1

数 值 分 析

李庆扬 王能超 易大义 编

清华大学出版社 施普林格出版社

（第 4 版）

2

• 数值分析课程

• 学时： 50＋ 10• 讲课时间： 3～ 16 周• 上机时间： 16～ 18 周• 平时成绩：上机 测验 作业 出勤• 期末考试：半开卷

• 教师：罗蕴玲

• 电话： 81720522• E-mail:

yunlingluo@126.com• 办公室： 1－ 812

答疑时间：

周一下午 2： 30－ 4：30

周三下午 3： 30－ 5：00

具体考核方案

3

1.1 数值分析研究对象与特点

第 1章 绪 论

4

先看两个例子。 例 1 求方程 x2=2sinx ，在区间 (1,2) 内的

根。 理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。 例 2 用 Cramer 法则求解 n元线性方程组。 显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？

5

实际问题

数学模型

上机计算求出结果

数值计算方法

看用数学和计算机解决实际问题的过程：

应用数学研究的任务

数值分析研究的对象

最终提供的是针对各类数学问题的数值算法（即计算公式、计算方案、计算过程）

6

3 、具有好的计算复杂性

数值分析提供的算法具有下面四个特点：

1 、面向计算机

2 、有可靠的理论分析

4、通过数值实验验证有效性

7

本门课程学习的主要内容： 误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法和迭代方法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算．

8

1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本

任务，主动适应“公式多”的特点；

2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基

本提法，逐步深入；

3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本

线索，对最基本的算法要非常熟悉；

4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是

为用于实际计算，必须真会算。

9

• 本课程的基本要求– 掌握数值方法的基本原理– 掌握常用的科学与工程计算的基本方法– 能用所学方法在计算机上算出正确结果

10

课程学习结束后你具备的能力

1. 对具体的数值计算问题，你会选择合适的算法，并通过计算机计算出正确结果；

2. 对给定的算法会从理论上分析其优劣性；3. 会根据原理构造解决较简单数值计算问

题的算法。

11

1.2 数值计算的误差

引言——为什么要进行误差分析？

例 1 用具有舍入功能的八位计算器直接计算下式：

5429arctan5430arctan y

结果为1000000.05706121.15706122.1

5429arctan5430arctan

6

个零

y

事实上 33921910000000.0

5429arctan5430arctan

7个零

y

结果不可靠

1.2.1 误差来源与分类

12

例 2 用求根公式在尾数为八位的浮点计算机上，求下面方程的根：

010)110( 992 xx

解a

acbbx

a

acbbx

2

4,

2

4 2

2

2

1

1010

9

109 101.0101000000000.0101.0110 ＝个零

b

计算机上

1919

8

19

1021092102

101.010400000000.0101.0

101.04)101.0(1014)101.0(4

个零

acb

计算机上910

21 10101.0,0 xx求得

事实上 921 10,1 xx

13

实际问题 确定数值解法

上机求解

用计算机解决实际问题的一般过程

建立数学模型

模型误差、观测误差截断误差 舍入误差

应用数学解决的问题 数值分析解决的问题

在此主要研究这两种误差

14

若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即

1.2.2 误差与有效数字

设 为准确值，x 为 的一个近似值，*x x

xxe **

误差 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强近似值；

*e

通常准确值 是未知的，x 因此误差 也未知 .*e

为近似值的绝对误差，

定义 1 称

简称误差 .

当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值 .

*,** xxe

则 叫做近似值的误差限，* 它总是正数 .

一、绝对误差

15

对于一般情形 ，** xx 即 *,*** xxx

也可以表示为 .** xx

注意 : （ 1）绝对误差限不是唯一的，但越小越好； （ 2）绝对误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏。

.102

110

2

110

2

133 321 ，，差限精确到的近似值，使其绝对误求例

解 因为

73205.13 ，而1* 10

2

105.003205.07.13)7.1(

2* 102

1005.000205.073.13)73.1(

3* 102

10005.000005.0732.13)732.1(

所以.732.1,73.1,7.1 *

3*2

*1 xxx

16

实际计算中， 由于真值 总是未知的，x

*

*

*

**

x

xx

x

eer

把近似值的误差 与准确值 的比值 *e x

x

xx

x

e

**

称为近似值 的相对误差，*x 记作 .*re

作为 的相对误差，*x 条件是 较小，|*

*||| *

x

eer

通常取

此时利用

,** xxe 知

二、相对误差

定义 2

17

相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，

xx

xxe

x

e

x

e

*

)*(*

*

**

是 的平方项级，*re

记作 ，*r

*)*(*

*)( 2

exx

e

*)/*(1

*)/*( 2

xe

xe

故可忽略不计 .

.*

**

xr

即

18

当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到 的前几位近似值 ，

x

x *x

14159265.3π x

取 3位 ,14.3*3 x

取 5位 ,1416.3*5 x

它们的误差都不超过末位数字的半个单位，

,102

114.3π 2

例如

,002.0*3

,000008.0*5

即

.102

11416.3π 4

三、有效数字

19

若近似值 的误差限是某一位的半个单位，*x

该位到 的第一位非零数字共有 位，就说 有 位有效数字 .

*x n *x n

表示为

),1010(10* )1(121

nn

m aaax （ 2.1）

其中 是 0到 9中的一个数字， 为整数，),,1( niai ma ,01

.102

1* 1 nmxx （ 2.2）

定义 3

且

例如 3.142 ， 3.141,3.1416 分别作为 π的近似值时分别有几位有效数字 ?

20

如果以 m/s2 为单位， 重力常数 g， ,m/s80.9 2g

若以 km/s2 为单位， ，它们具有几位有效数字？绝对误差和相对误差有区别吗？与量纲有关吗？

2km/s00980.0g

,102

180.9 2g

按 (2.1) 的表示方法， ,3,0 nm

,102

100980.0 5g

这里 .3,3 nm

它们虽然写法不同，但都具有 3位有效数字 .

例 4

因为按第一种写法

按第二种写法

),1010(10* )1(121

nn

m aaax （ 2.1）

21

至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同 ,

,m/s102

1 22*1

但相对误差都是 80.9/005.0* r

注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差与误差限是有量纲的 .

例 4说明有效位数与小数点后有多少位数无关 .

,km/s102

1 25*2

.00980.0/00005.0

22

从 (2.2) 可得到具有 位有效数字的近似数 ，其绝对误差限为

n *x

,102

1* 1 nm

在 相同的情况下， 越大则 越小，故有效位数越多，绝对误差限越小 .

m n 110 nm

.102

1* 1 nmxx （ 2.2）

23

关于有效数字说明

① 用四舍五入取准确值的前 n位 x*作为近似值 ,则 x*必有n位 有效数字。如 3.142 作为 的近似值有 4位有效数字，而 3.141 为 3位有效数字；② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。例 如，设 x1

*=12345,设 x2*=12.345, 两者均有 5位有效数字

但 绝对误差不一样 x - x1

* = x - 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x - x2

* = x - 12.345≤0.0005=1/210-3

③ 把任何数乘以 10 p(p=0,1,…) 不影响有效位数；④ 准确值具有无穷多位有效数字 ,如 1/2=0.5 因 0.5 是真值 , 没有误差 ,*=0,因此 n,准确值具有无穷位有效数字。

24

若 的相对误差限 ，*x )1(

1

* 10)1(2

1

nr a

设近似数 表示为 *x

)1.2(),1010(10* )1(121 l

lm aaax

其中 是 0到 9中的一个数字，),,1( liai

;102

1 )1(

1

* nr a

反之，

则 至少具有 位有效数字 . *x n

若 具有 位有效数字，n*x

定理 1

ma ,01 为整数 .

则其相对误差限为

四、有效数字与相对误差限的关系

25

要使 的近似值的相对误差限小于 0.1%，需取 20

由于 ,4.420 知 ，41 a 故只要取 ，4n

3* 10125.0 r

即只要对 的近似值取 4位有效数字，其相对误差限就小于 0.1%.

20

此时由开方表得 .472.420

设取 位有效数字，n

.102

1 )1(

1

* nr a

例 5

几位有效数字 ?

由定理 1

就有

%,1.010 3

26

设 是一元函数， 的近似值为 ，以 近似 ，其误差界记作 ，

)(xf x *x *)(xf

)(xf *))(( xf

一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差，

*)(|)(

*)(*)*)((*)()(

* xxoxdf

xxoxxxfxfxf

xx

其误差限可利用函数的微分进行估计 .

利用微分

*).(*)(*))(( xexfxfe

由此可得：*).(*)(*))(( xxfxf

*).(*)(

*)(**)(

*)(

*)(*))(( xe

xf

xfxxe

xf

xfxfe rr

*).(*)(

*)(**)(

*)(

*)(*))(( x

xf

xfxx

xf

xfxf rr

1.2.3 数值运算的误差估计

27

当 为多元函数，如计算 时 , f ),( 1 nxxfA

的近似值为 ，nxx ,,1 **

1 ,, nxx 则 的近似值为A

),,(* **1 nxxfA

于是由全微分， 函数值 的误差 为*A *)(Ae

如果

AAAe **)(

于是误差限

n

kkk

k

n xxx

xxf

1

***

1 )(),,(

,1

**

n

kk

ke

x

f

),,(),,( 1**

1 nn xxfxxf

;)(*)(1

**

n

kk

kx

x

fA

28

而 的相对误差及相对误差限限分别为 *A

*)(* Aee rr

n

k

k

k A

xe

x

f

1

**

*

)(

*

*)(

A

Ae

*)(* Arr

n

k

k

k A

x

x

f

1

**

*

)(*

*)(

A

A

)(*

*

1

**

kr

n

k

k

kx

A

x

x

f

)(*

*

1

**

kr

n

k

k

kxe

A

x

x

f

29

练习：);(),(),(.1 *** yexfyxfy r求

);(,)(,.2 *** yexyxy rnn 求

);()(),(4

),(1.05),(05.010.3

**22

21

21

SSDDS

cmDcmD

r和求

.)()(

)3()2()1(.4

** ueue

y

xuxyuyxu

r和求

是多大？，问测量的相对误差测量一木板长为954cm.5

30

1.3.1 病态问题与条件数

对一个数值问题本身 , 如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病态问题 .

例如计算函数值 时，)(xf 若 有扰动 ，其x *xxx

相对误差为 ，x

x函数值 的相对误差为*)(xf

.)(

*)()(

xf

xfxf

1.3 误差定性分析与避免误差危害

31

,)(

)(/

)(

*)()(pCxf

xfx

x

x

xf

xfxf

（ 3.1）

称为计算函数值问题的条件数 . pC

相对误差比值

自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，pC

将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题 .

32

例如， ，nxxf )(

它表示相对误差可能放大 倍 . n

如 ，10n 有 ，24.1)02.1(,1)1( ff

,02.1*x 自变量相对误差为 ，%2 函数值相对误差为 ，%24

一般情况下 ,条件数 就认为是病态， 越大病态越严重 .

10pC pC

则有

)(

)(

xf

xfxC p

,

1

nx

nxxn

n

,1x若取

这时问题可以认为是病态的 .

33

1.3.2 算法的数值稳定性

用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的 .

计算 并估计误差 . ),1,0(de1

0

1 nxxI xnn

由分部积分可得计算 的递推公式 nI

),,2,1(1 1 nnII nn （ 3.2）.e1dee 11

0

10

xI x

例 6

问题：由递推公式（ 3.2 ）可以构造几种计算积分序列 {In}(n=1,2,

…,N) 的算法？假设计算中只有初始值带有误差，计算过程中不

产生新的误差，请判断哪种方法能给出更精确的结果。

34

算法 A ：计算公式为 ),,2,1(1 1 NnnII nn

算法 B ：计算公式为 )1,,2,(1

1 Nnn

II n

n

若初值 有误差 则由此引起以后各步计算的误差 满足关系

0

~I 000

~IIE

nnn IIE~ ).,2,1(1 nnEE nn

则 ,!)1( 0EnE nn 这说明 的误差被放大了 倍 . nI

~ !n

此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的 .

显然算法 B的计算结果更精确、更可靠，当用算法 A计算时， 由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠 .

记 ，**nnn IIE 则 ，**

0 !

1nEn

E 比 缩小了*0E

*nE

倍。!n

看数值计算结果，见书 p13.

35

一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的 .

在例 6中算法（ B）是数值稳定的，而算法（ A）是不稳定的 .

定义 4

36

1.3.3 避免误差危害的若干原则

数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字的损失，有下面若干原则 .

1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法

用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若

,y

x

，

则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免 .

,0 xy |)(|)(

|||)(|

||

1

)(

)()( *2*

**

*2*

**

*

*

*

*

yey

xxe

yy

yex

y

xe

y

xe

37

2. 要避免两相近数相减

在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失 .

这说明必须尽量避免出现这类运算 . 最好是改变计算方法，防止这种现象产生 .

分析前述例 1

1000000.05706121.15706122.1

5429arctan5430arctan

6

个零

y

8位有效数字

8位有效数字

33921910000000.05429arctan5430arctan7个零

y

0位有效数字

38

改变计算公式： ，可得由

1

arctanarctanarctan

8103921911.329479471

1arctan5429arctan5430arctan

精度提高了很多。此例说明，可通过改变计算公式避免或

减少有效数字的损失。

类似地，如果 和 很接近时，由 1x 2x

,lglglg2

121 x

xxx

用右边算式有效数字就不损失 .

,1

11

xxxx

也应该用右端算式代替左端 .

当 很大时，x

39

3. 要防止大数“吃掉”小数

在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，

而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性 .

前面用求根公式求根的例 2中， ，吃掉了1109

现改变计算公式如下：

12

2

2

1/

,

0,2

4

0,2

4

x

acx

ba

acbb

ba

acbb

x

40

4. 注意简化计算步骤，减少运算次数

同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差 .

这是数值计算必须遵从的原则，也是“数值分析”要研究的重要内容 .

41

例 701

11)( axaxaxaxP n

nn

nn

的值， 若直接计算 再逐项相加，一共需做kk xa

2

)1(12)1(

nnnn

次乘法和 次加法 . n

若采用秦九韶算法

,)(

),0,1,2,,1(

,

0

1

SxP

nkaxSS

aS

n

kkk

nn

计算多项式

0121

012

11

)))(((

)()(

aaaaxaxxx

aaxaxaxxP

nnn

nn

nnn

只要 次乘法和 次加法就可算出 的值 . nn )(xPn

在“数值分析”中，这种节省计算次数的算法还有不少 .