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Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
6. Plenum6.11.2009
Ganzrationale Funktionen
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Was sind noch mal Potenzfunktionen?
Funktionen der Form x a x n
mit n N und a R nenntman
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
. . . in der Übersicht
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
mit ungeraden Exponenten
Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1)
mit geraden Exponenten
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
x2
x4
x6
xx3
x5
x7
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Lernangebot
1. Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen
2. Verhalten für x —› ± ∞ mit Übungen3. Symmetrie: allgemein
bei ganzrationalen Funktionen
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x
Anwendungsbeispiel
Volumen einer Schachtel
Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von xV(x) = 4x3 - 102x2 + 630x
Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}
21 - 2
x
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Definitionen
Neue Funktionsterme
4x3 - 102x2 + 630x-7x5 + 2x3 – 4,2
3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7
Terme der Formaannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x + ax + a00
mit n є N und an≠ 0 nennt man PolynomePolynome
Der höchste Exponent nn heißt GradGrad des Polynoms.
Die reellen Zahlen aan n bis aa0 0 heißen KoeffizientenKoeffizienten..
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Definitionen
Ganzrationale FunktionenEine Funktion f mit einem Polynom als
Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktionganzrationale Funktion.
1x5-7x f(x) 4
2x-4)-x(x g(x)
-4xg(x)
1xx h(x)
2
4 3 2
1
0
a 7,a a 0,a - 5, a 1
0a -4, a 1, Grad
0
1
Der Funktionsterm ist kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion
Grad 4
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-1000
-800
-600
-400
-200
200
400
600
800
1000
x
y
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-1000
-800
-600
-400
-200
200
400
600
800
1000
x
y
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
3. Grades unter der Lupe
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)= xf(x)= x33 - x - x
f(x)= xf(x)= x3 3 + x+ x22 - 2x - - 2x -22
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-300
-200
-100
100
200
300
400
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-300
-200
-100
100
200
300
400
x
y
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-200
-100
100
200
300
400
500
600
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-200
-100
100
200
300
x
y
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
-2
-1
1
2
3
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-200
-100
100
200
300
x
y
4. Grades unter der Lupe
f(x)= xf(x)= x44 - 2x - 2x3 3 - x- x22 + 2x + 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-200
-100
100
200
300
400
500
600
x
y
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
f(x)= xf(x)= x44 - 3x - 3x3 3 - x- x22 + 3x + 3x
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
5. Grades unter der Lupe
f(x)= xf(x)= x55 - x - x3 3
f(x)= -xf(x)= -x55 + 1,27x + 1,27x3 3 – 0,15x– 0,15x22 + + 0,2376x0,2376x
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-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
g
f
Direkter Vergleich PotenzfunktionenPotenzfunktionen - ganzrationaleganzrationale FunktionenFunktionen
-3 -2 -1 1 2 3
-20
-10
10
20
x
y
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
2000
4000
6000
8000
10000
12000
x
y
f(x)= xf(x)= x33 g(x)= xg(x)= x33 - x - x
aus der Nähe
f(x)= xf(x)= x44 g(x)= xg(x)= x44 - 2x - 2x33 – x – x22 +2x+2x
aus der Ferne
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Kurvenverlauf
f(x) =f(x) = aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x + ax + a00
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x ∞ bzw. x - ∞ vom Summanden aannxxnn bestimmt.
Ist aann > 0 > 0 und n geraden gerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) + ∞. für x + ∞ gilt: f(x) + ∞.
Ist aann < 0 < 0 und n geraden gerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) - ∞. für x + ∞ gilt: f(x) - ∞.
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Kurvenverlauf
Ist aann > 0 > 0 und n ungeraden ungerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) - ∞. für x + ∞ gilt: f(x) + ∞.
Ist aann < 0 < 0 und n ungeraden ungerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) + ∞. für x + ∞ gilt: f(x) - ∞.
f(x) =f(x) = aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x x + a+ a00
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Casting - Beispiel
CCaassttiinngg:: DDeeuuttsscchhllaanndd ssuucchht t ddeenn KKuurrvveennssttaarr
f(x) = -xf(x) = -x44 +3x +3x33 +x +x22 -3x -3x f(x) =f(x) = -x-x44 +3x+3x33 +x +x22 -3x -3x
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Casting 1A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 2xf(x) = 2x55 +3x +3x44 –7x –7x
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 1B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = f(x) = 2x2x55 +3x +3x44 –7x –7x
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 2A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 7xf(x) = 7x44 –7x –7x55 +x +x22
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 2B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 7xf(x) = 7x44 –7x–7x55 +x +x22
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 3A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 10 -x +xf(x) = 10 -x +x22 -x -x33 +4x +4x4 4 -10x-10x55 +x +x66 -x -x7 7 +x+x88
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 3B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 10 -x +xf(x) = 10 -x +x22 -x -x33 +4x +4x4 4 -10x-10x55 +x +x66 -x -x7 7 +x+x88
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 4A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = f(x) = 5x5x66 –50x –50x55 +75x +75x44 +1280x +1280x33 +580x +580x2 2 -6480x +14240-6480x +14240
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 4B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = f(x) = 5x5x66 –50x –50x55 +75x +75x44 +1280x +1280x33 +580x +580x2 2 -6480x +14240-6480x +14240
Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse:
zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert
-2 -1 1 2
-5-4-3-2-1
12345
x
y
Punktsymmetrie zum Ursprung:
die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur
durch das Vorzeichen
f(-x) = f(x)f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)f(-x) = -f(x)
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Symmetrie – einfach zu erkennen
Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geradengeraden HochzahlenHochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achseachsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen geradegerade.
Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr
schnell.
Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeradenungeraden HochzahlenHochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprungpunktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungeradeungerade.
f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x400 - 3x78 – 77
h(x)= 4x7 - 5x3 + 9xk(x)= -22x431 - 3x91
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Die drei Fragen
1. Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“.
2. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen?
3. Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen?
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Aufgaben
Stunde 1 2
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Viel Erfolg!