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4.5 商業與經濟學的應用

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4.5 商業與經濟學的應用

學習目標 求解商業與經濟學的最佳化問題。 求解需求函數中需求的價格彈性。 辨認基本的商業術語與公式。

P.4-35 第四章 導數的應用

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商業與經濟學的最佳化

本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。

P.4-35 第四章 導數的應用

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範例 1 　求最大收入

某公司認為某產品的總收入 ( 美元 ) 可表示為R ＝ － x3 ＋ 450x2 ＋ 52,500x

其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？

P.4-35 第四章 導數的應用

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範例 1 　求最大收入 （解）

1. 收入函數的草圖如圖 4.36 所示。

P.4-35 第四章 導數的應用

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範例 1 　求最大收入 （解）

2. 主要方程式為收入函數，即R ＝ － x3 ＋ 450x2 ＋ 52,500x 主要方程式

3. 因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。4. 主要方程式的可行定義域為

0 ≤ x ≤ 546 可行定義域　此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.36。

P.4-35 第四章 導數的應用

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範例 1 　求最大收入 （解）

5. 為了使收入最大，先求得臨界數。

　在可行定義域中的臨界數為 x ＝ 350 ，由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。

P.4-35 第四章 導數的應用

2

3 900 52,500 0

3( 350)( 50) 0

350, 50

dRx x

dxx x

x x

令導數為零

因式分解臨界數

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檢查站 1

求使收入函數R ＝ － x3 ＋ 150x2 ＋ 9375x

最大化的產量，試問最大收入為何？

P.4-35 第四章 導數的應用

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商業與經濟學的最佳化

為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平均成本函數 (average cost function) 定義為

其中 C ＝ f(x) 為總成本函數， x 為產量。

P.4-36 第四章 導數的應用

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範例 2 　求最小平均成本

P.4-36 第四章 導數的應用

某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元 ) 可表示為 C ＝ 800 ＋ 0.04x ＋ 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產量。

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範例 2 　求最小平均成本 （解）

1. 令 C 為總成本， x 為產量， 為單位平均成本。

2. 主要方程式為

主要方程式

=C

Cx

P.4-36 第四章 導數的應用

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範例 2 　求最小平均成本 （解）

3. 將 C 代入主要方程式，可得

4. 函數的可行定義域為 x > 0 可行定義域

P.4-36 第四章 導數的應用

2

800 0.04 0.0002

8000.04 0.0002

x xC

x

xx

C

將 代入

單變數函數

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範例 2 　求最小平均成本 （解）

5. 再求臨界數如下所示。

P.4-36 第四章 導數的應用

2

2

2

2

2

C 800 0.0002 0

8000.0002

800

0.0002

4,000,000

2000

0

.000

2

d

dx x

x

x

x

x

x

令導數為零

兩邊同乘 再除以

臨界數

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範例 2 　求最小平均成本 （解）

由題意可知 x 值必須為正數，另外 C 的圖形如圖 4.37 所示，產量在 x ＝ 2000 時有最小的單位平均成本。

P.4-36 第四章 導數的應用

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範例 2 　求最小平均成本 （解）

P.4-36 圖 4.37 第四章 導數的應用

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檢查站 2

求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中成本函數為 C ＝ 400 ＋ 0.05x ＋ 0.0025x2

。

P.4-36 第四章 導數的應用

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範例 3 　求最大收入

某公司的產品若以 $10 的單價出售，每個月可賣出 2000 個；若單價每降低 $0.25 ，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。

P.4-37 第四章 導數的應用

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範例 3 　求最大收入（解）

1. 令 x 為每月的銷售量， p 為單價， R 為每月的收入。

2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為R ＝ xp 主要方程式

P.4-37 第四章 導數的應用

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範例 3 　求最大收入（解）

3. 當單價 p ＝ $10 時的銷售量為 x ＝ 2000，當單價 p ＝ $9.75 時的銷售量 x ＝ 2250。再由點斜式來建立需求方程式。

將上式代入收入方程式可得

P.4-37 第四章 導數的應用

2

10 9.7510 ( 2000)

2000 225010 0.001( 2000)

0.001 12

( )

0.001 12

0.00

1 12

p x

p x

p x

R x px

x x

點斜式

化簡次要方程式

代入

單變數函數

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範例 3 　求最大收入（解）

4. 收入方程式的可行定義域為 0 ≤ x ≤ 12,000 可行定義域

5. 欲使收入最大化，先求臨界數。

P.4-37 第四章 導數的應用

12 0.002 0

0.0002 12

6000

dRx

dx

x

令導數為零

臨界數

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範例 3 　求最大收入（解）

由圖 4.38 可知，銷售量為 6000 時的收入最大，對應的單價為

p = 12 － 0.001x 需求函數 = 12 － 0.001(6000) 將 x ＝ 6000 代

入 = $6 單價

P.4-37 第四章 導數的應用

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範例 3 　求最大收入（解）

P.4-37 圖 4.38 第四章 導數的應用

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檢查站 3

若範例 3 的單價每降低 $0.25 ，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。

P.4-37 第四章 導數的應用

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學習提示

在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數；也就是 R ＝ 1000(12p － p2) 。求函數的臨界數之後可知 p ＝ 6 時的收入最大。

P.4-37 第四章 導數的應用

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範例 4 　求最大利潤

某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為

而生產 x 單位的成本為 C ＝ 0.5x ＋ 500。可得最大利潤的價格為何？

P.4-38 第四章 導數的應用

50p

x

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範例 4 　求最大利潤 （解）

1. 令 R 為收入， P 為利潤， p 為單價， x 為需求量， C 為生產 x 單位產品的總成本。

2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式P ＝ R － C 主要方程式

P.4-38 第四章 導數的應用

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範例 4 　求最大利潤 （解）

3. 以 R ＝ xp 改寫主要方程式為

4. 函數的可行定義域為 127 < x ≤ 7872 ( 當 x 小於 127 或大於 7872 ，則利潤為負 ) 。

P.4-38 第四章 導數的應用

( )

0.5 500

50 0.5 500

50 0.5 500

P

xp x R

R C

x

C

x

x

x

x

p

將 和 代入

將 代入

單變數函數

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範例 4 　求最大利潤 （解）

5. 欲使利潤為最大，先求臨界數。

由圖 4.39 的利潤函數可知，在 x ＝ 2500 時有最大利潤，對應的單價為

25 0.5 0

50

2500

50 50 50 $1.00

0 525 00

dP

dx x

x

x

px

x

令導數為零

單邊只剩 項臨界數

單價

P.4-38 第四章 導數的應用

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範例 4 　求最大利潤 （解）

P.4-38 圖 4.39 第四章 導數的應用

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範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b) 。

P.4-38 第四章 導數的應用

代數技巧代數技巧

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檢查站 4

由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大的價格。

P.4-38 第四章 導數的應用

402 50p C x

x 且

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學習提示

為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P ＝ R － C 微分再令其為零，即

當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤，如圖 4.40 。

P.4-38 第四章 導數的應用

0dP dR dC

dx dx dx

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學習提示（續）

P.4-38 圖 4.40 第四章 導數的應用

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需求的價格彈性

經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性 (price elasticity of demand) 。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈性 (elastic) 。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無彈性 (inelastic) 。

P.4-39 第四章 導數的應用

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需求的價格彈性

正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即

P.4-39 第四章 導數的應用

p dp

x dx

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需求的價格彈性

再利用此近似可得

P.4-39 第四章 導數的應用

/

/

/

/

/

x x

p p

p x

p x

p x

dx

需求量的變化率需求的價格彈性

價格的變化率

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需求的價格彈性

P.4-39 第四章 導數的應用

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需求的價格彈性

需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.41 和下列的敘述：1. 若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。2. 若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，不會使總收入增加。

P.4-39 第四章 導數的應用

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需求的價格彈性

P.4-39 圖 4.41 第四章 導數的應用

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學習提示

下列為常見貨品之需求彈性的估計值。

請問那幾項有彈性？那幾項無彈性？

P.4-39 第四章 導數的應用

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範例 5 　比較彈性與收入

某產品的需求函數為 ， 0 ≤ x ≤ 144 ，如圖 4.42(a) 所示。a. 求需求為有彈性、無彈性和單位彈性的區間 。b. 以 (a) 的答案來描述收入函數的性質。

P.4-40 第四章 導數的應用

18 1.5p x

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範例 5 　比較彈性與收入

P.4- 第四章 導數的應用

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範例 5 　比較彈性與收入 （解）

a. 需求的價格彈性為

P.4-40 第四章 導數的應用

/

/

24 2

18 1.5

/

24 2

/3

4

4

3

xx p x d

p x

dp dx

x x

x

p x

x

x

x

d

x

需求的價格彈性公式

將 和 代入

分子和分母同乘以

分成兩分式並化簡

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範例 5 　比較彈性與收入 （解）

在區間 [0, 144] 內，因需求為單位彈性或 ＝ 1 ，所以

的唯一解為 x ＝ 64 ，因此當 x ＝ 64 時可得需求的單位彈性。

P.4-40 第四章 導數的應用

24= 2 1

x

x 單位彈性

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範例 5 　比較彈性與收入 （解）

對區間 (0, 64) 內的 x 值來說，

這說明當 0 < x < 64 ，需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說，

這說明當 64 < x < 144 ，需求無彈性。

24= 2 >1, 0 64

24= 2 <1, 64 144

xx

x

xx

x

有彈性

無彈性

P.4-40 第四章 導數的應用

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範例 5 　比較彈性與收入 （解）

b. 由 (a) 的結果可知，在開區間 (0, 64) 收入函數 R 是遞增的，在開區間 (64, 144) 收入函數是遞減的，以及當 x ＝ 64 時收入函數有極大值，如圖 4.42(b) 所示。

P.4-40 第四章 導數的應用

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檢查站 5

需求函數為 ， 0 ≤ x ≤ 324 ，求使得需求有彈性、無彈性和單位彈性的區間。

P.4-40 第四章 導數的應用

36 2p x

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學習提示

需求的價格彈性模型通常假設需求量增加時價格會降低，所以需求函數 p ＝ f(x) 為遞減的，且 dp/dx 為負值。

P.4-40 第四章 導數的應用

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商業術語與公式

本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。

P.4-41 第四章 導數的應用

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商業術語與公式

P.4-41 圖 4.43 第四章 導數的應用

需求、收入、成本與利潤函數的圖形則如圖 4.43 所示。