lgebra linearverso 1148 de maio de 2015

jernimo c. pellegrini

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Sumrio

Sumrio i

Apresentao vii

Nomenclatura ix

1 Espaos Vetoriais 11.1 Estruturas algbricas 11.2 Grupos 41.3 Corpo 6

F 1.3.1 Operando com corpos 101.4 Espaos vetoriais 111.5 Subespaos 231.6 Aplicaes 331.6.1 Protocolo Diffie-Hellman para acordo de chaves [ grupo ] 331.6.2 Cubo de Rubik [ grupo ] 36

F 1.6.3 Criptanlise moderna [ corpo; sistemas lineares em corpos ] 371.6.4 Cdigos corretores de erros [ espao vetorial; subespao ] 39

2 Dimenso e Bases 452.1 Dependncia linear 452.2 Conjuntos geradores e bases 482.3 Isomorfismo e coordenadas 612.4 Mudana de base 662.5 Aplicaes 68

F 2.5.1 Fractais [ isomorfismo ] 68

3 Transformaes Lineares 733.1 O efeito em uma base determina completamente uma transformao 813.2 Kernel e imagem 883.3 Nulidade e posto 913.4 Aplicaes 953.4.1 Transformaes em imagens 953.4.2 Cdigos corretores de erros 97

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ii SUMRIO

4 Matrizes e Transformaes Lineares 1014.1 Propriedades da multiplicao de matrizes 1014.1.1 Matrizes por blocos 1014.1.2 Multiplicao por vetor combinao linear 1054.1.3 Matrizes triangulares 1064.2 Representao de transformaes como matrizes 1074.2.1 Mudana de base e similaridade 1154.3 Espaos de transformaes 1264.4 Matrizes elementares 1274.5 Sistemas de equaes lineares 1294.5.1 Eliminao de Gauss 1334.5.2 Decomposio LU 1364.5.3 Estabilidade numrica 142

F 4.6 Matrizes complexas 1424.7 Aplicaes 1444.7.1 Clculo de uma nica coluna da inversa [ decomposio LU ] 1444.7.2 Otimizao linear [ base; espao-coluna; dimenso; fatorao LU ] 1444.7.3 rbitas celestes [ mudana de base ] 148

F 4.7.4 Cdigos corretores de erros [ base; espao-linha; multiplicao direita ] 148

5 Determinantes 1575.1 Volume orientado 1575.1.1 Orientao 1605.2 Determinantes 1615.3 Existncia e unicidade do determinante 1675.4 Calculando determinantes 1685.4.1 Determinantes de ordem 3: regra de Sarrus 1695.4.2 Escalonamento e decomposio LU 1705.4.3 Expanso de Laplace 1705.4.4 Frmula de Leibniz 1725.4.5 Por blocos 175

F 5.5 Matrizes complexas 1755.6 Aplicaes 1765.6.1 Regra de Cramer 1765.6.2 rea de tringulos, volume de pirmides 1805.6.3 Equao da circunferncia passando por tres pontos 1825.6.4 O Teorema do Valor Mdio (generalizado) 1845.6.5 O Wronskiano 1865.6.6 Interpolao 188

6 Autovalores, Autovetores e Diagonalizao 1976.1 Polinmio caracterstico 2036.1.1 Autovalores complexos 211

F 6.1.2 Matrizes complexas Hermitianas 212

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SUMRIO iii

6.2 Diagonalizao de operadores 2146.3 Transformaes lineares e matrizes no quadradas 217

F 6.4 Diagonalizao simultnea de dois operadores 2176.5 Clculo de autovalores e autovetores 2216.6 Aplicaes 2216.6.1 Potncia de matriz [ diagonalizao ] 2226.6.2 Relaes de recorrncia [ polinmio caracterstico; diagonalizao ] 2236.6.3 Soluo de sistemas de equaes de diferena [ diagonalizao ] 2266.6.4 Exponencial de matriz [ diagonalizao ] 2286.6.5 Soluo de sistemas de equaes diferenciais [ diagonalizao ] 2316.6.6 Cadeias de Markov [ autovalor; autovetor ] 2346.6.7 Classificao de relevncia (pagerank) [ autovalor; autovetor ] 2376.6.8 Clculo de polinmio de matriz [ polinmio caracterstico; teorema de Cayley-Hamilton ] 2386.6.9 Inverso de matrizes [ polinmio caracterstico; teorema de Cayley-Hamilton ] 239

F 6.6.10 Grafos [ autovalores ] 2407 Produto Interno 2497.1 Produto interno e norma 2497.2 ngulos e ortogonalidade 2627.3 Projees 2697.4 Ortogonalizao 2757.5 Diagonalizao de matrizes simtricas 278

F 7.6 Produto interno em espaos complexos 2807.7 Aplicaes 2807.7.1 Soluo de sistemas lineares e mnimos quadrados [ distncia; projeo ] 2807.7.2 Covarincia e correlao [ produto interno; ngulo ] 281

F 7.7.3 Covarincia [ produto interno; matriz de Gram ] 283F 7.7.4 Otimizao linear (affine scaling) [ projeo, ncleo, escala ] 2848 Operadores Ortogonais e Normais 2938.1 Operadores Ortogonais 2938.1.1 Decomposio QR 3018.2 Operadores normais 3038.3 Decomposio em Valores Singulares 3038.4 Aplicaes 3038.4.1 Anlise de Componentes Principais 3039 Pseudoinversa 3059.1 Calculando pseudoinversas 3089.1.1 Decomposio em posto completo 3089.1.2 Por blocos 310

F 9.1.3 Mtodo de Greville 312F 9.1.4 Mtodo iterativo de Ben-Israel e Cohen usando maior autovalor 313F 9.1.5 Usando autovalores 315

9.2 Matrizes complexas 3169.3 Aplicaes 3169.3.1 Sistemas lineares 316

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iv SUMRIO

10 Forma de Jordan 321F 10.1 Existncia e clculo da forma de Jordan 323

10.1.1 Subespaos invariantes 32310.1.2 Autovetores generalizados 32410.1.3 Existncia da forma de Jordan (para operadores nilpotentes) 32610.1.4 Existncia da forma de Jordan (caso geral) 32910.2 Estabilidade numrica 33010.3 Aplicaes 33010.3.1 lgebra Linear [ forma de Jordan ] 33010.3.2 Equaes Diferenciais [ forma de Jordan ] 33111 Reticulados 33511.1 Ortogonalidade de bases 33711.2 Problemas em reticulados 33811.2.1 Reduo de bases com posto dois: algoritmo de Gauss-Lagrange 33911.2.2 Vetor mais prximo com posto e ortogonalidade altos: algoritmo de Babai 34211.2.3 Posto alto, ortogonalidade baixa (reticulados difceis) 34211.3 Aplicaes 34311.3.1 Criptografia [ reticulados; desvio de ortogonalidade ] 34311.3.2 Cristalografia [ reticulados ] 34512 Formas Quadrticas e Bilineares 34712.1 Formas multilineares 35112.2 Aplicaes 35212.2.1 Classificao de cnicas e qudricas 35212.2.2 Mximos e mnimos de funes em Rn [ formas definidas ] 36212.2.3 Otimizao quadrtica 36713 Geometria Afim e Projetiva 37113.1 Geometria Afim 37113.1.1 Espao Afim 37313.1.2 Transformaes Afim 37513.1.3 Coordenadas Homogneas 37713.2 Geometria Projetiva 37913.2.1 Noes intuitivas 37913.2.2 Coordenadas 38113.2.3 Transformaes Projetivas 38113.3 Aplicaes 38114 Srie de Fourier 38314.1 Funes Peridicas 38314.2 Srie de Fourier 38814.3 Determinao de coeficientes 38914.4 Forma exponencial 39414.5 Convergncia 39514.5.1 Convergncia quase sempre 39814.5.2 Convergncia pontual 399

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SUMRIO v

F 14.5.3 Convergncia uniforme 400F 14.6 Transformada de Fourier 404

14.7 Aplicaes 40614.7.1 Equaes diferenciais [ srie de Fourier ] 406

F 14.7.2 Equaes diferenciais parciais: a equao da onda [ srie de Fourier ] 41014.7.3 Msica 412

F 14.7.4 Compresso de dados [ transformada de Fourier ] 412F 14.7.5 Espectroscopia de infravermelho [ transformada de Fourier ] 412

15 Tensores 41515.1 Espao dual e funcionais lineares 41515.2 Covarincia e contravarincia 41615.3 Notao de Einstein 41615.4 Tensores 41715.4.1 Operaes com tensores 417

F 15.4.2 Produto tensorial de espaos vetoriais 41815.5 Aplicaes 418

A Reviso: Sistemas Lineares e Matrizes 419A.1 Sistemas de equaes lineares 419A.1.1 Resoluo de sistemas escalonados por linhas 421A.1.2 Resoluo de sistemas lineares na forma geral 422A.2 Matrizes 424A.2.1 Operaes com matrizes 425A.3 Aplicaes 430A.3.1 Circuitos eltricos [ sistemas lineares ] 430A.3.2 Balanceamento de equaes qumicas [ sistemas lineares ] 431A.3.3 Cadeias de Markov [ matrizes ] 432A.3.4 Sistemas de Votao [ matrizes ] 434

B Induo Finita 437B.1 Enunciado do Princpio da Induo Finita 437B.2 Demonstraes de igualdades e desigualdades simples 439B.3 Induo em estruturas 442B.4 Induo em Geometria 443B.5 Induo em nmero de operaes com matriz 446B.6 Induo em ordem de matriz quadrada 447B.7 Demonstrao de corretude de algoritmos 448

C Orientao de Bases 459

D Equaes Diferenciais 463D.1 Equao Diferencial Ordinria 465D.2 Separao de variveis 465D.3 Problemas de valor inicial e de contorno 467D.4 Equao Diferencial Parcial 467

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vi SUMRIO

E Dicas e Respostas 471

Ficha Tcnica 489

Bibliografia 491

ndice Remissivo 495

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Apresentao

Este texto foi elaborado como um primeiro curso de lgebra Linear, desenvolvendo conceitos bsicos naprimeira parte e avanando para outros tpicos e aplicaes na segunda parte.

O texto comea com espaos vetoriais e aborda matrizes somente aps transformaes lineares. Isso feito para que o leitor no tenha inicialmente a impresso de que a lgebra Linear trata simplesmente delgebra de matrizes reais, para que de imediato fique claro que espaos vetoriais no so necessariamentecompostos apenas de tuplas (h espaos de dimenso infinita facilmente descritos), e tambm para ilustrarde imediato a natureza abstrata da lgebra, e da sua relevncia emproblemas prticos: ao final do primeirocaptulo h vrios exemplos de uso de espaos vetoriais em Criptografia, cdigos corretores de erros ena soluo do cubo mgico. H tambm uma boa quantidade de aplicaes ao final de todos os outrosCaptulos.

Os pr-requisitos imprescindveis para a leitura deste livro so Clculo emumavarivel real e GeometriaAnaltica. Alguns dos exemplos farouso deClculo emvrias variveis, nmeros complexos, probabilidadebsica, grafos e equaes diferenciais mas estes exemplos podem ser deixados de lado sem comprometer asequncia do texto. Para que o livro seja to autocontido quanto possvel, h um apndice comuma revisode sistemas lineares e matrizes, um introduzindo o mtodo da induo finita, e um com noes bsicas deEquaes Diferenciais.

Sees, exemplos e exercciosmarcados comestrela (F) so opcionais, ou porque so difceis ou porqueusam conceitos normalmente no abordados emumprimeiro curso de lgebra Linear, como corpos finitos.

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Nomenclatura

Vetores (elementos de um espao vetorial, no apenas vetores em Rn) so grafados em negrito: v,w, . . ..Representamos vetores em Rn como vetores-coluna em todo o texto:

v =

v1

v2...

vn

.

Emtexto corrido e emmuitas frmulas, denotamos tais vetores como transpostas de linhas: v = (v1, v2, . . . , vn)T .Em diversas ocasies, somatrios so denotados apenas por

i

. . . ,

ao invs deni=1

. . . ,

sendo sempre possvel determinar, a partir do contexto, quais os valores do ndice i.Fraes so fatoradas para fora de matrizes sempre que possvel faz-lo, para tornar matrizes mais

facilmente legveis e simplificar operaes de multiplicao:0

16

16

76

26

56

13

116

136

16

0 1 17 2 52 11 13

.No usamos setas para representar os eixos emR2 eR3, porque as reservamos para vetores. Por exemplo,o grfico da funo x4

5 x3 x2 + 5x 1 mostrado na prxima figura.

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x SUMRIO

6 4 2 2 4 6

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6

4

2

2

4

6

00

x

y

A nomenclatura usada no livro detalhada a seguir.

bxe O inteiro mais prximo de x, pgina 383(an) sequncia, pgina 17(fn) Sequencia de funes, pgina 3962A Conjunto de todos os subconjuntos do conjuntoA, pgina 43[v]B Coordenadas do vetor v na base B, pgina 66[A]ij MatrizA aps remoo da linha i e coluna j, pgina 170[X] Espao gerado pelo conjunto de vetores X, pgina 49[id] Matriz de mudana de base, de para , pgina 115dxe arredondamento para cima (menor inteiro maior ou igual a x), pgina 484 Composio de transformaes lineares (e de funes), pgina 78cof(A, i, j) Cofator do elemento aij da matrizA, pgina 170(X, Y) Correlao entre variveis aleatrias X e Y, pgina 283cov(X, Y) Covarincia entre variveis aleatrias X e Y, pgina 282detA Determinante da matrizA, pgina 161diag(A1, . . . Ak) Matriz diagonal com blocosA1, . . . , Ak formando a diagonal., pgina 103diag(a1, . . . , an) Matriz diagonal com elementos a1, . . . , an na diagonal., pgina 425dimV Dimenso do espao vetorial V , pgina 55E(X) Esperana da varivel aleatria X, pgina 75

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SUMRIO xi

bxc arredondamento para baixo (maior inteiro menor ou igual a x), pgina 484F(f(x)) Transformada de Fourier de f(x), pgina 404F Conjunto de todas as funes de R em R, pgina 15F(L) domnio fundamental do reticulado L, pgina 336id Funo (e transformao) identidade, pgina 73Im T Imagem da transformao T , pgina 88In(M) Inrcia da matrizM, pgina 359u, v Produto interno dos vetores u e v, pgina 249Z2 Corpo finito com dois elementos, pgina 8ker T Kernel da transformao T , pgina 88L(B) reticulado com base B, pgina 335 desvio de ortogonalidade, pgina 337 Produto de Hadamard, pgina 40 Frequncia angular de funo peridica, pgina 383 Soma direta de espaos vetoriais, pgina 31 Ou-exclusivo lgico, pgina 8A Matriz dos conjugados deA, pgina 143x Conjugado, pgina 280 Frequncia de funo peridica, pgina 383Projx(v) Projeo de v em vetor ou subespao x, pgina 272Rn[x] Conjunto (e espao vetorial) dos polinmios com grau n, pgina 14X Desvio padro da varivel aleatria X, pgina 2822X Varincia da varivel aleatria X, pgina 282sgn Paridade de uma permutao, pgina 173 Expanso formal/simblica, pgina 388[T ] Transformao T . Base para domnio e para contradomnio, pgina 115ei Vetor (0, . . . , 1, . . . , 0), pertencente base cannica, pgina 53v w Produto vetorial dos vetores v e w, pgina 3

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xii SUMRIO

volA volume do objeto geomtricoA, pgina 381volA volume do objeto geomtricoA, pgina 160 E lgico, pgina 8A Conjugado transposto deA, pgina 143A+ Pseudoinversa da matrizA, pgina 305AH Conjugado transposto deA, pgina 143AH Matriz adjunta deA, pgina 212C[a, b] Conjunto (e espao vetorial) das funes contnuas em [a, b], pgina 28C0 Conjnuto (e espao vetorial) das funes contnuas em R, pgina 27Ck Conjnuto (e espao vetorial) das funes k vezes diferenciveis em R, pgina 27d(v,w) Distncia entre os vetores v e w, pgina 258En Erro na aproximao de srie com n termos, pgina 397L2 Espao de funes quadrado-integrveis, pgina 398LG Matriz Laplaciana do grafoG, pgina 240Mm,n Conjunto (e espao vetorial) das matrizesm n, pgina 61O(B) Orientao da base B, pgina 161Sn Conjunto de todas as permutaes de n elementos, pgina 172Sn Soma parcial de srie, pgina 397V(k1, . . . , kn) Matriz de Vandermonde obtida de k1, . . . , kn, pgina 188V Espao dual, pgina 416V Espao dual, pgina 126

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Captulo 1

Espaos Vetoriais

A lgebra Linear pode ser vista como uma generalizao natural da Geometria Analtica. Da mesma formaque, na Geometria, somamos pares de vetores e multiplicamos vetores por escalares, podemos faz-lo comoutros objetos matrizes (A+ B, kA), funes ((f+ g)(x), kf(x)), sequncias ((an) + (bn), k(an)).

A lgebra tem como objeto de estudo o comportamento de operaes definidas sobre conjuntos. Algebra Linear trata epecificamente de espaos vetoriais: conjuntos onde so definidas as operaes de somae multiplicao, de forma que fique bem definida tambm a expresso ax+ b.

Os espaos vetoriais so um dos mais importantes exemplos de estrutura algbrica. A idia abstratade espao vetorial generaliza o conceito de vetores no espao tridimensional de duas maneiras. Primeiro,espaos vetoriais podem ter dimenso maior que tres. E segundo, definimos espaos vetoriais no apenascom vetores geomtricos, mas com diferentes objetos matemticos (por exemplo nmeros, matrizes,polinmios, funes) e podemos tratar desses objetos de forma unificada.

A fim de melhor contextualizar a definio de espao vetorial, este Captulo traz uma breve descriodo que uma estrutura algbrica, descrevendo tambm grupos e corpos.

1.1 Estruturas algbricasAlm de nmeros, podemos somar e multiplicar outros objetos o exemplo mais simples talvez seja ode matrizes. Quando definimos soma e multiplicao para objetos diferentes, estas operaes podem ouno ter propriedades semelhantes. Tanto para nmeros reais como para matrizes, a soma associativa:a+ (b+ c) = (a+ b) + c. No entanto, a multiplicao de nmeros reais comutativa (ab = ba), mas acomutatividade no vale, de forma geral, para a multiplicao de matrizes.

Ao estudar diferetes tipos de objetos e operaes definidas sobre eles, identificamos algumas classes deobjetos para os quais as operaes se comportam de maneira semelhante. Damos a essas classes de objetoscom operaes algbricas o nome de estrutura algbrica.

Estrutura algbrica (ou sistema algbrico) o nome dado a um conjunto com algumas operaes definidassobre ele. Por exemplo, o conjunto dos nmeros reais com as operaes de soma e multiplicao, (R,+, ) uma estrutura algbrica. O conjunto das matrizes com a operao de soma de matrizes e a operao demultiplicao por escalar (M,+, ) outra estrutura algbrica. Um terceiro exemplo de estrutura algbrica o conjunto dos inteiros com a operao de soma, (Z,+). Cada um destas estruturas tem caractersticasdiferentes, e pode ser classificada de maneiras diferentes, como veremos a seguir.

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2 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

Antes de definirmos algumas estruturas algbricas, definimos o tipo de operao que acompanharoestas estruturas. Neste texto, trataremos de operaes com dois argumentos, chamadas de operaes bin-rias.Definio 1.1 (Operao binria). Uma operao em um conjunto A uma funo que leva um ou maiselementos deA em outro elemento deA ou seja, uma funo f : AA A A.

Dizemos que uma operao binria se aceita dois argumentos ou seja, da forma f : AA A.Dizemos que uma operao binria associativa, se a?(b?c) = (a?b)?c e comutativa, se a?b = b?a.Um elemento e A neutro para a operao ? se para todo a A, a ? e = e ? a = a.

Exemplo 1.2. Em R, as operaes de soma e multiplicao so associativas e comutativas, porquex+ y = y+ x (comutatividade)

x+ (y+ z) = (x+ y) + z (associatividade)

xy = yx (comutatividade)x(yz) = (xy)z (associatividade)

No entanto, as operaes de diviso e subtrao no so comutativas. A subtrao associativa, e a divisono :

x y 6= y x (no vale a comutatividade)x (y z) = (x y) z (associatividade)

x/y 6= y/x (no vale a comutatividade)x/(y/z) 6= (x/y)/z (no vale associatividade)

O neutro para soma o zero, e o neutro para multiplicao o um porque0+ x = x

(1)x = x

No definimos neste texto neutro para subtrao e diviso, porque as operaes no so comutativas, e oneutro e teria que satisfazer x e = e x = x, e x/e = e/x = x, que no sera possvel. JExemplo 1.3. No conjunto de matrizes quadradas de ordem n, a operao de soma comutativa e associ-ativa, porque para duas matrizesA e B, temos

A+ B = B+A (comutatividade)A+ (B+ C) = (A+ B) + C (associatividade)

No entanto, a operao de multiplicao associativa, mas no comutativa:AB 6= BA (no vale a comutatividade)

A(BC) = (AB)C (associatividade)O neutro para a soma de matrizes a matriz zero (ou seja, a matriz cujos elementos so todos zero).

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1.1. ESTRUTURAS ALGBRICAS 3

O neutro para multiplicao de matrizes a identidade, porque, apesar da multiplicao de matrizes noser comutativa, temos

IA = AI = A,para toda matriz quadradaA. JExemplo 1.4. O produto vetorial em R3 definido como

v w = (x2y3 x3y2)e1+ (x3y1 x1y3)e2+ (x1y2 x2y1)e3,

onde e1, e2 e e3 so os vetores unitrios nas direes dos eixos x, y e z (tambm os chamamos de versores).O resultado do produto vetorial vw um vetor s, perpendicular tanto a v como aw. Por exemplo, se

v = (3, 0, 0)T e w = (0, 2, 0)T , o produto vetorial s = v w (0, 0, 6)T , ortogonal a ambos.

A magnitude de s zero quando v e w so paralelos e igual ao produto das magnitudes de v e w quandoestes so perpendiculares.

Esta operao no comutativa, porquev w = (w v).

A operao tambm no associativa, porqueu (v w)

um vetor no mesmo plano que v e w, enquanto(u v) w

um vetor no mesmo plano que u e v. JDefinio 1.5 (Fechamento). Seja A um conjunto com uma operao ?, e seja B A. Dizemos que B dito fechado sob a operao ? se e somente se a operao com dois elementos deB sempre resulta em outroelemento de B ou seja, x, y B, x ? y B.

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4 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

Exemplo 1.6. As quatro operaes aritmticas definidas nos reais so operaes binrias. Alm disso, nosreais a soma e a multiplicao so comutativas (a+b = b+a) e associativas (a+ (b+ c) = (a+b) + c).

Os reais so fechados para as quatro operaes.Poderamos tentar definir as quatro operaes aritmticas para os inteiros, mas no vale o fechamento:

a operao de diviso no tem como ser definida. A intuio nos diz que podemos dividir 9/3 e obter 3, masno o podemos fazer para quaisquer dois inteiros por isso no definimos esta operao para o conjuntodos inteiros, porque os inteiros no so fechados para a diviso. J

1.2 GruposComo primeiro exemplo de estrutura algbrica, tomamos os grupos.Definio 1.7 (Grupo). Umgrupo umconjunto no-vazioG associado a umaoperao binria : GGG tendo as propriedades listadas a seguir.

Associatividade: (a b) c = a (b c). Existencia de neutro: Deve existir um elemento neutro e G para a operao de grupo: e G :a e = e a = a.

Existencia de inverso: Para todo a G, h um inverso a G tal que a a = a a = e.Se a operao do grupo for comutativa, dizemos que o grupo comutativo (ou abeliano1). Exemplo 1.8. Os inteiros com a operao usual de soma formam um grupo: (i) a soma de dois inteiros um inteiro; (ii) a soma associativa; (iii) o inteiro zero neutro para soma; e (iv), para todo inteiro a, existeum inteiroa tal que a+ (a) = 0. O grupo tambm comutativo. J

Os conjuntosQ, R e C tambm formam grupo com a operao usual de adio.Demonstramos um teorema bsico sobre grupos.

Teorema 1.9. SejaG um grupo e x G. Ento o inverso x de x nico emG.Demonstrao. Seja x G e a, b inversos de x. Ento

a = ae

= a(xb) xb = e, b inverso de x= (ax)b associatividade= eb ax = e, a inverso de x= b.

Exemplo 1.10. O conjunto {+1,1 } com a operao usual de multiplicao um grupo: (i) 1 1, 1 1,1 1,1 1 pertencem ao grupo; (ii) a operao associativa; (iii) 1 neutro; (iv) tanto 1 como1 soseus prprios inversos. J

1Abeliano refere-se ao matemtico Noruegus Niels Henrick Abel, que deerminou que a comutatividade de certos grupos estavarelacionada com a possibilidade de clculo das razes de polinmios.

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1.2. GRUPOS 5

Exemplo 1.11. O conjunto de triplas2 (x, y, z)T R3, que representam vetores no espao tridimensional,com a operao de soma de vetores:

(x, y, z) + (a, b, c) = (x+ a, y+ b, z+ c)

um grupo: (i) a soma de dois vetores um vetor tambm com trs nmeros reais; (ii) a soma associativa;(iii) o vetor zero neutro; (iv) para todo vetor v = (x, y, z), existe um vetor v = (x,y,z) tal quev+ (v) = (0, 0, 0). Alm disso, o grupo comutativo. JExemplo 1.12. O conjunto R com a operao de exponenciao no um grupo, porque no vale a asso-ciatividade ((ab)c 6= a(bc)). JExemplo 1.13. O conjunto de todas as funes deR emR, com a operao de soma de funes, um grupo.

A soma de funes associativa: f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x), para todas funesf, g, h e todo x R.

A funo zero, z(x) = 0, o elemento neutro para a operao de soma: f(x)+z(x) = f(x)+0 = f(x),para todos f e x.

H um inverso para toda funo: f(x) tem como inversa a funo g(x) = f(x), porque f(x) +[f(x)] = z(x). J

Exemplo 1.14. Dadas duas funes f e g, a composio de f com g, que denotamos fg, tal que fg(x) =f(g(x)).

Por exemplo, se f(x) = 1/x e g(x) = log(x), ento (f g)(x) 1/ log(x).O conjunto de todas as funes bijetoras de reais em reais com a operao de composio um grupo: a composio de funes associativa: f (g h) = (f g) h. A funo identidade f(x) = x o elemento neutro para a operao de composio porque para todafuno g, f(g(x)) = g(x).

Como nos restringimos ao conjunto das funes bijetoras, todas tem inversa: f f1 a identidade.J

Exemplo 1.15. O conjunto dasmatrizes quadradas de ordemn, com a operao de soma dematrizes, umgrupo, porque:

A soma de duas matrizes n n resulta em outra matriz n n. A soma de matrizes associativa. A matriz Z com todas as entradas iguais a zero funciona como elemento neutro, porqueA+ Z = Apara toda matrizA.

Toda matrizA tem inverso para a operao de soma: A+ [(1)A] = Z, onde (1)A a matrizAcom seus elementos multiplicados por1, e Z a matriz zero.

2Neste texto, adotamos a representao de vetores como coluna por padro.

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6 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

J o mesmo conjunto, das matrizes quadradas de ordem n, com a operao de multiplicao de matrizes,no um grupo, porque nem toda matriz tem inversa.

No entanto, o conjunto das matrizes no-singulares de ordem n, com a operao de multiplicao dematrizes, um grupo. JExemplo 1.16. O conjunto R \ {1 } com a operao ?, definida como

a ? b = ab+ a+ b

um grupo: (i) se a, b 6= 1, ento ab + a + b 6= 1 e portanto pertence ao grupo; (ii) a operao associativa; (iii) zero identidade para ?; (iv) o inverso de a a/(a+ 1).

Desenvolvemos detalhadamente as propriedades (ii) e (iii).(ii)

(a ? b) ? c = (ab+ a+ b) ? c

= (ab+ a+ b)c+ (ab+ a+ b) + c

= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c

= abc+ ac+ ab+ a+ bc+ b+ c

= a(bc+ b+ c) + a+ bc+ b+ c

= a ? (b ? c)

(iii)

a ?a

a+ 1=

a2

a+ 1+ a

a

a+ 1

=a2

a+ 1

a(a+ 1) a

a+ 1

=a2 + a2 + a a

a+ 1

= 0.

O grupo tambm comutativo. JExemplo 1.17. Dado um natural n > 0, o conjunto de todas as matrizes invertveis n n um grupocom a operao usual de multiplicao de matrizes: (i) se A, B so n n, ento AB ser tambm umamatriz nn; (ii) a multiplicao de matrizes operao associativa; (iii) o elemento identidade a matrizidentidade (iv) todas as matrizes do grupo so invertveis.

Este grupo, no entanto, no comutativo, j que a multiplicao de matrizes no , de maneira geral,comutativa. J

1.3 CorpoDefinio 1.18. Um corpo consiste de um conjunto e duas operaes, denotadas e+, com as propriedadeslistadas a seguir.

As duas operaes so associativas.

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1.3. CORPO 7

As duas operaes so comutativas. Vale a distributividade de sobre+. H elementos neutros 0 para soma e 1 para multiplicao. Todo elemento do corpo tem um inverso aditivo. Todo elemento diferente de 0 tem inverso multiplicativo.

Exemplo 1.19. (Q,+, ), (R,+, ) e (C,+, ) so corpos.Para todos estes conjuntos, + e so associativas e comutativas para nmeros reais. Vale a distributividade: a(b+ c) = ab+ ac para quaisquer a, b e c reais. O zero neutro para soma de reais: a+0 = a para todoa; O um neutro paramultiplicao: 1a = apara todo a.

Para todo real a existe um inverso aditivo, (1)a, tal que (1)a+ a = 0. Todo a 6= 0 tem inverso multiplicativo, que denotamos a1, tal que aa1 = 1.

O mesmo argumento pode ser repetido paraQ e C.H diferenas importantes entre estes trs corpos: o corpo dos racionais no completo (no contm

os irracionais, que no podem ser representados como frao); o corpo dos reais completo e ordenado,mas no inclui solues para a inequao x2 < 0; os complexos j incluem estas solues, porque contma unidade imaginria i = 1, mas no se pode orden-los. JExemplo 1.20. Fixado um nmero n, denotamos o conjunto de todas as matrizes de ordem n porMnn.Este conjunto no um corpo com as operaes de soma e multiplicao de matrizes, porque:

Nem toda matriz diferente de zero tem inversa; A operao de multiplicao no comutativa3. J

Exemplo 1.21. Seja Q[2] o conjunto dos nmeros da forma a + b2, onde a, b Q, com adio emultiplicao usuais. Este conjunto um corpo:

As operaes so as usuais, portanto so associativas e comutativas, e vale a distributividade. H neutros: 0+ 02 para adio e 1+ 02 para multiplicao. Para todo a+ b2 existe inverso aditivoa b2. Para todo (a+ b2) 6= 0 existe inverso multiplicativo

1

a+ b2=

(1

a+ b2

)(a b

2

a b2

)3Um anel omesmo que um corpo, exceto que no vale a comutatividade para multiplicao, e os elementos no necessariamente

tem inverso multiplicativo (ou seja, no se define a operao de diviso).Mnn um anel.

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8 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

=a b

2

a2 2b2

=a

a2 2b2

b

a2 2b2

2,

e o inverso multiplicativo de a+ b2 tambm da forma x+ y2. Observamos que a2 2b2 6= 0quando a, b 6= 0.

Finalmente, a soma e multiplicao de elementos em Q[2] resulta em elementos em Q[2]. So-mando,

a+ b2+ x+ y

2 = (a+ x) + (b+ y)

2.

Multiplicando:

(a+ b2)(x+ y

2) = ax+ ay

2+ bx

2+ b

2y2

= ax+ ay2+ bx

2+ 2by

= (ax+ 2by) + (ay+ bx)2. J

O prximo exemplo o corpo Z2, de extrema importncia em Computao. Este corpo diferente dosoutros corpos que apresentamos por ser finito.Exemplo 1.22. Neste exemplo exploramos um corpo com apenas dois elementos. Podemos representaros valores lgicos verdadeiro e falso como 0 e 1, e estes sero os elementos de nosso corpo.

As operaes que definiremos so as duas operaes lgicas a seguir: e, tambm denotado por . Por definio, o e de a e b um se e somente se tanto a como bvalem um. A tabela-verdade da operao

a b (a b)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ou-exclusivo, tambm denotado por . Por definio, o ou-exclusivo de a com b um se e so-mente se a e b tem valores diferentes (um deles zero e outro um). A tabela-verdade da operao

a b (a b)0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

O conjunto { 0, 1 } com as operaes lgicas (e) e (ou exclusivo) um corpo: (i) as duas operaesso associativas; (ii) as operaes so tambm comutativas; (iii) distributiva sobre a (b c) =

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1.3. CORPO 9

(ab) (ac); (iv) h elementos neutros: 0 para e 1 para; (v) todo elemento do corpo seu prprioinverso aditivo; (vi) O nico elemento diferente de 0 (o 1) tem inverso multiplicativo (ele mesmo).

Este corpo chamado de Z2, porque subconjunto dos inteiros com dois elementos4. Observe que asoperaes e tambm podem ser descritas usando soma e multiplicao: se a e b pertencem a {0, 1},ento

a b o mesmo que o resto da diviso de a+ b por 2, e

a b o mesmo que ab. JAs operaes em Z2 (e, ou-exclusivo) so normalmente implementadas por circuitos lgicos usados na

construo de computadores e outros dispositivos digitais.Exemplo 1.23.F Este exemplo est em nvel de abstrao acima do resto do texto, e deve ser consideradoopcional.

Um nmero chamado de algbrico se raiz de algum polinmio

anxn + an1x

n1 + . . .+ a1x+ a0,

onde os ai so inteiros. Um nmero que no algbrico chamado de transcendental.O conjunto de todos os nmeros algbricos um corpo, chamado de corpo de nmeros algbricos, muitas

vezes denotado por A. Este corpo contm Q, i = 1, todos os mltiplos de i com coeficientes raci-onais, a razo uera5 , mas no contm nmeros transcendentais como pi e e. Alguns outros nmerostranscendentais (e que portanto no pertencem a A) so

22, o nmero de Hilbert.

sen 1, e de maneira geral sen x, cos x e tan x para todo nmero algbrico x diferente de zero.

ii = epi/2 = 0.207879576 . . .

0.12345678910111213141516 . . ., o nmero de Champernowne, que construdo concatenando osdgitos dos nmeros naturais 1, 2, 3, . . .

H aplicaes importantes deste corpo por exemplo, os nmeros algbricos so usados em um mtodopara obter a fatorao de nmeros inteiros grandes, algo de grande relevncia em Criptanlise.

No mostraremos neste texto que A um corpo. J

4Este corpo tambm chamado deGF2, ondeGF significa Galois Field, corpo de Galois um corpo de Galois um corpo finito.O nome referencia ao matemtico Francs variste Galois, que foi quem introduciu a idia de corpos com quantidade finita deelementos.

5 a razo a/b para todos reais tais que a+ba

= ab. A razo urea est presente na Natureza de diversas formas, e importante

em muitas reas das Cincias e Artes. Seu valor 1+5

2, tambm igual frao

1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

.

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10 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

F 1.3.1 Operando com corposTudo o que pudermos fazer usando as operaes de corpo em nmeros reais, tambm podemos fazer

com outros corpos. Em particular, interessante observar que podemos resolver equaes e sistemas deequaes em qualquer corpo.Exemplo 1.24. Facilmente resolvemos a equao linear 2x+ 3 = 10 em R, isolando x e obtendo

x =10 3

2=7

2.

Agora resolvemos equaes lineares em corpos diferentes. Por lineares entendemos equaes onde umaincgnita pode aparecer multiplicada por uma constante (ou seja, um elemento do corpo), mas no poroutra incgnita ou por ela mesma.

Primeiro, resolvemos 3x+ 10+2 = 1+ 162 emQ[2]: isolamos x e obtemos

3x = 1 10+ 1622

3x = 9+ 152

x = 3+ 52.

Este exemplo parece bastante natural, porque realizamos as operaes usuais de soma e multiplicao, esuas inversas (subtrao e diviso). Resolvemos agora uma equao em Z2. Como os elementos do corposo apenas 0 e 1, somente eles podem ser usados na equao (ou seja, as constantes e incgnitas valem 0ou 1). Em Z2, as operaes que usamos so soma (ou exclusivo) e multiplicao (e lgico). Observamosque neste corpo a funo inversa da soma ela mesma, porque

1 1 = 0.Embora isto possa, em um primeiro contato, parecer incorreto, nada na definio de corpo impede quesomar dois nmeros seja o mesmo que somar um nmero com seu inverso aditivo.

Resolveremos agora a equao 1 x 1 = 1. Isolamos x:1 x 1 = 0

x 1 = 0 (porque 1 x = x)x 1 1 = 0 1

x 0 = 1x = 1. J

Exemplo 1.25. Tambm podemos resolver sistemas de equaes lineares. Neste exemplo denotamos por para que a notao fique mais limpa; por exemplo, ao invs de 1 a 0 b, escrevemos 1a+ 0b.

Em Z2, resolvemos um sistema 2 2. {1x 1y = 10x 1y = 1

Como 0x = 0, e 1y = 1, da segunda equao temos 0 y = 1, e segue imediatamente que y = 1.Substituindo na primeira equao, obtemos

1x 1 1 = 1

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1.4. ESPAOS VETORIAIS 11

x 1 1 = 1 (1x = x)x 1 = 1 (1 1 = 1)

x = 0

Verificamos agora a soluo que encontramos (x = 0, y = 1):{+ 1(0) 1(1) = 1+ 0(0) 1(1) = 1

que se traduz em {+ 0 1 = 1+ 0 1 = 1

que est de acordo com o que espervamos.A soluo de sistemas de equaes em Z2 de grande importncia em Criptografia e Criptanlise. J

1.4 Espaos vetoriaisUmespao vetorial uma estrutura que generaliza as propriedades de vetores emR3, como as conhecemosda Geometria Analtica. Em um espao vetorial podemos somar elementos e realizar multiplicao nopor elementos do prprio espao, mas por escalares, que so elementos de um outro conjunto (um corpo).Definio 1.26 (Espao Vetorial). Um espao vetorial sobre um corpoK um conjuntoV com duas opera-es, adio de vetores, denotada por+ emultiplicao por escalar, denotada por concatenao. A soma operaem pares de vetores e retorna um vetor (+ : V V V), e a multiplicao por escalar opera em pares deescalar e vetor, retornando um vetor ( : K V V). Para que V e K com as duas operaes formem umespao vetorial as operaes devem ter as seguintes propriedades:

As duas operaes so associativas:

c(dv) = (cd)vu+ (v+ w) = (u+ v) + w.

A soma de vetores (+) comutativa: u+ w = w+ u. A multiplicao por escalar () distributiva, tanto sobre adio de vetores como sobre adio deescalares:

c(v+ w) = cv+ cw(c+ d)v = cv+ dv.

Existe um vetor 0, neutro para adio: v+ 0 = v. Para todo vetor v existe um vetorv, tal que v+ (v) = 0. 1v = v (a multiplicao pela identidade do corpo no modifica um vetor).

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12 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

Dizemos que K o corpo subjacente ao espao vetorial V .O espao vetorial com um nico elemento chamado de espao trivial. de vital importncia observar que definimos as operaes como + : V V V e : K V V , e

que portanto o vetor que resulta da aplicao delas deve sempre pertencer ao espao V onde so definidas.No espao trivial, o nico elemento deve necessariamente ser o vetor zero, porque a existncia do

neutro aditivo requisito. interessante observar que no definimos em um espao vetorial o produto de um vetor por outro, e

isto est em consonancia comonome lgebra linear: emuma forma linear,ax+b, multiplica-se a varivelx por um escalar a, mas no pelo prprio x ou por outra varivel. Por exemplo, a forma ax2 + bx + c quadrtica, e no linear.

A seguir temos exemplos de diferentes espaos vetoriais. Mostramos que so realmente espaos veto-riaois: para isso mostramos que as operaes de soma e multiplicao resultam em um vetor no mesmoespao, e que as operaes tem as propriedades listadas na definio de espao vetorial.Exemplo 1.27 (vetores no plano). O conjunto de todos os vetores no plano com as operaes de soma devetores e multiplicao por escalar um espao vetorial sobre R, porque:

Os vetores so pares de nmeros reais, que podemos representar como vetores coluna. O corpo R A operao de soma de vetores e a de multiplicao por escalar so associativas. A soma de vetores no plano comutativa (u+ v = v+ u).

Vale a distributividade de sobre+. Se representarmos os vetores por v =(v1v2

), etc, temos:

c

[(u1u2

)+

(v1v2

)]= c

(u1u2

)+ c

(v1v2

)(c+ d)

(v1v2

)= c

(v1v2

)+ d

(v1v2

).

O vetor zero, 0 =(00

), quando somado a qualquer outro vetor v, resulta em v.

Para todo vetor v h um outro vetor u, de mesma magnitude e orientao oposta, tal que v+ u = 0. A multiplicao de um vetor qualquer por 1 no altera o vetor.

Um vetor no plano representado por dois nmeros (ordenada e abscissa), e portanto podemos associarcada vetor como produto cartesiano deR comR. Por isso o plano denotadoR2, e o espao tridimensional denotado R3. De amneira geral, denotamos o espao de n dimenses por Rn (claro, para n > 3 perde-mos a possibilidade de visualizar o espao, mas ainda assim as operaes com n coordenadas so anlogasquelas em R2 e R3). JExemplo 1.28. Considere o conjunto de vetores em R2, com as seguintes operaes:

A operao usual de multiplicao or escalar

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1.4. ESPAOS VETORIAIS 13

A seguinte operao de soma de vetores:

(a, b)T (x, y)T =(ax,by)T.

Se trocarmos a soma de vetores por esta operao, no teremos um espao vetorial, porque esta operaono associativa, como fica claro ao calcularmos (i) (u v) w (a seguir, esquerda); e (ii) u (v w)(a seguir, direita):

(i)

(u v) w = (u1v1,u2v2)T (w1, w2)T

=

(w1u1v1,

w2u2v2

)T(ii)

u (v w) = (u1, u2)T (v1w1,

v2w2)

T

=

(u1v1w1,

u2v2w2

)TAssim, (R2,, ) no espao vetorial. JAntes dos prximos exemplos, demonstramos alguns fatos bsicos a respeito de espaos vetoriais.

Teorema 1.29. Seja V um espao vetorial e u, v V . Entoi) Se u+ v = v ento u = 0.ii) 0v = 0.iii) Para todo v,v nico, ev = (1)v.iv) c0 = 0 para qualquer escalar cv) Existe um nicow V tal que u+ w = v.

Demonstrao. Demonstraremos cada item na ordem em que aparecem no enunciado.(i)

u+ v = vu+ v+ (v) = v+ (v)

u = 0

(ii) 0v = (0+ 0)v = (0v) + (0v). Pela propriedade anterior (i) temos necessariamente v = 0.(iii) Sejamv e v dois opostos de v, ou seja,

v+ v = 0v + v = 0.

Entov e v so iguais:

v = v+ 0 = v+ (v+ v )= (v+ v) + v

= 0+ v

= v.

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14 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

Alm disso, temosv+ (1)v = 1v+ (1)v = (1 1)v = 0v = 0.

e portanto= v = (1)v.(iv) k0 = k(v+ (v)) para todo v. Usando (iii) que acabamos de provar, temos

k(v+ (v)) = k(v+ (1)(v))= kv+ (k)(v)= (k k)v= 0v,

que pela propriedade (ii) acima, igual a 0.(v) Sejam u, v,w tais que u+ w = v. Ento

u+ w = vu u+ w = v u

w = v u.

Como v + (u) definido de forma nica porque u nico (conforme a propriedade (iii) acima), w nico. Exemplo 1.30 (polinmios). Denotamos o conjunto de todos os polinmios em x com grau n e coefici-entes reais por Rn[x].

Polinmios podem ser somados e multiplicados por escalares: A soma de dois polinmios anxn + an1xn1 + + a0 e bnxn + bn1xn1 + + b0

(an + bn)xn + (an1 + bn1)x

n1 + + (a0 + b0). (1.1)Por exemplo,(

3x3 + 2x2 8

)+

( x3 + x+ 1

)= (3 1)x3 + (2+ 0)x2 + (0+ 1)x+ (8+ 1)

= 2x3 + 2x2 + x 7.

A multiplicao de um real k por um polinmio anxn + an1xn1 + + a0 igual akanx

n + kan1xn1 + + ka0. (1.2)

Por exemplo,

7

(3x3 + 4x2 1

)= 7(3)x3 + 7(4)x2 + 7(1)

= 21x3 + 28x2 7.

Para qualquer n 0, Rn[x] um espao vetorial. Como estamos trabalhando compolinmios reais, consideramos que o o corpo subjacente com sendoR.

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1.4. ESPAOS VETORIAIS 15

A soma de dois polinmios de grau n resulta em outro polinmio de grau n, conforme a equa-o 1.1.

Amultiplicao de um polinmio de grau n por um escalar resulta em outro polinmio de mesmograu (ou em zero, se o escalar for zero), conforme a equao 1.2.

A soma de polinmios associativa: dados tres polinmios p(x), q(x), e r(x), ento

(p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)).

A multiplicao de um polinmio por um escalar associativa: sejam p(x), q(x), e r(x) trs polin-mios e c, d nmeros reais. Ento

c[dp(x)

]= (cd)p(x)

p(x) +[q(x) + r(x)

]=[p(x) + q(x)

]+ r(x).

A soma de polinmios comutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x). Vale a distributividade da multiplicao sobre a soma. Sejam p(x) e q(x) polinmios e c, d nmerosreais. Temos

c[p(x) + q(x)

]= cp(x) + cq(x)

(c+ d)p(x) = cp(x) + dp(x)

O nmero zero , ele mesmo, um polinmio, e a soma de um polinmio p(x) com zero resulta emp(x). Assim, 0 elemento neutro para soma.

para todo polinmio p(x) com grau n h um outro, de mesmo grau (p(x), o polinmio p(x)multiplicado por1), tal que p(x) + (p(x)) = 0.

A multiplicao de um polinmio por 1 no modifica o polinmio. JExemplo 1.31 (funes). Seja F(R) o conjunto de todas as funes de R em R. Por exemplo, f(x) = 2x,g(x) = tan(x) so elementos de F(R). Podemos somar duas funes e multiplicar uma funo por umescalar: sejam f, g F . Ento,

A soma de f com g f+ g, tal que (f+ g)(x) = f(x) + g(x). A multiplicao de f por um nmero real k kf, tal que (kf)(x) = k(f(x)).

O conjunto F , com as operaes de soma de funes e multiplicao por escalar, um espao vetorial: A soma de funes comutativa:

(f+ g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+ f)(x).

A multiplicao de funo por escalar associativa:

c(d(f(x)) = (cd)f(x)

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16 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

A soma de funes associativa:[(f+ g) + h

](x) =

[f(x) + g(x)

]+ h(x)

= f(x) + g(x) + h(x)

= f(x) +[g(x) + h(x)]

=[f+ (g+ h)

](x).

Vale a distributividade da multiplicao sobre a soma:k(f+ g)(x) = k

(f(x) + g(x)

)= kf(x) + kg(x).

A funo constante f(x) = 0 o neutro aditivo: para toda funo g,(f+ g)(x) = f(x) + g(x) = 0+ g(x) = g(x).

Toda funo f tem um inverso aditivo, que (1)f.[f+ (1)f

](x) = f(x) + (1)f(x) = f(x) f(x) = 0 = z(x),

onde z(x) a funo constante zero. A multiplicao de uma funo por 1 no a modifica. J

Exemplo 1.32 (nmeros reais, operaes trocadas). As operaes usadas em espaos vetoriais no preci-sam ser a soma e multiplicao usuais. Elas precisam apenas ter as propriedades listadas na definio deespao vetorial. Por exemplo, podemos definir o seguinte espao vetorial:

O conjunto de vetores R (os nmeros reais exceto o zero); O corpo usado R; A operao de soma de vetores a multiplicao de reais: u v = uv A operao de multiplicao por escalar a exponenciao: c v = vc

Neste espao, o elemento identidade para soma deve ser necessariamente 1: x 1 = x. O inverso aditivode cada elemento x x1. JExemplo 1.33 (matrizes). O conjunto de todas as matrizes reais m n, que denotamosMmn, umespao vetorial: podemos somarmatrizes emultiplic-las por escalares reais, e as propriedades necessriasso mantidas. Este um espao vetorial sobre R, j que os escalares que multiplicamos pelas matrizes soreais. JExemplo 1.34.F Este exemplo aborda a relao entre os vetores de um espao e o corpo subjacente, e ilustraum fato muito importante. Tentaremos construir um espao vetorial de duas maneiras parecidas. Umadelas funcionar e a outra no.

Se tomarmos todas as matrizes 2 2 com coeficientes reais, mas usarmos o corpoQ para os escalares,no teremos problemas. Ao multiplicarmos um escalar racional pela matriz real, obtemos outra matrizreal. Por exemplo,

m

n

(pi 0e2

)=

(pimn

0emn

m2

n

).

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1.4. ESPAOS VETORIAIS 17

Assim, podemos ter o corpo subjacente igual aQ, mas commatrizes reais como vetores. Temos um espaovetorial sobreQ.

J o contrrio no possvel: suponha que queiramos usar apenas matrizes 2 2 racionais e escalaresreais, portanto V o conjunto destas matrizes e exclumos assim todas as matrizes que tem elementosirracionais. As operaes podero resultar em matrizes reais:

3

(1 03 2

)=

( 3 0

33 2

3

).

Esta ltima matriz tem elementos irracionais, e no pertence a V , portanto no temos um espao vetorial.J

Exemplo 1.35 (sequncias). Comeamos este exemplo com a definio de sequncias.Definio 1.36 (sequncia). Uma sequncia uma funo deN emR. Sequencias normalmente so deno-tadas por (an), (bn). O n-simo termo da sequncia (ou seja, a valor funo para o argumento igual a n) usualmente denotado por an, bn, etc, sem os parnteses, ao invs da notao tradicional para funesa(n), b(n), etc.

Por exemplo, podemos definir uma sequncia (an):a1 = 2

an = 2an1 + 1

Temos ento a1 = 5, a2 = 11, a3 = 23, . . ..Um exemplo bastante conhecido a sequncia de Fibonacci, dada por

F1 = 1

F2 = 1

Fn = Fn1 + Fn2.

A seguir mostramos os primeiros nmeros da sequncia de Fibonacci.F1 = 1 F5 = 5F2 = 1 F6 = 8F3 = 2 F7 = 13F4 = 3 F8 = 21

Sejam (an), (bn), . . . sequncias. Definimos as operaes de somade sequncias emultiplicaode sequn-cia por escalar da maneira natural:

A soma de duas sequncias (cn) = (an) + (bn) sequencia onde cada termo ci a soma de termosa+ i+ bi.

A multiplicao de uma sequncia (an) por um nmeor real k a sequncia (cn) = k(an), cujostermos so ci = kci.

Por exemplo, se (an) = (2, 4, 6, 8, . . .) a sequencia dos pares comeando comdois, e (bn) = (10, 20, 30, 40, . . .) a sequncia dos mltiplis de dez, comeando com dez, ento

(an) + (bn) = (12, 24, 36, 48, . . .)

3(an) = (6, 12, 18, 24, . . .)

Ento o conjunto de todas as sequencias um espao vetorial:

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18 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

i) a soma de sequncias associativa e comutativa;ii) a multiplicao de sequncia por escalar associativa;iii) a sequncia zn = 0 neutra para soma de sequncias;iv) para toda sequncia (an), existe uma sequencia (an) tal que (an) + (an) = (zn). J

Exemplo 1.37 (solues de equao diferencial).F Uma equao diferencial ordinria uma equao envol-vendo uma funo e uma ou mais de suas derivadas. Uma resumida introduo s Equaes Diferenciais dada no Apndice D.

Considere a equao diferencialy y = 0. (1.3)

A equao linear, porque da forma any(n) + an1y(n1) + + a1y+ a0 = f(x). A equao homognea, porque apenas a varivel dependente aparece na equao no vemos avarivel independente nem constantes (a0 = 0, f(x) = 0).

As solues da equao 1.3 so da formay = aex bex,

porque para todo x R,d2

dx2aen bey

d

dxaen bey = 0.

onde a e b so constantes arbitrrias. As solues formam um espao vetorial: a soma de duas soluesresulta em outra soluo sejam (a,b) e (,) as constantes que determinam duas solues diferentes paraa EDO. Ento

aex bex + ex ex = (a+ )ex (b+ )ex

A multiplicao por escalar tambm resulta em outra soluo:c(aex + bex) = (ca)ex + (cb)ex.

Finalmente, as propriedades de espao vetorial valem: (i) a soma de solues associativa e comutativa;(ii) a multiplicao por escalar associativa; (iii) y = 0 soluo (com a = b = 0), e funciona como neutroaditivo; (iv) toda soluo tem oposto basta multiplic-la por1; (v) multiplicar 1 por uma soluo no amodifica.

O conjunto de solues para qualquer EDO linear homognea sempre um espao vetorial.Uma excelente introduo s Equaes Diferenciais o livro de Tenenbaum em Pollard [TP63]. Mais

resumidos, os livros de Coddington [Cod61] e Bear [Bea62] so tambm timos textos sobre o assunto. JExemplo 1.38 (variveis aleatrias). Seja o espao amostral de um experimento aleatrio. Uma varivelaleatria real uma funo X : R.

Por exemplo, se o espao amostral o conjunto de pessoas em um prdio, a funo que mapeia cadapessoa em sua massa corporal uma varivel aleatria.

O conjunto de todas as variveis aleatrias em um espao vetorial quando usamos a operao usualde soma de variveis aleatrias, e a multiplicao de uma varivel aleatria por escalar real.

SejamA e B duas variveis aleatrias definidas no mesmo espao amostral, e seja C = A+ B. Paratodo evento simples , C() = A() + B(). Fica portanto claro que:

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1.4. ESPAOS VETORIAIS 19

A soma de variveis aleatrias associativa e comutativa.

A multiplicao de varivel aleatria por escalar distributiva sobre a soma.

A varivel aleatria Z, que leva todo elemento de em 0, o elemento neutro para adio.

Se A varivel aleatria, ento a varivel aleatria A, que leva os elementos do espao amostralaos valores opostos aos queA leva, tambm .

Multiplicar uma varivel aleatria por 1 no a modifica.

Mostramos ento que o conjunto das variveis aleatrias reais em ummesmo espao amostral um espaovetorial sobre R. J

Exemplo 1.39 (sequncias de bits).F Mencionamos no exemplo 1.22 o corpo Z2, onde as operaes so oe () e o ou-exclusivo (). Definimos agora um espao vetorial sobre este corpo, de maneira anlogaa Rn sobre os reais. Cada vetor uma sequncia de n bits, e as operaes so:

Soma: feita elemento a elemento somar o vetorb = (b1, b2, . . . , bn) comovetorb = (b 1, b 2, . . . , b n)resulta em (b1 b 1, b2 b 2, . . . , bn b n). Por exemplo,

(0, 1, 0, 1, 1)

(0, 0, 1, 1, 0)= (0, 1, 1, 0, 1)

Multiplicao por escalar: feita elemento a elemento multiplicar c pelo vetor (b1, b2, . . . , bn) re-sulta em (cb1, cb2, . . . , cbn). Comoh somente dois escalares no corpo (0 e 1), listamos aqui o efeitoda multiplicao de vetores por eles.

1 (b1, b2, . . . , bn) = (b1, b2, . . . , bn)

0 (b1, b2, . . . , bn) = (0, 0, . . . , 0).

Este espao chamado de Zn2 . J

Exemplo 1.40 (ciclos em grafo).FF Um grafo uma representao grfica de uma relao em um conjunto.Grafos tem aplicao em uma enorme quantidade de reas das Engenharias, da Computao e da Matem-tica. A figura a seguir mostra exemplos de grafos.

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20 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

usual dar nomes aos ns, e desenhar o grafo com os nomes de cada n seu lado.Para poder trabalhar com grafos como objetos matemticos, precisamos dar a eles uma definio for-

mal. Definimos um grafo como um par (V, E), onde V um conjunto de vrtices (representados grafica-mente como pontos) e E um conjunto de arestas (graficamente so os traos que unem vrtices), deforma que cada aresta em E seja um conjunto de dois dos vrtices em V .

Damos um exemplo de grafo na prxima figura.

ab

c

de

f

O conjunto de vrtices do grafo V = {a, b, c, d, e, f}.

As arestas soE =

{{a, c}, {a, d}, {b, c},

{b, e}, {b, f}, {c, d}

}.

Um subgrafo uma parte de um grafo.Definio 1.41 (subgrafo). SejaG = (V, E) um grafo. Um subgrafo deG um grafoG = (V , E ) tal queV V e E E.

O grafo em negrito na figura a seguir um subgrafo do grafo anterior. Neste texto, quando quisermosmostrar um subgrafo, ele ser desenhado em negrito sobre o grafo original, que ser desenhado em tomde cinza claro.

ab

c

de

f

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1.4. ESPAOS VETORIAIS 21

O vetor caracterstico de um conjunto de arestas um vetor com E posies. A posio i do vetor um se eiest no subgrafo, e zero se no est. Por exemplo, o vetor caracterstico do subgrafo que mostramos

{a, b}{a, c}{a, d}{a, e}{a, f}{b, c}{b, d}{b, e}{b, f}{c, d}{c, e}{c, f}{d, e}{d, f}

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

Os elementos do vetor caracterstico so 0 e 1. Ser conveniente usarmos as operaes deZ2 nestes vetores.Multiplicar um vetor por 1 o mesmo que realizar a operao de e, e portanto resulta no mesmo vetor(no modifica o subgrafo):

1 (0, 1, 1, 0, 0, 1)T = (0, 1, 1, 0, 0, 1)T .

A multiplicao por zero resulta no vetor zero (e portanto no grafo sem arestas, contendo somente osvrtices), ou seja, multiplicar um subgrafo por zero o faz desaparecer.

A soma de dois vetores feita elemento-a-elemento, com a operao de soma em Z2 (ou seja, usandoou-exclusivo):

(0, 1, 1, 0, 0, 1)T (1, 1, 0, 1, 0, 1)T = (1, 0, 1, 1, 0, 0)T .

Em um grafo, esta operao representa a soma de dois subrafos: se uma aresta existe somente em um dossubgrafos, ela passa a existir na soma. Se uma aresta existe nos dois subgrafos, ela deixa de existir na soma.A figura a seguir ilustra a soma de dois subgrafos. Observe que as arestas (a, b), (b, c) e (d, e) existiam emambos os grafos, e no existem na soma (elas aparecem em cinza claro na ilustrao, apenas para facilitarsua identificao).

ab

c

d

e

ab

c

d

e

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22 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

=

ab

c

d

e

Um ciclo em um grafo uma sequncia de arestas (e1, e2, . . . , ek) formam um caminho, iniciando com umvrtice e terminando nele mesmo6. A figura a seguir ilustra um ciclo em um grafo; o ciclo formado pelosvrtices (a2, a3, b1, b0).

a0

a1

a2a3

a4b0

b1b2

b3

b4

Quando somamos dois grafos, cada um composto por ciclos disjuntos (isto , ciclos que no compartilhamarestas), o resultado tambmumgrafo composto por ciclos disjuntos. No demonstraremos este fato, masilustramos com um exemplo. A figura a seguir mostra dois grafos,G eH. Estes grafos tem dois vrtices (ce d) e uma aresta (cd) em comum.

G =

a

c

d

b

k

j

lH =

c

d

e

h

g

i

O resultado da soma dos dois grafos,GH, mostrado a seguir.

6Esta definio est simplificada. Para mais detalhes, o leitor poder consultar a literatura de Teoria dos Grafos por exemplo, olivro de Bondy e Murty [BM08]

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1.5. SUBESPAOS 23

a

c

e

h

d

b g

i

k

j

l

Seja C a unio dos subgrafos sem arestas com o conjunto dos subgrafos de G que consistem de unies deciclos. C com as operaes que definimos um espao vetorial sobre Z2:

Grafos sem arestas so o elemento neutro (zero), e sua soma com qualquer outro grafo de ciclosresulta no prprio grafo de ciclos;

A soma de dois ciclos resulta em um ciclo; Amultiplicao de um elemento por 1 resulta no prprio elemento; por 0 resulta no grafo sem ares-tas. J

1.5 SubespaosDefinio 1.42 (Subespao). Seja V um espao vetorial, e seja tambm U V . Se as mesmas operaesque tornamV um espao vetorial7 tambm tornamU um espao vetorial, entoU um subespao deV . Teorema 1.43. Todo espao vetorial V no trivial tem pelo menos dois subespaos: o prprio V e o espao trivial.Demonstrao. O espao trivial subespao de qualquer espao V porque

{ 0 } V . Como s h um elemento no espao trivial, no h vetores a somar. A multiplicao de qualquer escalar por 0 associativa: (cd)0 = c(d0) = 0. O zero neutro para adio (0+ 0 = 0). Para todo vetor no espao trivial (ou seja, somente para o zero), 0+0 = 0. A multiplicao de 1 por 0 igual a 0 (ou seja, no modifica o vetor zero).Claramente V tambm subespao de V , porque V V .

Exemplo 1.44. Considere o espaoR3. O conjunto de pontos da forma (v1, v2, 0) um subespao, porque:(i) a soma de dois pontos desta forma resulta emoutro tambmdamesma forma: (u1, u2, 0)+ (v1, v2, 0) =(u1 + v1, u2 + v2, 0), e (ii) a multiplicao por escalar tambm resulta em outro ponto da mesma forma:

7Alguns autores dizem queU munido das mesmas operaes de V .

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24 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

c(v1, v2, 0) = (cv1, cv2, 0). Alm disso, (i) a soma de vetores (os pontos) associativa e comutativa; (ii) amultiplicao de vetores por escalar associativa:

c(du) = c(d(u1, u2, 0))= c(du1, du2, 0)

= (cdu1, cdu2, 0)

= (cd)(u1, u2, 0)

= (cd)u,

eu+ (v+ w) = (u1, u2, 0) + [(v1, v2, 0) + (w1, w2, 0)]

= (u1, u2, 0) + (v1 +w1, v2 +w2, 0)

= (u1 + v1 +w1, u2 + v2 +w2, 0)

= [(u1 + v1, u2 + v2, 0)] + (w1, w2, 0)

= [(u1, u2, 0) + (v1, v2, 0)] + (w1, w2, 0)

= (u+ v) + w;

(iii) a multiplicao por escalar distributiva:c(u+ v) = c [(u1, u2, 0) + (v1, v2, 0)]

= c(u1, u2, 0) + c(v1, v2, 0)

= cu+ cv,

e(c+ d)v = (c+ d)(v1, v2, 0)

= c(v1, v2, 0) + d(v1, v2, 0)

= cv+ dv;

(iv) o vetor 0 = (0, 0, 0) neutro para soma; (v) para todo vetor (u1, u2, 0) existe um vetor (u1,u2, 0)tal que (u1, u2, 0) + (u1,u2, 0) = 0; (vi) multiplicar 1 por um vetor v no modifica o vetor.

Este exemplo mostra tambm que podemos visualizar R2 como subespao de R3 uma vez que igno-rando a terceira coordenada (que igual a zero), temos um plano. JExemplo 1.45. Sabemos que os reais so um espao vetorial (os vetores so nmeros reais, e o corposubjacente o prprio R). Os racionais no so subespao dos reais, porque a multiplicao de x Qpor escalar real no necessariamente racional: pi (2/3) = 2pi/3. J

Se sabemos que V um espao vetorial e U V , j sabemos tambm que todas as propriedades dasoperaes em V tambm valem em U (porque as operaes so as mesmas). Resta apenas determinar seeste subconjunto fechado para as operaes de soma de vetores e multiplicao por escalar. Para isso,verificamos que: (i) o vetor zero pertence a U; (ii) as operaes de soma e multiplicao por escalar deelementos deU resultam em elementos tambm deU.

A figura a seguir mostra, por exemplo, dois subconjuntos de um espao vetorial V . No primeiro caso,U subconjunto, mas h vetores x e y tais que x + y = z / U. Como esta condio j no satisfeita,podemos dizer queU no subespao de V . No segundo caso, a soma de quaiquer x e y est emW, o zeroest emW, e para todo x e todo c, cx est emW, portantoW subespao de V .

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1.5. SUBESPAOS 25

U

V

x

y

z+

W

V

x

y

z+

0

cx

c

Teorema 1.46. Se V um espao vetorial e U V , de forma que 0 U e U fechado para as operaes demultiplicao por escalar e soma de vetores, entoU subespao de V .

Exemplo 1.47. Considere o subconjunto de R2, X = { (x, y) : x+ y = 0 }. X subespao de R2, porque(0, 0) X; a soma de dois vetores de X resulta em outro vetor de X. Sejam (a, b) e (x, y) pontos de X.

(a, b) + (x, y) = (a+ x, b+ y)

Somando as coordenadas do novo vetor, temos

(a+ x) + (b+ y) = (a+ b) + (x+ y) = 0+ 0 = 0.

a multiplicao de vetores de X por escalar resulta em outro vetor de X. Seja (x, y) vetor em X e c umescalar.

c(x, y) = (cx, cy)

Entocx+ cy = c(x+ y) = 0c = 0.

O conjunto X definido acima a reta y = x. H outras retas que so subespaos deR2: basta que passempela origem (porque precisamos do vetor 0).

Geometricamente, podemos verificar que a adio de vetores nesta reta resulta sempre em outro vetortambm sobre a mesma reta e que a multiplicao por escalar tambmmantmos vetores na reta. Comoalmdisso a reta pasa pela origem, o vetor zero est tambmna reta, e portanto, como soma emultiplicaopor escalar resultam em vetores na reta, e ela contm o zero, trata-se de um subespao de R2.

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26 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

4 2 2 4

4

2

2

4

00

x

y

O raciocnio geomtrico que fizemos obviamente vale para qualquer reta passando pela origem (e real-mente, so todas subespaos de R2).

De maneira geral, o conjunto { (x1, x2, . . . , xn) :xi = 0 } subespao de Rn. J

Exemplo 1.48. Considere o conjunto de pontos X = { (x, y) : x+ y = 1 }. X subconjunto de R2, masno um subespao de R2, porque

i) (0, 0) / X.

ii) A soma de dois vetores de X no resulta em outro vetor de X.

iii) A multiplicao de um vetor de X por escalar no resulta em outro vetor de X.

4 2 2 4

4

2

2

4

00

x

y

J

Exemplo 1.49. Considere o conjunto de pontos X = { (x, y) : x, y Z }, ilustrado na figura a seguir.

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1.5. SUBESPAOS 27

4 2 2 4

4

2

2

4

00

x

y

X subconjunto deR2, mas no um subespao deR2, porque a multiplicao de um vetor de X por escalarreal no resulta em outro vetor de X. Os escalares em um espao vetorial no podem ser inteiros, porqueisto seria o mesmo que definir o espao vetorial sobre Z, que no formam um corpo. JExemplo 1.50. Considere o subconjunto de R3, X = (x, 2x, x2)T , ou seja, vetores onde a segunda coor-denada o dobro da primeira e a terceira o quadrado da primeira. X no um subespao vetorial de R3,porque (1, 2, 1)T e (2, 4, 4)T pertencem aX, mas sua soma, (3, 6, 5)T no pertence aX (porque 32 6= 5). JExemplo 1.51. Para r R, o conjunto de pontos em uma circunferncia, C = { x2 + y2 r2 } no subespao de R2: a multiplicao por escalar leva pontos de C a pontos fora de C: para todo r podemosencontrar um c tal que cx2 + cy2 > r. Geometricamente, o conjunto C define os vetores dentro de umacircunferncia comraio r e qualquer vetor emCdiferente de zero pode sermultiplicadopor algumescalargrande o suficiente para passar a ter magnitude maior que o raio. JExemplo 1.52. Podemos tambm voltar a ateno para o conjunto das funes contnuas cujo domnio R, que denotado C0.

Para verificar que C0 um espao vetorial, verificamos que um conjunto de funes de R em R, eportanto valem os argumentos postos nos itens do exemplo 1.31 e de fato, este conjunto subconjuntode F(R). No entanto, como o conjunto diferente, precisamos garantir a presena do vetor (funo) zeroe o fechamento das operaes:

A funo constante zero, z(x) = 0, contnua e est definida em R. A soma de duas funes contnuas definidas em R tambm contnua em R. Amultiplicao de uma funo contnua por um escalar resulta em outra funo, tambm contnua.

J

Exemplo 1.53. Uma funo contnua pode no ser diferencivel (como |x|, por exemplo) ou pode ser de-rivvel k vezes (onde k pode ser infinito). O conjunto de funes k vezes diferenciveis (ou seja, para asquais a k-sima derivada definida) denotado por Ck.

Verificamos que Ck um espao vetorial: A funo constante zero, z(x) = 0, derivvel infinitas vezes. A soma de duas funes com a k-sima derivada definida ser uma funo tambm k vezes derivvel.

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28 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

A multiplicao de uma funo com a k-sima derivada definida por um escalar resulta em outrafuno, tambm k vezes derivvel. J

Exemplo 1.54. O conjunto das funes f : R R contnuas em um dado intervalo [a, b] denotado porC[a, b]. Para qualquer intervalo [a, b] no-vazio de R, C[a, b] um espao vetorial.

Para verificar que este um espao vetorial, observamos inicialmente que este no um subconjuntode F(R), porque os domnios das funes so diferentes: f : R R, f(x) = x2 diferente de g :[a, b] R, g(x) = x2. No entanto, podemos argumentar que o conjunto formado pelas funes emF(R), restritas ao intervalo [a, b] um espao vetorial, e que C[a, b] subespao desse conjunto, pelosmesmos argumentos que apresentamos para mostrar que C0 subespao de F(R). JExemplo 1.55.F Vimos no exemplo 1.37 que o conjunto de solues de uma EDO linear homognea umespao vetorial. Mencionamos ali tambm que as solues de

y y = 0

so as funes da formay(x) = aex bex = 0.

O conjunto de funesg(x) = aex

subespao das solues para esta EDO: A funo zero da forma aex, com a = 0;

A soma fechada: aex + ex = (a+ )ex;

A multiplicao por escalar fechada: k(aex) = (ka)ex.A soluo geral especifica duas constantes arbitrrias, a e b. Fixando qualquer uma delas em zero, temosum subespao. JExemplo 1.56. As funes pares, mpares, racionais e as funes definidas por polinmios so tambmsubespaos de F(R). JExemplo 1.57. Considere o sistema homogneo de equaes lineares, com n variveis em equaes.

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0

.

O mesmo sistema pode ser escrito da forma Ax = 0, onde A uma matrizm n, com o coeficiente aijna linha i e coluna j, x o vetor coluna (x1, . . . , xn)T e 0 o vetor coluna zero. Assim, podemos dizerque as solues paraAx = 0 so todos os vetores coluna x Rn que satisfazem o sistema homogneo deequaes definido porA. Este conjunto de vetores subespao de Rn, como verificamos a seguir.

Faremos a demonstrao de duas maneiras: primeiro, com o sistema na forma de equaes, e depoisusando a forma matricial.

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1.5. SUBESPAOS 29

i) A soluo com x1 = x2 = = xn = 0 sempre vlida para sistemas homogneos (ou seja, o vetor0 sempre soluo). Para cada linha i, temos

ai1x1 + ai2x1 + + ainxn=ai1(0) + ai2(0) + + ain(0)= 0.

ii) A somade duas solues uma soluo: Sejam (x1, x2, . . . , xn) e (y1, y2, . . . , yn) duas solues parao sistema. Ento (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) tambm soluo: para cada linha i, verificamosque

ai1(x1 + y1) + ai2(x2 + y2) + + ain(xn + yn)=ai1x1 + ai1y1 + ai2x2 + ai2y2 + + ainxn + ainyn=(ai1x1 + ai2x2 + + ainxn + ainxn

)+(ai1y1 + ai2y2 + + ainyn + ainyn

)= 0.

iii) A multiplicao de uma soluo por escalar resulta em outra soluo. O exerccio 25 pede a demons-trao deste item.

i) A soluo com x = 0 sempre vlida paraAx = 0, porqueA0 = 0.ii) A soma de duas solues uma soluo: SeAx = 0 eAy = 0, ento

A(x+ y) = Ax+Ay (multiplicao distributiva para matrizes)= 0+ 0= 0.

iii) A multiplicao de uma soluo por escalar resulta em outra soluo. SeAx = 0, entoA(kx) = kAx

= k0= 0.

Note que sistemas homogneos de equaes lineares podemser tambmdefinidos comcoeficientes e vari-veis em corpos diferentes deR. Assim, As solues de um sistema deste tipo onde as variveis e coeficientesso complexos formam um subespao de Cn, e de maneira geral, a solues de um sistema como este emum corpo K qualquer subespao de Kn. JExemplo 1.58.F No espao Z52, os vetores da forma 0xxx0 (ou seja, o primeiro e ltimo elemento so zero)formam um subespao:

O vetor zero 00000 est contido no subespao; A soma 0xxx0 0yyy0 resulta em um vetor da forma 0zzz0; A multiplicao por escalar tambm resulta em vetores da mesma forma: 0 (0xxx0) = (00000), e1 (0xxx0) = 0xxx0. J

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30 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

Exemplo 1.59.F Considere o espao Z42. O conjunto a seguir seu subespao:

C = { 0000, 0011, 1101, 1110 } .

0000 C. A soma () de elementos de C resulta em outro elemento de C:

0011 1101 = 11100011 1110 = 11011101 1110 = 0011

Alm disso, a soma de qualquer vetor com ele mesmo resulta em 0000, e a soma de qualquer vetorcom zero resulta no prprio vetor.

A multiplicao () pelos escalares resulta em elemento de C: 0 x = 0 e 1 x = x.J

Teorema 1.60. SejamU,W subespaos de um espao vetorial V . EntoU W tambm subespao deW.Demonstrao. Como ambos so subconjuntos de V , basta mostrar queUW fechado para as operaes.

Sejam x, y U W e c um escalar. Como x U e x W, temos cx U e cx W, e portantocx U W,

Similarmente, como x, y esto tanto em U como emW, x + y tambm devem pertencer a U e aW.Conclumos que x+ y U W. Exemplo 1.61. Considere os subespaos de R3:

A ={(x, y, 0)T : x, y R }

B ={(x, y, 2y)T : x, y R } .

Estes subespaos so planos passando pela origem. A interseo deles R = { (x, y, 0)T : x R }, quetambm subespao de R3. JExemplo 1.62. SejaA o espao das matrizes diagonais de ordem tres, eB o espao das matrizes quadradasde ordem tres com trao zero.

A interseoA B o conjunto das matrizes diagonais de ordem tres com trao zero. Este , tambmum espao vetorial, com as mesmas operaes usuais de soma de matrizes e multiplicao por escalar. JExemplo 1.63. Seja F(R) o espao vetorial das funes reais. Considere dois subespaos de F(R):

i) O conjunto das funes reais contnuas, C0;ii) O conjunto das funes reais pares P.

A interseo desses dois formada pelo conjunto das funes reais contnuas pares. Esta interseo tambm subespao de F(R):

A funo constante zero contnua e par;

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1.5. SUBESPAOS 31

Multiplicar uma funo contnua e par por um escalar resulta em outra funo contnua e par; A soma de duas funes contnuas pares uma funo contnua par. J

Exemplo 1.64. Seja A o espao de todas as sequencias reais constantes, e B o espao de todas as sequen-cias de nmeros inteiros pares. A interseo dos dois conjuntos o conjunto das sequencia de constantesinteiros pares, que tambm espao vetorial. JDefinio 1.65 (Soma de espaos vetoriais). Se V um espao vetorial eU,W V , ento dizemos que

U+W = {u+w : u U,w W}

a soma deU eW. Exemplo 1.66. Os conjuntos A, da forma (0, x, y, 0)T , B da forma (0, 0, y, z)T so subespaos de R4. Asoma destes dois subespaos

A+ B = {u+ v : u A, v B } .o conjunto A + B contm vetores da forma (0, x, y, 0)T + (0, 0, y, z)T , que o mesmo que (0, x, 2y, z)T ,ou (0, x, y, z)T a primeira coordenada zero, e as outras trs so livres (nenhuma depende da outra).

Note que h muitos vetores em A B. Por exemplo, (0, 0, 1, 0)T est tanto em A como em B, assimcomo (0, 0, 2, 0)T na verdade, (0, 0, c, 0)T A B para todo c R. JDefinio 1.67 (Soma direta). Seja um espao vetorial V com subespaos U eW. Dizemos que V somadireta deU eW se V soma deU eW, eU W = { 0 }. Denotamos a soma direta por V = UW. Proposio 1.68. SejaV um espao vetorial com subespaosU eW. EntoV = UW se e somente se, para todov V , existe um nico u U e um nicow W tal que v = u+ w,Exemplo 1.69. SejaA o subespao de R3 formado pelos vetores da forma (x, y, 0)T , e seja B o subespaode R3 formado por vetores da forma (0, 0, z)T . Qualquer vetor de R3 pode ser descrito de forma nicacomo a soma de um vetor deA com outro de B:

(x, y, z)T = (x, y, 0)T + (0, 0, z)T ,

portanto R3 = A B. Outra maneira de decompor R3 em trs subespaos, X, Y e Z, contendo vetoresda forma (x, 0, 0)T , (0, y, 0)T e (0, 0, z)T , respectivamente. Um vetor de R3 ento pode ser decompostounicamente em

(x, y, z)T = (x, 0, 0)T + (0, y, 0)T + (0, 0, z)T .

Podemos generalizar, definindo que para qualquer n, Rn pode ser decomposto em subespaos onde cadasubespao representa algumas das dimenses:

(v1, v2, . . . , vn)T = (v1, 0, 0, . . .)

T

+ (0, v2, v3, 0, 0, . . .)T

+ . . .

+ (0, 0, . . . , vn)T .

De maneira geral, R3 pode ser decomposto na soma direta de trs retas no colineares, ou de um plano euma reta no pertenente a este plano (todos sempre passando pela origem). J

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32 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

Exemplo 1.70. A soma do exemplo 1.66 no soma direta, porque um vetor (0, a, b, c) emA+B pode serdecomposto de diferentes maneiras:

(0, a, b, c)T = (0, a, b, c)T + (0, 0, 0, 0)T

= (0, a, 0, c)T + (0, 0, b, 0)T

= (0, a,b

2, 0)T + (0, 0,

b

2, c)T

... J

Exemplo 1.71. Os conjuntos A = { (x, y)T : x+ y = 0 } e B = { (x, y)T : x y = 0 } descrevem duasretas em R2, ambas contendo a origem.

4 2 2 4

4

2

2

4

00

x

y

EntoA+ B = { (x, y)T : x+ y = 0 ou x y = 0 } ,

mas comoA B = { 0 } eA+ B = R2, logo temosA B = A+ B = R2.

Podemos tambm observar que possvel escrever qualquer vetor de R2 como soma de um vetor dentrode cada reta na figura. JExemplo 1.72. SejaRn[x] o espao vetorial dos polinmios com grau mximo n e coeficientes reais. Con-sidere os dois subconjuntos de Rn[x]:

Rm1[x], o espao dos polinmios com grau mximom 1; Rm..n[x], o espao dos polinmios com grau entrem e n, mais o polinmio zero, com 0 < m < n.

Qualquer polinmio de Rn[x] pode ser descrito unicamente como a soma de um polinmio de Rm1(x)com outro de Rm..n[x]:

anxn + an1x

n1 + . . .+ amxm + am1x

m1 + . . .+ a1x+ a0

=(anx

n + an1xn1 + . . .+ amx

m)

Rm..n[x]

+(am1x

m1 + . . .+ a1x+ a0)

Rm1[x]

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1.6. APLICAES 33

Note que o lado esquerdo pode ser zero (que pertence a Rm..n[x]) se todos os coeficientes ali forem zero.Assim, temos Rn[x] = Rm[x] Rm..n[x].

Mais concretamente: sejaR4[x] o conjunto de todos os polinmios com grau nomximo 4. EntoR4[x]pode ser decomposto, por exemplo, em

R2[x], o espao dos polinmios com grau mximo 2; R3..4[x], o espao dos polinmios com grau entre 3 e 4, mais o polinmio zero.

Qualquer polinmio de grau menor ou igual a quatro pode ser escrito como a soma de (i) um polinmio degrau entre 3 e 4, ou zero, e um polinmio de grau no mximo 2:

a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x+ a0

=(a4x

4 + a3x3)

R3..4[x]

+(a2x

2 + a1x+ a0)

R2[x]

. J

Exemplo 1.73.F Sejami) A o espao gerado pelas sequencias de bits 0110 e 1001;ii) B o espao gerado pela sequencia de bits 0100;iii) C o espao gerado pela sequencia de bits 1000.

O espao Z42 igual aA B C. TemosA = {0000, 0110, 1001, 1111},

B = {0000, 0100},

C = {0000, 1000}.

Qualquer vetor (sequencia de bits) de Z42 pode ser escrita como soma de vetores desses conjuntos. J

1.6 AplicaesEsta Seo detalha trs exemplos prticos do uso de estruturas algbricas: o primeiro e o terceiro em Crip-tografia; o segundo na determinao de um mtodo para resolver o cubo mgico (ou cubo de Rubik); oterceiro em Criptanlise; e o ltimo em cdigos corretores de erros. Grupos so tambmmuito usados emalgumas reas da Qumica e da Fsica [Bis93; Ham89; Cor97].

1.6.1 Protocolo Diffie-Hellman para acordo de chaves [ grupo ]A Criptografia nos oferece mtodos para realizar comunicao privada, mesmo que o canal (meio) usadoseja pblico. Por exemplo, podemos usar Criptografia para enviar mensagens secretas pela Internet, epara acessar sistemas bancrios sem que intrusos obtenham nossa senha, e poderamos citar uma grandequantidade de outras situaes onde a Criptografia nos protege, garantindo sigilo.

Antes da era moderna da Criptografia, o mtodo usado para encriptar e decriptar mensagens envolviaapenas uma chave secreta: se umamensagem encriptada com chave (senha) k, ela pode ser decriptadapor qualquer um que conhea aquela chave.

Suponha que Alice e Bob queiram trocar mensagens em segredo8, mas estejam fisicamente distantes8 comum em Criptografia darmos nomes aos dois usurios de um sistema criptogrfico de Alice e Bob.

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34 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

(em pases diferentes, por exemplo). Suponha tambm que eles s podem se comunicar por um canalinseguro: cartas que so bisbilhotadas pelo servio secreto, telefone grampeado, ou conexo insegura porrede de computadores. Aparentemente impossvel que os dois consigam faz-lo sem se encontraremfisicamente, porque teriam que definir uma chave secreta para poderem encriptar asmensagens e ambosprecisam conhecer a mesma chave.

Em 1976, Whitfield Diffie eMartin Hellmanmostraram como resolver este problema, apresentando ummtodo para que duas pessoas possam definir conjuntamente um segredo, comunicando-se apenas porcanais pblicos9. Este mtodo foi publicado com o ttulo New directions in Cryptography [DH76]. Hojeo mtodo conhecido como protocolo Diffie-Hellman para acordo de chaves. A seguir descrevemos de maneirasimplificada o mtodo desenvolvido por eles.

Alice e Bob devero portanto determinar, de comum acordo, um segredo (a chave criptogrfica parase comunicarem, por exemplo) mas que s podem se comunicar em pblico (postando recados em umquadro de avisos, usando uma linha telefnica grampeada, ou atravs de uma rede de computadores des-protegida).

O protocolo Diffie-Hellman usa operaes em um grupo. Para um exemplo simples10, usaremos umgrupo definido da seguinte forma: o conjunto de elementos { 1, 2, . . . , p 1 }, ondep umnmero primo.A operao de grupo para dois elementos a e b a b = resto da diviso de ab por p. Por exemplo, sep = 7, ento para calcular 5 6, fazemos 5 6 = 30, e tomamos o resto da diviso de 30 por 7, que 2.

Observe que como p (neste exemplo, 5 primo), o resultado da operao nunca ser zero, portantonunca obteremos um elemento fora doExemplo 1.74. Escolhemos, para fins didticos11, p = 5. Os elementos do grupo so { 1, 2, 3, 4 }.

Calculamos como exemplo 2 2. Temos 2 2 = 4, e o resto de 4 5 4, portanto 2 2 = 4.Agora calculamos 3 2. Temos 3 2 = 6. O resto de 6 4 2, portanto 3 2 = 2. JEm grupos definidos desta forma, sempre haver pelo menos um elemento g que podemos usar para

escrever todos os outros elementos usando a operao de grupo. Chamamos este elemento de gerador dogrupo. No exemplo anterior, podemos escrever todos os elementos usando somente g = 2. Por exemplo,

O elemento 4 pode ser escrito como 2 2, porque calculamos 2 2 = 4, e o resto de 4 5 4. O elemento 3 pode ser escrito como 2 2 2:

2 2 2 = (2 2) 2 (a operao associativa)= 4 2 (j calculado antes, 2 2 = 4)= resto de 8 5= 3.

O mesmo pode ser feito para o elemento 1:2 2 2 2 = (2 2) (2 2) (a operao associativa)

= 4 4 (j calculado antes, 2 2 = 4)= resto de 16 5= 1.

9O mtodo funciona de forma que duas pessoas poderiam us-lo em uma sala com diversas outras pessoas: os dois participantesditam em voz alta nmeros um ao outro, e depois de um tempo ambos conhecem um segredo que ningum mais na sala conhece.

10Em situaes prticas, h diversas restries quanto forma como o grupo definido; a apresentao do protocolo neste textofoi simplificada.

11Na prtica, p deve ser muito grande.

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1.6. APLICAES 35

Vemos portanto que podemos escrever todos os elementos usando somente 2:

2 = 2

4 = 2 2 (2 2 = 4. Resto de 4 5 4)3 = 2 2 2 (Resto de 8 5 3)1 = 2 2 2 2 (Resto de 16 5 1)

comum usar a notao ga paraa vezes

ggg g, portanto

2 = 21

4 = 22

3 = 23

1 = 24

Em grupos como este, calcular ga a partir de g e a pode ser feito rapidamente, mas calcular a a partir dega extremamente demorado: para p perto de 22048, um computador demoraria centenas de anos paraterminar o clculo.

Depois de definir p e determinar g (que podem ser pblicos), Alice e Bob seguem os passos a seguir.1. Alice escolhe aleatoriamente seu segredo, 1 < a < p.2. Bob tambm escolhe seu segredo, 1 < b < p.3. Alice envia para Bob ga.4. Bob envia para Alice gb.5. Alice, tendo o valor enviado por Bob, calcula (gb)a, que igual a gab (verifique!).6. Bob faz o mesmo, e calcula (ga)b, obtendo tambm gab.

Agora Alice e Bob tem o mesmo valor, gab, que pode ser usado como senha, porque conhecido apenaspor eles. Os dados enviados em pblico e que podem ser capturados pelo adversrio so ga e gb, mas comestes dois valores seria difcil calcular a, b ou gab, e portanto Alice e Bob atingiram seu objetivo.

O grupo que apresentamos neste exemplo no o nico usado com o protocolo Diffie-Hellman emaplicaes prticas grupos diferentes, com operaes mais complexas so usados. No entanto, o protocolo definido para quaisquer grupos onde haja um gerador12, facilitando sua exposio e estudo.

A dificuldade de determinaradadoga neste grupo fundamental emCriptografia: dizemos que f(a) =ga uma funo de mo nica, porque fcil de calcular mas difcil de inverter13 (a definio precisade difcil fica fora do escopo deste texto, mas est relacionada com o tempo necessrio para efetuar aoperao).

A exposio do protocolo Diffie-Hellman e de diferentes usos de grupos em Criptografia padro naliteratura da rea. O livro de Douglas Stinson bastante acessvel [Sti06]; o de Katz e Lindell traz umadiscusso mais aprofundada dos fundamentos tericos [KL08].

12H grupos que no so gerados por um nico elemento.13Mais precisamente, dado y = f(x), difcil encontrar algum elemento em sua pr-imagem.

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36 CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS

1.6.2 Cubo de Rubik [ grupo ]Grupos so usados no estudo do mtodo para soluo do cubo de Rubik, e este um exemplo importantede grupo (e de estrutura algbrica) porque os elementos do grupo so movimentos.

O cubo de Rubik um quebra-cabeas tridimensional no formato de cubo que permite rotacionar cadauma de suas seis faces nos dois sentidos (horrio e anti-horrio). Desta forma, o cubo tem cada face divididaem nove pequenos quadrados, e cada face tem inicialmente uma cor diferente das outras.

Ao rotacionar as faces, elas ficam em configuraes diferentes. Em cada configurao as faces podem apre-sentar suas parties (os pequenos quadrados) com diversas cores diferentes.

O objetivo do jogador levar o cubo da configurao em que estiver para a configurao inicial, comcada face tendo uma nica cor.

O grupo usado no estudo do cubo de Rubik tem como elementos o conjunto de todas as possveis mo-dificaes na configurao do cubo (ou seja, todas as sequncias de rotaes das faces) mais o movimentonulo, e a operao do grupo a concatenao (aplicao em sequncia). As rotaes so descritas usandoa seguinte notao:

F a face da frente (Front); B a face de trs (Back); U a face de cima (Up); D a dace de baixo (Down); L a face da esquerda (Left); R a face da direita (Right).

A figura a seguir mostra as faces F, T e R.

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1.6. APLICAES 37

Denotamos a rotao no sentido horrio pelo nome da face: F a rotao da face frontal 90o no sentidohorrio.

A rotao no sentido anti-horrio denotada pelo nome da face com a marca de um apstrofo: F arotao da face frontal 90o no sentido anti-horrio.

Duas rotaes iguais em seguida formam uma rotao de 180o, que denotada pelo nome da face comuma indicao: F2 o mesmo que F seguida de F.

Os elementos do grupo so as rotaes bsicas, j mencionadas (F, B, U, . . ., F , . . . , F2, . . .) e suascomposies em sequncia, FUB, F2DU, etc. Note que FFF = F2F = F .

O movimento nulo denotado por E (Empty).Verificamos que o conjunto e operao dados realmente um grupo:

A operao de grupo (duas rotaes) re