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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

(Mini)Projekt Risikotheorie

Lisa Stadlmuller, Christian Schitter, Peter Scheibelhofer, Wolfgang Draxler

28. Janner 2010

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 1/36

Aufgabenstellung

Gesucht:Plausible Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas fur die dreiPaare, bestehend aus je zwei der Indizes Nikkei 225, FTSE100 undNasdaq (tagliche und wochentliche Daten).

Auswahl aus:Gauss’sche Copula, t-Copula, Gumbel und Clayton Copula.

Scatterplot der taglichen Logreturns

Korrelationsmaße

Nikkei FTSE100 NasdaqNikkei 1,00000 0,26606 0,16078

FTSE100 0,26606 1,00000 0,33796

Nasdaq 0,16078 0,33796 1,00000

Table: Ubersicht Spearman’s Rho

Nikkei FTSE100 NasdaqNikkei 1,00000 0,18276 0,10641

FTSE100 0,18276 1,00000 0,23410

Nasdaq 0,10641 0,23410 1,00000

Table: Ubersicht Kendall’s Tau

Wichtiger Faktor bei Copulawahl: Tailabhangigkeit

Theoretischer Koeffizient der oberen Tail-Abhangigkeit:

λU(X1,X2) = limu→1−P(X2 > F←2 (u)|X1 > F←1 (u))

Schatzer fur obere Tailabhangigkeit:

λU(u; Beob.) =#{(x , y) ∈ Beob. : y > F←2 (u) ∧ x > F←1 (u)}

#{(x , y) ∈ Beob. : x > F←1 (u)}

Wichtiger Faktor bei Copulawahl: Tailabhangigkeit

Theoretischer Koeffizient der unteren Tail-Abhangigkeit:

λL(X1,X2) = limu→0+P(X2 ≤ F←2 (u)|X1 ≤ F←1 (u))

Schatzer fur untere Tailabhangigkeit:

λL(u; Beob.) =#{(x , y) ∈ Beob. : y < F←2 (u) ∧ x < F←1 (u)}

#{(x , y) ∈ Beob. : x < F←1 (u)}

Tailabhangigkeit Ubersicht

Copula Obere Tailabhangigkeit? Untere Tailabhangigkeit?

Gauss Nein Nein

t Ja Ja

Gumbel Ja Nein

Clayton Nein Ja

Table: Ubersicht Tailabhangigkeiten

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

Obere Tailabhängigkeit der täglichen Daten

Quantil

tNikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Untere Tailabhängigkeit der täglichen Daten

Quantil

Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq

Name Obere Tailabh. Untere Tailabh. Vermutung

Nikkei-FTSE eher ja ja t

Nikkei-Nasdaq eher nein eher nein Gauss

FTSE-Nasdaq eher nein eher ja Clayton

Table: Copula Vermutung aufgrund Tailabhangigkeiten

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten Nikkei-FTSE100

Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 24,22 29,99 20,51 25,41

Table: LogLikelihood

Vergleich Originaldaten/Methoden Nikkei-FTSE100

Simulationen mit gewahlter Methode Nikkei-FTSE100

Kontrolle empirische Tails/theoretische Tails Nikkei-FTSE

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten Nikkei-Nasdaq

Vergleich Originaldaten/Methoden Nikkei-Nasdaq

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten FTSE100-Nasdaq

Kontrolle empirische Tails/theoretische Tails FTSE-Nasdaq

Scatterplot der wochentlichen Logreturns

Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

Obere Tailabhängigkeit der wöchentlichen Daten

Quantil

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Untere Tailabhängigkeit der wöchentlichen Daten

Quantil

Name Obere Tailabh. Untere Tailabh. Vermutung

Nikkei-FTSE ja eher ja t

Nikkei-Nasdaq ja nein Gumbel

FTSE-Nasdaq ja eher nein Gumbel

Table: Copula Vermutung aufgrund Tailabhangigkeiten

Wochentliche Original-/simulierte Daten Nikkei-FTSE

Wochentliche empirische/theoretische Tails Nikkei-FTSE

Wochentliche Original-/simulierte Daten Nikkei-Nasdaq

Wochentliche empirische/theoretische Tails Nikkei-Nasdaq

Wochentliche Original-/simulierte Daten FTSE-Nasdaq

Wochentliche empirische/theoretische Tails FTSE-Nasdaq

Scatterplot der verkurzten Logreturns 2004-2006

Scatterplot der verkurzten Logreturns 2006-2009

Tailabhangigkeit Ubersicht bis 2006

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

Obere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq

Tailabhangigkeit Ubersicht bis 2006

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Untere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Tailabhangigkeit Ubersicht ab 2006

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

Obere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Tailabhangigkeit Ubersicht ab 2006

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Untere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Nikkei-FTSE Nikkei-Nasdaq FTSE-Nasdaq

Taglich t Gauss Clayton

Wochentlich t Gumbel Gumbel

Bis 2006 Clayton Gauss Gumbel

Ab 2006 t Gumbel Clayton

Table: Ubersicht uber gewahlte Copulas

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