33

บทท 2 ความนาจะเปนเบองตนและการแจกแจงความนาจะเปน

ในชวตประจ าวนเราอยกบเหตการณตาง ๆ และมค าถามอยในใจตลอดเวลา เชน พรงน ฝนจะตกหรอไม ทมฟตบอลทมใดจะไดเปนแชมปโลก ใครจะชนะการเลอกตงในสมยหนา เราอยากรวาเหตการณเหลานมโอกาสเกดไดมากนอยเพยงใด จงเกดแนวคดคนหาค าตอบของโอกาสทจะเกดเหตการณตาง ๆ ทสนใจ โดยนกคณตศาสตรและนกสถตเรยกโอกาสการเกดเหตการณหรอสภาพการณตาง ๆ วา “ความนาจะเปน (Probability)” ส าหรบการศกษาเกยวกบทฤษฏความนาจะเปนจ าเปนทจะตองมความเขาใจพนฐานเกยวกบทฤษฏทางคณตศาสตร เชน เซต เทคนคการนบและการเรยงสบเปลยน 2.1 ค าจ ากดความของความนาจะเปน

ความนาจะเปนคอตวเลขทใชวดความเปนไปไดของสงทจะเกดขน ความนาจะเปนมคาระหวาง ศนย กบ หนง โดยรวมคาศนยกบหนงดวย (0 ความนาจะเปน 1) คาตวเลขของความนาจะเปน อาจอยในรปของเศษสวนหรอทศนยม หากความนาจะเปนมคาเทากบหนงหมายถงสงนนจะตองเกดขนอยางแนนอน หากความนาจะเปนมคาเทากบศนยแสดงวาสงนนจะไมเกดขนเลย

2.2 การทดลองและปรภมตวอยาง

การทดลอง (Experiments) เปนกระบวนการทกอก าเนดผลลพธของสงทสนใจศกษา แตละครงของการทดลองจะเกดผลลพธไดเพยงผลลพธเดยวเทานนจากผลลพธทงหมดของการทดลอง

ปรภมตวอยาง (Sample Space) คอ เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดของการทดลอง ใชสญลกษณ S แทนปรภมตวอยาง ตวอยางเชน

34

การทดลอง ผลลพธการทดลอง ปรภมตวอยาง (S) โยนเหรยญ หว, กอย {หว, กอย} ทอดลกเตา ขนหนา 1, 2, 3, 4, 5, 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ตรวจสอบชนสวนสนคา ชนสวนด, ชนสวนเสย {ด, เสย} เสนอขายสนคา ลกคาซอ, ลกคาไมซอ {ซอ, ไมซอ} เกมสฟตบอล ชนะ, เสมอ, แพ {ชนะ, เสมอ, แพ} การโยนเหรยญ 1 เหรยญ ผลลพธทงหมดทเปนไปได คอการเกดหวและการเกดกอย

ดงนน ปรภมตวอยาง S = {หว, กอย} การทอดลกเตา 1 ลก เมอสนใจศกษาแตมทปรากฏของลกเตา ผลลพธทงหมดทเปนไป

ไดส าหรบแตมทปรากฏของลกเตา คอ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดงนน ปรภมตวอยาง S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถาสนใจศกษาเฉพาะแตมคหรอแตมคของลกเตา ดงนนปรภมตวอยาง S = {ค, ค} 2.3 เหตการณ

เหตการณ (Event) คอ เซตยอยของปรภมตวอยางของสงทศกษา เชน การโยนเหรยญ 1 เหรยญ ถาสนใจเหตการณการเกดหว สมมตเปนเหตการณ A

A = {หว} โดยมปรภมตวอยาง S = {หว, กอย} A เปนเซตยอยของปรภมตวอยาง

การทอดลกเตา 1 ลก ถาสนใจเหตการณขนแตมสองของลกเตา สมมตเปนเหตการณ B

B = {2} โดยมปรภมตวอยาง S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B เปนเซตยอยของปรภมตวอยาง

2.3.1 เหตการณไมเกดรวม (Mutually Exclusive Events) เหตการณ A และเหตการณ B เปนเหตการณไมเกดรวม เมอเหตการณทงสองไม

มอนเตอรเซกชนระหวางกน นนคอ A B = 0 เขยนดวยแผนภาพเวนน ไดดงน

35

การโยนเหรยญ 1 เหรยญ เหตการณเกดห วและเหตการณเกดกอยนบวาเปน

เหตการณไมเกดรวม เนองจากเหตการณทงสองไมสามารถเกดขนไดพรอมกน การทอดลกเตา 1 ลก แตละครงจะมเหตการณเพยงเหตการณเดยวเทานนท

สามารถเกดขนได คอลกเตาจะขนแตม 1, 2, 3 , 4, 5 หรอ 6 ดงนนเหตการณการขนแตมของลกเตาเปนเหตการณไมเกดรวม

2.3.2 เหตการณอสระ (Independent Events)

เหตการณ A และ เหตการณ B เปนเหตการณอสระตอกนเมอ การเกดของเหตการณหนงไมมผลตอการเกดของอกเหตการณหนง เชน การทอดลกเตา 2 ลก เหตการณการเกดแตมของลกเตาลกทหนงไมมผลตอการเกดแตมของลกเตาลกทสอง

2.4 สจพจนของความนาจะเปน

1) ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ มคาระหวาง 0 กบ 1

0 P(A) 1 2) ความนาจะเปนของปรภมตวอยางมคาเทากบ 1

P(S) = 1 3) ถาเหตการณ A และเหตการณ B เปนเหตการณไมเกดรวม

P(A B) = P(A) + P(B)

2.5 ทฤษฎของความนาจะเปน

1) P( ) = 0 ทฤษฎนหมายถงความนาจะเปนของเหตการณทเปนไปไมไดมคาเทากบศนย

2) A1, A2, A3……. เปนเหตการณไมเกดรวมตามล าดบ จะได P(A1 A2 A3 ……….) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ………

3) กฎสวนเตมเตม (Laws of Complement) P(A) + P(Ac) = 1 4) กฎการบวก (Addition Law)

A B

36

กรณทวไป P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) กรณเหตการณไมเกดรวม P(A B) = P(A) + P(B)

ตวอยางท 1 จากขอมลวจยประชากรในประเทศไทยพบวาประชากรมกลมเลอดดงน กลมเอ 41% กลมบ 9% กลมเอบ 4% กลมโอ 46%

มชายคนหนงประสบอบตเหตเขามาในโรงพยาบาล อยากทราบวามความนาจะเปนเทาไรทชายคนนนจะมเลอดกลมเอ หรอ บ หรอ เอบ

ให P(A1) เปนความนาจะเปนทจะพบเลอดกลมเอ = 0.41 P(A2) เปนความนาจะเปนทจะพบเลอดกลมบ = 0.09 P(A3) เปนความนาจะเปนทจะพบเลอดกลมเอบ = 0.04

บคคลจะมเลอดกลมใดไดเพยงกลมเดยวเทานน ดงนนเหตการณการมกลมเลอดแตละกลมเปนเหตการณไมเกดรวม จะได P(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 0.41 + 0.09 + 0.04 = 0.54 ความนาจะเปนทชายคนนนจะมเลอดกลมเอ หรอบ หรอเอบ เทากบ 0.54 ตวอยางท 2 ผจดการฝายขายของโรงแรมแหงหนงคาดคะเนวา เดอนหนาจะมหองพกวาง 15 % ถา A คอเหตการณทหองพกวาง ดงนน Ac คอเหตการณทหองพกไมวาง จากกฎสวนเตมเตมจะไดวา

P(A) + P(Ac) = 1 P(Ac) = 1 - P(A)

= 1 - 0.15 = 0.85

ความนาจะเปนทหองพกจะไมวางในเดอนหนาเทากบ 0.85 ตวอยางท 3 หลกสตรการอบรมพนฐานทางคณตศาสตรใหกบนสตระดบปรญญาตรจ านวน 200 คน จดใหมการสอบวดผลหลงการอบรม โดยทกคนจะตองท าขอสอบ 2 สวน สวนท 1 เปนขอสอบเกยวกบทฤษฎและพนฐานทางคณตศาสตร สวนท 2 เปนขอสอบประยกตทาง

37

คณตศาสตร ปรากฏวามนสตสอบผานสวนท 1 จ านวน 160 คน สอบผานสวนท 2 จ านวน 140 คน และผ ทสอบผานทงสองสวนมจ านวน 124 คน เกณฑก าหนดการสอบผานหลกสตรการอบรมคอ ผ ทสอบผานอยางนอย 1 สวน จงหาความนาจะเปนทจะมผสอบผานหลกสตรการอบรมครงน สมมต A คอ เหตการณการสอบผานสวนท 1 B คอ เหตการณการสอบผานสวนท 2

P(A) = 200160

= 0.80

P(B) = 200140

= 0.70

P(AB) = 200124

= 0.62

จากกฎการบวก (Addition Law) P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

= 0.80 + 0.70 - 0.62 = 0.88

ดงนนความนาจะเปนทจะมผสอบผานหลกสตรการอบรมครงนเทากบ 0.88

2.6 ความนาจะเปนแบบมเงอนไข

ในหลายสถานการณการหาคาความนาจะเปนของเหตการณใดๆ กตามเมอทราบวาอกเหตการณทเกยวของกนไดเกดขนเปนสงส าคญทไมควรมองขาม สมมตความนาจะเปนของการเกดเหตการณ A เทากบ P(A) ถาเหตการณ B เปนเหตการณทสมพนธกบเหตการณ A และเรามขอสนเทศใหมของการเกดเหตการณ B ซงสามารถน ามาเปนประโยชนในการปรบปรงความนาจะเปนของการเกดเหตการณ A ความนาจะเปนซงปรบปรงใหมของเหตการณ A เขยนแทนดวย P(A|B) เครองหมาย “ | ” ใชเพอแสดงวาพจารณาหาคาความนาจะเปนของเหตการณ A โดยมเงอนไขวาเหตการณ B เกดขนแลว จงเรยก P(A|B) วาความนาจะเปนแบบมเงอนไข

ความนาจะเปนทส าคญและสมพนธกบความนาจะเปนแบบมเงอนไข ไดแก - ความนาจะเปนรวม (Joint Probability)

38

- ความนาจะเปนขอบ (Marginal Probability)

ความนาจะเปนรวม (Joint Probability) คอความนาจะเปนทจะเกด 2 เหตการณหรอมากกวาพรอมกน ความนาจะเปนรวมของเหตการณ A และเหตการณ B เขยนแทนดวย P(A and B), P(AB), หรอ P(AB)

ความนาจะเปนตามขอบ (Marginal Probability) คอความนาจะเปนของเหตการณใดเหตการณหนงซงเปนอสระจากการเกดเหตการณอน ความนาจะเปนตามขอบของเหตการณ A เขยนแทนดวย P(A) ความนาจะเปนตามขอบของเหตการณ B เขยนแทนดวย P(B)

ถา A และ B เปนสองเหตการณขนตอกนหรอไมเปนอสระตอกน ความนาจะเปนแบบมเงอนไขของเหตการณ A เมอเกดเหตการณ B แลว หาไดจาก

P(A|B) = )B(P

)BA(P

ความนาจะเปนแบบมเงอนไข P(A|B) สามารถอธบายดวยแผนภาพเวนน ดงน

เมอเหตการณ B เกดขนแลว

จะได P(A|B) = )B(P

)BA(P

เหตการณ Bเหตการณ A

เหตการณ BA

เหตการณ BA

ดวยความนาจะเปน )BA(P

เหตการณ Bดวยความนาจะเปน

P(B)

39

ตวอยางท 4 ขอมลผ เขาชมสนคาจ านวน 200 คน ในรานจ าหนายเครองเสยงแหงหนง จ าแนกตามอายและเพศ ดงน

เพศ อาย ชาย หญง รวม

< 30 ป 60 50 110 30 ป 80 10 90 รวม 140 60 200

ถาสมผ เขาชมสนคา คนใดคนหนงทเปน เพศชาย จงหาความนาจะเปนท เขาจะมอายต ากวา 30 ป ให M แทนเพศชาย F แทนเพศหญง A แทนอาย < 30 ป B แทนอาย 30 ป แปลงตารางขอมลทก าหนดใหเปนตารางคาความนาจะเปน

เพศ อาย ชาย (M) หญง (F) รวม

< 30 ป (A) P(AM) 60/200 = 0.3 P(A F) 50/200 = 0.25 P(A) 110/200 = 0.55 30 ป (B) P(BM) 80/200 = 0.4 P(B F) 10/200 = 0.05 P(B) 90/200 = 0.45

รวม P(M) 140/200 = 0.7 P(F) 60/200 = 0.3 P(S) 200/200 = 1

P(A|M) คอ ความนาจะเปนทผ เขาชมจะมอายต ากวา 30 ป เมอทราบแลววาเปนเพศชาย

P(A|M) = )M(P

)MA(P =

7.03.0 = 0.43

40

ตวอยางท 5 ขอมลเจาหนาทต ารวจของรฐหนงในสหรฐอเมรกา จ าแนกตามเพศและการไดรบเลอนขนปทผานมา มดงน

การเลอนขน เพศ ได ไมได รวม ชาย 288 672 960 หญง 36 204 240 รวม 324 876 1,200

ฝายเจาหนาทต ารวจหญง เชอวา การเลอนขนซงเปนการสงเสรมใหมความกาวหนาในหนาทการงานมความไมเปนธรรมเกดขน และสงสยวาการทจะไดรบการเลอนขนหรอไมนน ขนอยกบการเปนเพศหญงหรอเพศชาย เพอหาวธการสนบสนนความเชอดงกลาวเจาหนาทต ารวจหญงจงด าเนนการดงน

ให M แทน เหตการณทเปนเพศชาย F แทน เหตการณทเปนเพศหญง A แทน เหตการณไดรบการเลอนขน A’ แทนเหตการณไมไดรบการเลอนขน ตารางคาความนาจะเปนรวม และความนาจะเปนตามขอบ คอ

การเลอนขน เพศ A A’ รวม M 0.24 0.56 0.80 F 0.03 0.17 0.20 รวม 0.27 0.73 1.00

ความนาจะเปนแบบมเงอนไขส าหรบการไดรบการเลอนขนเมอเปนเพศชาย P(A|M) และความนาจะเปนมเงอนไขส าหรบการไดรบการเลอนขนเมอเปนเพศหญง P(A|F) ค านวณไดดงน

P(A|M) = )M(P

)MA(P =

80.024.0

= 0.30

41

P(A|F) = )F(P

)FA(P =

20.003.0

= 0.15

เจาหนาทต ารวจหญงคดวาผลลพธทไดสนบสนนความเชอของพวกเขาวา การเลอนขน

ขนอยกบการเปนเพศหญงหรอเพศชาย 2.7 ความเปนอสระ เหตการณ A และ เหตการณ B มความเปนอสระกนเชงสถต เมอ

P(AB) = P(A) x P(B) เมอเหตการณ A และ B เปนอสระกน จะได

P(A|B) = )B(P

)BA(P = )B(P

)B(Px)A(P = P(A)

P(B|A) = )A(P)BA(P =

)A(P

)B(Px)A(P = P(B)

ตวอยางท 6 พจารณาไพ 1 ส ารบ ถา A คอเหตการณไดไพแหมม B คอเหตการณไดไพโพด า จงแสดงใหเหนวาเหตการณ A และ B เปนอสระกนเชงสถตหรอไม

ความนาจะเปนทจะไดไพแหมมโพด า P(AB) = 521

ความนาจะเปนทจะไดไพแหมม P(A) = 524

ความนาจะเปนทจะไดไพโพด า P(B) = 5213

P(A) x P(B) = 524 x

5213 =

521

สรปวา P(AB) = P(A) x P(B) แสดงวาเหตการณ A (ไดไพแหมม) กบเหตการณ B (ไดไพโพด า) เปนอสระกน

42

ตวอยางท 7 ขอมลการวจยเกยวกบการตดสรา และเมาแลวขบ ของคนในเมองหนงมดงน 5% เมาแลวขบ 12% เปนผ ทตดสรา 40% ของผ ทเมาแลวขบทงหมดเปนผ ทตดสรา จงแสดงวาการตดสรา กบการเมาแลวขบ เปนอสระหรอไม สมมต A คอ เหตการณเมาแลวขบ B คอ เหตการณเปนผตดสรา P(A) = 0.05

P(B) = 0.12 จะได P(A) x P(B) = 0.05 x 0.12 = 0.006

40% ของผ ทเมาแลวขบทงหมดเปนผ ทตดสรา หมายความวา 40% ของ 5% เปนผ ทเมาแลวขบและเปนผตดสรา นนคอ P(AB) = 0.4 x 0.05 = 0.02

ดงนน P(AB) P(A) x P(B) แสดงวาการตดสรากบการเมาแลวขบไมเปนอสระ

2.8 แผนภาพตนไมความนาจะเปน ความนาจะเปนนอกจากจะแสดงดวยตารางแลว สามารถแสดงไดดวยแผนภาพตนไมความนาจะเปน ซงเปนประโยชนอยางมากตอการวเคราะหการตดสนใจ โดยเหตการณในแตละขนตอน หรอเหตการณในชวงเวลาตางกนจะเขยนแทนดวยกง ( Branch) กงของเหตการณตางๆ จะเรมจากทางซายและเคลอนไปทางขวา เสนทางจากจดเรมตนไปจนสดปลายกงแตละกงคอผลลพธของเหตการณทเปนไปได ตวอยางเชน กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 3 ลก สเขยว 2 ลก หยบลกบอลครงละ 1 ลก จากกลอง 2 ครงโดยไมคนลกบอลกลบกลองเมอหยบลกบอลครงแรกแลว กระบวนการในการหยบลกบอลม 2 ขนตอน คอ ขนตอนหยบลกบอลครงทหนง และขนตอนการหยบลกบอลครงทสอง

43

ขนตอนทหนง : หยบลกบอลครงท 1 ลกบอลในกลองมทงหมด 5 ลก เปนสแดง 3 ลก และสเขยว 2 ลก

ความนาจะเปนหยบไดบอลสแดง P(ด1) = 53 = 0.6

ความนาจะเปนหยบไดบอลสเขยว P(ข1) = 52 = 0.4

หยบลกบอลครงท 1

ขนตอนทสอง : หยบลกบอลครงท 2 ลกบอลในกลองขณะนเหลอเพยง 4 ลก ถาขนตอนทหนงหยบไดลกบอลสแดงไปแลวในกลองจะเหลอลกบอลสแดง 2 ลก และสเขยว 2

ลก ความนาจะเปนหยบไดลกบอลสแดงในครงทสองเมอครงแรกหยบไดลกบอลสแดงไปแลว

P(ด2|ด1) = 42 = 0.5

ความนาจะเปนหยบไดลกบอลสเขยวเมอครงแรกหยบไดลกบอลสแดงไปแลว

P(ข2|ด1) = 42 = 0.5

หยบลกบอลครงท 1 หยบลกบอลครงท 2

ด1

ข1

P(ข1 ) = 0.4

P(ด 1) = 0.6

ด1

ข1P(ข1 ) = 0.4

P(ด 1) = 0.6

ด2

ข2P(ข2 |ด1) = 0.5

P(ด 2|ด 1) = 0.5 P(ด1ด2) = 0.6 x 0.5 = 0.3

P(ด1ข2) = 0.6 x 0.5 = 0.3

44

ถาขนตอนทหนงหยบไดลกบอลสเขยวไปแลวในกลองจะเหลอลกบอลสแดง 3 ลก และสเขยว 1 ลก

ความนาจะเปนหยบไดลกบอลสแดงในครงทสองเมอครงแรกหยบไดลกบอลสเขยวไปแลว

P(ด2|ข1) = 43 = 0.75

ความนาจะเปนหยบไดลกบอลสเขยวในครงทสองเมอครงแรกหยบไดลกบอลสเขยวไปแลว

P(ข2|ข1) = 41 = 0.25

หยบลกบอลครงท หยบลกบอลครงท 2

ความนาจะเปนตามขอบ ความนาจะเปนแบบมเงอนไข ความนาจะเปนรวม จะได

P(ด2) = (1) + (3) = 0.3 + 0.3 = 0.6 P(ข2) = (2) + (4)) = 0.3 + 0.1 = 0.4

ตวอยางท 8 โรงงานผลตอปกรณไฟฟาแหงหนง สงชนสวนจาก 3 บรษท คอบรษท A, B และ C เปนจ านวน 60%, 30% และ 10% ของชนสวนทงหมดตามล าดบ ชนสวนทแตละบรษทสงมาใหมชนสวนเสยปนมาดวย โดยบรษท A, B และ C มชนสวนเสยปนมา 0.25%, 1% และ 2% ตามล าดบ

ด1

ข1P(ข1 ) = 0.4

P(ด 1) = 0.6

ด2

ข2P(ข2 |ด1) = 0.5

P(ด 2|ด 1) = 0.5 P(ด1ด2) = 0.6 x 0.5 = 0.3 .....(1)

P(ด1ข2) = 0.6 x 0.5 = 0.3 .....(2)

ด2

ข2

P(ด2| ข1) = 0.75

P(ข2 | ข1 ) = 0.25

P(ข1ด2) = 0.4 x 0.75 = 0.3 .....(3)

P(ข1ข2) = 0.4 x 0.25 = 0.1 .....(4)

45

ก) จงหาความนาจะเปนทโรงงานจะใชชนสวนเสยประกอบอปกรณไฟฟา ข) เมอพบชนสวนทเสยแลว จงหาความนาจะเปนทชนสวนนนมาจากบรษท A, B, C เขยนแผนภาพตนไม โดยมสองขนตอน

ขนตอนทหนงแทนการสงชนสวนจากบรษท A, B และ C ขนตอนทสองแทนชนสวนเสยทมาจากแตละบรษท โดย G แทนชนสวนด D แทนชนสวนเสย ขนตอนท 1 ขนตอนท 2

ก) ความนาจะเปนทโรงงานจะใชชนสวนเสยประกอบอปกรณไฟฟา P(D) = (2) + (4) + (6) = (0.6 x 0.0025) + (0.3 x 0.01) + (0.1 x 0.02) = 0.0015 + 0.003 + 0.002 = 0.0065 ข) ความนาจะเปนทชนสวนนนมาจากบรษท A เมอพบชนสวนทเสยแลว

P(A|D) = )D(P)AD(P =

0065.00025.0x6.0 =

0065.00015.0 = 0.2308

A

B

C

G

D

G

D

G

D

P(A) 0.6

P(B) 0.3

P(C) 0.1

P(G|A) 0.9975

P(D|A) 0.0025

P(G|B) 0.99

P(D|B) 0.01

P(G|C) 0.98

P(D|C) 0.02

P(AG) = 0.6 x 0.9975

P(AD) = 0.6 x 0.0025

P(BG) = 0.3 x 0.99

P(BD) = 0.3 x 0.01

P(CG) = 0.1 x 0.98

P(CD) = 0.1 x 0.02

….(1)

….(2)

….(3)

….(4)

….(5)

….(6)

46

ความนาจะเปนทชนสวนนนมาจากบรษท B เมอพบชนสวนทเสยแลว

P(B|D) = )D(P)BD(P =

0065.001.0x3.0 =

0065.0003.0 = 0.4615

ความนาจะเปนทชนสวนนนมาจากบรษท C เมอพบชนสวนทเสยแลว

P(C|D) = )D(P)CD(P =

0065.002.0x1.0 =

0065.0002.0 = 0.3077

ตวอยางท 9 บรษทปโตรเลยม ABC ไดสมปทานการขดเจาะน ามนในทดนแหงหนง ผบรหารคาดวาจากลกษณะทางธรณวทยาของทดนแหงนน โอกาสทจะมน ามนใตดนเทากบ 20% ฝายวจยเสนอวาบรษทควรจางผ เชยวชาญใหท าการส ารวจดวยเครองวดการไหวของชนดน การส ารวจจะเปนการคาดคะเนวาเปนผลดหรอผลเสย โดยผลการคาดคะเนวาเปนผลดเมอแทจรงแลวทดนนนมน ามน มความนาเชอถอได 90% แตผลการคาดคะเนวาเปนผลเสยเมอแทจรงแลวทดนนนไมมน ามน มความนาเชอได เพยง 70% จงเขยนแผนภาพความนาจะเปนของปญหาน สมมต O คอ เหตการณทมน ามนใตดนในทดน O’ คอ เหตการณทไมมน ามนใตดนในทดน G คอ เหตการณทผลส ารวจเปนผลด B คอ เหตการณทผลส ารวจเปนผลเสย ผบรหารคาดตาม ผลคาดคะเน ลกษณะธรณวทยา จากการส ารวจ

O

O’P(O’) = 0.8

P(O) = 02BP(B|O) = 0.1

P(G|O) = 0.9 P(OG) = 0.2 x 0.9 = 0.18 .....(1)

P(OB) = 0.2 x 0.1 = 0.02 .....(2)

G

B

P(G|O’) = 0.3

P(B|O’) = 0.7

P(O’G) = 0.8 x 0.3 = 0.24 .....(3)

P(O’B) = 0.8 x 0.7 = 0.56 .....(4)

G

47

2.9 ทฤษฎบทของเบส

ในชวงฤดฝนเรามกใหความสนใจกบการคาดการณวาพรงนฝนจะตกหรอไม เชน วนนเราคาดการณวามโอกาส 50% ทวนพรงนฝนจะตก นนคอเราระบความนาจะเปนทพรงนฝนจะตกเทากบ 0.5 จดเปนความนาจะเปนเชงจตวสย ความนาจะเปนดงกลาวทเราไดคาดคะเนไวเรยกวา ความนาจะเปนกอน (Prior Probability) ซงเปนความนาจะเปนชวคราวทอาจมการเปลยนแปลงไดถามขอมลใหมเพมขน อยางเชน เชาวนตอมาเหนอากาศครมฟาครมฝน เมฆด าหนา เราอาจปรบเปลยนความนาจะเปนทฝนจะตกจาก 0.5 เปน 0.9 และจะพกรมตดตวไปดวย หรอในทางกลบกนตอนเชาเหนทองฟาใสกระจาง แดดจด เราอาจปรบเปลยนความนาจะเปนทฝนจะตกจาก 0.5 เปน 0.2 และไมพกรมตดตวไป คาความนาจะเปนทปรบเปลยนใหมเนองจากไดรบขอมลใหมเพมเตมเขามา เรยกวา ความนาจะเปนภายหลง (Posterior Probability)

ความนาจะเปนกอน : P(ฝนตก) = 0.50 ความนาจะเปนภายหลง : P(ฝนตก | ตอนเชาอากาศครมเมฆด าหนา) = 0.90

P(ฝนตก | ตอนเชาทองฟาใสกระจางแดดจด) = 0.20 โดยทวไปกระบวนการวเคราะหในเบองตนจะใชคาความนาจะเปนของเหตการณท

สนใจซงเรยกวา ความนาจะเปนกอน (Prior Probability) ตอมาเมอมสารสนเทศของเหตการณทสนใจดงกลาวเขามาใหม ซงอาจจะเปนขอมลทไดจาก การสมตวอยาง การศกษาหรอรายงานเฉพาะ การทดสอบผลตภณฑ เปนตน เปนเหตใหตองท าการปรบปรงแกไขคาความนาจะเปนกอนเพอใหไดคาความนาจะเปนของเหตการณทตองการศกษานนใกลเคยงความจรงมากทสด ทฤษฎบทของเบสจงเปนเครองมอใชส าหรบการค านวณปรบปรงคาความนาจะเปนกอนใหไดคาความนาจะเปนใหมซงเรยกวา ความนาจะเปนภายหลง (Posterior Probability)

ความนาจะเปนแบบมเงอนไขสามารถหาไดเมอทราบคา ความนาจะเปนรวม และ

ความนาจะเปนตามขอบ ดงสตร

P(A|B) = )B(P)BA(P

ความนาจะเปน กอน

สารสนเทศ ใหม

ประยกตใช ทฤษฎบทของเบส

ความนาจะเปน ภายหลง

48

ส าหรบปญหาทไมทราบคาความนาจะเปนรวม ทฤษฎบทของเบสจะเปนประโยชนใชส าหรบหาความนาจะเปนแบบมเงอนไขตามทตองการไดสะดวกและรวดเรว ดงสตร

P(A|B) = )'A|B(P)'A(P)A|B(P)A(P

)A|B(P)A(P

ตวอยางท 10 โรงงานผลตอปกรณไฟฟาแหงหนง สงชนสวนจาก 3 บรษท คอบรษท A, B และ C เปนจ านวน 60%, 30% และ 10% ของชนสวนทงหมดตามล าดบ ชนสวนทแตละบรษทสงมาใหมชนสวนเสยปนมาดวย โดยบรษท A, B และ C มชนสวนเสยปนมา 0.25%, 1% และ 2% ตามล าดบ จงหาความนาจะเปนทชนสวนนนมาจากบรษท A, B, C เมอพบชนสวนทเสยแลว

สมมตให G แทนชนสวนด D แทนชนสวนเสย ตองการหาความนาจะเปนทชนสวนนนมาจากบรษท A, B, C เมอพบชนสวนทเสยแลว

นนคอ เมอไดขอมลใหมเพมเตมคอพบชนสวนเสย (D) ตองการหา P(A|D), P(B|D), P(C|D)

จากโจทยจะได P(A) = 0.6 P(B) = 0.3 P(C) = 0.1 P(D|A) = 0.0025 P(D|B) = 0.01 P(D|C) = 0.02 จากทฤษฎบทของเบส จะได

P(A|D) = )C|D(P)C(P)B|D(P)B(P)A|D(P)A(P

)A|D(P)A(P

= )02.0)(1.0()01.0)(3.0()0025.0)(6.0()0025.0)(6.0(

= 002.0003.00015.0

0015.0

= 0065.00015.0 = 0.2308

49

P(B|D) = )C|D(P)C(P)B|D(P)B(P)A|D(P)A(P

)B|D(P)B(P

= )02.0)(1.0()01.0)(3.0()0025.0)(6.0(

)01.0)(3.0(

= 002.0003.00015.0

003.0

= 0065.0003.0 = 0.4615

P(C|D) = )C|D(P)C(P)B|D(P)B(P)A|D(P)A(P

)C|D(P)C(P

= )02.0)(1.0()01.0)(3.0()0025.0)(6.0()02.0)(1.0(

= 002.0003.00015.0

002.0

= 0065.0002.0 = 0.3077

2.10 ตวแปรสม คาคาดหวง คาความแปรปรวน

ตวแปรสม หมายถงตวเลขทใชแทนเหตการณตางๆ ทอาจเกดขนจากการทดลองหรอการสงเกต โดยจะใชภาษาองกฤษตวใหญแทนสญลกษณของตวแปรสม และใชภาษาองกฤษตวเลกแทนคาทเปนไปไดของตวแปรสม

ตวอยางท ให X เปนตวแปรสม แทนเหตการณทราน DT Shop จะเปดขายโทรศพทมอถอ ไมเปดท าการเลย x = 0 เปดท าการ 1 วน x = 1 เปดท าการ 2 วน x = 2

50

เปดท าการ 31 วน x = 31

ประเภทของตวแปรสม 1. ตวแปรสมแบบไมตอเนอง หมายถง ตวแปรสมท มคาเปนจ านวนเตมแบบนบได หรอ

จ านวนเตมแบบอนนตแตนบได เชน X แทนจ านวนจ านวนครงของการเกดหวจากการโยนเหรยญ 1 อน 3 ครง

Y แทนจ านวนหลอดไฟทมต าหนทผลตไดในลอตหนง Z แทนจ านวนเพลยกระโดดสน าตาลในนาขาว

2. ตวแปรสมแบบตอเนอง หมายถงตวแปรสมท มคาหลายคานบไมถวน หรอมคาอยในชวงทตอเนอง

เชน A แทนน าหนกบรรจของล าไยกระปอง B แทนความยาวของปลานลทจบไดในสระแหงหนง

คาคาดหวงของตวแปรสม (Expected Value) คอคาเฉลยของตวแปรสมทเราสนใจศกษา 1) คาคาดหวงของตวแปรสมแบบไมตอเนอง

n

1i)iP(XiXE(X)

เมอ E(X) คอ คาคาดหวงของตวแปรสม X iX คอ ตวแปรสมล าดบท i เมอ i=1,2,3,…,n )iP(X คอ ความนาจะเปนของตวแปรสม ix

2) คาคาดหวงของตวแปรสมแบบตอเนอง

)dxif(XiXE(X)

เมอ E(X) คอ คาคาดหวงของตวแปรสม X iX คอ ตวแปรสมล าดบท i เมอ i=1,2,3,…,n )if(X คอ ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม iX

51

ตวอยางท11 โยนลกเตาเทยงตรง 1 ลก โดยตกลงกนวา ถาลกเตาขนหนาค ผ เลนตองจายเงนใหเจามอเปน 2 เทาของหนาทขน แตถาลกเตาขนหนา 2 หรอ 4 เจามอตองจายใหผ เลนเทากบหนาทขน และหากลกเตาขนหนา 6 เจามอจะจายเงนใหผ เลน 1.5 เทาของหนาทขน อยากทราบวาโดยเฉลยแลวผ เลนจะไดหรอเสยเปนจ านวนเงนเทาใด วธท า ให x เปนจ านวนเงนทไดรบจากเจามอ และไดวา

หนาของลกเตา 1 2 3 4 5 6 x -2 2 -6 4 -10 9

P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

จาก E(x) = P(x)x = (-2)6

1 + (2)6

1 + (-6)6

1 + (4)6

1 + (-10)6

1 + (9)6

1

= -0.5 นนคอ โดยเฉลยแลวผ เลนตองจายเงนใหเจามอ 0.5 บาท

ความแปรปรวนของตวแปรสม แทนดวย V(X)

2)XE(XV(X) หรอ 22 [E(X)]E(X)V(X)

2.12 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

2.12.1 การแจกแจงแบบทวนาม (Binomial Distribution) คณสมบตของการทดลองแบบทวนาม

1) เปนการทดลองทเกดจากการกระท าซ า ๆ กน n ครง 2) ผลลพธในแตละครง คอ ส าเรจ (S:Success) และ ไมส าเรจ (F:Failure) 3) ความนาจะเปนของความส าเรจ = p ความนาจะเปนของความไมส าเรจ = q

4 ) การกระท าแตละครงเปนอสระกน

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม x เรยกเปน การแจกแจงทวนาม ความนาจะเปนของการแจกแจงทวนามหาไดจาก P(x) = x-nqxp xCn ส าหรบ x = 1, 2, ….., n โดย

52

P(x) คอ ความนาจะเปนของผลความส าเรจ x ครง จากการ ทดลอง n ครง x คอ จ านวนผลส าเรจ n คอ จ านวนการทดลอง (Trial) p คอ ความนาจะเปนของผลส าเรจแตละครงของการทดลอง q คอ ความนาจะเปนของผลไมส าเรจแตละครงของการลอง

ตวอยางท12 จงหาความนาจะเปนททอดลกเตา ลกหนง 5 ครง แลวขนหนา 2 เพยง 3 ครง ให x แทนจ านวนครงทขนหนา 2 x = 0,1,2,3,4,5

p = ความนาจะเปนทจะขนหนา 2 = 6

1

q = ความนาจะเปนทจะไมขนหนา 2 = 1-6

1 =6

5

จาก P(x) = x-nqxp xCn P(2) = 2)

6

5(3)

6

1(

3C5 = ……………………………….

ตวอยางท13 ความนาจะเปนทคนปวยจะหายจากโรคโลหตจางเปน 0.4 ถามคนปวย 8 คน ทเปนโรค อยากทราบวาความนาจะเปนท

ก. อยางนอย 6 คน จะหายปวย ข. ม 2 คน ทหายปวย

วธท า ให x แทนจ านวนผ เปนโรคโลหตจางจะหายปวย ; x = 0,1,…,8 p = 0.4 q =0.6

ก. P(x 6) = P(x = 6) + P(x = 7) + P(x = 8) = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. กรณหาคาจากตารางความนาจะเปนทวนาม P(x = 6) เปดตารางโดยอางอง n = 8, p = 0.4, x = 6 จะไดคา P(x = 6) = ………… P(x = 7) เปดตารางโดยอางอง n = 8, p = 0.4, x = 7 จะไดคา P(x = 7) = ………… P(x = 8) เปดตารางโดยอางอง n = 8, p = 0.4, x = 8 จะไดคา P(x = 8) = …………

ข. P(x = 2) = ………………………………………………..

53

2.12.2 การแจกแจงปวสซอง (Poisson Distribution) เปนการ แจกแจงความนาจะเปนของจ านวนครงของความส าเรจในชวงเวลา หรอบรเวณท

สนใจ ซงเรยก จ านวนครงของความส าเรจในชวงเวลาทสนใจวา ตวแปรสมปวสซอง เชน จ านวนครงของโทรศพททโทรเขามาส านกงานแหงหนงในชวงเวลา 1 ชวโมง จ านวนค าทพมพผดใน 1 หนากระดาษ การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซอง x

P(x) = ! -

xxe ส าหรบ x = 1, 2, ……..,

โดย P(x) คอ ความนาจะเปนของผลส าเรจ x ครง ทเกดขนในชวงเวลา หรอบรเวณทสนใจ x คอ จ านวนครงของการเกดผลส าเรจ

คอ คาเฉลยของจ านวนครงของผลส าเรจตอหนงหนวยเวลาหรอพนท e 2.71828 ตวอยางท14 จ านวนลกคาเฉลยเขามาขอรบการบรการ ในธนาคารแหงหนงเทากบ 8 คนตอนาท จงหาความนาจะเปนทจะม

ก) ลกคาจ านวน 7 คน เขามาขอรบการบรการภายใน 1 นาท ข) ลกคาอยางนอย 3 คน เขามาขอรบการบรการภายใน 1 นาท ค) ลกคาจ านวน 14 คน เขามาขอรบการบรการภายใน 2 นาท

วธท า ก) คาเฉลยเลขคณตของจ านวนลกคามาขอรบการบรการ =……. คนตอนาท

จาก P(x) = ! -

xxe

P(7) = ความนาจะเปนทจะมลกคาจ านวน 7 คน เขามาขอรบการบรการภายในหนงนาทเทากบ………

ข) คาเฉลยเลขคณตของจ านวนผ ปวยมาขอรบการบรการ =…….. คนตอนาท P(x 3) = 1 - P(x = 0) – P(x = 1) – P(x = 2)

จาก P(x) = ! -

xxe

ดงนน P(0) = P(1) = P(2) =

54

P(x 3) = ความนาจะเปนทจะมลกคาอยางนอย 3 คน มาขอรบการบรการภายในหนงนาทเทากบ................

ค) คาเฉลยเลขคณตของจ านวนลกคามาขอรบการบรการ = ………คนตอ 2 นาท

จาก P(x) = ! -

xxe

P(14) = ความนาจะเปนทจะมลกคาจ านวน 14 คน เขามาขอรบการบรการภายใน 2 นาทเทากบ..............

2.12.3 การแจกแจงปกต (Normal Distribution) การแจกแจงปกตเปนการแจกแจงชนดหนงของตวแปรสมตอเนองทมความส าคญ

ลกษณะเดนชดของการแจกแจงปกต คอ มลกษณะเปนเสนโคงสมมาตรรประฆง ซงเรยกวาเสนโคงปกต (Normal Curve) ตวแปรสมปกตมคาเฉลยเลขคณตเทากบ และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสม x เขยนไดดงน

f(x) = 2 -x

2

1

e

2

1

2

; - < x <

โดย f(x) =ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสม x = คาเฉลยเลขคณต = สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.1415 e 2.718

2 2 3 3

ประมาณ 95%

ประมาณ 68%

ประมาณ 99.7%

55

การแจกแจงปกตมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) คอ โคงปกตทมคาเฉลยเลขคณตเทากบศนย ( = 0) และความแปรปรวนเทากบหนง

( 2 = 1) หรอเขยนแทนดวย N(0,1)

Zi =

μ - ix

โดย Zi คอ คามาตรฐานท i xi คอ คาของขอมลท i สมมตขอมลเดมคอ x1, x2, x3, … , xn แปลงใหเปนขอมลใหมโดยเปนคามาตรฐาน (Zi) ดงน

ขอมลเดม ขอมลใหม

x1 Z1 =

μ - x1

x2 Z2 =

μ - x 2

x3 Z3 =

μ - x 3

: : : :

xn Zn =

μ - xn

ตวอยางท 15 จงหาพนทภายใตเสนโคงปกตของขอมลทมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 1 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1.5 ซงอยระหวาง x1 = 2 และ x2 = 3

Z1 =

μ - x1 =

Z2 =

μ - x 2 =

xx2 = 3

x1 = 2

1

Z2Z

Z1

56

พนทใตโคงปกตชวง 2 < x < 3 = พนทใตโคงปกตมาตรฐานชวง 0.67 < Z < 1.33 = (พนทชวง 0 < Z < 1.33) – (พนทชวง 0 < Z < 0.67) = =

ตวอยางท 16 เงนเดอนของคนงานในโรงงานอตสาหกรรมแหงหนง มการแจกแจงปกตมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 4,000 บาท และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1,000 บาท จงหาความนาจะเปนทคนงานคนหนงของโรงงานอตสาหกรรมแหงนมเงนเดอนอยระหวาง 3,750 ถง 4,500 บาท

Z1 =

μ - x1 =

Z2 =

μ - x 2 =

พนทใตโคงปกตมาตรฐานชวง – 0.25 < Z < 0 =

พนทใตโคงปกตมาตรฐานชวง 0 < Z < 0.5 = ดงนนพนทชวง - 0.25 < Z < 0.5 =

ความนาจะเปนทคนงานของโรงงานอตสาหกรรมแหงนมเงนเดอนระหวาง 3,750 ถง 4500 บาท = P( 3750 < x < 4500) = P(- 0.25 < Z < 0.5) = 0.2902

x1 = 3750

xx2 = 45004,000

Z1Z

0 Z2

57

แบบฝกหดทายบทท 2 1. ก าหนดเซต U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} C = {1, 4, 7} จงหาผลลพธของ ก) (AB)C ข) (Cc

A) B 2. จากแผนภาพทก าหนด

U คอ เซตของนกเรยนทงหมด G คอ เซตของนกเรยนหญง C คอ เซตของนกเรยนทเรยนคอมพวเตอร D คอ เซตของนกเรยนทเรยนเตนร า จงหาคา

ก) จ านวนนกเรยนชาย ข) จ านวนนกเรยนหญงทเรยนคอมพวเตอร ค) จ านวนนกเรยนชายทเรยนคอมพวเตอร ง) จ านวนนกเรยนหญงทเรยนเตนร า จ) จ านวนนกเรยนทเรยนคอมพวเตอรและเรยนเตนร า 3. จากแผนภาพทก าหนด จงระบายสผลลพธ ของ

ก) (A C) Bc

ข) A (B C)c

ค) Cc (A B) ง) (B C) A จ) (A C) (B C)

BA

C

G

460

D

C

400 50

3010

70

10

U

58

4. โรงงานแหงหนงก าหนดหมายเลขล าดบ (serial number) ประกอบดวยอกษรและตวเลข 7 ต าแหนง ส าหรบอปกรณและเครองมอตางๆ โดยใหสองต าแหนงแรกเปนอกษรภาษาองกฤษทไมซ ากน และหาต าแหนงหลงเปนตวเลข โดยตวเลขทงหาต าแหนงสามารถซ ากนได จงหาจ านวนวธทแตกตางกนทงหมดซงสามารถก าหนดหมายเลขล าดบใหกบอปกรณและเครองมอตางๆ

5. นกเรยน 12 คน มคณสมบตครบทจะไดรบทนการศกษา ซงมอย 3 ทน จงหาจ านวนวธทงหมดทแตกตางกนทจะสามารถจดสรรทนใหกบผ มคณสมบตครบ

6. หนวยงานหนงมวศวกร 5 คน และมชางเทคนค 9 คน หนวยงานจะจดกลมเพอใหดแลรบผดชอบโครงการพเศษโครงการหนง โดยในกลมจะประกอบดวยวศวกร 2 คน และชางเทคนค 3 คน จงหาจ านวนวธทงหมดทแตกตางกนในการจดกลม

7. นกเรยนกลมหนงประกอบดวยเดกชาย 9 คน และเดกหญง 3 คน ถาเลอกตวแทนกลมมา 4 คนโดยก าหนดใหตวแทนกลมตองประกอบดวยเดกหญง 1 คน จะสามารถเลอกตวแทนกลมแตกตางกนไดกวธ

8. อซอมรถยนตแหงหนงสงซอชนสวนเครองยนตมาจ านวน 4 ชน ซงมชนสวนเสยปนมา 1 ชน ถาสมชนสวนมาตรวจสอบ 2 ชน จงหาความนาจะเปนทจะไมพบชนสวนเสย

9. ในการตรวจรบชนสวนไฟฟาชนดเดยวกนจ านวน 50 ชน ซงมชนสวนเสย 4 ชนปนมาดวย วธการตรวจรบนน ฝายตรวจสอบจะสมชนสวนมา 2 ชนเพอท าการตรวจสอบ จงหาความนาจะเปนทการตรวจสอบจะพบวา

ก) ไมมชนสวนเสยเลย ข) มชนสวนเสย 1 ชน

10. ในชนเรยนอนบาลหองหนงมนกเรยน 54 คน แบงตามเพศและชนดนมทชอบดม ดงน

เพศ ชนดนม ชาย หญง รวม

ชอกโกแลต 18 13 31 สตรอเบอร 6 17 23

รวม 24 30 54

59

เมอพบเดกนกเรยนหญงคนหนงในชนเรยนดงกลาว จงหาความนาจะเปนทเดกคนนนจะชอบดมนม 11. ขอมลจ านวนนสตชนปท 1 คณะมนษยศาสตร ของสถาบนการศกษาแหงหนง มดงน

สาขาวชา เพศ การบญช การเงน การตลาด การจดการ รวม

ชาย 70 80 60 30 240 หญง 40 50 70 20 180 รวม 110 130 130 50 420

จงค านวณหา ก) ความนาจะเปนทจะเปนนสตหญงและอยสาขาวชาการจดการ ข) ความนาจะเปนทจะเปนนสตชายและอยสาขาวชาการตลาด ค) ความนาจะเปนทจะอยสาขาการบญช เมอพบวาเขาเปนนสตหญง ง) ความนาจะเปนทอยสาขาการเงน เมอพบวาเขาเปนนสตชาย 12. จ านวนรถจกรยานยนตทขายไดตอวน ของรานคาแหงหนง โดยมขอมล 60 วน ดงน

จ านวนรถทขายไดตอวน จ านวนวน 0 5 1 5 2 10 3 20 4 15

5 หรอมากกวา 5 รวม 60

จงหาความนาจะเปนทวนใดวนหนงจะ ก) ขายรถจกรยานยนตได 2 คน

60

ข) ขายรถจกรยานยนตไดมากกวา 3 คน 13. โรงแรมแหงหนงสมขอมลปทแลวมาจ านวน 100 วน ไดขอมลจ าแนกตามจ านวนหองพกท

วาง ดงน

จ านวนหองพกวาง จ านวนวน 0 5 1 15 2 35 3 25 4 10 5 10

จงหาความนาจะเปนทวนใดวนหนงจะม ก) หองพกเตมหมด ข) หองพกวางอยางนอย 4 หอง