บทท 1

เมทรกซ

เมทรกซเปนหนงในเนอหาวชาพชคณตเชงเสน (Linear Algebra) ทมความส าคญมากหวขอหนงเนองจากสามารถน าไปประยกตใชในสาขาวชาอนๆ ได ไมวาจะเปนสาขา วศวกรรมศาสตร และ เศรษฐศาสตร เปนตน ในหนงสอเลมนสวนใหญจะกลาวถงเมทรกซของจ านวนจรง แตจะอธบายเมทรกซของจ านวนเชงซอนไวพอสงเขป ซงสามารถนยามไดท านองเดยวกน

1.1 ความหมายของเมทรกซ

ในชวตประจ าวนสามารถพบเหนขอมลทเรยงกนในรปของเมทรกซมากมาย เชน ตารางการแขงขนแบดมนตน ตารางสอน เปนตน ซงเมทรกซมบทนยามดงนคอ

บทนยามท 1.1 เมทรกซ (Matrix) หมายถง การน าจ านวนมาเขยนเรยงกนใหอยในรปสเหลยมมมฉาก เปนสองมต โดยอยในรปแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และในแนวตงเรยกวาหลก (Column) และบรรจภายในเครองหมาย

เชน 13

2

, 1 6

3 7

,

3

6

8

หมายเหต สญลกษณ 2 1

7 8 6

ไมใชเมทรกซเพราะสมาชกในแตละแถวมจ านวนไม

เทากน

ถา A เปนเมทรกซ สามารถเขยนแทน A ดวย [ ]ija เมอ ija เปนจ านวนจรงใดๆ

ในต าแหนงแถวท i หลกท j ของ A

2

ถา A เปนเมทรกซทม m แถว และ n หลก เขยนแทนมต (Dimension Matrix) หรอ อนดบ (Order) ของ A ดวย m n เมอ 1,2,...,i m 1,2,...,j n และใชสญลกษณ ดงน

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ......

...

n

n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

� 1� 2…..

� n

1 2

m

ตวอยางท 1.1 จงบอกมตของเมทรกซในแตละขอตอไปน

1. 2

3

มต 1 1 2. 2 1 2 7

มต 1 4

3. 8 2 4

2 5 7

มต 2 3 4.

1 7 8 3

0 2 5 2

0 1 7 0

0 0 1 0

มต 4 4

5. 2

5

2

มต 3 1 6.

1 2 4 9 7

5 6 7 10 4

3 4 5 9 8

มต 3 5

ตวอยางท 1.2 จงเขยนเมทรกซตอไปนตามเงอนไขทก าหนดให3 3ijA a

โดยท 3 ,

0 ,

1 ,

ij

i j i j

a i j

i j

วธท า A

11 12 13

21 22 23

31 32 33 3 3

a a a

a a a

a a a

3 3

0 3(1) 2 3(1) 3

1 0 3(2) 3

1 1 0

3 3

0 5 6

1 0 9

1 1 0

3

1.2 ชนดของเมทรกซ

เมทรกซมหลายชนด จงจ าเปนตองรจกจากบทนยามกอนดงตอไปน

บทนยามท 1.2 เมทรกซหลก (Column Matrix)

เรยกเมทรกซทมหลกเพยง 1 หลกวา เมทรกซหลก

เชน 2 1

1

6

,

4 1

5

6

8

9

,

1

1

2

3

...

nn

บทนยามท 1.3 เมทรกซแถว (Row Matrix)

เรยกเมทรกซทมแถวเพยง 1 แถววา เมทรกซแถว

เชน 1 3

8 3 1

, 1 4

18 3 54 5

, 1

1 2 3 ...n

n

บทนยามท 1.4 เมทรกซศนย (Zero Matrix)

สมาชกทกต าแหนงในเมทรกซมคาเทากบศนย

เชน 2 2

0 0

0 0

, 1 5

0 0 0 0 0 ,

2 3

0 0 0

0 0 0

, 0

บทนยามท 1.5 เมทรกซจตรส (Square Matrix)

เมทรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก

เชน 2 2

1 4

5 1

,

3 3

1 8 5

2 5 5

7 5 3

,

4 4

1 2 3 5

2 5 6 4

0 1 8 7

8 4 2 1

บทนยามท 1.6 เมทรกซเฉยง (Diagonal Matrix)

เมทรกซ A จะเปนเมทรกซเฉยง กตอเมอ A เปนเมทรกซจตรส ทมสมาชกทไมอยในแนว

เสนทแยงมมหลกเปน ศนย ทกตว เชน 2 2

9 0

0 2

, 3 3

6 0 0

0 8 0

0 0 6

,

4 4

5 0 0 0

0 5 0 0

0 0 5 0

0 0 0 5

4

บทนยามท 1.7 เมทรกซเชงสเกลาร (Scalar Matrix)

เมทรกซ A จะเปนเมทรกซเชงสเกลารกตอเมอ A เปนเมทรกซเฉยง ทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก เทากนทกตว

เชน 2 2

2 0

0 2

, 3 3

6 0 0

0 6 0

0 0 6

,

4 4

5 0 0 0

0 5 0 0

0 0 5 0

0 0 0 5

บทนยามท 1.8 เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix)

เปนเมทรกซจตรส ทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก เทากบ 1 ทกตว และสมาชกในต าแหนงอนเปน 0 หมดทกตว เขยนแทนดวย nI , n แทนจ านวนแถวหรอจ านวนหลก

เชน 2

2 2

1 0

0 1I

, 3

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

, 4

4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

บทนยามท 1.9 เมทรกซสามเหลยมบนและเมทรกซสามเหลยมลาง (Upper

Triangular Matrix and Lower Triangular Matrix)

เมทรกซ A จะเปนเมทรกซสามเหลยมบน กตอเมอ 0ija ส าหรบ i j และเมทรกซ A จะเปนเมทรกซสามเหลยมลาง กตอเมอ 0ija ส าหรบ i j

เชน 2 2

2 1

0 9

, 3 3

0 2 5

0 6 1

0 0 0

,

4 4

5 2 4 4

0 1 6 3

0 0 8 2

0 0 0 5

เมทรกซสามเหลยมบน

2 2

2 0

3 9

, 3 3

0 0 0

2 6 0

1 1 5

,

4 4

5 0 0 0

6 1 0 0

1 2 8 0

5 8 9 5

เมทรกซสามเหลยมลาง

5

1.3 การกระท าระหวางเมทรกซ

การกระท าระหวางเมทรกซ เปนการด าเนนการของเมทรกซกบเมทรกซ และเมทรกซกบสเกลาร ดงน

1.3.1 การเทากนของเมทรกซ

บทนยามท 1.10 ถา ijA a และ ijB b เปนเมทรกซซงมขนาด m n ทงค จะกลาววาเมทรกซ A เทากบเมทรกซ B ถาสมาชกทกตวของ A และ B ทอยในต าแหนงเดยวกนเทากน จากนยามจะไดวา ij ijA B a b เมอ 1,2,...,i m และ 1,2,...,j n

ก าหนดให ,A B และ C เปนเมตรกซใดๆ จะมคณสมบตดงน

1. A A (สมบตการสะทอน Reflexive)

2. ถา A B จะไดวา B A (สมบตสมมาตร Symmetric)

3. ถา A B และ B C จะไดวา A C (สมบตถายทอด Transitive)

ตวอยางท 1.3 จงหาคาของ x , y , w , z , a และb จากสมการตอไปน

1. 2 2 2 2

2 3 4

5 1

x y w z

x y z w

วธท า 3......(1)x y 2 4......(3)w z

5......(2)x y 1......(4)z w

(1) (2) 4x (3) (4) 1w

แทนใน (1) 1y แทนใน (4) 2z

2. 2 2 2 2

5 66

2 7 20 32

a

b a

วธท า 5......(1)a 2 20......(3)b

6 6......(2) 32 7......(4)a

จาก (1) 25a แทนใน (4) สมการเปนจรง จาก (3) 2 2 5b ได 5b

6

1.3.2 การบวกเมทรกซ

บทนยามท 1.11 ถา ijA a และ ijB b เปนเมทรกซทมขนาด m n ทงค แลวผลบวกของเมทรกซ (Addition of Matrices) A และ B จะเทากบ ijA B C c โดยท ij ij ijc a b เมอ 1,2,...,i m และ 1,2,...,j n

สมบตการบวกกนของเมทรกซ

ทฤษฎบทท 1.1 ก าหนดให ij m nA a

, ij m n

B b

และ ij m nC c

1. กฏการสลบท (The commutative law): A B B A 2. กฏการจดหม (The associative law): A B C A B C 3. 0 0A A A 4. 0A A 5. 0 A A

พสจนขอ 1. ก าหนดให ij m nA a

และ ij m n

B b

A B ij ij m na b

ij ij m nb a

B A

พสจนขอ 2. ก าหนดให ij m nA a

, ij m n

B b

และ ij m nC c

A B C ij ij ijm n m na b c

ij ij ijm n

a b c

ij ij ijm n

a b c

ij ij ijm n m na b c

( )A B C

ขอ 3-5 ใหพสจนเปนแบบฝกหด

7

1.3.3 การลบเมทรกซ

บทนยามท 1.12 ถา ijA a และ ijB b เปนเมทรกซทมขนาด m n ทงค แลว

ผลตางของเมทรกซ (Subtraction of Matrices) A และ B จะเทากบ ijA B A B C c โดยท ij ij ijc a b เมอ 1,2,...,i m และ 1,2,...,j n

ขอสงเกต ถา 0A B แลว จะกลาววา เมทรกซ B เปนอนเวอรส (Inverse) ส าหรบการบวกของเมทรกซ A และใชสญลกษณ A แทน เมทรกซ B นนคอ ( ) 0A A

ตวอยางท 1.4 ก าหนดให 3 3

1 9 8

8 7 1

6 7 4

A

และ 3 3

2 1 0

8 3 1

7 2 3

B

จงหา A B ,

A B และอนเวอรสการบวกของ A

วธท า A B = 3 3

1 ( 2) 9 1 8 0

8 ( 8) 7 3 1 1

6 7 7 2 4 ( 3)

3 3

1 10 8

16 4 0

13 9 1

A B = 3 3

1 ( 2) 9 1 8 0

8 ( 8) 7 3 1 1

6 7 7 2 4 ( 3)

3 3

3 8 8

0 10 2

1 5 7

เนองจาก

( )A A

3 3 3 3

1 9 8 1 9 8

8 7 1 8 7 1

6 7 4 6 7 4

3 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

ดงนน อนเวอรสการบวกของ A คอ 3 3

1 9 8

8 7 1

6 7 4

A

8

1.3.4 การคณเมทรกซดวยสเกลาร

บทนยามท 1.13 ก าหนดให ijA a เปนเมทรกซขนาด m n และ k เปนสเกลารใดๆ ผลคณของ k และ A เขยนแทนดวย kA หรอ Ak มคาเทากบ ijka และมมต เปน m n นนคอ

ถา 11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn m n

a a a

a a aA

a a a

แลว 11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn m n

ka ka ka

ka ka kakA

ka ka ka

ตวอยางท 1.5 ก าหนดให 2 3

1 2 5

7 1 9A

1 3k , 2 0k จงหา 1k A และ 2k A

วธท า 1k A 3A

2 3

1 2 53

7 1 9

2 3

3 1 3 2 3 5

3 7 3 1 3 9

2 3

3 6 15

21 3 27

และ 2k A 0A

2 3

1 2 50

7 1 9

2 3

0 1 0 2 0 5

0 7 0 1 0 9

2 3

0 0 0

0 0 0

0

9

สมบตการคณเมทรกซดวยสเกลาร

ทฤษฎบทท 1.2 ก าหนดให ij m nA a

, ij m n

B b

และ ij m nC c

, 1 2,k k เปน

สเกลารใดๆ 1. 1 1 1k A B k A k B

2. 1 2 1 2k k A k A k A

3. 1 2 1 2 2 1k k A k k A k k A

4. 1A A

พสจนขอ 1. ก าหนดให ij m nA a

, ij m n

B b

และ 1k เปนสเกลารใดๆ 1k A B 1 ij ij m n

k a b

1 ij ijm n

k a b

1 1ij ij m nk a k b

1 1ij ijm n m nk a k b

1 1ij ijm n m nk a k b

1 1k A k B

พสจนขอ 3. ก าหนดให ij m nA a

และ 1 2,k k เปนสเกลารใดๆ

1 2k k A 1 2 ij m nk k a

1 2 ij m nk k a

1 2 ijm n

k k a

1 2 ij m nk k a

1 2k k A

หรอ 1 2k k A 1 2 ij m nk k a

2 1 ij m nk k a

2 1 ijm n

k k a

2 1k k A ขอ 2. และ 4. ใหพสจนเปนแบบฝกหด

10

ตวอยางท 1.6 ก าหนดให 2 2

2

3 5

i iA

i

และ

2 2

3 2

2 6

i iB

i

จงแสดงวา

i A B iA iB ( 1i )

วธท า A B 2 2 2 2

2 3 2

3 5 2 6

i i i i

i i

2 2

2 3 2

3 2 5 6

i i i i

i i

2 2

2 2 3 3

3 2 6 5

i i

i i

i A B 2 2

2 2 3 3

3 2 6 5

i ii

i i

2 2

2 2 3 3

3 2 6 5

i i i i

i i i i

จาก 2 1i จะได i A B 2 2

2 2 3 3

2 3 5 6

i i

i i

จาก iA 2 2

2

3 5

i ii

i

2 2

2

3 5

i i i i

i i i

2 2

1 2 1

3 5

i

i

และ iB 2 2

3 2

2 6

i ii

i

2 2

3 2

2 6

i i i i

i i i

2 2

1 2 3

2 6

i

i

จะได iA iB 2 2 2 2

1 2 1 1 2 3

3 5 2 6

i i

i i

2 2

2 2 3 3

2 3 5 6

i i

i i

ดงนนจะไดวา i A B iA iB

11

1.3.5 การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

บทนยามท 1.14 ก าหนดให ij m nA a

เปนเมทรกซขนาด m n และ ij n p

B b

เปน

เมทรกซขนาด n p ผลคณของ A และ B (The Multiplication of Matrices) เขยนแทนดวย AB หรอ A B มคาเทากบ ij m p

c

เปนเมทรกซขนาด m p โดยท ijc มคา

เทากบผลบวกของผลคณของจ านวนแถวท i ของ A และหลกท j ของ B นนคอ

ให

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn m n

a a a

a a aA

a a a

และ

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

p

p

n n np n p

b b b

b b bB

b b b

แลว

11 12 1

11 12 1 121 22 2

21 22 2 2

1 2

1 2

1 2

...

... ......

... ......... ... ...

... ... ... ... ... ......

... ...... ... ... ...

...

n

j pn

j p

ini i

n n nj np n p

m m mn m n

a a a

b b b ba a a

b b b bA B

aa a

b b b b

a a a

=

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...

... ... ... ...... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

j n

j p

ij ipi i

m m mp mp m p

c c c c

c c c a

c cc c

c c c c

โดยท 1 1 2 2 ...ij i j i j ik kjc a b a b a b 1

k

il lj

l

a b

เมอ1 i m และ 1 i p

12

ตวอยางท 1.7 ก าหนดให 2 3

1 2 5

7 1 9A

และ

3 3

1 1 3

2 4 5

0 1 2

B

จงหา AB

วธท า เนองจาก A เปนเมทรกซขนาด 2 3 และ B เปนเมทรกซขนาด 3 3 ดงนนจะได เมทรกซ AB ทมขนาด 2 3 ดงน

AB 2 3

3 3

1 1 31 2 5

2 4 57 1 9

0 1 2

2 3

1 1 2 2 5 0 1 1 2 4 5 1 1 3 2 5 5 2

7 1 1 2 9 0 7 1 1 4 9 1 7 3 1 5 9 2

2 3

3 12 17

9 2 8AB

ตวอยางท 1.8 ก าหนดให 2 2 2 2

cos sin cos sin,

sin cos sin cosA B

และ

1 2

tan secC

จงหา A B และ A C

วธท า A B 2 2 2 2

cos sin cos sin

sin cos sin cos

2 2

2 2

2 2

cos sin cos sin sin cos

sin cos cos sin sin cos

จาก 2 2sin cos 1

จะได 2 2

1 0

0 1A B

A C หาคาไมไดเนองจากจ านวนหลกของ A (ตวตง)ไมเทากบจ านวนแถวของ C (ตวคณ)

1 2

2 2

cos sintan sec

sin cosA C

สมบตการคณกนของเมทรกซดวยเมทรกซ

1. AB ไมจ าเปนตองเทากบ BA

เชน 2 2

4 1

0 2A

และ 2 2

3 0

1 7B

13

AB 2 2 2 2

4 1 3 0

0 2 1 7

2 2

4 3 1 1 4 0 1 7

0 3 2 1 0 0 2 7

2 2

13 7

2 14

BA 2 2 2 2

3 0 4 1

1 7 0 2

2 2

3 4 0 0 3 1 0 2

1 4 7 0 1 1 7 2

2 2

12 3

4 15

ดงนน AB BA

2. ถา AB AC ไมจ าเปนท B C

เชน 2 2

0 1

0 2A

2 2

1 1

3 4B

และ 2 2

2 5

3 4C

AB 2 2 2 2

0 1 1 1

0 2 3 4

2 2

0 1 1 3 0 1 1 4

0 1 2 3 0 1 2 4

2 2

3 4

6 8

AC 2 2 2 2

0 1 2 5

0 2 3 4

AC

2 2

0 2 1 3 0 5 1 4

0 2 2 3 0 5 2 4

2 2

3 4

6 8

จะเหนวา AB AC

แต B C

14

3. ถา 0AB ไมจ าเปนท 0A หรอ 0B

เชน 2 2

0 5

0 3A

และ

2 2

4 1

0 0B

AB 2 2 2 2

0 5 4 1

0 3 0 0

2 2

0 4 5 0 0 1 5 0

0 4 3 0 0 1 3 0

2 2

0 0

0 0

จาก 0AB โดยท 0A และ 0B

ทฤษฎบทท 1.3 ก าหนดให ,A B และ C เปนเมทรกซซงสามารถหาผลบวกและผลคณได และ 1 2, ,k k k เปนสเกลารแลว

1. A BC AB C

2. A B C AB AC

3. A B C AC BC

4. k AB kA B A kB

พสจนขอ 1. ก าหนดให ij m nA a

, ij n p

B b

และ ij p qC c

AB C 1

n

ik kj ij p qk n p

a b c

1 1

p n

ik kl lj

l k m q

a b c

1 1

p n

ik kl lj

l k m q

a b c

1 1

pn

ik kl lj

k l m q

a b c

1 1

pn

ik kl lj

k l m q

a b c

AB C 1

p

ij il ljm nl n q

a b c

( )A BC

15

พสจนขอ 3. ก าหนดให ij m nA a

, ij m n

B b

และ ij n pC c

A B C ij ij ijm n n pa b c

1

n

ik ik kj

k m p

a b c

1

n

ik kj ik kj

k m p

a c b c

1 1

n n

ik kj ik kj

k k m p

a c b c

1 1

n n

ik kj ik kj

k km p m p

a c b c

AC BC

ขอ 2. และ 4. ใหพสจนเปนแบบฝกหด

ตวอยางท 1.9 ก าหนดให 2 2 2 3

1 2 6 2 1,

3 5 0 2 1A B

และ

3 2

4 2

5 1

0 2

C

จงแสดงวา AB C A BC

วธท า จาก AB 2 2 2 3

1 2 6 2 1

3 5 0 2 1

2 3

6 0 2 4 1 2

18 0 6 10 3 5

2 3

6 6 3

18 4 2

จะได AB C 2 3

3 2

4 26 6 3

5 118 4 2

0 2

2 2

24 30 0 12 6 6

72 20 0 36 4 4

2 2

54 24

52 28

จาก BC 2 3

3 2

4 26 2 1

5 10 2 1

0 2

16

BC 2 2

24 10 0 12 2 2

0 10 0 0 2 2

2 2

34 16

10 4

จะได A BC 2 2 2 2

1 2 34 16

3 5 10 4

2 2

34 20 16 8

102 50 48 20

2 2

54 24

52 28

ดงนน AB C A BC

บทนยามท 1.15 ถา A และ B เปนเมทรกซเฉยงมต n n แลว เมทรกซทงสองจะมคณสมบตสลบทการคณนนคอ AB BA

ตวอยางท 1.10 ก าหนดให

4 4

2 0 0 0

0 1 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

A

4 4

2 0 0 0

0 5 0 0

0 0 6 0

0 0 0 7

B

จงแสดงวา

AB BA

วธท า AB

4 4 4 4

2 0 0 0 2 0 0 0

0 1 0 0 0 5 0 0

0 0 3 0 0 0 6 0

0 0 0 4 0 0 0 7

4 4

2 2 0 0 0

0 1 5 0 0

0 0 3 6 0

0 0 0 4 7

4 4

4 0 0 0

0 5 0 0

0 0 18 0

0 0 0 28

17

BA

4 4 4 4

2 0 0 0 2 0 0 0

0 5 0 0 0 1 0 0

0 0 6 0 0 0 3 0

0 0 0 7 0 0 0 4

4 4

2 2 0 0 0

0 5 1 0 0

0 0 6 3 0

0 0 0 7 4

4 4

4 0 0 0

0 5 0 0

0 0 18 0

0 0 0 28

ดงนน AB BA

1.3.6 เมทรกซสลบเปลยนหรอเมทรกซทรานสโพส (Transpose of Matrix)

บทนยามท 1.16 ก าหนดให ij m nA a

เปนเมทรกซขนาด m n เมทรกซสลบเปลยน

หรอเมทรกซทรานสโพสของ A เขยนแทนดวย TA คอ เมทรกซ jia ขนาด n m ทไดจากการสลบแถวและหลกของ A

ตวอยางท 1.11 ก าหนดให 2 3

1 0 5

7 7 4A

4 1

1

2

3

4

B

จงหา ,T TA B

วธท า TA 2 3

1 0 5

7 7 4

T

3 2

1 7

0 7

5 4

และ TB

4 1

1

2

3

4

T

1 4

1 2 3 4

18

สมบตของเมทรกซสลบเปลยนหรอเมทรกซทรานสโพส ทฤษฎบทท 1.4 ก าหนดให ,A B และ C เปนเมทรกซซงสามารถหาผลบวกและผลคณได และ k เปนสเกลารแลว

1. T T TA B A B 2.

T T TAB B A

3. T TkA kA 4.

TTA A

พสจนขอ 1. ก าหนดให ij m nA a

และ ij m n

B b

T

A B T

ij ij m na b

ji ji n ma b

n m n m

ji jia b

T T

ij ijm n m na b

T TA B

พสจนขอ 2. ก าหนดให ij m nA a

และ ij n p

B b

ให ij m pAB C c

จะได

T T t

ij ji p mp mAB C c c

จาก ji m pc

1

n

jk ki

k m p

a b

T

AB t

ij p mc

1

n

jk ki

k p m

a b

1

nt t

kj ik

k p m

a b

1

nt t

ik kj

k p m

b a

T TB A

ขอ 3-4 ใหพสจนเปนแบบฝกหด

19

ตวอยางท 1.12 ก าหนดให 2 3

3 2 0

1 1 2A

และ

3 3

1 0 2 1

1 1 3 0

3 2 5 0

B

จงหา

, ,T TT TA A A AB และ T TB A

วธท า

ไมสามารถหาค าตอบไดเนองจากเมทรกซมมตไมเทากน

T

TA 2 3

3 2 0

1 1 2

TT

T

TA

2 3

3 1

2 1

0 2

T

2 3

3 2 0

1 1 2

A

AB 2 4

3 2 0 0 2 0 6 6 0 3 0 0

1 1 6 0 1 4 2 3 10 1 0 0

2 4

5 2 0 3

4 3 9 1

T

AB

4 2

5 4

2 3

0 9

3 1

T TB A 3 2

4 3

1 1 33 1

0 1 22 1

2 3 50 2

1 0 0

4 2

3 2 0 1 1 6

0 2 0 0 1 4

6 6 0 2 3 10

3 0 0 1 0 0

4 2

5 4

2 3

0 9

3 1

จะเหนไดวา T T TAB B A

2 3

3 2

3 13 2 0

2 11 1 2

0 2

TA A

20

ตวอยางท 1.13 ก าหนดให 1 3

3 1

1 2

2 3 6 , 5

0

i

A i B

และ 1 2

1 2C

จงหา

7 ,T TA B A BC และ T

TC AB

วธท า จาก 1 3

1 2 5 0TB i

7 TB 1 3

7 1 2 5 0i

1 3

7 14 35 0i

จะได 7 TA B 1 3 1 3

2 3 6 7 14 35 0i i

7 TA B 1 3

9 14 35 3 6i i

หา TA BC ไมไดเนองจาก 3 1 3 1

2 1 2

3 5

6 0

T

i

A B i

หาคาไมได

(เพราะจ านวนหลกของเมทรกซ TA ไมเทากบจ านวนแถวของเมทรกซ B )

TC 2 1

1

2

TC A 1 3

2 1

12 3 6

2i

TC A 2 3

2 3 6

4 6 12

i

i

TC AB 2 3

3 1

1 22 3 6

54 6 12

0

ii

i

2 1

2 19

4 38

i

i

จะได T

TC AB 1 2

2 19 4 38i i

1.3.7 เทรซของเมทรกซ

เทรซของเมทรกซ (Trace) คอผลบวกของสมาชกบนแนวเสนทะแยงมมหลกทงหมด

บทนยามท 1.17 ถา ij n nA a

เปนเมทรกซจตรสมต n n แลวเทรซของ A เขยนแทน

ดวย

1

n

ii

i

Tr A a

21

ตวอยางท 1.14 จงหา Tr A เมอ 3 3

1 2 4

0 2 5

9 9 8

A

วธท า จาก Tr A 1

n

ii

i

a

11 22 33a a a

1 2 8

จะได Tr A 5

สมบตของเทรซ ทฤษฎบทท 1.5 ก าหนดให Aและ B เปนเมทรกซจตรสขนาด n n และ c เปนสเกลารใดๆ 1. TTr A Tr A 2. Tr cA cTr A 3. Tr A B Tr A Tr B 4. Tr AB Tr BA (ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยางท 1.15 ก าหนดให 3 3

1 0 2

3 2 9

0 4 3

A

และ3 3

0 7 1

2 6 1

3 0 4

B

จงแสดงวา

2 3 2 3Tr A B Tr A Tr B

วธท า จาก 2 3A B

3 3 3 3

2 0 4 0 21 3

6 4 18 6 18 3

0 8 6 9 0 12

3 3

2 21 7

0 22 21

9 8 18

ดงนน 2 3Tr A B 2 22 18 2

จาก 2Tr A 2( 1 2 3 ) 4

และ 3Tr B 3(0 6 4 ) 6

ดงนน 2 3Tr A Tr B 2 จะเหนไดวา 2 3 2 3Tr A B Tr A Tr B

22

1.3.8 เมทรกซยกก าลง

บทนยามท 1.18 ถา A เปนเมทรกซจตรสขนาด n n จะไดวา 2A A A

3A A A A

ดงนน ...kA A A A

ส าหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ ,p q เปนจ านวนเตมบวกใดๆ จะไดวา p q p qA A A

ตวอยางท 1.16 ก าหนดให 2 2

1 0

0 1A

และ 3 3

2 1 2

1 0 1

3 0 0

B

จงหา 2 3 2, ,A A B

และ 4B วธท า 2A A A

2 2 2 2

1 0 1 0

0 1 0 1

2 2

1 0 0 0

0 0 0 1

2 2

1 0

0 1

3A 2A A

2 2 2 2

1 0 1 0

0 1 0 1

2 2

1 0

0 1

2B B B

3 3 3 3

2 1 2 2 1 2

1 0 1 1 0 1

3 0 0 3 0 0

3 3

4 1 6 2 0 0 4 1 0

2 0 3 1 0 0 2 0 0

6 0 0 3 0 0 6 0 0

3 3

9 2 5

1 1 2

6 3 6

23

4B 2 2B B

3 3 3 3

9 2 5 9 2 5

1 1 2 1 1 2

6 3 6 6 3 6

3 3

81 2 30 18 2 15 45 4 30

9 1 12 2 1 6 5 2 12

54 3 36 12 3 18 30 6 36

3 3

113 31 71

4 3 5

93 27 60

1.4 เมทรกซทมลกษณะพเศษ

บทนยามท 1.19 เมทรกซสมมาตร (Symmetric Matrix)

เมทรกซ A จะเรยกวา เมทรกซสมมาตร ถา A เปนเมทรกซจตรสซง TA A

เชน 3 3

1 3 5

3 4 7

5 7 9

A

ได 3 3

1 3 5

3 4 7

5 7 9

TA

ดงนน TA A

บทนยามท 1.20 เมทรกซเสมอนสมมาตร (Skew-Symmetric Matrix)

เมทรกซ A จะเรยกวา เมทรกซสเมอนสมมาตร ถา A เปนเมทรกซจตรสซง TA A

เชน 3 3

0 3 5

3 0 7

5 7 0

A

ได TA

3 3

0 3 5

3 0 7

5 7 0

TA

3 3

0 3 5

3 0 7

5 7 0

ดงนน TA A

24

ทฤษฎบทท 1.6 ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n จะไดวา

1. TAA เปนเมทรกซสมมาตร 2. TA A เปนเมทรกซสมมาตร 3. TA A เปนเมทรกซเสมอนสมมาตร

พสจนขอ 1. จาก T

TAA T

T TA A

TAA

จะเหนวา T

TAA TAA ดงนน TAA เปนเมทรกซสมมาตร

พสจนขอ 2. จาก T

TA A T

T TA A

TA A

จะเหนวา T

TA A TA A ดงนน TA A เปนเมทรกซสมมาตร

พสจนขอ 3. จาก T

TA A T

TTA A

TA A

TA A

จะเหนวา T

TA A TA A ดงนน TA A เปนเมทรกซเสมอนสมมาตร

ทฤษฎบทท 1.7 ถา Aและ B เปนเมทรกซสมมาตรมต n จะไดวา

1. 2A เปนเมทรกซสมมาตร 2. A B เปนเมทรกซสมมาตร ใหพสจนเปนแบบฝกหด

ตวอยางท 1.17 ก าหนดให 2 9 5

9 3 0

5 0 7

A

และ 1 1 5

1 2 3

5 3 7

B

จงแสดงวา 2A

เปนเมทรกซสมมาตร และ A B เปนเมทรกซสมมาตร

วธท า จาก 2A 2 9 5 2 9 5

9 3 0 9 3 0

5 0 7 5 0 7

110 9 45

9 90 45

45 45 74

25

จะไดวา 2T

A

110 9 45

9 90 45

45 45 74

2A

ดงนน 2A เปนเมทรกซสมมาตร

จาก A B 2 9 5 1 1 5

9 3 0 1 2 3

5 0 7 5 3 7

3 10 0

10 1 3

0 3 0

จะไดวา T

A B 3 10 0

10 1 3

0 3 0

A B

ดงนน A B เปนเมทรกซสมมาตร

ทฤษฎบทท 1.8 ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n แลว เมทรกซ A จะมเมทรกซสมมาตร Sและเมทรกซเสมอนสมมาตร K เพยงคเดยวเทานน ท A S K

พสจน ก าหนดให A เปนเมทรกซจตรสมต n โดยท 1

2

TS A A และ 1

2

TK A A

จะไดวา S K 1 1

2 2

T TA A A A

2 2 2 2

T TA A A A A

เนองจากวา TS 1

2

TTA A

TS 1

2

TTA A

1

2

TA A S

และ TK 1

2

TTA A

1

2

TTA A

1

2

TA A

1

2

tA A K

26

จะเหนไดวา S เปนเมทรกซสมมาตรและ K เปนเมทรกซเสมอนสมมาตร ก าหนดให *S เปนเมทรกซสมมาตรและ *K เปนเมทรกซเสมอนสมมาตร จะไดวา A * *S K (1)

จะเหนวา TA * *T

S K * *T T

S K * *S K (2)

ดงนน น า (1)+(2) ได TA A *2S

จะได *S 1

2

TA A

และน า(1)-(2) ได tA A *2K

จะได *K 1

2

TA A

ดงนนจะได *S S และ *K K

จะเหนไดวาเมทรกซสมมาตร S และเมทรกซเสมอนสมมาตร K เพยงคเดยวเทานนท A S K

บทนยามท 1.21 เมทรกซนจพล เมทรกซ A จะเรยกวาเมทรกซนจพล (Idempotent Matrix) กตอเมอ A เปนเมทรกซจตรส และ 2A A

เชน 3 3

2 2 4

1 3 4

1 2 3

A

จะได 2A A A

3 3 3 3

2 2 4 2 2 4

1 3 4 1 3 4

1 2 3 1 2 3

2A

3 3

2 2 4

1 3 4

1 2 3

ดงนน 2A A

27

1.4.1 สงยคของเมทรกซและเมทรกซสลบเปลยนสงยค

บทนยามท 1.22

ถา ij m nA a

แลว สงยคของ A เขยนแทนดวย ij m n

A a

เมอ ija คอสงยคของ

ija

และ ถา ij m nA a

แลว เมทรกซสลบเปลยนสงยคของ A เขยนแทนดวย * TA A

จากความรเรองจ านวนเชงซอน (Complex Number) ถา Z เปนจ านวนเชงซอนสามารถเขยนแทนดวยสญลกษณ Z x yi โดยท x เปนสวนจ านวนจรง y เปนสวนจ านวนจนตภาพ

Z จะเปนสงยคของ Z ซง Z x yi ในกรณทเปนเมทรกซจ านวนจรง (Real Matrix)

สงยคของเมทรกซนนจะไดเมทรกซเดม

ตวอยางท 1.18 ก าหนดให 2 3

1 2 2

4 7 9A

และ

2 2

4

2 3 2

i iB

i

จงหา *, ,A B A

และ *B

วธท า เนองจาก A เปนเมทรกซจ านวนจรง

A

2 3

1 2 2

4 7 9

2 3

1 2 2

4 7 9

A

จาก TA 2 3

1 2 2

4 7 9

T

3 2

1 4

2 7

2 9

*A TA

3 2

1 4

2 7

2 9

B

2 2

4

2 3 2

i i

i

2 2

4

2 3 2

i i

i

จาก TB 2 2

4

2 3 2

Ti i

i

2 2

4 2

3 2

i

i i

*B TB

2 2

4 2

3 2

i

i i

2 2

4 2

3 2

i

i i

28

สมบตของสงยคของเมทรกซ

ทฤษฎบทท 1.9 ถา A และ B เปนเมทรกซใดๆ ทมขนาดเทากน และ c เปนสเกลารใดๆจะได

1. A A

2. A B A B และ A B A B 3. cA cA เมอ c เปนสเกลารใดๆ

4. A A เมอ A เปนเมทรกซจ านวนจรง

5. *

*A A

6. * *A A

7. * * *A B A B และ

* * *A B A B

8. * *cA cA ใหพสจนเปนแบบฝกหด

บทนยามท 1.23 เมทรกซ Aจะเปนเมทรกซเฮอรมเทยน (Hermitian Matrix) ถา *A A

ตวอยางท 1.19 ก าหนดให2 2

3 3

0 21 3

, 1 43 2

2 4 6

ii

A B i ii

i

จงตรวจสอบวา

เมทรกซ ,A B เปนเมทรกซเฮอรมเทยนหรอไม วธท า *A TA

2 2

1 3

3 2

i

i

2 2

1 3

3 2

i

i

A

*B TB

3 3

0 2

1 4

2 4 6

i

i i

i

3 3

0 2

1 4

2 4 6

i

i i

i

B

ดงนน Aและ B เปนเมทรกซเฮอรมเทยน

29

ขอสงเกต

เมทรกซจะเปนเมทรกซเฮอรมเทยน เมอ

11

22

33 3 3

a

a

a

� iia

1.5 การแบงเมทรกซ การแบงเมทรกซ (Partitioned Matrix) ท าเมอเมทรกซมขนาดใหญ สามารถแบง

เมทรกซออกเปนเมทรกซยอยๆ เพอสะดวกในการพจารณาโดยการขดเสนกนแนวตงหรอเสนกนแนวนอน

เชน

3 4

1 2 3 0

1 2 1 0

2 1 1 2

A

11 12

21 22 2 2

A A

A A

11 1 2

1 2A

12 1 23 0A

21

2 2

1 2

2 1A

22

2 2

1 0

1 2A

หรอสามารถแบงไดดงน

3 4

1 2 3 0

1 2 1 0

2 1 1 2

A

11 12

21 22

31 32 3 2

A A

A A

A A

11 1 1

1A

12 1 32 3 0A

21 1 11A

22 1 3

2 1 0A

31 1 12A

32 1 3

1 1 2A

หรอสามารถแบงไดดงน

3 4

1 2 3 0

1 2 1 0

2 1 1 2

A

1

2

3 3 1

R

R

R

1 1 4

1 2 3 0R

, 2 1 41 2 1 0R

, 3 1 4

2 1 1 2R

30

หรอสามารถแบงไดดงน

3 4

1 2 3 0

1 2 1 0

2 1 1 2

A

1 2 3 4 1 4C C C C

1

3 1

1

1

2

C

, 2

3 1

2

2

1

C

, 3

3 1

3

1

1

C

, 4

3 1

0

0

2

C

เมทรกซทมเมทรกซยอยเหมอนกน สามารถบวกและลบกนได และสามารถคณดวยสเกลารไดเชนเดยวกบการคณเมทรกซดวยสเกลาร และสามารถคณเมทรกซยอยกบเมทรกซยอยไดกตอเมอเมทรกซยอยทตองคณกนตองมขนาดทสามารถคณกนได

ตวอยางท 1.20 จากเมทรกซ ,A B ทก าหนดใหจงหา ,A B A B และ 2A

3 4

2 1 3 9

6 7 1 0

2 0 9 4

A

3 4

6 9 6 8

, 1 8 0 7

4 7 0 2

B

วธท า เมอ 11 12

21 22 2 2

A AA

A A

11 12

21 22 2 2

B BB

B B

11

2 2

2 1

6 7A

12

2 2

3 9

1 0A

11

2 2

6 9

1 8B

12

2 2

6 8

0 7B

21 1 22 0A

22 1 2

9 4A

21 1 24 7B

22 1 2

0 2B

A B 11 11 12 12

21 21 22 22 2 2

A B A B

A B A B

2 2

2 1 6 9 3 9 6 8

6 7 1 8 1 0 0 7

2 0 4 7 9 4 0 2

2 2

8 8 9 17

5 1 1 7

2 7 9 2

3 4

8 8 9 17

5 1 1 7

2 7 9 2

A B 11 11 12 12

21 21 22 22 2 2

A B A B

A B A B

31

A B

2 2

2 1 6 9 3 9 6 8

6 7 1 8 1 0 0 7

2 0 4 7 9 4 0 2

2 2

4 10 3 1

7 1 1 7

6 7 9 6

3 4

4 10 3 1

7 1 1 7

6 7 9 6

2A 11 12

21 22 2 2

2 2

2 2

A A

A A

2 2

2 1 3 92 2

6 7 1 0

2 2 0 2 9 4

2 2

4 2 6 18

12 14 2 0

4 0 18 8

3 4

4 2 6 18

12 14 2 0

4 0 18 8

ตวอยางท 1.21 จากเมทรกซ Aและ B ทก าหนดใหจงหา AB

4 3

1 2 6

2 3 0

1 3 2

0 2 1

A

3 2

2 1

, 3 5

2 4

B

วธท า เมอ 11 12

21 22 2 2

A AA

A A

11

2 1

1

2A

12

2 2

2 6

3 0A

21

2 1

1

0A

22

2 2

3 2

2 1A

และ 11

21 2 1

BB

B

11 1 22 1B

21

2 2

3 5

2 4B

32

จะได AB 11 12 11

21 22 212 2 2 1

A A B

A A B

11 11 12 21

21 11 22 21 2 1

A B A B

A B A B

2 1

1 2 6 3 52 1

2 3 0 2 4

1 3 2 3 52 1

0 2 1 2 4

2 1

2 1 6 14

4 2 9 15

2 1 5 7

0 0 8 14

2 1

4 15

5 17

7 6

8 14

4 2

4 15

5 17

7 6

8 14

1.6 การด าเนนการเบองตนและเมทรกซเบองตน

การศกษาการด าเนนการเบองตนและเมทรกซเบองตนเปนประโยชนในการศกษาเรองเมทรกซผกผน ในบทท 3

บทนยามท 1.24 การกระท าบนเมทรกซเพอท าใหเมทรกซเปลยนรป หรอเปนการจดรปเมรกซเพอชวยในการค านวณ การด าเนนการเบองตนแบบแถว (หลก) ของเมทรกซ A (Elementary Row (Column) Operation on A ) มนยามดงตอไปน

แบบท 1 การสลบแถวสองแถว (หลก)ใดๆ ของเมทรกซ เชนการสลบทแถวท i และแถวท j ใชสญลกษณ i jR R ( i jC C )

แบบท 2 การคณแถว (หลก) ใดแถวหนงดวยสเกลารใดๆ ทไมใชศนย เชนการคณแถวท i ดวยสเกลาร 0c ใชสญลกษณ i iR cR ( i iC cC )

แบบท 3 การคณแถว (หลก) ใดแถวหนงดวยสเกลารใดๆ ทไมใชศนยแลวน าไปบวกกบอกแถวหนง เชนการคณแถวท i ดวยสเกลาร 0c แลวน าไปบวกกบแถวท j ใชสญลกษณ j i jR cR R ( j i jC cC C )

33

ตวอยางท 1.22 ก าหนดให 3 4

1 2 3 4

0 4 0 2

1 2 5 4

A

1. สลบแถวท 1 กบแถวท 3 ของเมทรกซ A ใชสญลกษณ 1 3R R ไดเมทรกซ

B

3 4

1 2 5 4

0 4 0 2

1 2 3 4

2. คณแถวท 2 ของเมทรกซ B ดวย 1

2 ใชสญลกษณ 2 2

1

2R R ไดเมทรกซ

C

3 4

1 2 5 4

0 2 0 1

1 2 3 4

3. คณแถวท 1 ของเมทรกซ C ดวย 3 แลวบวกเขากบแถวท 2 ของเมทรกซ C ใชสญลกษณ 2 1 23R R R ไดเมทรกซ

D

3 4

1 2 5 4

3 4 15 13

1 2 3 4

4. คณหลกท 4 ของเมทรกซ D ดวย 5 ใชสญลกษณ 4 45C C ไดเมทรกซ

E

3 4

1 2 5 20

3 4 15 65

1 2 3 20

5. คณหลกท 1 ของเมทรกซ E ดวย 3 แลวบวกเขากบหลกท 2 ของเมทรกซ E ใชสญลกษณ 2 1 23C C C ไดเมทรกซ

F

3 4

1 1 5 20

3 5 15 65

1 5 3 20

34

บทนยามท 1.25 เมทรกซ A มต m n จะสมมลแบบแถว (Row Equivalent) กบ เมทรกซ B มต m n ถาเมทรกซ B เกดจากการด าเนนการเบองตนแบบแถวของ

เมทรกซ A จ านวนครงจ ากดใชสญลกษณ ~R

A B ในท านองเดยวกน เมทรกซ A มต m n จะสมมลแบบหลก (Column Equivalent) กบเมทรกซ B มต m n ถาเมทรกซ B เกดจากการด าเนนการเบองตนแบบหลกของเมทรกซ Aจ านวนครงจ ากดใชสญลกษณ

~C

A B

บทนยามท 1.26 เมทรกซ A มต m n จะสมมล (Equivalent) กบเมทรกซ B มต m n ถาเมทรกซ B เกดจากการด าเนนการเบองตนแบบแถวหรอหลก หรอทงสองแบบบนเมทรกซ Aจ านวนครงจ ากดใชสญลกษณ ~A B

ตวอยางท 1.23 ก าหนดให

4 3

1 2 4

2 1 3

3 0 0

4 1 2

A

น าแถวท 1 บวกแถวท 3 ของ A ไดแถวท 3 ใหม

4 3

1 2 4

2 1 3

3 0 0

4 1 2

A

3 1 3

~R

R R R

4 3

1 2 4

2 1 3

4 2 4

4 1 2

B

นนคอ ~R

A B

น า -2 คณแถวท 2 แลวน าไปบวกแถวท 4 ของ B ไดแถวท 4 ใหม

4 3

1 2 4

2 1 3

4 2 4

4 1 2

B

24 2 4

~R

R R R

4 3

1 2 4

2 1 3

4 2 4

0 3 8

D

นนคอ ~R

B D

น า 1

2 คณหลกท 1 ของ D ไดหลกท 1 ใหม

4 3

1 2 4

2 1 3

4 2 4

0 3 8

D

1

1 12

~C

C C

4 3

12 4

2

1 1 3

2 2 4

0 3 8

E

นนคอ ~C

D E

35

น า แถวท 1 กบแถวท 3 ของ E สลบทกน

4 3

12 4

2

1 1 3

2 2 4

0 3 8

E

1 3

~R

R R

4 3

2 2 4

1 1 3

12 4

2

0 3 8

F

นนคอ ~R

E F

เมทรกซ F เกดจากการด าเนนการเบองตนแบบแถวหรอหลกบนเมทรกซ A เปนจ านวนครงจ ากด ใชสญลกษณ ~A F

บทนยามท 1.27 เมทรกซทเกดจากการด าเนนการเบองตนแบบแถวหรอหลกแบบใดแบบหนงบนเมทรกซเอกลกษณเพยง 1 ครง เรยกวาเมทรกซ เมทรกซเบองตน (Elementary

Matrices) มนยามดงตอไปน แบบท 1 การสลบทแถวท i และแถวท j บนเมทรกซเอกลกษณ nI ใชสญลกษณ ijE

แบบท 2 การน าสเกลารใดๆทไมใชศนย 0c คณแถวท i บนเมทรกซเอกลกษณ nI ใชสญลกษณ iE c แบบท 3 การน าสเกลารใดๆทไมใชศนย 0c คณแถวท i และบวกกบแถวท j บน เมทรกซเอกลกษณ nI ใชสญลกษณ ijE c ท านองเดยวกน ใชสญลกษณ , ,ij i ijF F c F c แทนเมทรกซเบองตนทเกดจากการด าเนนการเบองตนแบบหลกบน

เมทรกซเอกลกษณ nI แบบท 1, 2, 3 ตามล าดบ

ตวอยางท 1.24 ก าหนดให 4

4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

จงหา 24 1 13 24 1, 3 , 1 , , 3E E E F F

และ 13 1F

วธท า สลบทระหวางแถวท 2 กบแถวท 4 น า 3 ไปคณกบแถวท 1

24E

4 4

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1(3)E

4 4

3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

36

น า -1 ไปคณแถวท 1 แลวน าไปบวกกบแถวท 3 สลบทระหวางหลกท 2 กบหลกท 4

13 ( 1)E

4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 1

24F

4 4

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

น า 3 ไปคณกบหลกท 1 น า -1 ไปคณหลกท 1 แลวน าไปบวกกบหลกท 3

1(3)F

4 4

3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

13 ( 1)F

4 4

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ทฤษฎบทท 1.10 ส าหรบเมทรกซเบองตนมต m n ใดๆ 1. ij ijE F 2. ( ) ( )i iE c F c

3. ( ) ( )ij ijE c F c

พสจนขอ 1. สมมตใหเมทรกซเบองตนมต n จาก ijE เปนเมทรกซทไดจากการสลบทระหวางแถวท i กบหลกท j ของเมทรกซเอกลกษณ nI ดงนนสมาชกต าแหนง แถวท i กบหลกท i มคาเทากบ 0 และ สมาชกต าแหนงแถวท i กบหลกท j มคาเทากบ 1 และ สมาชกต าแหนงแถวท j กบหลกท j มคาเทากบ 0 และสมาชกต าแหนงแถวท j กบหลกท i มคาเทากบ 1 มคาดงแสดงดานลาง

1 0 ... ... 0

0 1 ... ... 0

: ... 1 ... 0

0 ... 0 1 0

0 0 0 ... 1

nI

� i

j

i

j

ขอ 2-3 ใหพสจนเปนแบบฝกหด

1 0 ... ... 0

0 1 ... ... 0

: ... 0 1 0

0 ... 1 ... 0

0 0 0 ... 1

ij ijE F

� i

j

i

j

37

ทฤษฎบทท 1.11 ก าหนดใหเมทรกซ Aมต m n และ B เปนเมทรกซทเกดจากการด าเนนการแบบแถวบนเมทรกซ A และก าหนดให E เปนเมทรกซเบองตนแบบแถวทไดจากการด าเนนการแบบแถว เชนเดยวกบทท าบน A บนเมทรกซเอกลกษณ mI จะไดวา B EA (ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยางท 1.25 จงแสดงวา

5 3

1 2 0

2 0 0

3 1 1

0 3 1

7 5 4

A

เมอด าเนนการแบบแถวแบบท 1

3 5R R บนเมทรกซ Aจะมคาเทากบ การน าเมทรกซเบองตน 35E ของเมทรกซ 5I คณเขาทางซายของ A

วธท า

5 3

1 2 0

2 0 0

3 1 1

0 3 1

7 5 4

A

3 5

~R

R R

5 3

1 2 0

2 0 0

7 5 4

0 3 1

3 1 1

B

และ 35E A

5 5 5 3

1 0 0 0 0 1 2 0

0 1 0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 1 3 1 1

0 0 0 1 0 0 3 1

0 0 1 0 0 7 5 4

35E A

5 3

1 2 0

2 0 0

7 5 4

0 3 1

3 1 1

B

จะไดวา 13B E A

38

ทฤษฎบทท 1.12 ก าหนดใหเมทรกซ Aมต m n และ B เปนเมทรกซทเกดจากการด าเนนการแบบหลกบนเมทรกซ A และก าหนดให F เปนเมทรกซเบองตนแบบหลกทไดจากการด าเนนการแบบหลก เชนเดยวกบทท าบน A บนเมทรกซเอกลกษณ nI จะไดวา B AF (ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยางท 1.26 จงแสดงวา 3 4

2 0 4 0

1 5 3 1

3 4 0 3

A

เมอด าเนนการแบบหลกแบบท 3

4 1 45C C C บนเมทรกซ Aจะมคาเทากบ การน าเมทรกซเบองตน 14 5F ของเมทรกซ 4I คณเขาทางขวาของ A

วธท า 3 4

2 0 4 0

1 5 3 1

3 4 0 3

A

54 1 4

~C

C C C

3 4

2 0 4 10

1 5 3 6

3 4 0 18

B

และ 14 5AF

3 4

4 4

1 0 0 52 0 4 0

0 1 0 01 5 3 1

0 0 1 03 4 0 3

0 0 0 1

3 4

2 0 4 10

1 5 3 6

3 4 0 18

B

จะไดวา 14 5B AF

ทฤษฎบทท 1.13 ก าหนดใหเมทรกซ ,A Bมต m n จะไดวา A สมมลแถว (หลก) กบ B

กตอเมอ 1 2 1 1 2 1... ...k k k kB E E E E A B AF F F F โดยท 1 2 1...k kE E E E เปนเมทรกซเบองตนแบบแถวมต m ( 1 2 1... k kF F F F เปนเมทรกซเบองตนแบบหลก มต n ) (ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

39

ตวอยางท 1.27 ก าหนดให

4 3

2 9 0

4 7 3

6 2 1

8 0 10

A

2 3

~R

R R 1

4 3

2 9 0

6 2 1

4 7 3

8 0 10

B

1

4 3

2 9 0

6 2 1

4 7 3

8 0 10

B

44 4

~R

R R 2

4 3

2 9 0

6 2 1

4 7 3

32 0 40

B

2

4 3

2 9 0

6 2 1

4 7 3

32 0 40

B

21 3 1

~R

R R R 3

4 3

10 23 6

6 2 1

4 7 3

32 0 40

B

จงหา 1 2 3, ,E E E ทท าให 3 3 2 1B E E E A

วธท า จาก 4

4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

จะได 1

4 4

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

E

ซง

4 4

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

4 3

2 9 0

4 7 3

6 2 1

8 0 10

4 3

2 9 0

6 2 1

4 7 3

8 0 10

นนคอ 1 1E A B

จะได 2

4 4

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 4

E

ซง

4 4 4 4 4 3 4 3

1 0 0 0 1 0 0 0 2 9 0 2 9 0

0 0 1 0 0 0 1 0 4 7 3 6 2 1

0 1 0 0 0 1 0 0 6 2 1 4 7 3

0 0 0 4 0 0 0 1 8 0 10 32 0 40

นนคอ 2 1 2E E A B

40

จะได 3

4 4

1 2 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 4

E

ซง

4 4 4 4 4 4 4 3 4 3

1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 9 0 10 23 6

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 7 3 6 2 1

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 6 2 1 4 7 3

0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 1 8 0 10 32 0 40

นนคอ 3 2 3 2 1 3E B E E E A B

บทนยามท 1.28 ก าหนดใหเมทรกซ Aมต m n จะเรยก A วาเปนเมทรกซขนบนได (Row

Echelon Matrix) เมอ A มคณสมบตตอไปน

1. ถาสมาชกในแถวท 2k เปนศนยทงหมดแลว สมาชกในแถวถดไป 1, 2,...,k k m

จะตองเปนศนยทงหมด

2. สมาชกตวแรกทไมใชศนยของแตละแถวตองเปน 1 เทานน

3. ถา 1 ตวแรกของแถวท i อยหลกท p และ 1 ตวแรกของแถวท j อยหลกท q โดยท i j และ p q

ตวอยางท 1.28 ก าหนดให 3 6

0 1 7 2 3 5

0 0 0 1 4 2

0 0 0 0 0 0

A

จงพจารณาเมทรกซ A วาเปน

เมทรกซขนบนไดหรอไม

วธท า 3 6

0 1 7 2 3 5

0 0 0 1 4 2

0 0 0 0 0 0

A

1. สมาชกในแถวท 3 เปนศนยทงหมด 3k

2. สมาชกตวแรกของของแถวท 1และ 2 ทไมเปนศนยทงแถว ตวแรกเปนเลข 1

3. ตวเลขหนงทอยในวงกลมคอสมาชกตวแรกในแตละแถวทไมเปนศนยทงหมด 1, 2, 2, 4i j p q โดยท i j และ p q ดงนน A เปนเมทรกซขนบนได

41

ตวอยางท 1.29 จงพจารณาเมทรกซตอไปนวาเปนเมทรกซขนบนไดหรอไม

2 2

3 3 3 4

4 5

1 0 0 0 01 2 0 0 0 1 8

1 0 0 0 0 3 1, 0 1 0 , 0 0 0 1 ,

0 1 0 0 0 0 10 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A B C D

4 4

0 1 2 3

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

E

วธท า 2 2

1 0

0 1A

เปน เนองจากมคณสมบตครบทงสามขอ

3 3

1 2 0

0 1 0

0 1 1

B

ไมเปน ขาดคณสมบตขอสาม

3 4

0 0 1 8

0 0 0 1

0 0 0 0

C

เปน เนองจากมคณสมบตครบทงสามขอ

4 5

1 0 0 0 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

D

ไมเปน เนองจากขาดคณสมบตขอสอง

4 4

0 1 2 3

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

E

ไมเปน เนองจากขาดคณสมบตขอหนง

บทนยามท 1.29 ก าหนดใหเมทรกซ Aมต m n จะเรยก A วาเปนเมทรกซลดรปขนบนได (Reduce Row Echelon Matrix) เมอมคณสมบตตอไปน

1. A เปนเมทรกซขนบนได

2. 1 ตวแรกของแตละแถวอยในหลกใด สมาชกตวอนในหลกนนตองเปน 0 ทงหมด

42

ตวอยางท 1.30 จงพจารณาเมทรกซตอไปนวาเปนเมทรกซลดรปขนบนได หรอไม

3 3 3 4

1 0 0 1 1 0 5

0 0 1 , 0 0 1 3

0 0 0 0 0 0 0

A B และ

5 4

1 0 0 8

0 1 2 3

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

C

วธท า 3 3

1 0 0

0 0 1

0 0 0

A

เปน เนองจากเปนเมทรกซขนบนได และแถวทม 1 เปนตวแรกตวอนเปนศนยทงหมด

3 4

1 1 0 5

0 0 1 3

0 0 0 0

B

เปนเนองจากมคณสมบตครบ

5 4

1 0 0 8

0 1 2 3

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

C

ไมเปนเนองจากขาดคณสมบตขอ 2 ของเมทรกซรดวเอซลอน

ตวอยางท 1.31 จงด าเนนการเบองตนแบบแถวบนเมทรกซตอไปน เพอใหเมทรกซทก าหนดใหเปนเมทรกซลดรปขนบนได

2 2

3 3 3 4

3 1 2 1 1 1 51 2

, 2 3 1 , 0 0 1 33 4

1 2 2 0 0 0 2

A B C

วธท า

2 2

1 2

3 4A

2 1 23

~R R R

2 2

1 2

0 2

2 2

1

2

~

R R

2 2

1 2

0 1

1 2 12

~R R R

2 2

1 0

0 1

43

3 3

3 1 2

2 3 1

1 2 2

B

3 1

~R R

3 3

1 2 2

2 3 1

3 1 2

2 1 2

3 1 3

2

3~

R R R

R R R

3 3

1 2 2

0 1 3

0 5 4

2 2

~R R

3 3

1 2 2

0 1 3

0 5 4

3 2 35

~R R R

3 3

1 2 2

0 1 3

0 0 11

3 3

1

11

~

R R

3 3

1 2 2

0 1 3

0 0 1

2 3 23

~R R R

3 3

1 2 2

0 1 0

0 0 1

1 3 12

~R R R

3 3

1 2 0

0 1 0

0 0 1

1 2 12

~R R R

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 4

1 1 1 5

0 0 1 3

0 0 0 2

C

3 3

1

2

~

R R

3 4

1 1 1 5

0 0 1 3

0 0 0 1

2 3 23

~R R R

3 4

1 1 1 5

0 0 1 0

0 0 0 1

1 3 15

~R R R

3 4

1 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 2 1

~R R R

3 4

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

บทสรป

เมทรกซคอการน าจ านวนมาเขยนเรยงกนใหอยในรปสเหลยมมมฉาก เปนสองมต โดยอยในรปแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และในแนวตงเรยกวาหลก (Column) และบรรจภายในเครองหมาย การด าเนนการบนเมทรกซเปนการด าเนนการภายในเมทรกซดวยการน าสเกลารมาคณกบเมทรกซ การบวกเมทรกซกบเมทรกซ และการคณเมทรกซดวยเมทรกซ เมทรกซ A สมมล กบเมทรกซ B เกดจากการด าเนนการเบองตนของเมทรกซ A

แบบท 1 แบบท 2 หรอแบบท 3 จ านวนครงจ ากด

แบบฝกหด

1. จงเขยนเมทรกซตอไปนตามเงอนไขทก าหนดให4 4ijA a

โดยท

2

2 ;

3 ;ij

j i i ja

i j i j

44

2. จงหาคาของ x , y , a และ b จากสมการตอไปน

2.1

4 3 6

5 3 4

2 3 7

9 3 5

x y

x y

a b

a b

2.2 2

2

25 66

4 27

a

ab

3. ก าหนดให2 3

1 0 4

3 2 2A

,

3 2

1 1

1 0

2 2

B

,3 3

2 3 0

4 5 0

1 1 1

C

,

2 2

4 3

1 2D

และ 3 3

1 3 2

1 0 1

1 2 0

E

ถาเปนไปไดจงค านวณหา

3.1 C E 3.2 3 2E C 3.3 อนเวอรสการบวกของ 6E 3.4 AB และ BA

3.5 1

2CB EB 3.6 ( )A BD และ AB D

3.7 C E C E และ 2 2C E

4. ก าหนดให 2 2

1 2

3 4A

2 2

0 1,

5 3B

และ

2 2

1 8

7 0C

และ X เปน

เมทรกซขนาด 2 2 จงหา เมทรกซ X จากสมการ 2 1 4

3 23 2 5

A B X A C

5. ก าหนดให 2 3

4 5 0

0 3 1A

และ

3 2

0 5

4 8

7 1

B

จงหา T

AB และ T TB A

6. ก าหนดให AB BA จงแสดงวา 2 2 22A B A AB B

7. ก าหนดให 3 3

0 0 2

2 1 3

0 1 3

A

จงหา 23Tr A

8. จงยกตวอยางเมทรกซ A ทท าให 2A A

45

9. จงตรวจสอบวาเมทรกซทก าหนดใหตอไปนเปนเมทรกซนจพล (Idempotent) หรอไม

9.1 2 2

25 20

30 24A

9.2

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

9.3 3 3

2 3 5

2 0 1

0 1 2

B

10. ก าหนดให 2 3

1 0 4

3 2 2A

,

3 2

1 1

1 0

2 2

B

, 3 3

2 3 0

4 5 0

1 1 1

C

,

2 2

4 3

1 2D

และ 3 3

1 3 2

1 0 1

1 2 0

E

ถาเปนไปไดจงค านวณหา

10.1 7

58

TT TA B B 10.2 TBB AD

10.3 2T TC C E 10.4 2 3C E 10.5 ( )T TTr DD 10.6

TTTr A B DA

11. ก าหนดให 1 4

32 7 0

4A

และ 3 4

2 5

0 0 3 2 0

1 8 4 5 6

i i i

B i

i i

จงหา *, ,A B A และ *B

12. จงยกตวอยางเมทรกซทเปนเมทรกซเฮอรมเทยน (Hermitian)

13. ก าหนดให ij m nA a

, ij m n

B b

และ k เปนสเกลารใดๆ จงพสจนวา

13.1 A A 13.2 A B A B

13.3 kA k A

14. ก าหนดให

4 4

0 1 0 1

2 3 5 0

0 1 2 4

2 1 3 2

A

และ

4 4

0 1 2 0

0 1 1 0

2 1 1 3

1 0 2 4

B

จงหา AB โดยการ

แบงเมทรกซ

46

15. จงหา AB จากโจทยตอไปน

15.1

15.2

15.3

15.4

16. ก าหนดให ij m n

A a

, ij m nB b

, ij m n

C c

และ 1 2,k k เปนสเกลารใดๆ จง พสจนวา

16.1 0 0A A A 16.2 1 2 1 2k k A k A k A

16.3 A B C AB AC 16.4 1 1

T Tk A k A

17. ก าหนดให A

3 4

1 2 5 4

3 4 15 13

1 2 3 4

จงหา 3 3

3

4R R , 1 2 15R R R

, 1 17C C และ 4 1 46C C C

18. ก าหนดให 4

4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

จงหา 13 2, 2E E และ 24 2E

3 2 1 0

0 1 3 2A

2 1 4

3 5 1

7 0 2

5 5 7

B

0 1 1 0 0

3 0 0 0 0

1 2 2 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

A

0 0 1 2 3

0 0 0 1 1

0 0 0 1 3

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

B

2 1 2 3

5 1 0 1

4 5 7 0

A

2 1 4

3 5 1

7 0 2

5 5 7

B

2 1 2 3

5 1 0 1

4 5 7 0

A

2 1 4

3 5 1

7 0 2

5 5 7

B

47

19. ก าหนดให 4

5 5

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

I

จงหา 13 2, 2F F และ 24 2F

20. จงแสดงวา

4 2

2 4

3 0

1 7

6 0

A

เมอด าเนนการแบบแถวแบบท 3 3 2 3R R R บน

เมทรกซ A จะมคาเทากบ การน าเมทรกซเบองตน 23 ( 1)E ของเมทรกซ 4I คณเขา

ทางซายของ A

21. จงแสดงวา 2 4

3 4 5 3

0 6 4 9A

เมอด าเนนการแบบหลกแบบท 1 2 4C C บน

เมทรกซ Aจะมคาเทากบ การน าเมทรกซเบองตน 24F ของเมทรกซ 4I คณเขาทางขวา

ของ A

22. ก าหนดให 3 4

1 8 0 5

6 0 1 2

2 1 4 3

A

1 3

R

R R 1B

31 2 1

R

R R R 2B จงหา 1B และ 2B

23. จากขอ 22 จงหา 1E และ 2E ทท าให 2 2 1B E E A

24. ก าหนดใหเมทรกซ Aมต m n และ B เปนเมทรกซทเกดจากการด าเนนการแบบแถว

บนเมทรกซ A และก าหนดให E เปนเมทรกซเบองตนแบบแถวทไดจากการด าเนนการ แบบแถว เชนเดยวกบทท าบน A บนเมทรกซเอกลกษณ mI จงแสดงวา B EA

25. จงพสจนวา ก าหนดใหเมทรกซ ,A Bมต m n จะไดวา A สมมลแถว (หลก) กบ B ก

ตอเมอ 1 2 1 1 2 1... ...k k k kB E E E E A B AF F F F โดยท 1 2 1...k kE E E E เปนเมทรกซ

เบองตนแบบแถวมต m ( 1 2 1... k kF F F F เปนเมทรกซเบองตนแบบหลก มต n ) 26. จงพจารณาเมทรกซตอไปนวาเปนเมทรกซขนบนได หรอไม

2 2

3 3 3 4

4 5

1 0 0 0 01 0 0 0 0 1 8

1 5 0 0 0 1 1, 0 1 0 , 0 0 0 0 ,

0 1 0 0 0 0 10 1 2 0 0 0 1

0 0 0 0 0

A B C D

48

27. จงยกตวอยางเมทรกซทเปนเมทรกซขนบนได มต 4 3 และ มต 3 5

28. จงพจารณาเมทรกซตอไปนวาเปนเมทรกซลดรปขนบนได หรอไม

3 3 3 4

5 4

1 0 0 9

1 0 0 1 0 0 6 0 1 0 5

0 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0

A B C

29. จงยกตวอยางเมทรกซทเปนเมทรกซลดรปขนบนได มต 2 3 และ มต 4 4

30. จงด าเนนการแบบแถวบนเมทรกซตอไปน เพอใหเมทรกซทก าหนดใหเปนเมทรกซลดรป

ขนบนได 2 2

3 3 3 4

0 1 2 1 1 4 93 4

, 5 3 7 , 0 0 2 66 5

1 1 8 0 0 0 6

A B C