Prof. Me Gilcimar Bermond Ruezzene GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR.
Aplicações de Álgebra Linear e Geometria Analítica ...
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TítuloIntrodução
CriptografiaHistória da Criptografia
Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Aplicações de Álgebra Linear e GeometriaAnalítica
CRIPTOGRAFIA DE MENSAGENS
Nathalia Nunes Bassi
01/12/2010
TítuloIntrodução
CriptografiaHistória da Criptografia
Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Introdução
•História da criptografia,
•Tipos de criptografia,
•Cifra de Hill,
•Codificação de mensagens,
•Decodificação de mensagens.
TítuloIntrodução
CriptografiaHistória da Criptografia
Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Criptografia
Em grego, cryptos significa secreto, oculto. A criptografiaestuda os métodos para codificar uma mensagem de modoque só seu destinatário legítimo consiga interpretá-la. É a artedos códigos secretos.
TítuloIntrodução
CriptografiaHistória da Criptografia
Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Na linguagem criptográfica, os códigos são denominadosCIFRAS, as mensagens não codificadas são denominadas
TEXTOS COMUNS e as mensagens codificadas sãodenominadas TEXTOS CIFRADOS ou CRIPTOGRAMAS. O
processo de converter um texto comum em um cifrado échamado CIFRAR ou CRIPTOGRAFAR, e o processo inverso
de converter um texto cifrado em um comum é chamadoDECIFRAR.
TítuloIntrodução
CriptografiaHistória da Criptografia
Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
História da Criptografia
Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens,principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e adiplomacia.O primeiro uso documentado da criptografia foi em1900 a.c, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora dopadrão em uma inscrição.Na idade moderna, por volta de1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina decriptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pelamarina de guerra alemã em 1926, como a principal forma decomunicaçao.
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CriptografiaHistória da Criptografia
Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
História da Criptografia
Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens,principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e adiplomacia.O primeiro uso documentado da criptografia foi em1900 a.c, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora dopadrão em uma inscrição.Na idade moderna, por volta de1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina decriptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pelamarina de guerra alemã em 1926, como a principal forma decomunicaçao.
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
História da Criptografia
Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens,principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e adiplomacia.O primeiro uso documentado da criptografia foi em1900 a.c, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora dopadrão em uma inscrição.Na idade moderna, por volta de1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina decriptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pelamarina de guerra alemã em 1926, como a principal forma decomunicaçao.
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a sermuito utillizada.Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversosmétodos a fim de esconder mensagens a respeito deestratégias e operações, criptografadas com diferentesmétodos e chaves.Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, emsegurança afim de autenticar os usuários para lhes forneceracesso, na proteção de transações financeiras e emcomunicação.
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a sermuito utillizada.Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversosmétodos a fim de esconder mensagens a respeito deestratégias e operações, criptografadas com diferentesmétodos e chaves.Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, emsegurança afim de autenticar os usuários para lhes forneceracesso, na proteção de transações financeiras e emcomunicação.
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a sermuito utillizada.Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversosmétodos a fim de esconder mensagens a respeito deestratégias e operações, criptografadas com diferentesmétodos e chaves.Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, emsegurança afim de autenticar os usuários para lhes forneceracesso, na proteção de transações financeiras e emcomunicação.
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Tipos de Cifras
•CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra doalfabeto por outra letra.
•CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos decriptografia de chave pública é o RSA.As lojas usam a implementação do RSA, na codificação dedados de clientes em compras pela internet.
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Tipos de Cifras
•CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra doalfabeto por outra letra.
•CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos decriptografia de chave pública é o RSA.As lojas usam a implementação do RSA, na codificação dedados de clientes em compras pela internet.
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
•CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais.Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR eDECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação dematrizes.Uma mensagem codificada com uma matriz é chamada de"n-cifragem de hill", logo uma mensagem codificada com umamatriz 2× 2 é chamada "2-cifra de hill".
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Decifrando o código de HillBibliografia
•CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais.Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR eDECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação dematrizes.Uma mensagem codificada com uma matriz é chamada de"n-cifragem de hill", logo uma mensagem codificada com umamatriz 2× 2 é chamada "2-cifra de hill".
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Cifras de Hill
PROCEDIMENTOS PARA CODIFICAÇÃO
• Primeiro converte-se as letras em números, depoisagrupa-se os números n a n e multiplica-se cada grupo poruma matriz quadrada de ordem inversível (det 6= 0). Osnúmeros resultantes são novamente convertidos em letras pelatabela 1, e assim tem-se a mensagem codificada.
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Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
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TABELA 1
A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P Q R S T U V W X Y Z16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
• Caso algum resultado da multiplicaçao seja um númeromaior que o número de letras do alfabeto, então deve-seutilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto,o que será explicado posteriormente.
• Para decodificar a mensagem basta aplicar o mesmoprocesso, porém utilizando a matriz inversa. Por isso quedeve-se usar apenas matrizes inversíveis.
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• Caso algum resultado da multiplicaçao seja um númeromaior que o número de letras do alfabeto, então deve-seutilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto,o que será explicado posteriormente.
• Para decodificar a mensagem basta aplicar o mesmoprocesso, porém utilizando a matriz inversa. Por isso quedeve-se usar apenas matrizes inversíveis.
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Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
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• Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum ede texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico queespecifica a sua posição no alfabeto padrão(TABELA 1).
TABELA 1
A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P Q R S T U V W X Y Z16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0
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• Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum ede texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico queespecifica a sua posição no alfabeto padrão(TABELA 1).
TABELA 1
A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P Q R S T U V W X Y Z16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos detextos cifrados por:
Passo 1) Escolhe-se uma matriz 2× 2.
A =
(a11 a12a21 a22
)
Com entradas inteiras, para efetuar a codificação
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Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos detextos cifrados por:
Passo 1) Escolhe-se uma matriz 2× 2.
A =
(a11 a12a21 a22
)
Com entradas inteiras, para efetuar a codificação
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Decifrando o código de HillBibliografia
Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos detextos cifrados por:
Passo 1) Escolhe-se uma matriz 2× 2.
A =
(a11 a12a21 a22
)
Com entradas inteiras, para efetuar a codificação
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
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Passo 2)Agrupam-se letras sucessivas do texto comum empares, adicionando uma letra fictícia para completar o últimopar, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras.Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númericoseguindo a tabela 1.
Passo 3) Converte-se cada par sucessivo de letras de textocomum em um vetor coluna:
p =
(p1p2
)
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Passo 2)Agrupam-se letras sucessivas do texto comum empares, adicionando uma letra fictícia para completar o últimopar, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras.Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númericoseguindo a tabela 1.
Passo 3) Converte-se cada par sucessivo de letras de textocomum em um vetor coluna:
p =
(p1p2
)
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
E forma-se o produto A.p.Chama-se p de vetor comum e A.p de vetor cifrado.
Passo 4) Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalentealfabético, pela tabela 1.
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E forma-se o produto A.p.Chama-se p de vetor comum e A.p de vetor cifrado.
Passo 4) Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalentealfabético, pela tabela 1.
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Código de Hill-Exemplo
EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DETEXTO COMUM:
"SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UMPROFESSOR DE ALGA"
Para a matriz codificadora:
A =
(4 31 2
)
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Código de Hill-Exemplo
EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DETEXTO COMUM:
"SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UMPROFESSOR DE ALGA"
Para a matriz codificadora:
A =
(4 31 2
)
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SOLUÇÃO:
Já que a tabela 1 não possui a letra Ç, substituimos por "C".
→ Agrupamos o texto comum em pares de letras para poderefetuar a codificação.
SE VO CE CO NS EG UE LE RISS OA GR AD EC AU MP RO FESS OR DE AL GA
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→Usando a tabela 1, encontramos os seus correspondentesnuméricos.
19-5 22-15 3-5 3-15 14-19 5-7 21-5 12-5 18-919-19 15-1 7-18 1-4 5-3 1-21 13-16 18-15 6-519-19 15-18 4-5 1-12 7-1
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OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendoeles de 0 à 25. Precisamos transformar os números maioresque 25 em números iguais ou menores que este, para istoutilizamos a aritmética modular.
Definição(aritmética modular): Dado um número inteiropositivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a éequivalente a b módulo m e escrevemos:
a ≡ b (mod m)
Se a− b é um múltiplo inteiro de m.
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OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendoeles de 0 à 25. Precisamos transformar os números maioresque 25 em números iguais ou menores que este, para istoutilizamos a aritmética modular.
Definição(aritmética modular): Dado um número inteiropositivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a éequivalente a b módulo m e escrevemos:
a ≡ b (mod m)
Se a− b é um múltiplo inteiro de m.
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OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendoeles de 0 à 25. Precisamos transformar os números maioresque 25 em números iguais ou menores que este, para istoutilizamos a aritmética modular.
Definição(aritmética modular): Dado um número inteiropositivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a éequivalente a b módulo m e escrevemos:
a ≡ b (mod m)
Se a− b é um múltiplo inteiro de m.
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PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOSABAIXO.
Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintesnúmeros:
(a) 35
dividindo |35| = 35 por 26 encontramos o valor inteiro 1 e umresto 9.
Assim podemos afirmar que 35 ≡ 9(mod 26)
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PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOSABAIXO.
Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintesnúmeros:
(a) 35
dividindo |35| = 35 por 26 encontramos o valor inteiro 1 e umresto 9.
Assim podemos afirmar que 35 ≡ 9(mod 26)
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PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOSABAIXO.
Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintesnúmeros:
(a) 35
dividindo |35| = 35 por 26 encontramos o valor inteiro 1 e umresto 9.
Assim podemos afirmar que 35 ≡ 9(mod 26)
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(b) -67
dividindo | − 67| = 67 por 26 encontramos o valor inteiro 2 eum resto 15, ou seja 26-15=11.
Podemos afirmar que −67 ≡ 11(mod 26)
(c) -26
dividindo | − 26| = 26 por 26 encontramos um resto 0.
Podemos afirmar assim, que −26 ≡ 0(mod 26)
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Decifrando o código de HillBibliografia
(b) -67
dividindo | − 67| = 67 por 26 encontramos o valor inteiro 2 eum resto 15, ou seja 26-15=11.
Podemos afirmar que −67 ≡ 11(mod 26)
(c) -26
dividindo | − 26| = 26 por 26 encontramos um resto 0.
Podemos afirmar assim, que −26 ≡ 0(mod 26)
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Códificando os pares de letras do texto
Para codificá-los efetuamos A.p
I1 par de letras: SE
(4 31 2
).
(195
)=
(9129
)=
(133
)(mod26) =
∣∣∣∣ MC
∣∣∣∣91 > 25 então 91
26 = 3 resto 13, isto é 91 ≡ 13(mod26)
29 > 25 então 2926 = 1 resto 3, isto é 29 ≡ 3(mod26)
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Códificando os pares de letras do texto
Para codificá-los efetuamos A.p
I1 par de letras: SE
(4 31 2
).
(195
)=
(9129
)=
(133
)(mod26) =
∣∣∣∣ MC
∣∣∣∣91 > 25 então 91
26 = 3 resto 13, isto é 91 ≡ 13(mod26)
29 > 25 então 2926 = 1 resto 3, isto é 29 ≡ 3(mod26)
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I2 par de letras: VO
(4 31 2
).
(2215
)=
(13352
)=
(30
)(mod26) =
∣∣∣∣ CZ
∣∣∣∣133 > 25 então 133
26 = 5 resto 3, isto é 133 ≡ 3(mod26)
52 > 25 então 5226 = 2 resto 0, isto é 52 ≡ 0(mod26)
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Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I2 par de letras: VO
(4 31 2
).
(2215
)=
(13352
)=
(30
)(mod26) =
∣∣∣∣ CZ
∣∣∣∣133 > 25 então 133
26 = 5 resto 3, isto é 133 ≡ 3(mod26)
52 > 25 então 5226 = 2 resto 0, isto é 52 ≡ 0(mod26)
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I3 par de letras: CE
(4 31 2
).
(35
)=
(2713
)=
(1
13
)(mod26) =
∣∣∣∣ AM
∣∣∣∣27 > 25 então 27
26 = 1 resto 1, isto é 27 ≡ 1(mod26)
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I3 par de letras: CE
(4 31 2
).
(35
)=
(2713
)=
(1
13
)(mod26) =
∣∣∣∣ AM
∣∣∣∣27 > 25 então 27
26 = 1 resto 1, isto é 27 ≡ 1(mod26)
TítuloIntrodução
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Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I4 par de letras: CO(4 31 2
).
(3
15
)=
(57
)=
(EG
)I5 par de letras: NS
(4 31 2
).
(1419
)=
(11352
)=
(90
)(mod26) =
∣∣∣∣ IZ
∣∣∣∣113 > 25 então 113
26 = 4 resto 9, isto é 133 ≡ 9(mod26)
52 > 25 então 5226 = 2 resto 0, isto é 52 ≡ 0(mod26)
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I6 par de letras: EG
(4 31 2
).
(57
)=
(4119
)=
(1519
)(mod26) =
∣∣∣∣ OS
∣∣∣∣41 > 25 então 41
26 = 1 resto 15, isto é 41 ≡ 15(mod26)
I7 par de letras: UE
(4 31 2
).
(215
)=
(2131
)=
(215
)(mod26) =
∣∣∣∣ UE
∣∣∣∣
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I8 par de letras: LE
(4 31 2
).
(125
)=
(6322
)=
(1122
)(mod26) =
∣∣∣∣ KV
∣∣∣∣I 9 par de letras: RI
(4 31 2
).
(189
)=
(9936
)=
(2110
)(mod26) =
∣∣∣∣ UJ
∣∣∣∣
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Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I 10 par de letras: SS(4 31 2
).
(1919
)=
(13357
)=
(35
)=
∣∣∣∣ CE
∣∣∣∣I11 par de letras: OA
(4 31 2
).
(151
)=
(6317
)=
(1117
)(mod26) =
∣∣∣∣ KQ
∣∣∣∣
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I12 par de letras: GR
(4 31 2
).
(7
18
)=
(12243
)=
(4
17
)(mod26) =
∣∣∣∣ DQ
∣∣∣∣I13 par de letras: AD(
4 31 2
).
(14
)=
(169
)(mod26) =
∣∣∣∣ PI
∣∣∣∣
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I14 par de letras: EC
(4 31 2
).
(53
)=
(2911
)=
(3
11
)(mod26) =
∣∣∣∣ CK
∣∣∣∣I15 par de letras: AU
(4 31 2
).
(121
)=
(6743
)=
(1517
)(mod26) =
∣∣∣∣ OQ
∣∣∣∣
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Tipos de CifrasCifras de Hill
Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto
Decifrando o código de HillBibliografia
I16 par de letras: MP(4 31 2
).
(1316
)=
(10045
)=
(2219
)=
∣∣∣∣ VS
∣∣∣∣I17 par de letras: RO
(4 31 2
).
(1815
)=
(11748
)=
(1322
)(mod26) =
∣∣∣∣ MV
∣∣∣∣
TítuloIntrodução
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Decifrando o código de HillBibliografia
I18 par de letras: FE
(4 31 2
).
(65
)=
(3916
)=
(1316
)(mod26) =
∣∣∣∣ MP
∣∣∣∣I19 par de letras: SS
(4 31 2
).
(1919
)=
(13357
)=
(35
)(mod26) =
∣∣∣∣ CE
∣∣∣∣
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Decifrando o código de HillBibliografia
I20 par de letras: OR
(4 31 2
).
(1518
)=
(11451
)=
(1025
)(mod26) =
∣∣∣∣ JY
∣∣∣∣I21 par de letras: DE
(4 31 2
).
(45
)=
(3114
)=
(5
14
)(mod26) =
∣∣∣∣ EN
∣∣∣∣
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Decifrando o código de HillBibliografia
I22 par de letras: AL
(4 31 2
).
(2112
)=
(4025
)=
(1425
)(mod26) =
∣∣∣∣ NY
∣∣∣∣I23 par de letras: GA
(4 31 2
).
(71
)=
(319
)=
(59
)(mod26) =
∣∣∣∣ EI
∣∣∣∣
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Decifrando o código de HillBibliografia
Assim, obtemos a mensagem cifrada completa:
MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJYENNYEI
Agrupando-as dois a dois,
MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CE KQ DQ PI CK OQ VS MVMP CE JY EN NY EI
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Decifrando o código de Hill
AGORA, FAREMOS A OPERAÇÃO INVERSA, PARAPODER DECIFRAR O CÓDIGO RECÉM APRESENTADO.
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Decifrando o código de HillBibliografia
Cada cifra possui um método para decifrar. No caso da Cifrade Hill, usa-se a inversa(mod 26) da matriz codificadora.
Para ser preciso, dizemos que uma matriz A é inversívelmódulo m, no caso (mod26) se existir uma matriz B que
satisfaça:
A.B = B.A = I (mod m)
Sendo I a matriz identidade:(
1 00 1
)
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EXEMPLO: DECIFRANDO A CIFRA DE HILL DO EXEMPLOANTERIOR:
→ Encontrar a inversa da matriz codificadora (mod 26)
Matriz codificadora: (4 31 2
)(mod26)
que é uma matriz:
(a bc d
)
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Após, calculamos o determinate da matriz codificadora:
det(A) = ad − bc = 4.2− 3.1 = 5
Depois de encontrarmos o valor do determinante da matrizcodificadora, achamos o seu correspondente do recíprocomódulo 26 na tabela 2:TABELA 2: (recíprocos módulo 26)
a 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25a−1 1 9 21 15 3 19 7 23 11 5 17 25
Correspondente de det(A) é igual a 21, pela tabela 2
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Assim, podemos determinar a matriz inversa dedet(A) (mod 26) que é dada por:
A−1= 1detA .
(d −b−c a
)(mod26)
Onde 1detA é o recíproco do resíduo de detA(mod 26)
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Então,
A−1 = 21.
(2 −3−1 4
)=
(42 −63−21 84
)=
(16 155 6
)(mod26)
•42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)
•| − 63| > 25, então 6326 = 2 resto 11, 26− 11 = 15 isto é,
63 ≡ 15(mod 26)
• −21, quando temos um valor negativo menor que 25,subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíprocomódulo 26, 26− 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)
•84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84 ≡ 6(mod26)
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Então,
A−1 = 21.
(2 −3−1 4
)=
(42 −63−21 84
)=
(16 155 6
)(mod26)
•42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)
•| − 63| > 25, então 6326 = 2 resto 11, 26− 11 = 15 isto é,
63 ≡ 15(mod 26)
• −21, quando temos um valor negativo menor que 25,subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíprocomódulo 26, 26− 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)
•84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84 ≡ 6(mod26)
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Então,
A−1 = 21.
(2 −3−1 4
)=
(42 −63−21 84
)=
(16 155 6
)(mod26)
•42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)
•| − 63| > 25, então 6326 = 2 resto 11, 26− 11 = 15 isto é,
63 ≡ 15(mod 26)
• −21, quando temos um valor negativo menor que 25,subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíprocomódulo 26, 26− 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)
•84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84 ≡ 6(mod26)
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Decifrando o código de HillBibliografia
Então,
A−1 = 21.
(2 −3−1 4
)=
(42 −63−21 84
)=
(16 155 6
)(mod26)
•42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)
•| − 63| > 25, então 6326 = 2 resto 11, 26− 11 = 15 isto é,
63 ≡ 15(mod 26)
• −21, quando temos um valor negativo menor que 25,subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíprocomódulo 26, 26− 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)
•84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84 ≡ 6(mod26)
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Então,
A−1 = 21.
(2 −3−1 4
)=
(42 −63−21 84
)=
(16 155 6
)(mod26)
•42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)
•| − 63| > 25, então 6326 = 2 resto 11, 26− 11 = 15 isto é,
63 ≡ 15(mod 26)
• −21, quando temos um valor negativo menor que 25,subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíprocomódulo 26, 26− 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)
•84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84 ≡ 6(mod26)
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Conferindo a matriz inversa módulo 26:
A.A−1 = I(mod26)
A.A−1 =
(4 31 2
).
(16 155 6
)=
(79 7826 27
)=
(1 00 1
)(mod26)
OK!
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Código da frase mostrada anteriormente:
MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJY
ENNYEI
MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CEKQ DQ PI CK OQ VS MV MP CE JYEN NY EI
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DECIFRANDO O CÓDIGO:
Para decifrarmos o cógido de Hill, multiplicamos ocorrespondente numérico das letras(tabela 1), pela matrizinversa da matriz codificadora módulo 26, calculadaanteriormente:
Correspondentes na tabela 1, do código acima:
13-3 3-0 1-13 5-7 9-0 15-19 21-5 11-2221-10 3-5 11-17 4-17 16-9 3-11 15-17 22-1913-22 13-16 3-5 10-25 5-14 14-25 5-9
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Decifrando os pares de letras:
I1 par de letras: MC(16 155 6
).
(133
)=
(195
)=
∣∣∣∣ SE
∣∣∣∣I2 par de letras: CZ(
16 155 6
).
(30
)=
(2215
)=
∣∣∣∣ VO
∣∣∣∣
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I 3 par de letras: AM(16 155 6
).
(113
)=
(35
)=
∣∣∣∣ CE
∣∣∣∣I4 par de letras: EG(
16 155 6
).
(57
)=
(3
15
)=
∣∣∣∣ CO
∣∣∣∣
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I5 par de letras: IZ(16 155 6
).
(90
)=
(1419
)=
∣∣∣∣ NS
∣∣∣∣Até agora não encontramos nenhum valor maior que 25,portanto não precisamos utilizar a aritmética modular nestes.
A partir de agora, encontraremos valores maiores que 25, eutilizaremos a método anterior do módulo 26.
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I 6 par de letras: OS
(16 155 6
).
(1519
)=
(525189
)=
(57
)(mod26) =
∣∣∣∣ EG
∣∣∣∣525 > 25 então 525
26 = 20 resto 5, isto é 525 ≡ 5(mod26)
189 > 25 então 18926 = 7 resto 7, isto é 189 ≡ 7(mod26)
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I7 par de letras: UE
(16 155 6
).
(215
)=
(411135
)=
(215
)(mod26) =
∣∣∣∣ UE
∣∣∣∣411 > 25 então 411
26 = 15 resto 21, isto é 411 ≡ 21(mod26)
135 > 25 então 13526 = 5 resto 5, isto é 135 ≡ 5(mod26)
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I 8 par de letras: KV
(16 155 6
).
(1122
)=
(506187
)=
(125
)(mod26) =
∣∣∣∣ LE
∣∣∣∣506 > 25 então 506
26 = 19 resto 12, isto é 506 ≡ 12(mod26)
187 > 25 então 18726 = 7 resto 5, isto é 187 ≡ 5(mod26)
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I 9 par de letras: UJ
(16 155 6
).
(2110
)=
(486165
)=
(189
)(mod26) =
∣∣∣∣ RI
∣∣∣∣486 > 25 então 486
26 = 18 resto 18, isto é 486 ≡ 18(mod26)
165 > 25 então 16526 = 6 resto 9, isto é 165 ≡ 9(mod26)
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I10 par de letras: CE
(16 155 6
).
(35
)=
(12345
)=
(1919
)(mod26) =
∣∣∣∣ SS
∣∣∣∣123 > 25 então 123
26 = 4 resto 19, isto é 123 ≡ 19(mod26)
45 > 25 então 4526 = 1 resto 19, isto é 45 ≡ 19(mod26)
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I 11 par de letras: KQ
(16 155 6
).
(1117
)=
(431157
)=
(151
)(mod26) =
∣∣∣∣ OA
∣∣∣∣431 > 25 então 431
26 = 16 resto 15, isto é 431 ≡ 15(mod26)
157 > 25 então 15726 = 6 resto 1, isto é 157 ≡ 1(mod26)
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I 12 par de letras: DQ
(16 155 6
).
(417
)=
(319122
)=
(718
)(mod26) =
∣∣∣∣ GR
∣∣∣∣I13 par de letras: PI
(16 155 6
).
(169
)=
(391134
)=
(14
)(mod26) =
∣∣∣∣ AD
∣∣∣∣
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I14 par de letras: CK
(16 155 6
).
(311
)=
(21381
)=
(53
)(mod26) =
∣∣∣∣ EC
∣∣∣∣I15 par de letras: OQ
(16 155 6
).
(1517
)=
(495177
)=
(121
)(mod26) =
∣∣∣∣ AU
∣∣∣∣
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I 16 par de letras: VS
(16 155 6
).
(2219
)=
(637224
)=
(1316
)(mod26) =
∣∣∣∣ MP
∣∣∣∣I 17 par de letras: MV
(16 155 6
).
(1322
)=
(538197
)=
(1815
)(mod26) =
∣∣∣∣ RO
∣∣∣∣
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Decifrando o código de HillBibliografia
I 18 par de letras: MP
(16 155 6
).
(1316
)=
(448161
)=
(65
)(mod26) =
∣∣∣∣ FE
∣∣∣∣I 19 par de letras: CE
(16 155 6
).
(35
)=
(12345
)=
(1919
)(mod26) =
∣∣∣∣ SS
∣∣∣∣
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Decifrando o código de HillBibliografia
I 20 par de letras: JY
(16 155 6
).
(1025
)=
(535200
)=
(1518
)(mod26) =
∣∣∣∣ OR
∣∣∣∣I21 par de letras: EN
(16 155 6
).
(514
)=
(290109
)=
(45
)(mod26) =
∣∣∣∣ DE
∣∣∣∣
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Decifrando o código de HillBibliografia
I22 par de letras: NY
(16 155 6
).
(1425
)=
(599220
)=
(112
)(mod26) =
∣∣∣∣ AL
∣∣∣∣I23 par de letras: EI
(16 155 6
).
(59
)=
(21579
)=
(71
)(mod26) =
∣∣∣∣ GA
∣∣∣∣
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Mensagem cifrada:
SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GRAD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA
Trocando o segundo C por Ç:
SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UMPROFESSOR DE ALGA!
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Bibliografia
•www .inf .ufsc.br/ davigp/INE − 5386/Enigma/
•informatica.hsw .uol .com.br/criptografia.htm•ensino.univates.br/ chaet/AlgebraLinear .html•www .infowester .com/criptografia.php•www .magiadamatematica.com/diversos/eventos/20−congruencia.pdf•Álgebra Linear com Aplicações -ANTON E RORRES