Post on 05-Apr-2020
11. ElőadásGradiens törésmutatójú közeg II.
A következőkben két különleges, gradiens törésmutatójú lencsévelfogunk foglalkozni, az úgynevezett Luneburg-féle lencsékkel. Annak iskét típusával:két típusával:
a Maxwell-féle halszem lencsével és aStandard-Luneburg lencsével.g
Mindkét lencse tökéletesen gömb alakú és törésmutatójukgömbszimmetrikusan változik az alábbi képletek szerint:
20=
nn
Maxwell-féle halszem lencse: Luneburg-féle lencse
2
2 ⎟⎞
⎜⎛=
rnn2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
Rr 0 2 ⎟
⎠⎜⎝
−⋅=R
nn
Ahol n0 konstans törésmutató, R a gömb sugara, r pedig a középponttól mért
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 1
távolság.
Maxwell féle halszem lencseElsőként nézzük a Maxwell-féle lencsét
Maxwell-féle halszem lencseElsőként nézzük a Maxwell-féle lencsét.Ennek különlegessége, hogy a lencse felületén egy pontból indulószéttartó sugarakat a túlsó felületen ugyanabba a pontba képezi le,
b kii d ló lszemben a kiinduló ponttal.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 2http://en.wikipedia.org/wiki/Luneburg_lens
Maxwell féle halszem lencseA TracePro egyéni tulajdonságszerkesztőjében a Gradiens-törésmutató
Maxwell-féle halszem lencseA TracePro egyéni tulajdonságszerkesztőjében a Gradiens-törésmutatómegadásánál, új törésmutató definiálásánál ki is választhatjuk ezt atípust és a megfelelő értékekkel könnyen be is állíthatjuk a lencsénknek.(I i i l l h él f l j ük d i il h llá h kí(Initial wavelength-nél ne felejtsük megadni, milyen hullámhosszon kí-vánjuk „használni”)
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 3
Maxwell féle halszem lencseA következőkben készítsünk el aT P b il l ét
Maxwell-féle halszem lencseTracePro-ban egy ilyen lencsét:Először is definiáljunk egy gömböt(Insert / Primitive Solid [Sphere]),( [ p ]),melynek sugara legyen 5 mm és aközéppontja legyen Z irányban 15mm-en a tengelyen. (X = 0; Y = 0)mm en a tengelyen. (X 0; Y 0)/ Érdemes átlátszóvá tenni a gömböt aProperties menüben, hogy lássuk asugármeneteket /Ezután definiáljuk az n0 illetve agradiens törésmutatót.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 4
Maxwell féle halszem lencseA törésm tatónk leg en 546 1 nm re 2!
Maxwell-féle halszem lencseAz n0 törésmutatónk legyen 546,1 nm-re n0 = 2!A gradiens törésmutatót pedig úgy definiáljuk, hogy a típusa legyen„Maxwell’s Fisheye Lens” az Initial wavelength legyen 546,1 nm.y g gyA táblázatban az nr1 értékét adjuk meg úgy, hogy az ekvivalens legyena definiált gömbünk sugarával.Ha ezzel megvagyunk és mentettük a tulajdonságokat alkalmazzukHa ezzel megvagyunk és mentettük a tulajdonságokat, alkalmazzukőket a lencsén úgy, hogy a gradiens törésmutató esetében atörésmutató origója legyen a gömb geometriai középpontja, Znormálvektora 1, és a felfelé mutató vektor Y = 1 legyen.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 5
Maxwell féle halszem lencseDefiniáljunk két alapértelmezett hullám-hosszú (546,1 nm) sugárforrást a Z =
Maxwell-féle halszem lencsehosszú (546,1 nm) sugárforrást a Z10 mm pontba, egyiket fordítsuk el +15,másikat -15°-al az X tengely körül.Ha elvégezzük a sugárkövetést márHa elvégezzük a sugárkövetést, márláthatjuk is, hogy a lencse tökéletesen akiindulóponttal szemben lévő pontba„vezette” a két sugarat.„vezette a két sugarat.Próbáljuk ki a szögek változtatásával is(Nem muszáj egyenlőnek lenniük)
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 6
Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelKeressünk olyan Axial-Radial típusú gradiens törésmutatójú közeget, melynekradiális törésmutató profilja ekvivalens a Maxwell-féle halszem lencséével.
Ehhez a Maxwell féle lencse törésmutatóját0nEhhez a Maxwell-féle lencse törésmutatóját
fejtsük Taylor sorba R = 5 mm és n = 2 paraméterek mellett!
20
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
Rr
n
fejtsük Taylor-sorba R = 5 mm, és n0 = 2 paraméterek mellett!
A Sorfejtés eredménye: n(r) = n0n0−
R2r2⋅+
n0
R4r4⋅+
n0−
R6r6⋅+ O r8( )+
R R R
1. rendig:
2. rendig:
n1 r( ) n0 0− 08 r2⋅,:=
n2 r( ) n0 0− 08 r2⋅ 3+, 2 10 3−⋅ r4⋅,:=g
3. rendig:
( ) , ,
n3 r( ) n0 0− 08 r2⋅ 3+, 2 10 3−⋅ r4⋅ 1−, 28 10 4−
⋅ r6⋅,:=
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 7
Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelÁbrázolva az egzakt (n), és a különböző rendűTaylor polinomos közelítéseket (n1 n2 n3)Taylor-polinomos közelítéseket (n1, n2, n3)
22
1
1.5n r( )
n1 r( )
n2 r( )
0.5
0
n3 r( )
0 2 40
0
50 r
Látható, hogy még harmad rendig sem tekinthető kimondottan jó közelítésnek.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 8
Megvalósítás más módszerrelTraceProban illesszünk be egy (a gömbbel megegyező) 5 mm sugarúh t ú h h l j é f lé k (Y Z)
Megvalósítás más módszerrelhengert úgy, hogy a henger alapja nézzen felénk. (Y-Z)Törésmutatójának adjuk meg az n0 = 2 –es értéket, gradienstörésmutatójának pedig definiáljunk egy új törésmutatót Axial-Radialj p g j gy jtípusban.Az egyes koefficienseket a sorfejtésnek megfelelően adjuk meg:
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 9
Megvalósítás más módszerrelRendeljük hozzá az így definiált
Megvalósítás más módszerrelMaxwellj gy
törésmutatót a hengerünkhöz, úgy,hogy a gradiens törésmutatóorigója legyen a hengerünk geo-
Maxwell
metriai középpontja.Ezután nincs más dolgunk, mint kétsugárforrást definiálni a hengerg gpalástján az optikai tengellyel5°illetve -5° -os szöget bezárólag. Henger
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 10
Megvalósítás más módszerrelCsak jó közelítéssel kaptuk meg a várt eredményt. Ennek oka a (Taylor-
Megvalósítás más módszerrelj p g y ( y
soros) közelítés tökéletlensége. Tehát célravezetőbb a beépítetttörésmutató típust alkalmazni már csak az egyszerűség kedvéért is.
A i í l j löltA piros színnel jelöltnyalábok a Maxwelllencsén, míg afeketék a „kézzel”megadott törés-mutatójú hengerenj ghaladnak át.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 11
Standard Luneburg lencseA Standard-Luneburg lencse tulajdonsága, hogy speciális
Standard-Luneburg lencsetörésmutatójának köszönhetően a lencse felületéről induló széttartósugarakat a lencsét elhagyván egymással párhuzamossá teszi. Alencsére érkező egymással párhuzamos sugarakat pedig a lencsegy p g p gtúlsó felületén egy pontba fókuszálja.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 12http://en.wikipedia.org/wiki/Luneburg_lens
Standard Luneburg lencseStandard-Luneburg lencse
Készítsünk Standard-Luneburg lencsét!A gömb sugara legyen most is 5 mm és ismét 15 mm-re legyen ageometriai középpontja Z irányban az origótól. (többi koordináta zérus)Az n0 törésmutató legyen n0 = 1 546,1 nm-re.Definiáljuk a gradiens törésmutatót úgy hogy típusa a LuneburgDefiniáljuk a gradiens törésmutatót úgy, hogy típusa a „Luneburglens” legyen, Initial wavelength pedig 546,1 nm.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 13
Standard Luneburg lencseAlkalmazzuk a törésmutatókat a gömbön! A gradiens törésmutatóorigója legyen ezúttal is a gömb geometriai középpontja (Z = 15)
Standard-Luneburg lencseorigója legyen ezúttal is a gömb geometriai középpontja (Z 15)Végül definiáljunk két sugárforrást 546,1 nm-es hullámhosszal ésZ = 10 mm kezdőponttal. X körül forgassuk el egyiket +35°-al, másikat-35°-al Végezzünk sugárkövetést Láthatjuk hogy a széttartó35 al. Végezzünk sugárkövetést. Láthatjuk, hogy a széttartónyalábokat lencse párhuzamossá tette.A források szögeit változtatva láthatjuk, hogy különböző szögeknél ispárhuzamosak lesznek a nyalábokpárhuzamosak lesznek a nyalábok.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 14
Megvalósítás más módszerrelA Maxwell-féle halszemlencsénél már tárgyaltuk, hogy közelítő módszerrel islehetséges ilyesfajta törésmutatót megadni egy optikai elemnek
Megvalósítás más módszerrellehetséges ilyesfajta törésmutatót megadni egy optikai elemnek.Most vizsgáljuk meg a Standard-Luneburg lencsét, melynek törésmutatója:
2
2 ⎟⎞
⎜⎛ r
0 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=
Rnn
szerint változik.
Taylor sorba fejtésnél R = 5 mm, és n0 = 1 értékeket feltételezzünk.Sorba fejtés után az alábbit kapjuk:
11 2
1
2 1 2
1
2 1 2
1
2 ( )A Sorfejtés eredménye: n(r) =
1. rendig:
22 1−4
2
R2⋅ r2⋅+
1−32
2
R4⋅ r4⋅+
1−128
2
R6⋅ r6⋅+ O r8( )+
n1 r( ) n0 0− 014 r2⋅,:=
2. rendig:
3 rendig:
n2 r( ) n0 0− 014 r2⋅ 7 071 10 5−⋅,( ) r4⋅−,:=
n3 r( ) n0 0− 014 r2⋅ 7 071 10 5−⋅( ) r4⋅− 7− 071 10 7−⋅ r6⋅:=
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 15
3. rendig: n3 r( ) n0 0 014 r⋅ 7 071 10⋅,( ) r⋅ 7, 071 10⋅ r⋅,:=
Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelÁbrázolva az egzakt (n), és a különböző rendűTaylor-polinomos közelítéseket (n1 n2 n3)Taylor-polinomos közelítéseket (n1, n2, n3)
1 4
1.5
1.4n r( )
n1 r( )
n2 r( )1.2
1
n3 r( )
0 2 41
1
50 r
Látható, hogy a harmad renddel már igen jónak tekinthető közelítés.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 16
Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelIsmét illesszük be a Maxwell lencsénél használt hengert, melynekg , ytörésmutatóját most 1 –nek válasszuk. A gradiens törésmutatódefiniálásnál figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket, a megfelelőr-ekhez írjuk (ne a z függő rubrikákba!):r ekhez írjuk (ne a z függő rubrikákba!):
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 17
Megvalósítás más módszerrelMegvalósítás más módszerrelLuneburg
Az egzakt (beépített) lencse és az azzalkvázi ekvivalens közelítéssugárkövetéses eredményét láthatjuk. A
á f á k d fi iálá á ál t i
Luneburg
sugárforrások definiálásánál most is+5° illetve -5°-os szögben indulnak asugarak.A Maxwell féle halszemlencse esetéhezA Maxwell-féle halszemlencse esetéhezképest sokkal jobb egyezést kapunk azegzakt és az azt közelítő törésmutatójúközegbeli terjedés közt. Ennek oka, Hengerg j ,hogy ez esetben a 4 tagú Taylor-polinomos közelítés sokkal pontosabbvolt.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 18
Közeg melyben a fény pályája körKözeg, melyben a fény pályája kör
Szimuláljuk a fényterjedést törésmutatójú közegben!
rx
nn−
=1
0
Elméleti megfontolással belátható, hogy a sugár pályája ilyen közegben KÖR! Alevezetést most mellőzzük.
A i lá ió á l 1 5 (546 1 ) 10 !A szimuláció során legyen n0 = 1.5 (546,1 nm), r = 10 !
Készítsünk egy planparalell lemezt! Szélessége X irányban legyen 5 mm, Yirányban 1 mm és Z irányban 20 mm Középpontjaik X koordinátái legyen 2 5 Yirányban 1 mm és Z irányban 20 mm. Középpontjaik X koordinátái legyen 2,5, Ypedig 0,2Ebből helyezzünk egymás „fölé” összesen 3 azonos darabot!
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 19
Közeg melyben a fény pályája körA b áll ód kb il tí ú tö é t tó ált á t
Közeg, melyben a fény pályája körA programban nem áll módunkban ilyen típusú törésmutató változástmegadni, ezért fejtsük Taylor-sorba a függvényt z = 0 körül!
( ) ( ) K33
2210 zzznzn α+α+α+=
A Taylor-koefficiensek rendre a következők:.
15101 ,=α
00151001510
3
2
,,
=α=α
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 20
Közeg melyben a fény pályája körA bal oldali ábrán az egzakt törésmutató és közelítései, a jobb oldalin az
kt é téktől ló lté é k láth tók M áll íth tj k h h d
Közeg, melyben a fény pályája köregzakt értéktől való eltérések láthatók. Megállapíthatjuk, hogy a harmadrendű polinom már kellő pontosságú közelítést ad.
1.9
1.95 .2
1.8
.9
n_elm x( )
n1 x( )
n2 x( )
0.15
Δn1 x( )
Δn2 x( )
1.6
1.7n2 x( )
n3 x( )
n4 x( )
0.05
0.1Δn3 x( )
Δn4 x( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 31.4
1.5
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 21
30 x 30 x
Közeg melyben a fény pályája körA á lá h l tt l l ll l k k ú dj k k tt
Közeg, melyben a fény pályája körAz egymás alá helyezett planparalell lemezeknek úgy adjuk meg a kapottkoefficiensek alapján a gradiens törésmutatót, hogy a legfelsőnél csak azelső koefficienst, a középsőnél az első kettő koefficienst és a legalsónálmind a hármat megadjuk. Figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket,mind a hármat megadjuk. Figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket,a megfelelő z függő rubrikákba írjuk (ne az r függő rubrikákba!)
Mindhárom lemezre bocsássunk egy-egy sugarat úgy, hogy Z koor-Mindhárom lemezre bocsássunk egy egy sugarat úgy, hogy Z koordinátájuk 0, X koordinátájuk -1, Y koordinátájuk pedig az egyes lemezekközéppontja legyen. Mindhárom forrásból induló sugarakhoz más-másszínt rendeljünk és ezt állítsuk is be az Analysis / Ray Colors menüben.
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 22
Kö l b fé ál áj köAz eredményt az alábbi képen láthatjuk:
Közeg, melyben a fény pályája kör
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 23
Kö l b fé ál áj köAz fénysugár pályája és a simulókör
Közeg, melyben a fény pályája kör
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 24
Kö l b fé ál áj köKözeg, melyben a fény pályája kör
Láthatjuk, hogy a másod- és harmad-rendig megadott törésmutatójúanyagokban a nyalábok szinte ugyanúgy haladtak illetve közelanyagokban a nyalábok szinte ugyanúgy haladtak, illetve közelugyanabban a szögben hagyták el a lemezeket.A táblázatokban azonban megfigyelhetjük, hogy még így is van minimáliskülö b ékülönbség:
Kettő koefficiensig Három koefficiensig megadottKettő koefficiensig megadott törésmutatójú közeg
Három koefficiensig megadott törésmutatójú közeg
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 25
Mit ismertünk meg?Mit ismertünk meg?- A Luneburg-féle és a Maxwell’ Fish-eye lencse típúsú közegekben
tö té ő fé t j dé lí i i lá iójtörténő fényterjedés analízise, szimulációja.- Demonstráltuk, hogy a függvénnyel megadható
rx
nn−
=1
0
Kö k k
törésmutatójú közegben a fénysugár pályája kör.r
Következik:Rezonátorok- Rezonátorok
TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt 26