Post on 03-Jan-2016
description
歐亞書局
4.5 商業與經濟學的應用
歐亞書局
4.5 商業與經濟學的應用
學習目標 求解商業與經濟學的最佳化問題。 求解需求函數中需求的價格彈性。 辨認基本的商業術語與公式。
P.4-35 第四章 導數的應用
歐亞書局
商業與經濟學的最佳化
本章節主要將探討最佳化的問題,所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。
P.4-35 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 1 求最大收入
某公司認為某產品的總收入 ( 美元 ) 可表示為R = - x3 + 450x2 + 52,500x
其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何?
P.4-35 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 1 求最大收入 (解)
1. 收入函數的草圖如圖 4.36 所示。
P.4-35 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 1 求最大收入 (解)
2. 主要方程式為收入函數,即R = - x3 + 450x2 + 52,500x 主要方程式
3. 因為 R 為單變數函數,所以不需次要方程式。4. 主要方程式的可行定義域為
0 ≤ x ≤ 546 可行定義域 此範圍是由收入函數的 x 截距而得,如圖 4.36。
P.4-35 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 1 求最大收入 (解)
5. 為了使收入最大,先求得臨界數。
在可行定義域中的臨界數為 x = 350 ,由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。
P.4-35 第四章 導數的應用
2
3 900 52,500 0
3( 350)( 50) 0
350, 50
dRx x
dxx x
x x
令導數為零
因式分解臨界數
歐亞書局
檢查站 1
求使收入函數R = - x3 + 150x2 + 9375x
最大化的產量,試問最大收入為何?
P.4-35 第四章 導數的應用
歐亞書局
商業與經濟學的最佳化
為了研究產量對成本的影響,經濟學家將平均成本函數 (average cost function) 定義為
其中 C = f(x) 為總成本函數, x 為產量。
P.4-36 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 2 求最小平均成本
P.4-36 第四章 導數的應用
某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元 ) 可表示為 C = 800 + 0.04x + 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產量。
歐亞書局
範例 2 求最小平均成本 (解)
1. 令 C 為總成本, x 為產量, 為單位平均成本。
2. 主要方程式為
主要方程式
=C
Cx
P.4-36 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 2 求最小平均成本 (解)
3. 將 C 代入主要方程式,可得
4. 函數的可行定義域為 x > 0 可行定義域
P.4-36 第四章 導數的應用
2
800 0.04 0.0002
8000.04 0.0002
x xC
x
xx
C
將 代入
單變數函數
歐亞書局
範例 2 求最小平均成本 (解)
5. 再求臨界數如下所示。
P.4-36 第四章 導數的應用
2
2
2
2
2
C 800 0.0002 0
8000.0002
800
0.0002
4,000,000
2000
0
.000
2
d
dx x
x
x
x
x
x
令導數為零
兩邊同乘 再除以
臨界數
歐亞書局
範例 2 求最小平均成本 (解)
由題意可知 x 值必須為正數,另外 C 的圖形如圖 4.37 所示,產量在 x = 2000 時有最小的單位平均成本。
P.4-36 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 2 求最小平均成本 (解)
P.4-36 圖 4.37 第四章 導數的應用
歐亞書局
檢查站 2
求使得每單位的平均成本為最小的產量,其中成本函數為 C = 400 + 0.05x + 0.0025x2
。
P.4-36 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 3 求最大收入
某公司的產品若以 $10 的單價出售,每個月可賣出 2000 個;若單價每降低 $0.25 ,則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。
P.4-37 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 3 求最大收入(解)
1. 令 x 為每月的銷售量, p 為單價, R 為每月的收入。
2. 為了使每月的收入最大,所以主要方程式為R = xp 主要方程式
P.4-37 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 3 求最大收入(解)
3. 當單價 p = $10 時的銷售量為 x = 2000,當單價 p = $9.75 時的銷售量 x = 2250。再由點斜式來建立需求方程式。
將上式代入收入方程式可得
P.4-37 第四章 導數的應用
2
10 9.7510 ( 2000)
2000 225010 0.001( 2000)
0.001 12
( )
0.001 12
0.00
1 12
p x
p x
p x
R x px
x x
點斜式
化簡次要方程式
代入
單變數函數
歐亞書局
範例 3 求最大收入(解)
4. 收入方程式的可行定義域為 0 ≤ x ≤ 12,000 可行定義域
5. 欲使收入最大化,先求臨界數。
P.4-37 第四章 導數的應用
12 0.002 0
0.0002 12
6000
dRx
dx
x
令導數為零
臨界數
歐亞書局
範例 3 求最大收入(解)
由圖 4.38 可知,銷售量為 6000 時的收入最大,對應的單價為
p = 12 - 0.001x 需求函數 = 12 - 0.001(6000) 將 x = 6000 代
入 = $6 單價
P.4-37 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 3 求最大收入(解)
P.4-37 圖 4.38 第四章 導數的應用
歐亞書局
檢查站 3
若範例 3 的單價每降低 $0.25 ,則每個月可再多賣 200 個產品,求使得每月收入為最大的單價。
P.4-37 第四章 導數的應用
歐亞書局
學習提示
在範例 3 中的收入為 x 的函數,也可寫成 p 的函數;也就是 R = 1000(12p - p2) 。求函數的臨界數之後可知 p = 6 時的收入最大。
P.4-37 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 4 求最大利潤
某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為
而生產 x 單位的成本為 C = 0.5x + 500。可得最大利潤的價格為何?
P.4-38 第四章 導數的應用
50p
x
歐亞書局
範例 4 求最大利潤 (解)
1. 令 R 為收入, P 為利潤, p 為單價, x 為需求量, C 為生產 x 單位產品的總成本。
2. 為了使利潤為最大,考慮主要方程式P = R - C 主要方程式
P.4-38 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 4 求最大利潤 (解)
3. 以 R = xp 改寫主要方程式為
4. 函數的可行定義域為 127 < x ≤ 7872 ( 當 x 小於 127 或大於 7872 ,則利潤為負 ) 。
P.4-38 第四章 導數的應用
( )
0.5 500
50 0.5 500
50 0.5 500
P
xp x R
R C
x
C
x
x
x
x
p
將 和 代入
將 代入
單變數函數
歐亞書局
範例 4 求最大利潤 (解)
5. 欲使利潤為最大,先求臨界數。
由圖 4.39 的利潤函數可知,在 x = 2500 時有最大利潤,對應的單價為
25 0.5 0
50
2500
50 50 50 $1.00
0 525 00
dP
dx x
x
x
px
x
令導數為零
單邊只剩 項臨界數
單價
P.4-38 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 4 求最大利潤 (解)
P.4-38 圖 4.39 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b) 。
P.4-38 第四章 導數的應用
代數技巧代數技巧
歐亞書局
檢查站 4
由下列的需求和成本函數,求使得利潤為最大的價格。
P.4-38 第四章 導數的應用
402 50p C x
x 且
歐亞書局
學習提示
為了求範例 4 中的最大利潤,先對方程式 P = R - C 微分再令其為零,即
當邊際收入等於邊際成本時,可得最大利潤,如圖 4.40 。
P.4-38 第四章 導數的應用
0dP dR dC
dx dx dx
歐亞書局
學習提示(續)
P.4-38 圖 4.40 第四章 導數的應用
歐亞書局
需求的價格彈性
經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應,即需求的價格彈性 (price elasticity of demand) 。譬如,蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加,這種需求稱為有彈性 (elastic) 。另一方面,像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應,這種需求稱為無彈性 (inelastic) 。
P.4-39 第四章 導數的應用
歐亞書局
需求的價格彈性
正式而言,需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之,即
P.4-39 第四章 導數的應用
p dp
x dx
歐亞書局
需求的價格彈性
再利用此近似可得
P.4-39 第四章 導數的應用
/
/
/
/
/
x x
p p
p x
p x
p x
dx
需求量的變化率需求的價格彈性
價格的變化率
歐亞書局
需求的價格彈性
P.4-39 第四章 導數的應用
歐亞書局
需求的價格彈性
需求的價格彈性與總收入函數的關聯性,見圖 4.41 和下列的敘述:1. 若需求是有彈性,則價格跌落所帶來的銷售 量增加,可使得總收入增加。2. 若需求是無彈性,則價格跌落所帶來的銷售 量增加,不會使總收入增加。
P.4-39 第四章 導數的應用
歐亞書局
需求的價格彈性
P.4-39 圖 4.41 第四章 導數的應用
歐亞書局
學習提示
下列為常見貨品之需求彈性的估計值。
請問那幾項有彈性?那幾項無彈性?
P.4-39 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 5 比較彈性與收入
某產品的需求函數為 , 0 ≤ x ≤ 144 ,如圖 4.42(a) 所示。a. 求需求為有彈性、無彈性和單位彈性的區間 。b. 以 (a) 的答案來描述收入函數的性質。
P.4-40 第四章 導數的應用
18 1.5p x
歐亞書局
範例 5 比較彈性與收入
P.4- 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 5 比較彈性與收入 (解)
a. 需求的價格彈性為
P.4-40 第四章 導數的應用
/
/
24 2
18 1.5
/
24 2
/3
4
4
3
xx p x d
p x
dp dx
x x
x
p x
x
x
x
d
x
需求的價格彈性公式
將 和 代入
分子和分母同乘以
分成兩分式並化簡
歐亞書局
範例 5 比較彈性與收入 (解)
在區間 [0, 144] 內,因需求為單位彈性或 = 1 ,所以
的唯一解為 x = 64 ,因此當 x = 64 時可得需求的單位彈性。
P.4-40 第四章 導數的應用
24= 2 1
x
x 單位彈性
歐亞書局
範例 5 比較彈性與收入 (解)
對區間 (0, 64) 內的 x 值來說,
這說明當 0 < x < 64 ,需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說,
這說明當 64 < x < 144 ,需求無彈性。
24= 2 >1, 0 64
24= 2 <1, 64 144
xx
x
xx
x
有彈性
無彈性
P.4-40 第四章 導數的應用
歐亞書局
範例 5 比較彈性與收入 (解)
b. 由 (a) 的結果可知,在開區間 (0, 64) 收入函數 R 是遞增的,在開區間 (64, 144) 收入函數是遞減的,以及當 x = 64 時收入函數有極大值,如圖 4.42(b) 所示。
P.4-40 第四章 導數的應用
歐亞書局
檢查站 5
需求函數為 , 0 ≤ x ≤ 324 ,求使得需求有彈性、無彈性和單位彈性的區間。
P.4-40 第四章 導數的應用
36 2p x
歐亞書局
學習提示
需求的價格彈性模型通常假設需求量增加時價格會降低,所以需求函數 p = f(x) 為遞減的,且 dp/dx 為負值。
P.4-40 第四章 導數的應用
歐亞書局
商業術語與公式
本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。
P.4-41 第四章 導數的應用
歐亞書局
商業術語與公式
P.4-41 圖 4.43 第四章 導數的應用
需求、收入、成本與利潤函數的圖形則如圖 4.43 所示。