje razmatramo dinamički, njihovi modeli su u formi diferencijalnih jednačina. Rešavanjem dobijenih diferencijalnih jednačina dobijaju se veze između varijabli sistema.

• Matematički modeli se dobijaju na osnovu

sagledavanja i izučavanja fizičkih procesa koji se odvijaju u posmatranom elementu/sistemu, ili na osnovu eksperimentalnih podataka.

• U opštem slučaju jednačine kojima opisujemo sisteme mogu biti u formi algebarske i obične diferencijalne jednačine.

• U slučaju običnih dferencijalnih jednačina postoje izvode po jednoj promjenljivoj

0))(),(,...,,( )1()( =− tutxxxf nn

Ovakve jednačine opisuju sisteme sa koncentrisanim parametrima. Varijable su funkcije vremena i nema prostornih koordinata

dssFej21 = sF = tf st

j+

j-

)()}({)( 1 ∫∞α

∞α

−

πLInverzna Laplasova transformacija

• PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA

• Za slučaj linearnih stacionarnih sistema sa koncentrisanim parametrima jedna od metoda modela sistema jeste u vidu prenosne funkcije koja se neposredno može definisati u vidu sistema integro-diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima.

• Prenosna funkcija linearnog stacionarnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom (tzv. SISO – Single Input Single Output) se definiše kao odnos Laplasovih funkcija izlaza i ulaza sistema sa nultim početnim uslovima.

• Linearni vremensko invarijantni sistem je opisan sledećom diferencijalnom jednačinom:

)(...)()(...)()(001

1

1 tubdt

tudbtyadt

tydadt

tydm

m

mn

n

nn

n

++=+++ −

−

−

Primenom Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu uz nulte početne uslove dobija se sledeće:

( ) ( )01

101

1 ...)(...)( bsbsbsUasassY mm

mm

nn

n +++=+++ −−

−−

01

1

01

1

......

)()(

asasbsbsb

sUsY

nn

n

mm

mm

++++++

= −−

−−

• Odnos se obležava sa i naziva prenosna funkcija sistema.

• Ako je poznata prenosna funkcija sistema i Laplasova transformacija ulaza tada se Laplasova transformacija izlaza može dobiti na sledeći način:

• Prenosna funkcija je racionalna funkcija promjenljive s i daje se u vidu količnika dva polinoma:

)()(

sUsY )(sG

)()()( sUsGsY =

( )( )( )

P sG sQ s

=

• Polinom Q(s) se naziva karakteristični polinom sistema, a jednačina se naziva karakteristična jednačina sistema. Koreni karakteristične jednačine se nazivaju polovi sistema.

• Koreni jednačine se nazivaju nule sistema.

( ) 0Q s =

( ) 0P s =

• Prenosna funkcija se često piše i u tzv. pol-nula formi:

)(sG

)()()()(

)(1

1

n

n

sssszszs

KsG−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−

=

Strukturni blok dijagrami sistema

• Dinamički modeli složenih sistema, uključujući

i sisteme automatskog upravljanja, se vrlo često prikazuju grafički. Jedan od najčešće korišćenih načina grafičkog prikazivanja dinamike sistema su blok dijagrami. Blok dijagram predstavlja grafički ekvivalent dinamičkog matematičkog modela sistema.

Osnovni elementi blok dijagrama Osnovni grafički elementi od kojih su sastavljeni

blok dijagrami linearnih sistema dati su na slici

Osnovni elementi blok dijagrama

Kao što se vidi sa slike osnovni elementi modela sistema prikazan u vidu blok dijagrama se sastoji od blokova, grana, sabirača i čvorova

• Tokovi signala predstavljaju ulazne i izlazne promenljive u sistemu, dok su blokovima predstavljeni pojedini delovi sistema i njihovi dinamički modeli.

• Pri tome se dinamički model upisuje unutar bloka kojim je prikazan dati element sistema.

• Po pravilu se ovi dinamički modeli prikazuju u Laplasovom domenu, u obliku prenosnih funkcija koje povezuju ulaznu promenljivu prikazanu ulaznim signalom i izlaznu promenljivu prikazanu izlaznim signalom.

• Izlazni signal iz bloka se dobija kao proizvod prenosne funkcije upisane u blok i ulaznog signala.

Za rad sa blok dijagramima važe sledeća osnovna pravila:

• u jedan blok može da uđe samo jedan signal i da iz njega izađe samo jedan signal

• u jedan krug mogu da uđu samo dva signala, a da iz njega izađe samo jedan signal

• mogu se sabirati, odnosno oduzimati, samo signali iste vrste, odnosno signali koji predstavljaju istu fizičku veličinu (temperatura se sabira sa temperaturom, protok sa protokom, pritisak sa pritiskom itd.)

• signal ne menja vrednost prilikom grananja.

Redna veza elemenata

Paralelna veza elemenata sistema

Povratna sprega

Struktura sa negativnom povratnom vezom

1

1 2

( )( )1 ( ) ( )e

G sG sG s G s

=+

Redukcija složenih sistema

Direktne putanje

Zatvorene putanje