ТЕМА УРОКУ:

“ Похідна та її застосування”

урок алгебри та початків аналізу в 11 класі

• узагальнити та систематизувати знання з теми “Похідна”;

• удосконалити вміння у застосуванні цих знань при розв’язуванні задач;

• виховувати цікавість до математики, наполегливість і уважність, вміння працювати в колективі;

• розвивати творче та логічне мислення.

Мета уроку:

Розум людський має три ключі, які все

відкривають:знання, думка, уява.

Віктор Гюго

• Дайте означення похідної функції f(x) в точці • Який механічний зміст похідної?• Який геометричний зміст похідної?• Сформулюйте теорему про похідну суми двох

функцій;• Сформулюйте теорему про похідну добутку двох

функцій;• Сформулюйте теорему про похідну частки двох

функцій;• Запишіть рівняння дотичної, проведеної до

графіка функції f(x) у точці з абсцисою

Бліцопитування:0х

0х

До відкриття похідної незалежно один від одного До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих учених.прийшли два відомих учених.

- - Ісаак Ньютон, означаючи похідну, виходив із Ісаак Ньютон, означаючи похідну, виходив із задач механіки.задач механіки.

Задача про миттєву швидкість:

tSV

0t

lim (t)S (t)

)(' 0xftgk

))((')( 000 xxxfxfy

рівняння дотичної до графіка функціїрівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою в точці з абсцисою 0x

Задача про дотичну до кривої

- - Готфрід Вільгельм Лейбніц, означаючи Готфрід Вільгельм Лейбніц, означаючи похідну, виходив із геометричних задач.похідну, виходив із геометричних задач.

)(xfy

Вперше загальний спосіб побудови дотичної до Вперше загальний спосіб побудови дотичної до кривої був викладений у “Геометрії” Декартакривої був викладений у “Геометрії” Декарта

Більш загальним і важливим для розвитку диференціального числення був метод побудови дотичних, який запропонував

П’єр Ферма.

А сам термін «похідної» і позначення А сам термін «похідної» і позначення f `(x)f `(x) ввів ввів

французький математик Жозеф Луї Лагранжфранцузький математик Жозеф Луї Лагранж

Завдання для першої групи:

)(xf )(xf 21

На рисунку зображений графік функції y = f(x) та дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти

Завдання для другої групи:На рисунку зображений графік функції y = f(x) та дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти )(xf )(xf 21

Завдання для третьої групи: На рисунку зображений графік функції y = f(x) та

дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти )(xf )(xf 21

Завдання для четвертої групи:

)(xf )(xf 21

На рисунку зображений графік функції y = f(x) та дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти

Задача № 11.16 (3)(підручник для поглибленого вивчення математики

“Алгебра11” під ред. Мерзляка А.Г.)

Складіть рівняння дотичної до графіка функції , якщо ця дотична

паралельна прямій у = 2х + 1.

Задача № 11.26 (підручник для поглибленого вивчення математики

“Алгебра11” під ред. Мерзляка А.Г.)

На графіку функції знайдіть точку, дотична в якій перпендикулярна до прямої

у – 2х + 1 = 0

11032 23 xxxxf

12 xf(x)

Розв’язування задач:№1. Матеріальна точка рухається за законом s(t)=2t2 + 5t, де s

вимірюється в метрах, а t в секундах. Знайти значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 64 м/с. (ЗНО – 2011)

№2. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)= (час t вимірюється в секундах, шлях s – в метрах). Визначити

прискорення його руху в момент t = 10 с (ЗНО – 2008)

№3. Дві матеріальні точки рухаються за законами: s1(t)=12 + 15t – t2 і s2(t)=5 – 5t + 4t2. Яку відстань пройде перша точка з моменту, коли швидкості цих двох точок стануть однаковими? (пробне ЗНО – 2008)

№4. Матеріальна точка рухається за законом s(t)=t2 + 4t+2. У який момент часу швидкість точки дорівнює

7 км/год? (ЗНО – 2009)

Логічний лабіринт

х2 + sin x 2x + cos x

х5 х525

sin2 x ?

8 + sin2 x sin 2x

1 + cos2 x - sin 2x

x + tg x ?

5x2 – 3x 10x - 3 10

sin x cos x - sin x

x cos x ? ?

sin2x

cos x – x sin x

1+ 1/cos2x

- 2 sin x – x cos x

А

“ Не махай на все рукою,

Не лінуйся, а учись,

Бо чого навчишся в школі,

Знадобиться ще колись!”

Домашнє завдання:Повторити пункти 9 – 11

Виконати:

№ 11.17, № 11.22, № 11. 27