Post on 05-Jan-2016
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数理与信息工程学院
主讲:徐秀斌
xxu@zjnu.cn
0579-82298890( 办 )
第一章 绪论
第二章 方程求根
第三章 线性方程组的解法
第四章 插值方法
第五章 数值积分
第六章 常微分方程的数值解
本课程的主要内容
§1.1 计算方法概论
第一章 : 绪论
计算方法/数值算法: 利用计算机求解数学问题近似解的方法。
步骤:
实际问题 建立数学模型 提供计算方法
设计程序 上机计算 获取近似结果
数值算法的要求 :1. 仿真性:模型尽可能仿真实际问题 ;
操作性差的例子: 求解 20 阶线性方程组,用 Cramer 法则要用 次乘法运算 , 用每秒 1 亿次的计算机计算 , 大约需算 30 多万
年 ; 但用消元法只须 3000 次乘法运算,只要几秒钟。
209.7 10
2. 可操作性:程序简单、计算时间较少、计算机容易实现 ;2. 可操作性:程序简单、计算时间较少、计算机容易实现 ;
3. 实用性:近似解满足精度要求。3. 实用性:近似解满足精度要求。
11 nn InI公式一:......210
1 1
0,,,n,dxex
eI xn
n ( 不实用的例子 ):计算
注意此公式精确成立
6321205601
11 1
00 .e
dxee
I x 记为 *
0I
8000 1050 .IIE则初始误差
1
1
1
111 11
0
01
0
n
I)e(n
dxexe
Idxexe n
nn
n
39141423151
95942494141
22764807131
632896000121
030592000111
088128000101
............36787944011
1415
*13
*14
*12
*13
*11
*12
*10
*11
*9
*10
*0
*1
.II
.II
.II
.II
.II
.II
.II
?
??
? !
! !
怎么回事 ?!
考察第 n步的误差 nE
|)1()1(||||| *11
* nnnnn nInIIIE ||! 01 En||En n
我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法。
)1(1
1 11 nnnn In
IInI 公式二:
注意此公式与公式一在理论上等价。
方法:先估计一个 IN , 再反推要求的 In ( n << N ) 。
1
1
)1(
1
NI
Ne N
NN INNe
I
1
1
)1(
1
2
1*可取
0* NNN IIEN ,时当
迅速积累,误差呈递增走势。可见初始的小扰动 80 1050|| .E
632120560)1(
1
1
367879440)1(2
1
0838771150)1(11
1
0773517320)1(12
1
0717792140)1(13
1
0668702200)1(14
1
0638169180)1(15
1
042746233016
1
16
1
2
1
*1
*0
*2
*1
*11
*10
*12
*11
*13
*12
*14
*13
*15
*14
*15
.II
.II
.II
.II
.II
.II
.II
.e
I
取 我们仅仅是幸运吗 ?
考察反推一步的误差:
||1
)1(1
)1(1
|| *1 NNNN E
NI
NI
NE
以此类推,对 n < N 有:1 1
| | | | | |1 ( 1) ... ( 1)n n+1 NE E E
n N N n
误差逐步递减 , 这样的算法称为稳定的算法。
在我们今后的讨论中,误差将不可回避,
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。