Post on 30-Dec-2015
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Álgebra Lineare
Geometria Analítica
Engenharia Civile
Engenharia Topográfica
Equipa docente:Engenharia Civil Diurno:Marília Pires; Susana Fernandes; Nelson Pires
Engenharia Civil Nocturno:Marília Pires; Nelson Pires
Engenharia Topográfica:Marília Pires
Para tirar dúvidas:
• mpires@ualg.pt
• sfer@ualg.pt
• Página web: w3.ualg.pt/~mpires
Vamos jogar à Batalha Naval
Precisamos de mar:
Agora precisamos de barcos:
Agora precisamos de barcos:
Agora arranjar maneira de localizar os tiros:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10987654321
Tiros:A7H3J9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10987654321
Matrizes
1
2
3
4
5
7654321
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)
1234
010103
106734
A
1234
010103
106734
A
A tem dimensão 34
1234
010103
106734
A
13a
1234
010103
106734
A
013 a
1234
010103
106734
A
21a
1234
010103
106734
A
321 a
Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por
[aij] i =1,…,m; j=1,…,n
Matrizes especiais:
• Matrizes nulasOmn
Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulas
• O23=
000
000
Matrizes especiais:
• Matrizes quadradasAnn
Matriz com n linhas e n colunas
• A33=
365
435
874
Matrizes especiais:
• Matriz triangular superiorAnn
aij = 0 se i > j
• A33=
100
120
013
Matrizes especiais:
• Matriz triangular inferiorAnn
aij = 0 se i < j
• A33=
151
024
003
Matrizes especiais:
• Matriz diagonalAnn
aij = 0 se i j
• A33=
100
020
003
Matrizes especiais:
• Matrizes colunaAn1
Matriz com n linhas e 1 coluna
• A51=
2
0
1
5
4
Matrizes especiais:
• Matrizes linhaA1n
Matriz com 1 linha e n colunas
• A15= 53210
Matrizes especiais:
• Matrizes identidadeInn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.
• I33=
100
010
001
Matrizes especiais:
• Matrizes escalaresAnn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .
• A33=
4.300
04.30
004.3
Matriz simétrica de outra:
• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se as entradas de B forem os simétricos das entradas correspondentes de A.
• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =
B = - A
560
142
203
560
142
203
Matriz transposta doutra:
• A matriz B diz-se transposta da matriz A se as entradas de B foram tais que bik = aki.
• Escreve-se B = AT
A= B = AT =
b12 = a21 = 2
252
141
21
54
21
Multiplicar uma matriz por um escalar:
• Todas as entradas da matriz são multiplicadas pelo mesmo valor .
• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =3 A =
560
142
203
15180
3126
609
Somar matrizes
• Só se podem somar matrizes da mesma dimensão.
• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição
de A e de B
A= B =
A + B =
014
233
102
125
112
118
Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna
Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmo número de elementos.
C = A BA= B = 2101
5
1
4
0
Multiplicar Matrizes CASO 1• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz
colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.C = A B
A= B = 2101
5
1
4
0
Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
C = A BA= B =
A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]
2101
5
1
4
0
Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz
colunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da coluna.
C = A B
A= B =
5
1
4
0
1321
0201
Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz colunaC = A B
A= B =
5
1
4
0
1321
0201
Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma
matriz colunaC = A B
A= B =
C = =
5
1
4
0
1321
0201
51)1(34201
50)1(24001
10
2
Multiplicar Matrizes CASO GERAL
• Multiplicar uma matriz Anp
por uma matriz Bpm
C = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm
4215
6226
2417
0213
2011
12
13
21
ABC
32 24 34
4215
6226
2417
0213
2011
12
13
21
ABC
32 24 34
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B
O produto de matrizes não é comutativo.
Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.
Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.
Matriz Inversa:
• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1
10
21
10
21BA
10
01
10
21
10
21
10
01
10
21
10
21
Propriedades das operações com matrizes
• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A
Propriedades das operações com matrizes
• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT
• ( A) T = AT
• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)
Propriedades das operações com matrizes
• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT
• ( A) T = AT
• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1
• (AT ) -1 = (A -1) T
• ( A) -1 = -1 A -1