Post on 16-Jan-2016
description
Методы оптимизации - I
Проф. В.П. Кривошеев
Основные понятия
• Оптимизация есть процесс нахождения таких управлений или решений, при которых показатель функционирования объекта управления принимает наилучшее (минимальное или максимальное) значение.
• Критерий оптимальности есть количественный показатель функционирования объекта управления.
• Объект управления есть объект, в котором протекает управляемый процесс.
Виды критериев оптимальности:- целевая функция- функционал
Целевая функция есть математический оператор, который числу на входе ставит в соответствие число на выходе.
Функционал есть математический оператор, который функции на входе ставит в соответствие число на выходе.
Виды объектов управления:объект с сосредоточенными параметрами; объект с распределенными параметрами.
Объект с сосредоточенными параметрами – есть объект, в каждой точке которого в рассматриваемый момент времени характеризующие его состояние переменные принимают одни и те же значения.
Объект с распределенными параметрами – есть объект, в направлении координатных осей которого в рассматриваемый момент времени характеризующие его состояние переменные имеют различные значения (распределены в направлении координатных осей).
Состояния объекта управления
• Статическое состояние
• Динамическое состояние
Статическое состояние
Признаком статического состояния объекта управления является постоянство во времени переменных, характеризующих состояние объекта управления, т.е. dxi/dt = 0, где xi – переменные, характеризующие состояние объекта управления. Физически статическое состояние есть состояние, при котором имеет место
Приход (энергии, вещества) = = Расход (энергии, вещества)
Статическое состояние
Динамическое состояние
Признаком динамического состояния объекта управления является изменение во времени переменных, характеризующих состояние объекта управления, т.е. dxi/dt 0.
Физически динамическое состояние есть состояние, при котором имеет место
Приход (энергии, вещества) - Расход (энергии, вещества) Накопление или
истечение (энергии, вещества).
Переменные, характеризующие объект управления:
x1 … xm
u1 y1
ur yn
Входные переменные:
a) возмущающие (внешние) воздействия (xk, k=1,2,…,m);
b) управляющие воздействия (uj, j=1,2,…,r);
Выходные переменные (yi, i=1,2,…,n).
Объект управления
Связь переменных при статическом и динамическом состояниях объекта
Связь переменных при статическом состоянии объекта управления:
или ,
где .
),( uxy ),...,(),,...,(),,...,( 111 rmn uuxxyy uxy
,,...,1),,...,,,...,( 11 niuuxxy rmii
Связь переменных при статическом и динамическом состояниях объекта
Связь переменных при динамическом состоянии объекта управления: ,
или ,
где .
Здесь - переменная, характеризующая состояние объекта управления.
))(),...,(()),(),...,(()(
),,...,(),/)(,...,/)((/)(
11
11
tututytyt
ffdttyddttyddttd
rn
nn
uy
fy
))(),((/)( ttfdttd uyy ,,...,1
)),(),...,(),(),...,((/)( 11
ni
tututytyfdttdy rnii
)(tyi
Критерии оптимальности для объектов, находящихся в статическом состоянии:
a) для объектов с сосредоточенными параметрами – целевая функция в виде ;
b)для объектов с распределенными параметрами – функционал в виде
где ,l – пространственная координата.
Выбор критериев оптимальности для задач оптимизации объектов, находящихся в
статическом и динамическом состояниях
)( ux,QQ
,/)()(0 ll dlllQlQ ))()((/)( l,lFllQ ux
Критерии оптимальности для объектов, находящихся в динамическом состоянии есть функционал в виде:
, где,
t – время.
Выбор критериев оптимальности для задач оптимизации объектов, находящихся в
статическом и динамическом состояниях
tt dtdttdQtQ0
/)()( ))()((/)( t,tFdttdQ ux
Виды функций по количеству экстремумов - унимодальные, имеющие один экстремум - полимодальные, более одного экстремума
Виды экстремумов и наилучших значений функции
- локальный минимум полимодальной функции в точке ui*, если , или
и ;
- локальный максимум полимодальной функции в точке ui*, если , или
и ,
где i=1,2,…,k – число локальных экстремумов.
)()()( *** uQQuQ iii uuu
0/)( * uidudQ u
u 0/)( * uii
dudQ uu
)()()( *** uQQuQ iii uuu
0/)( * uidudQ u
u 0/)( * uii
dudQ uu
Виды экстремумов и наилучших значений функции
- супремум (sup Q (u)) при umin, если ;
- супремум (sup Q (u)) при umax, если ;
- инфимум (inf Q (u)) при umin, если ; - инфимум (inf Q (u)) при umax, если
; - глобальный минимум в точке ug, если ; - глобальный максимум в точке ug, если
.
))(),(),((max)( maxminmaxmin,,
min uuuu QQQQ ii
))(),(),((max)( maxminmaxmin,,
max uuuu QQQQ ii
))(),(),((min)( maxminmaxmin,,
min uuuu QQQQ ii
))(),(),((min)( maxminmaxmin,,
max uuuu QQQQ ii
))(),(),((min)( maxmin*
maxmin,,,...,2,1,uuuu QQQQ
ikiig
))(),(),((max)( maxmin*
maxmin,,,...,2,1,uuuu QQQQ
ikiig
Постановка задачи статической оптимизации
Q(X, U) min(max) U
yi=φi(X, U) , i=1,…,n, yi yi
зад, i=1,…,k, yi yiзад, i=k+1,…,p,
Ujmin Uj Uj
max, j=1,…,r,где X=(x1,…,xn) – вектор внешних возмущающих
воздействий, U=(u1,…,ur) – вектор управляющих воздействий, Y=(y1,…,yp) – вектор выходных переменных, yi
зад - заданные значения выходных переменных, Ω - область допустимых управлений. Требуется найти такие значения управляющих
воздействий U=(u1,…,ur), при которых выполняются приведенные выше условия, а критерий оптимальности Q принимает минимальное (максимальное) значение.
Необходимые условия корректной постановки задачи оптимизации
Оптимизация имеет место тогда, когда рассматриваемая система имеет степени свободы.
Число степеней свободы определяется по выражению:Число степеней свободы = Число искомых функций
(переменных) – Число их связывающих уравнений . Размерность задачи оптимизации определяется по
числу искомых функций (переменных), т.е. числом степеней свободы (ЧСС).
Задача одномерная, если ЧСС =1, и многомерная, если ЧСС >1.
Примеры корректной и некорректной постановок задачи оптимизации
Пример корректной постановки задачи оптимизации: Q(u1,u2) max(min),
u1,u2
a1u1+a2u2 = b1.Число степеней свободы = = 2 (искомые переменные u1, u2) – 1 (число уравнений,
связывающих переменные u1, u2) = 1.Пример некорректной постановки задачи оптимизации:
Q(u1,u2) max(min),
u1,u2
a11u1+a12u2 = b1,
a21u1+a22u2 = b2.
Число степеней свободы = 2 – 2 = 0.
Методы статической оптимизации
1. Классический метод исследования функции на экстремум
2. Методы нелинейного программирования:- численные методы решения
одномерной задачи статической оптимизации;
- численные методы решения многомерной задачи статической оптимизации
3. Линейное программирование4. Динамическое программирование в
дискретной форме
Классический метод исследования функций на экстремум
Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной Q=Q(u)
Необходимое условие: . Достаточное условие:Если при u=u* впервые в порядке возрастания k
, где k – четное, то Q=Q(u) имеет экстремум. Причем, если , то Q(u)min, а если , то Q(u)max.
Если при u=u* впервые в порядке возрастания k
, где k – нечетное, то Q=Q(u) не имеет экстремума.
0/)( * uduudQ
0/)( * ukk duuQd
0/)( * uduudQ
0/)( * uduudQ
0/)( * ukk duuQd
Примеры исследования функции одной переменной на экстремум
Пример 1. Q = (1-u)3. Необходимое условие экстремума :
3(1-u*)2(-1) = 0, u* =1.
Достаточное условие экстремума =
6(1-u*) = 6(1-1) = 0, .k = 3 – нечетное.
Ответ: при u* =1 исследуемая функция не имеет экстремума.
0/)( * uduudQ
*22 /)( uduuQd
06/)( *33 uduuQd
Примеры исследования функции одной переменной на экстремум
Пример 2. Q = (1-u)4.
Необходимое условие экстремума :
4(1-u*)3(-1) = 0, u* =1.
Достаточное условие экстремума =
12(1-u*)2 = 12(1-1)2 = 0,
= 24(1-u*) = 24(1-1) = 0,
= 24 = 0.
k = 3 – нечетное.
Ответ: при u* =1 исследуемая функция имеет минимум.
0/)( * uduudQ
*33 /)( uduuQd
*22 /)( uduuQd
*44 /)( uduuQd
Классический метод исследования функций на экстремум
Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных Q=Q(U) = Q(u1,…,ur). Необходимое условие: . Достаточное условие:Если при U=U* все диагональные миноры матрицы Гессе (Г):
(Г)
строго положительны, то функция Q=Q(U) имеет минимум. Если при U=U* нечетные диагональные миноры матрицы (Г) строго отрицательные, а четные строго положительные, то функция Q=Q(U) имеет максимум.
),...,(*,,...,1,0/)( **1* rj uurjuQ UU U
rrr
r
uu
Q
uu
Q
uu
Q
uu
Q
)()(
)()(
2
1
2
1
2
11
2
UU
UU
Примеры исследования функции нескольких переменных на экстремум
классическим методомПример 1. Q = u1+2u1
2+u2+4u22+3u1u2
Необходимое условие экстремума:
, 1+4u1*+3u2
* = 0;
, 1+8u2*+3u1
* = 0;
, ,
, u1
* = 1 / = -5/23,
u2* = 2 / = -1/23.
0/)( **,1 21 uuuQ U
0/)( **,2 21 uuuQ U
2393283
34 538
81
311
13413
142
Примеры исследования функции нескольких переменных на экстремум
классическим методомПример 1. Q = u1+2u1
2+u2+4u22+3u1u2.
Достаточное условие экстремума: ; ;; ;
Матрица (Г):
1-ый диагональный минор равен 4>0,
2-ой диагональный минор равен 48-33=32-9=23>0.
Ответ: при u1* = -5/23, u2
* = -1/23 исследуемая функция имеет минимум.
4/)( **,112
21 uuuuQ U
3/)( **,122
21 uuuuQ U
3/)( **,212
21 uuuuQ U
8/)( **,222
21 uuuuQ U
,83
34
)()(
)()(
22
2
12
221
2
11
2
uu
Q
uu
Q
uu
Q
uu
Q
UU
UU
Примеры исследования функции нескольких переменных на экстремум
классическим методомПример 2. Q = u1-2u1
2+u2+4u22+3u1u2
Необходимое условие экстремума:
, 1-4u1*+3u2
* = 0;
, 1+8u2*+3u1
* = 0;
, ,
, u1
* = 1 / = 5/41,
u2* = 2 / = -7/41.
0/)( **,1 21 uuuQ U
0/)( **,2 21 uuuQ U
4193283
34
538
81
311
73413
142
Примеры исследования функции нескольких переменных на экстремум
классическим методомПример 2. Q = u1-2u1
2+u2+4u22+3u1u2.
Достаточное условие экстремума: ; ; ; ;
Матрица (Г):
1-ый диагональный минор равен –4<0,
2-ой диагональный минор равен -48-33=-32-9=-41<0.
Ответ: при u1* = 5/41, u2
* = -7/41 исследуемая функция не имеет экстремума.
4/)( **,112
21 uuuuQ U
3/)( **,122
21 uuuuQ U
3/)( **,212
21 uuuuQ U
8/)( **,222
21 uuuuQ U
,83
34
)()(
)()(
22
2
12
221
2
11
2
uu
Q
uu
Q
uu
Q
uu
Q
UU
UU
Аналитическое решение задачи на условный экстремум
- Метод множителей Лагранжа.- Условие Куна-Таккера
Аналитическое решение задачи на условный экстремум при условиях типа равенства:
Q=Q(U) min, U j(U) = 0, j = 1,…,m, U = (u1,…,ur), m < r.
Задача решается методом множителей Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа
1. Составляется функция Лагранжа
где j, j=1,…,m,- множители Лагранжа.
2. Совместно решается система уравнений:
L(U,) / ui=0, i=1,…,r,
j(U) = 0, j = 1,…,m.
m
jjjQλL
1)()(),( UUU
Пример решения задачи методом множителей Лагранжа
Q = u12+u2
2 ,
u1+u2 – 1 = 0.
Функция Лагранжа L=Q(u1,u2)+ (u1,u2)= u1
2+u22 + (u1+u2
– 1),
L/u1= 2u1*+ = 0, L/u2= 2u2
*+ = 0,
u1*+u2
* – 1= 0, L/u1- L/u2= 2u1*- 2u2
*= 0, отсюда u1
*= u2*.
Используя это равенство в уравнении ограничения, получаем u1
*+ u1*= 0, или u1
*= 0,5; u2
*= 0,5.
Аналитическое решение задачи на условный экстремум
- Метод множителей Лагранжа.- Условие Куна-Таккера
Аналитическое решение задачи на условный экстремум при условиях типа неравенств:
Q=Q(U) min, U
j(U) 0, j = 1,…,m, U = (u1,…,ur).
Задача решается с использованием условий Куна-Таккера.
Условия Куна-Таккера
Рассматривается задача выпуклого программирования
Q=Q(U) min, U
j(U) 0, j = 1,…,m, U = (u1,…,ur),
где Q(U) и j(U) - выпуклые дифференцируемые функции. Алгоритм решения задачи.
1. Составляется функция Лагранжа:
где j, j=1,…,m,- множители Лагранжа.
m
jjjQλL
1)()(),( UUU
Условия Куна-Таккера
2. Совместно решается система уравнений и неравенств:
L(U,) / ui=0, i=1,…,r,
jj(U) = 0, j = 1,…,m, j 0, j = 1,…,m,
j(U) 0, j = 1,…,m.
К определению выпуклости функции
Пусть 0 1.
Произвольную точку на линии ab можно описать как a+(b-a)(1-)= a+(1-)b, т.е. при = 0 это точка b, а при = 1 это точка а.
В случае нелинейной функции ее значение в точке с = a+ (1-)b есть Q[ a+(1-)b].
К определению выпуклости функции
Значение линейной функции, проходящей через точки a и b, в точке с равно Q(a)+(Q(b) - Q(a))(c-a)/(b-a) = Q(a)+(Q(b) - Q(a))[a+(1-)b-a]/(b-a) = Q(a)+(Q(b) - Q(a))(1-) = Q(a)+ (1-)Q(b). Сравнивая значения исходной функции с линейной функцией в точке с можно записать условие выпуклости функции: если имеет место
Q( a+(1-)b)< Q(a)+ (1-)Q(b),
то исходная функция выпукла (лежит ниже линейной функции на отрезке [a,b]).
Примеры решения задачи с использованием условия Куна-Таккера
Пример 1. Q = u12+u2
2 min, u1, u2
u1+u2 1, или (u1,u2)= u1+u2
– 1 0,
L=Q(u1,u2)+ (u1,u2)= u12+u2
2 + (u1+u2 – 1).
Условия Куна-Таккера:* 0, L(U,) / uj = 0, *(u1
*,u2*) = 0, j=1,2.
Решение:L/u1= 2u1
*+ = 0, L/u2= 2u2*+ = 0,
(u1+ u2-1) = 0, u1+u2 – 1 0.
Пусть = 0, тогда u1*= 0, u2
*= 0.
Ограничение u1+u2 – 1 0 в точке u1= 0, u2= 0
пассивно.
Примеры решения задачи с использованием условия Куна-Таккера
Пример 1 (продолжение):Пусть 0, тогда u1+u2
– 1 = 0,
2u1= - , т.к. > 0, то u1< 0;
2u2= - , т.к. > 0, то u2< 0.В этом случае не выполняется условие u1+u2
– 1 = 0.Пример 2. Q = u1
2+u22 min,
u1, u2
u1+u2 1, или (u1,u2)= -u1-u2
+ 1 0,
L=Q(u1,u2)+ (u1,u2)= u12+u2
2 + (-u1-u2 + 1).
Условия Куна-Таккера:* 0, L(U,) / uj = 0, *(u1
*,u2*) = 0, j=1,2.
Примеры решения задачи с использованием условия Куна-Таккера
Пример 2 (продолжение):Решение:L/u1= 2u1 - = 0, L/u2= 2u2 - = 0,
(-u1 - u2 + 1) = 0, -u1-u2 +1 0.
Пусть = 0, тогда u1+ u2 -1 =0.
Ограничение -u1-u2 +1 0 в точке u1= 0, u2= 0
не выполняется.Пусть 0, тогда u1 = /2, u2 = /2,
u1= u2; -u1-u2 +1= 0, u1
*, u2*=1/2.
Ограничение -u1-u2 +1 0 в точке u1= 1/2,
u2= 1/2 активно.
Численные методы решения одномерных задач статической оптимизации
Сканирования (с постоянным и переменным шагом).
Половинного деления исходного интервала, содержащего экстремум.
«Золотого» сечения.
С использованием чисел Фибоначчи.
Метод сканирования с постоянным шагом
Функция Q(u), a u b.Алгоритм поиска: 1. Задается точность вычисления оптимального
значения uu*. 2. Интервал (b-a) делится на N отрезков, N (b-a)/ .3. В каждой точке ui =a+i (b-a) / N , i =0,1,…, N,
вычисляется функция Q(ui) и выбирается Q(u*) из условия Q(u* ) = max Q(ui) или
ui Q(u* ) = min Q(ui).
ui
Метод сканирования с переменным шагом Функция Q(u), a u b.Алгоритм поиска: 1. Задается точность вычисления оптимального
значения uu*.2. Интервал (b-a) делится на S отрезков, S << (b-a)/ .3. В каждой точке u1
i =a+i(b-a) / S, i =0,1,…,S, вычисляется функция Q(u1
i) и выбирается Q(u1*) из условия Q(u1*) = max Q(u1
i) или ui Q(u1*) = min Q(u1
i). ui
4. Назначают границы нового интервала поиска a1 и b1 из условия:
a1 = u1k-1, b1 = u1
k+1,
где u1k-1 и u1
k+1 есть значения, соседние с u1* = u1k.
Метод сканирования с переменным шагом
При максимизации функции Q=Q(u) max, u
Q(u1k-1) < Q(u1
k) = Q(u1*) > Q(u1k+1).
При минимизации функции Q=Q(u) min, uQ(u1
k-1) > Q(u1k) = Q(u1*) < Q(u1
k+1).
5. Пункты 2-4 повторяются для интервалов (b1 - a1), (b2 – a2),…, (bj - aj).
6. Расчет заканчивается при условии bj - aj .
Метод половинного деленияQ=Q(u) max(min), a u b
Поиск методом половинного деления
ba
Q(u)
uu1
2u11
Метод половинного деления Q=Q(u) max(min), a u b
Алгоритм поиска:1. Делится интервал (b-a) пополам u1 = a+(b-a)/2.2. Внутри интервала выбираются две точки u1
1 = u1 - и u12 = u1 +, где = (0.01-0.25).
3. Рассчитываются Q(u11) и Q(u1
2).
4. Определяются границы нового интервала a1 и b1.
Если Q=Q(u) max, то при Q(u11) > Q(u1
2) выбираем a1 = a, b1 = u1
2;
при Q(u11) Q(u1
2) выбираем a1 = u11, b1 = b;
Если Q=Q(u) min, то при Q(u11) > Q(u1
2) выбираем a1 = u1
1, b1 = b; при Q(u1
1) Q(u12) выбираем a1 = u1
1, b1 = u12;
5. Проверяется условие окончания поиска b1 - a1 . 6. Для каждого нового интервала (bi - ai) повторяются пункты 1-4 до выполнения условия bi - ai .
Метод «золотого» сечения Q=Q(u) max(min), a u b
Поиск методом «золотого» сечения
ba u11 u1
2
u
0.38(b-a)0.38(b-a)
Q(u)
0.62(b-a)
Метод «золотого» сечения Q=Q(u) max(min), a u b
Алгоритм поиска:1. Внутри интервала (b-a) выбираются две точки u1
1 = a+(3-5)(b-a)/2 и u12 = b-(3-5)(b-a)/2 .
2. Вычисляются Q(u11) и Q(u1
2).
3. Определяются границы нового интервала a1 и b1.
Если Q=Q(u) max, то при Q(u11) > Q(u1
2) выбираем a1 = a, b1 = u1
2;
при Q(u11) Q(u1
2) выбираем a1 = u11, b1 = b.
Если Q=Q(u) min, то при Q(u11) > Q(u1
2) выбираем a1 = u1
1, b1 = b; при Q(u1
1) Q(u12) выбираем a1 = a, b1 = u1
2; 4. Проверяется условие окончания поиска b1 - a1 .
Метод «золотого» сечения Q=Q(u) max(min), a u b
Алгоритм поиска (продолжение):5. Если условие окончания поиска в пункте 4 не выполняется, на интервале (b1 - a1) со стороны, не смежной с меньшим отрезком, от граничной точки откладывается длина меньшего отрезка.6. Проводится перенумерация точек:
- ближайшая к левой границе обозначается u21;
- ближайшая к правой границе обозначается u22;
7. Для каждого нового интервала (bi - ai) повторяются
пункты 2-6 до выполнения условия bi - ai .
Метод с использованием чисел Фибоначчи Q=Q(u) max(min), a u
b
Поиск с использованием чисел Фибоначчи
ba )(23,0 ab
Q(u)
uu2 u1
0.23(b-a)
0.38(b-a)
Метод с использованием чисел Фибоначчи Q=Q(u) max(min), a u
bАлгоритм поиска:
1. Определяется число N, N = (b-a)/ . 2. В ряду чисел Фибоначчи находят Fs-1 < N < Fs, где F0 = F1 =1, Fi = Fi-2 + Fi-1 , i = 2,3,4,…
3. Вычисляется = (b-a) / Fs. 4. Выполняется 1-й шаг: u1 = a + *Fs-2 и вычисляется Q
= Q(u1). 5. Выполняется 2-й шаг: u2 = a + *Fs-2-1 и вычисляется Q = Q(u2).
Метод с использованием чисел Фибоначчи Q=Q(u) max(min), a u
bАлгоритм поиска (продолжение):
6. Дальнейшие шаги:
ui+1 = ul ± sign(ui – ui-1) sign(Q(ui) - Q(ui-1))* Fs-2-i ,
где ul - значение u, при котором достигнуто наилучшее значение функции. Знак (+) ставится в задаче Q(u) max, знак (-) ставится в задаче Q(u) min. На каждом шаге вычисляется функция Q(u). Поиск заканчивается после использования числа Фибоначчи F0 ,
т.е. когда будут исчерпаны все числа Фибоначчи от Fs-2 до F0 .
Численные методы решения многомерных задач статической оптимизации
Многомерная функция
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min) u
u1
u1*
u2*
u2
Q(u1*,u2*)
Численные методы решения многомерных задач статической оптимизации
Формирование линий уровня многомерной функции
Рассматриваются методы: Гаусса-Зейделя, градиента, наискорейшего спуска (подъема), случайного поиска..
2U
1U
Q(u1*,u2*)
u1
u2
Метод Гаусса-Зейделя
Поиск методом Гаусса-Зейделя.
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r.
u1
u2
u1
Метод Гаусса-Зейделя Q(u1,…,ur)max(min) u
Алгоритм поиска (заданы i, ):1. Выбирается исходная точка поиска u1 = (u1
1, …,u1r) и вычисляется Q = Q(u1).
2. Из точки u1 осуществляется движение по переменной u1
u21 = u1
1 h1 (sign (Q)/( u1)|u=u1)до выполнения условия |Q / u1| 1.3. Пункт 2 повторяется из полученной точки для переменной u2. Аналогично осуществляется движение по всем оставшимся переменным u3,u4,…, ur.4. Проверяется выполнение условия окончания поиска
5. В случае невыполнения пункта 4 повторяются пункты 1-4, принимая за исходную точку поиска ту, в которую пришли в пункте 4.
.)/( 2
1
i
r
iuQ
Метод градиента
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r. Градиент функции Q(u):
где Ki - вектор, определяющий направление по i-ой координатной оси.Модуль градиента Направление градиента
,)(
)(1
uuu
ui
r
ii u
QKQGrad
.)(
)(1
2
r
i iu
QQGrad uu
uu
.,...,1,)(
/)(cos rj
QGrad
uQ jj
uu
u
Метод градиента
Поиск методом градиента.
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r.
u1
u2
u1
Метод градиента
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r. Алгоритм поиска (задано ): 1. Выбирается исходная точка поиска u1 = (u1
1, …,u1r)
2. Вычисляется
3. Проверяется выполнение условия окончания поиска
4. Если условие окончания поиска выполнено, то поиск окончен. 5. Если условие окончания поиска не выполнено, то выполняется шаг uk+1
i = uki hk cos j в направлении
градиента, где знак (+) для задачи Q(u) max, знак (-) для задачи Q(u) min.
.)(
)(1
2
11
r
i iu
QQGrad
uuu
u
.)( kGradQ u
Метод градиента Алгоритм поиска (продолжение):
Если то uk+1i = uk
i h0(Q(u)/ ui)|uk , где h0 – базовое значение шага. 6. Сравниваются значения функций Q(uk) и Q(uk+1). Если для Q(u) max выполняется Q(uk+1) > Q(uk), или для Q(u) min выполняется Q(uk+1) < Q(uk), то пункты 2-6 повторяются до выполнения условия окончания поиска в пункте 3. Если для Q(u) max имеет место Q(uk+1) Q(uk), или для Q(u) min имеет место Q(uk+1) Q(uk), то возвращаются в точку u = uk, уменьшают шаг h0 и переходят к пункту 5.
.,...,1,
)/)((
/)(cos
2
1
ri
uQ
uQkk
i
r
j
ii
u
u
uu
,)(0kk GradQhh u
Метод наискорейшего спуска (подъема).
Поиск методом наискорейшего спуска Отличается от метода градиента, тем, что движение из выбранной точки uk в направлении n градиента производится до выполнения условия
i = 1,…,r.
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r.
u1
u1
u2
,)()(
iii
kku
Q
u
Q
uu
uu
Метод движения по дну оврага
Поиск методом движения по дну оврага
Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r.
u1
u2
u8
u3
u2
u4
u5 u6
u7
u1
Метод движения по дну оврага Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), ui
min ui uimax, i = 1,…,r.
u Алгоритм поиска:1. Задается hmin. 2. Выбор исходной точки поиска u1 и спуск из нее в направлении GradQ(u1) на дно оврага в точку u2. 3. Смещение из точки u1 в точку u3 на небольшое расстояние ортогонально направлению GradQ(u1) и спуск из нее в направлении GradQ(u3) на дно оврага в точку u4. 4. Сравнение значений функций Q(u2) и Q(u4) в точках u2 и u4, лежащих на дне оврага. 5. Если для Q(u) max имеет место Q(u4) Q(u2), или для Q(u) min имеет место Q(u4) < Q(u2), то в направлении от u2 к u4 из u4 выполняется рабочий шаг h и переход в точку u5, лежащую на склоне оврага (хребта).
Метод движения по дну оврага Решается задача Q(u1,…,ur) max(min), ui
min ui uimax, i = 1,…,r.
u
Алгоритм поиска (продолжение):6. Спуск на дно оврага из точки u5 в точку u6. Все точки, лежащие на дне оврага, имеют четные индексы и обозначаются u2+2i (i = 0,1,2,…). Все точки, лежащие на склоне оврага (хребта), имеют нечетные индексы и обозначаются u3+2i (i = 0,1,2,…). 7. Сравнение значений функций в соседних точках u2+2i и u2+2(i+1), лежащих на дне оврага. 8. Если для Q(u) max имеет место Q(u2+2(i+1)) > Q(u2+2i ), или для Q(u) min имеет место Q(u2+2(i+1)) < Q(u2+2i), то в направлении от u2+2i к u2+2(i+1) из u2+2(i+1) выполняется рабочий шаг h и переход в точку u3+2(i+1) , лежащую на склоне оврага (хребта).
Метод движения по дну оврагаРешается задача
Q(u1,…,ur) max(min), uimin ui ui
max, i = 1,…,r. u
Алгоритм поиска (окончание):9. Если для Q(u) max (или Q(u) min) имеет место Q(u2+2(i+1)) Q(u2+2i ) (соответственно Q(u2+2(i+1)) Q(u2+2i), то выполняется возвращение в точку u3+2i и уменьшение рабочего шага h, например вдвое.10. Проверяется выполнение условия h hmin. 11. Если условие окончания поиска выполнено, то оптимальное значение u* полагается равным u2+2i. 12. Если условие окончания поиска не выполнено, то движение из точки u2+2i с полученным шагом по направлению от u2+2(i-1) к u2+2i и переход в точку u3+2i, а из нее спуск на дно оврага в точку u2+2(i+1). 13. Переход к пункту 7.
Решение задач оптимизации на условный экстремум методом штрафных функцийРешение задач оптимизации при условии типа
равенства
Решается задача Q(u) = Q(u1,…,ur) max(min), u
j(u1,…,ur) = 0, j = 1,…,m. Формируется штрафная функция ,где , > 0 - большое число,при котором, за исключением малой окрестности около
границ j(u) = 0, должно выполнятся условие , i = 1,…,r.
Знак (+) принимается для задачи Q(u) min, знак (-) принимается для задачи Q(u) max.
)()()( uuu HQ )()(
1
2
m
jjH uu
ii u
H
u
Q
)()( uu
)()()( uuu HQ )()(
1
2
m
jjH uu )()(
1
2
m
jjH uu
Решение задач оптимизации на условный экстремум методом штрафных функций
Решение задач оптимизации при условии типа равенства
Трансформирование линии уровня при условиях типа равенства
Линии уровня функции Q(u) трансформируется в линии уровня функции (u) за счет штрафной составляющей H(u), уплотняясь вдоль границы. Чем больше величина и чем больше нарушаются ограничения, тем линии уровня ближе к границе.
u1
u2
Q1(u)1(u)
(u1,u2)=0( u1,u2)<0(u1,u2)>0
Решение задач оптимизации на условный экстремум методом штрафных функцийРешение задач оптимизации при условии типа
неравенства
Решается задача Q(u) = Q(u1,…,ur) max(min), u
j(u1,…,ur) 0, j = 1,…,m. Формируется штрафная функция
, где
sign(u) = -1, если j(u) < 0, sign(u) = -1, если j(u) > 0, - большое положительное число.Знак (+) принимается для задачи Q(u) min, знак (-) принимается для задачи Q(u) max.
)())(1()()(1
uuuu j
r
jjsignQ
Решение задач оптимизации на условныйэкстремум методом штрафных функций
Решение задач оптимизации при условии типа неравенства
Трансформирование линии уровня при условиях типа неравенства
Линии уровня функции Q(u) трансформируется в линии уровня функции (u) за счет штрафной составляющей
, уплотняясь со стороны
запретной области вдоль границ j(u) = 0, j = 1,…,m. Чем больше коэффициент и чем сильнее нарушаются ограничения, тем плотнее линии уровня функции (u) приближаются к границе со стороны запретной области.
)())(1(1
uu j
m
jjsign
u1
u1u2
Q(u)
(u)(u1,u2)=0
(u1,u2)<0(u1,u2)>0
Методы случайного поиска Решается задача
Q(u1,…,ur)max(min), u
uimin ui ui
max, i = 1,…,r.
Рассмотрим:
- метод слепого поиска
- метод случайных направлений
Метод слепого поиска Q(u1,…,ur)max(min),
u ui
min ui uimax, i = 1,…,r.
Заданы: объем области v = r, определяющей точность вычисления вектора оптимальных управлений u*=(u1,…,ur), в допустимой области
изменения переменных ui, (i=1,…,r) объемом V
= 1; вероятность , с которой требуется попасть в область r расположения вектора u*.
Метод слепого поиска Q(u1,…,ur)max(min),
u ui
min ui uimax, i = 1,…,r.
Алгоритм метода: 1. Вычисляется число точек s в области допустимых значений ui, (i=1,…,r), при котором гарантируется попадание хотя бы одной из них в область v. Из выражения = 1-(1-v)s имеем s = ln(1-) / ln(1-v). 2. Выбираются s совокупностей случайных чисел ui, (i=1,…,r), определяющих uk, (k=1,…,s). 3. Вычисляются значения функции Q = Q(uk), (k=1,…,s) и выбирается наилучшее из них.
Метод случайных направлений Решается задача
Q(u1,…,ur) max(min), uimin ui ui
max, i = 1,…,r. u
Формируется вектор случайных направлений
= (1,…,r), где ,
i, j - случайные числа.
r
jjii
1
2/
Поиск методом случайных направлений u1
u2
u1
Метод случайных направлений Решается задача
Q(u1,…,ur) max(min), uimin ui ui
max, i = 1,…,r. u
Алгоритм поиска:1. Задаются hmin и число S неудачных
направлений из одной точки.2. Выбирается исходная точка поиска u1 и
вычисляется Q = Q(u1). 3. Из выбранной точки выполняется шаг hk в
случайном направлении uk+1i = uk
i + hk·, i = 1,…,r, и вычисляется Q = Q(uk+1) (для 1-го шага k=1).
4. Сравниваются значения функций Q(uk) и Q(uk+1).
Метод случайных направлений Решается задача
Q(u1,…,ur) max(min), uimin ui ui
max, i = 1,…,r. u
Алгоритм поиска (продолжение):5. Если для Q(u) max имеет место Q(uk+1) > Q(uk),
или для Q(u) min имеет место Q(uk+1) < Q(uk), то для точки uk+1 выполняются пункты 3-4.
6. Если для Q(u) max имеет место Q(uk+1) Q(uk), или для Q(u) min имеет место Q(uk+1) Q(uk), то возвращение в точку uk.
7. Проверяется выполнение условия окончания поиска s S, при h hmin , где s - число неудачных направлений из точки uk.
8. Если условие пункта 7 выполняется, то оптимальное u* = uk.
9. Если условие пункта 7 не выполняется, то длина последнего шага уменьшается, например, вдвое, и для точки u = uk выполняются пункты 3-9.
Линейное программирование Особенности задач линейного
программирования
Линейность целевой функции и линейность условий связи варьируемых переменных является особенностью задач линейного программирования.
a11u1+a12u2+…+a1nun b1 a21u1+a22u2+…+a2nun b2 ···········································am1u1+am2u2+…+amnun bm
ui 0, i = 1,…,n.
n
iiiuCCQ
10)(u
Линейное программирование Особенности задач линейного
программирования
В пространстве переменных ui, i = 1,…,n, геометрическая фигура целевой функции, изображающая условие Q(u) = Const, есть гиперплоскость, а область допустимых значений переменных в соответствии с приведенными выше условиями является многогранником. Грани многогранника - плоскости, а ребра многогранника - прямые линии, причем эта область выпуклая.
Линейное программирование Особенности задач линейного
программирования
Область допустимых управлений в задаче линейного программирования
u6=0
u5=0
u4=0u3=0u1=0
u2=0
u1
u2
u*
Q(u) = Const
Линейное программирование Особенности задач линейного
программирования
В связи с изложенным оптимальному состоянию системы в задаче Q(u) min (max)соответствует одна из вершин многогранника ограничений или оптимальное решение имеют бесчисленное множество точек, принадлежащих одной из граней многогранника ограничений. Последнее имеет место в том случае, когда коэффициенты при соответствующихпеременных ui, i = 1,…,n, в целевой функциипропорциональны коэффициентам при тех же переменных в одном из условий связи. В задачах линейного программирования целевая функция называется линейной формой.
Линейное программирование Особенности задач линейного
программирования
Систему неравенств, связывающих переменные, можно переписать в канонической форме a11u1+a12u2+…+a1nun + un+1 b1
a21u1+a22u2+…+a2nun + un+2 b2
······················································ am1u1+am2u2+…+amnun + un+m bm
un+j 0, j = 1,…,m.Теперь уравнения границ, получаемых при
обращении исходных условий связи из неравенств в равенства, можно записать в виде
uk 0, (k=1,…,n,n+1,…,n+m).
Линейное программирование Особенности задач линейного программирования
Рассматривая общее число переменных u1, u2, …, un, un+1, …, un+m,отметим следующее свойство задач линейного программирования:в вершинах многогранника ограничений ровно столько переменных обращаются в ноль, сколько степеней свободы имеет система, а остальные переменные в ноль не обращаются.Анализ числа степеней свободы системы показывает, что имеется m уравнений, связывающих n+m переменных uk (k=1,…,n+m). Следовательно, число степеней свободы ровно n+m-m=n. Таким образом, в вершине многогранника ограничений ровно n переменных из uk (k=1,…,n+m) обращаются в ноль. Эти переменные называются свободными переменными. Остальные m переменных в ноль не обращаются и называются базисными переменными. Вершины многогранника ограничений называются базисами.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Сущность симплекс-метода состоит в том, что из исходного базиса переходят одним шагом в соседний с ним базис. Проверяют выполнение условий оптимальности в этом базисе. Если условие оптимальности не выполняется, то из этого базиса переходят в другой соседний с ним базис. Алгоритм решения задачи симплекс-методом: 1. Выбирается исходный базис с координатами u1 = (u1,…,ur, un+1,…, un+m) = (0,…,0, b1,…, bm). 2. Систему связи, взятую в канонической форме, записывают в виде выражений базисных переменных через свободные, т.е. uk = bk - ak1u1 - ak2u2 -…- aknun, k = 1,…,m.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Алгоритм решения задачи симплекс-методом (продолжение): Линейная форма так же выражается через свободные переменные Q(u)=C0+C1u1+…+Ci-1ui-1+Ciui+Ci+1ui+1+…+Cnun. 3. В выражении линейной формы выбирается та переменная ui, увеличение которой в области u 0 относительно исходного базиса вызывает улучшение линейной формы. 4. Рассматриваются построчно отношения константы bk к коэффициенту aki при переменной ui. Причем, при коэффициенте aki должен быть отрицательный знак.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Алгоритм решения задачи симплекс-методом (продолжение): 5. Выбирается j-я строка из системы связей, удовлетворяющая условию bj/aji = min bk/aki, где k только для коэффициентов aki, k =1,…,n, имеющих при себе отрицательный знак. un+1= b1-a11u1-…-a1,i-1ui-1-a1,iui-a1,i+1ui+1-…-a1nun ……………………………………………………………. un+j-1= bj-1-aj-1,1u1-…-aj-1,i-1ui-1–aj-1,iui-aj-1,i+1ui+1-…-aj-1,nun
un+j= bj-aj,1u1-…-aj,i-1ui-1–aj,iui-aj,i+1ui+1-…-aj,nun
un+j+1=bj+1-aj+1,1u1-…-aj+1,i-1ui-1-aj+1,iui-aj+1,i+1ui+1-…-aj+1,nun
………………………………………………………... un+m= bm–am,1u1-…-am,i-1ui-1–am,iui-am,i+1ui+1-…-am,nun
В выбранной строке коэффициент aji называется разрешающим элементом, а сама строка называется строкой, содержащей разрешающий элемент.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Алгоритм решения задачи симплекс-методом (продолжение): Заметим, что при принятии переменной ui значения ui = bi/aji переменная un+j обращается в ноль. Следовательно, осуществлен переход в соседний базис, где переменная uj приняла значение, равное нулю, т.е. стала свободной. При указанном значении ui = bi/aji условие un+k 0 (k=1,…,m) выполняется. 6. Из строки, содержащей разрешающий элемент, выражается ui
ui=bi/aji-(aj,1/aji)u1-…-(aj,i-1/aji)ui-1-(1/aji)un+j-(aj,i+1/aji)ui+1-
…-(ajn/aji) un и подставляется в остальные строки системы уравнений связи.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Алгоритм решения задачи симплекс-методом (продолжение): После приведения подобных членов получается un+1= b1-a11u1-…-a1,i-1ui-1-a1,n+jun+j-a1,i+1ui+1-…-a1nun ………………………………………………………….. un+j-1= bj-1-aj-1,1u1-…-aj-1,i-1ui-1–aj-1,n+jun+j-aj-1,i+1ui+1-…-aj-1,nun
un+j= 0 un+j+1= bj+1-aj+1,1u1-…-aj+1,i-1ui-1–aj+1,n+jun+j –aj+1,iui - aj+1,i+1ui+1-…-aj+1,nun………………………………………………………… un+m= bm–am,1u1-…-am,i-1ui-1–am,n+jun+j-am,i+1ui+1-…-am,nun
7. Выражение ui подставляется в линейную форму. После приведения подобных членов получается: Q(u) = C0+C1u1+…+Ci-1ui-1+Cn+jun+j+Ci+1ui+1+Cm+num+n.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Алгоритм решения задачи симплекс-методом (продолжение): 8. Записываются координаты базиса, в который пришли u2 = (u1,…,ui-1, un+j, ui+1,…,un, ui+1,…, un+j-1, ui, un+j+1,…,
um+n) = (0,…,0,0,0,…, b1,…, bj-1, bi= bj/ aji,…, bn+m).
Значение линейной формы в этом базисе Q = C0.
9. Проверяется условие оптимальности базиса u2.
Если для базиса u2 в задаче Q(u) min имеет место Ci
> 0, а в задаче Q(u) max имеет место Ci < 0, где Ci - любой из коэффициентов линейной формы, исключая C0, то базис u2 является оптимальным.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Алгоритм решения задачи симплекс-методом (окончание): 10. Если условие оптимальности не выполняется, то в выражении линейной формы Q(u) выбирается переменная, улучшающая линейную форму при возрастании этой переменной, и повторяются пункты 4-9. При практической реализации симплекс-метода переход от одного базиса к другому и проверка базиса на оптимальность формализуется с использованием упрощающих приемов в форме симплекс-таблиц.
Симплекс-таблицы
Система ограничений представляется в виде un+1+a11u1+…+a1,i-1ui-1+a1,iui+a1,i+1ui+1+…+a1nun= b1
····················································································
un+j-1+aj-1,1u1+…+aj-1,i-1ui-1+aj-1,iui+aj-1,i+1ui+1+…+aj-1,nun= = bj-1
un+j +aj,1u1+…+aj,i-1ui-1+aj,iui+aj,i+1ui+1+…+aj,nun= bj
un+j+1+aj+1,1u1+…+aj+1,i-1ui- 1+aj+1,iui+aj+1,i+1ui+1+… … +aj+1,nun= bj+1
·······························································································
un+m+am,1u1+…+am,i-1ui-1+am,iui+am,i+1ui+1+…+am,nun= bm, а линейная форма представляется в виде Q(u) - C1u1-….- Ci-1ui-1- Ciui- Ci+1ui+1-…-Cnun = C0. В приведенных уравнениях свободными переменными являются
un+1,…,un+m. Координаты исходного базиса u1 = (u1,…,ur, un+1,…, un+m) = (0,…,0, b1,…, bm).Этому состоянию соответствует симплекс-таблица 1.
Симплекс-таблицы
б/п с/п переменные
un+1 … un+j-1 un+j un+j+1 …un+m u1 … ui-1 ui ui+1 … un
un+1 b1 1 … 0 0 0 … 0 a11 … a1,i-1 a1,i a1,i+1 … a1n
… … … … … … … … … … … … … … …
un+j-1 bj-1 0 … 1 0 0 … 0 aj-1,1 … aj-1,i-1 aj-1,i aj-1,i+1 …aj-1,n
un+j bj 0 … 0 1 0 … 0 aj,1 … aj,i-1 aj,i aj,i+1 … aj,n
un+j+1 bj+1 0 … 0 0 1 … 0 aj+1,1 … aj+1,i-1 aj+1,i aj+1,i+1 …aj+1,n
… … … … … … … … … … … … … … …
un+m bm 0 … 0 0 0 … 1 am,1 … am,i-1 am,i am,i+1 … am,n
л/ф
QC0 0 … 0 0 0 … 0 -C1 … -Ci-1 -Ci -Ci+1 … -Cn
Симплекс-таблица 1
Симплекс-таблицы
Пусть разрешающим элементом является aji. Тогда очередной шаг симплекс-метода состоит в переходе от базиса u1 к базису u2 = (u1,…,ui-1, ui, ui+1,…,un, un+1,…, un+j-1, un+j, un+j+1,…, um+n) = (0,…,0, bj/ aji,0,…, 0, b1,…, bj-1, 0, bj+1,…, bm) через систему: un+1+ã1,iu1+…+ã 1,i-1ui-1+ã 1,jun+j+ã 1,i+1ui+1+…+ã 1nun= b'1 …………………………………………………………..un+j-1+ã j-1,1u1+…+ã j-1,i-1ui-1+ã j-1,jun+j+ã j-1,i+1ui+1+…+ã j-1,nun = b'j-1uj +ã i,1u1+…+ã i,i-1ui-1+ã i,jun+j+ã i,i+1ui+1+…+ã i,nun= b'iun+j+1+ã j+1,1u1+…+ã j+1,i-1ui-1+ã j+1,jun+j+ã j+1,i+1ui+1+…+ã j+1,nun = b'j+1
…………………………………………………………..un+m+ã m,1u1+…+ã m,i-1ui-1+ã m, jun+j+ã m,i+1ui+1+…+ã m,nun= b'mПри этом линейная форма принимает вид: Q(u) - C'1u1-….- C'i-1ui-1- C'jun+j- C'i+1ui+1-…-C'nun = C'0. Базису u2 соответствует симплекс-таблица 2.
Симплекс-таблицы
б/п с/п переменные
un+1 …un+j-1 un+j un+j+1 … un+m u1 … ui-1 ui ui+1 … un
un+1 b'1 1 … 0 a'1,i 0 … 0 a'11 … a'1,i-1 0 a'1,i+1 … a'1n
… … … … … … … … … … … … … … … …
un+j-1 b'j-1 0 … 1 a'j-1,i 0 … 0 a'j-1,1 …a'j-1,i-1 0 a'j-1,i+1 …a'j-1,n
ui b'i 0 … 0 a'j,i 0 … 0 a'j,1 … a'j,i-1 1 a'j,i+1 … a'j,n
un+j+1 b'j+1 0 … 0 a'j+1,i 1 … 0 a'j+1,1 …a'j+1,i-1 0 a'j+1,i+1 …a'j+1,n
… … … … … … … … … … … … … … … …
un+m b'm 0 … 0 a'm,i 0 … 1 a'm,1 … a'm,i-1 0 a'm,i+1 … a'm,n
л/ф
QC'0 0 … 0 -C'n+j 0 … 0 -C'1 … -C'i-1 0 -C'i+1 … -C'n
Симплекс-таблица 2
Симплекс-таблицы
Координаты базиса u2 = (u1,…,ui-1,ui, ui+1,…,un, un+1,…,un+j-1,un+j,un+j+1,…,um+n) = (0,…,0,b'i,0,…, 0,b'1,…,b'j-1,0,b'j+1,…,b'm).
Линейная форма в этом базисе Q = C'0. Строки симплекс-таблицы 2 формируются
следующим образом:1. Выбираются варьируемая переменная,
например ui, и отыскивается разрешающий элемент aji.
2. Строка, содержащая разрешающий элемент an+j,i, умножается на величину 1/an+j,i. Значения полученных при этом элементов записываются на месте соответствующих элементов старой строки.
Симплекс-таблицы
3. К каждой из строк симплекс-таблицы 1 поочередно прибавляется полученная в пункте 2 строка, умноженная на такой коэффициент, при котором сумма элементов двух складываемых строк в столбце ui обращается в нуль .
4. Анализируются элементы строки линейной формы. Если, за исключением C'0, все C'k (k-для коэффициентов при n свободных переменных) удовлетворяют условию C'k > 0 в задаче максимизации линейной формы (C'k < 0 в задаче минимизации линейной формы), то найдено оптимальное решение. Если указанные условия не выполняются, то вычисления продолжаются относительно полученного базиса переходом к пункту 1.
Симплекс-таблицы Пример. Минимизировать линейную форму Q = u1 – u2. Система ограничений в каноническом виде:
u3 + u1 – 2u2 = 1,u4 + 2u1 + u2 = 2,u5 + 3u1 + u2 = 3.
Линейную форму запишем в виде Q-u1+u2= 0.Симплекс-таблица 1:
базовыепере-
менные
свобод.члены
переменныеu3 u4 u5 u1 u2
u3 1 1 0 0 1 -2u4 2 0 1 0 -2 1u5 3 0 0 1 3 1
лин.ф. 0 0 0 0 -1 1
Симплекс-таблицы Координаты первого базиса u1 = (u1,u2,u3,u4,u5)= = (0,0,1,2,3), линейная форма Q = 0.В качестве варьируемой переменной выбираем u2. Разрешающий элемент a42 = 1.Согласно алгоритму формирования симплекс таблиц получим для второго базиса:
базовыепере-
менные
свобод.члены
переменныеu3 u4 u5 u1 u2
u3 5 1 2 0 -3 0u2 2 0 1 0 -2 1u5 1 0 -1 1 5 0
лин.ф. -2 0 -1 0 1 0
Симплекс-таблицы Координаты второго базиса u2 = (u1, u2, u3, u4, u5) = (0,2,5,0,1), линейная форма Q = -2.Так как коэффициенты линейной формы при свободных переменных u1 и u4 второго базиса не удовлетворяют условиям минимума линейной формы, то расчет продолжаем, переходя к третьему базису, формируя для него симплекс-таблицу.
базовыепере-
менные
свобод.члены
переменныеu3 u4 u5 u1 u2
u3 5.6 1 1.4 0.6 0 0u2 2.4 0 0.6 0.4 0 1u1 0.2 0 -0.2 0.2 1 0
лин.ф. -2.2 0 -0.8 -0.2 0 0Так как коэффициенты линейной формы при свободных переменных имеют отрицательный знак, то оптимальное решение найдено. Координаты оптимального базиса
u3 = (u1, u2, u3, u4, u5) = (0.2, 2.4, 5.6, 0, 0). Значение линейной формы в этом базисе Q = -2.2.