Post on 11-Apr-2017
Системи числення1. Вступ2. Двійкова система3. Вісімкова система4. Шістнадцяткова система5. Інші системи числення
Автор Ю.К. ПоляковПереклад В.Семенюка
Системи числення
Тема 1. Вступ
3
ВизначенняСистема числення – це спосіб запису чисел за
допомогою спеціальних знаків – цифр.
Числа:123, 45678, 1010011, CXL
Цифри:0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавіт – це набір цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типи систем числення: непозиційні – значення цифри не залежить від
її місця (позиції) в запису числа; позиційні – залежить…
4
Непозиційні системиУнарна – одна цифра позначає одиницю (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
РимськаI – 1 (палець), V – 5 (розкрита долонь, 5 пальців),
X – 10 (дві долоні), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)
5
Римська система численняПравила: (за звичай) не ставлять більше трьох однакових цифр
підряд якщо молодша цифра (тільки одна!) стоїть зліва від
старшої, вона обчислюється із суми (частково непозиційна!)
Приклади: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M CCC LXXX IX
= 1644
6
Приклади:
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =
7
Римська система численняНедоліки:
для запису великих чисел (>3999) потрібно вводити нові знаки-цифри (V, X, L, C, D, M)
як записати дробові числа? як виконувати арифметичні дії:
CCCLIX + CLXXIV =?
Де використовуються:
номера розділів у книжках:
позначення століть:
циферблат годинника
8
Словянська система численняалфавітна система числення (непозиційна)
9
Позиційні системиПозиційна система: значення цифри визначається її позицією у записі числа.Десяткова система: першопочатково – лічба на пальцяхвинайдена в Індії, запозичена арабами, завезена до ЄвропиАлфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основа (кількість цифр): 10
3 7 82 1 0 розряди
сотні десятки одиниці
870300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Інші позиційні системи:• двійкова, вісімкова, шістнадцяткова (інформатика)• дванадцяткова (1 фут = 12 дюймів, 1 шилінг = 12 пенсів)• двадцяткова (1 франк = 20 су)• шістидесяткова (1 хвилина = 60 секунд, 1 година = 60 хвилин)
Системи числення
Тема 2. Двійкова система числення
11
Переведення цілих чиселДвійкова система: Алфавіт: 0, 1Основа (кількість цифр): 2
10 2
2 10
19 2918
124 8
122 4
021 2
020 0
1
19 = 100112
система числення
100112
4 3 2 1 0 розряди
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19
12
Приклади:
131 = 79 =
13
Приклади:
1010112 =
1101102 =
Коли двійкове число парне? ділиться на 8??
14
Переведення дробових чисел
10 2
2 10
0,375 = 2
101,0112
2 1 0 -1 -2 -3 розряди
= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
,7500 0,75 2 ,501 0,5 2 ,01
0,7 = ? 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2
Багато дробових чисел неможна представити у вигляді конечних двійкових дробів.
Для їх точного збереження потрібне безмежне число розрядів.
Більшість дробових чисел зберігаються в пам’яті з помилкою.
2-2 = = 0,25221
0,0112
15
Приклади:
0,625 = 3,875 =
16
Арифметичні операції
додавання віднімання
0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=01-0=1 102-1=1
переніс
заєм
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
00
011 02
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 120
21
0 102
1 0
0 1 1 102
010
17
Примеры:
1011012
+ 111112
101112
+ 1011102
1110112
+ 110112
1110112
+ 100112
18
Приклади:
1011012
– 111112
110112
– 1101012
19
Арифметичні операції
множення ділення
1 0 1 0 12
1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1 12 1 1 12
– 1 1 12
0
20
Плюси і мінуси двійкової системи• потрібні технічні пристрої тільки з двома стійкими
станами (є струм — немає струму, намагнічено — не намагнічено і т.д.);
• надійність і завадостійкість двійкових кодів;• виконання операцій з двійковими числами для
комп’ютера набагато простіше, ніж з десяковими.
• прості десяткові числа записуються у вигляді безмежних двійкових дробів;
• двійкові числа мають багато розрядів;• запис числа в двійковій системі однорідний,
тобто містить тільки нулі і одиниці; тому людині складно його сприймати.
Системи числення
Тема 3. Вісімковасистема числення
23
Вісімкова системаОснова (кількість цифр): 8Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 8
8 10
100 81296
481 8
480 0
1
100 = 1448
система числення
1448
2 1 0 розряди
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
24
Приклади:
134 = 75 =
1348 =758 =
25
Таблиця вісімкових чисел
X10 X8 X2 X10 X8 X2
0 0 000 4 4 1001 1 001 5 5 1012 2 010 6 6 1103 3 011 7 7 111
26
Переведення у двійкову і навпаки
810
2
• трудомісько• 2 дії
8 = 23
Кожна вісімкова цифра може бути записана як три двійкових (трiада)!
!
17258 =1 7 2 5
001 111 010 1012{ { { {
27
Приклади:
34678 =
21488 =
73528 =
12318 =
28
Переведеня з двійкової системи
10010111011112
Крок 1. Розбити на триади, починаючи справа:
001 001 011 101 1112
Крок 2. Кожну триаду записати одною вісімковою цифрою:
1 3 5 7
Відповідь: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1
29
Приклади:
1011010100102 =
111111010112 =
11010110102 =
30
Арифметичні операції
додавання
1 5 68
+ 6 6 28
1
6 + 2 = 8 = 8 + 05 + 6 + 1 = 12 = 8 + 41 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
1 в переніс
1 в переніс
080 41 в переніс
31
Приклад
3 5 38
+ 7 3 68
1 3 5 38
+ 7 7 78
32
Арифметичні операції
обчислення
4 5 68
– 2 7 78
(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
заєм
781 5
заєм
33
Приклади
1 5 68
– 6 6 28
1 1 5 68
– 6 6 28
Системи числення
Тема 4. Шістнадцяткова система числення
35
Шістнадцяткова системаОснова (кількість цифр): 16Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 16
16 10
107 16 696
11160 0
6
107 = 6B16
система числення
1C516
2 1 0 розряди
= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
A,10
B,11
C,12
D,13
E,14
F 15
B
C
36
Приклади:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =
37
Таблиця шістнадцяткових чисел
X10 X16 X2 X10 X16 X2
0 0 0000 8 8 10001 1 0001 9 9 10012 2 0010 10 A 10103 3 0011 11 B 10114 4 0100 12 C 11005 5 0101 13 D 11016 6 0110 14 E 11107 7 0111 15 F 1111
38
Переведення у двійкову систему
1610
2
• трудомісько• 2 дії
16 = 24
Кожна шістнадцяткова цифра може бути записана як чотири двійкових (тетрада)!
!
7F1A16 =7 F 1 A
0111{ { 1111 0001 10102{ {
39
Приклади:
C73B16 =
2FE116 =
40
Переведення з двійкової системи
10010111011112
Крок 1. Розбитт на тетради, починаючи справа:
0001 0010 1110 11112
Крок 2. Кожну тетраду записати одною шістнадцятковою цифрою:
0001 0010 1110 11112
1 2 E F
Відповідь: 10010111011112 = 12EF16
41
Приклади:
10101011010101102 =
1111001101111101012 =
1101101101011111102 =
42
Переведення у вісімкову і навпакитрудомісько
3DEA16 = 11 1101 1110 10102
1610
82
Крок 1. Перевести у двійкову систему:
Крок 2. Розбити на триади:
Крок 3. Триада – одна вісімкова цифра: 011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528
43
Приклади:
A3516 =
7658 =
44
Арифметичні операції
додавання
A 5 B16
+ C 7 E16
1 6 D 916
10 5 11+ 12 7 14
11+14=25=16+95+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
1 в переніс
1 в переніс
13 961
45
Приклад:
С В А16
+ A 5 916
46
Арифметичні операції
віднімання
С 5 B16
– A 7 E16
заєм
1 D D16
12 5 11– 10 7 14
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заєм
131 13
47
Приклад:
1 В А16
– A 5 916
Системи числення
Тема 5. Інші системи числення
49
Трійкова урівноважена система
Задача Баше:Знайти такий набір з 4 важків, щоб з їх допомогою на шальках рівноплечих ваг можна було зважити вантаж масою від 1 до 40 кг включно. Важки можна розташовувати на будь-якій шальці ваг.
50
Трійкова урівноважена система
+ 1 гиря справа 0 гиря снята– 1 гиря зліва
Вага важок:1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кгПриклад:27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1 1 1 13ур =Реалізація:ЕОМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)50 промислових зразків
40
Трійкова система!!
51
Кінець