第三节 空间曲线

3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4 空间曲线在一点临近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线

3.1 空间曲线的密切平面

定义： 过空间曲线上 点的切线和 点邻近 一点 可作一平面 ，当 点沿着曲线趋

于 时，平面 的极限位置 称为曲线在 点的密切平面。

且把过 点与密切面垂直的直线称为曲线在 点的副法线。

思考：平面曲线的密切面？

,( )f E E

PPQ Q P

P

P P

密切平面的方程

设曲线 是 类曲线， 上的点 及 其邻近一点 ，根据泰勒公式有：

其中 ，

由于切向量 及 都在平面 上，因此他们的线性组合

也在平面 上，即 在平面 上，从而知

: ( )r r t 0 0( )P t2C

,0( )r t

0( )Q t t

0 0 0

2, ,,

0 0

( ) ( )

( ) ( ( ) )2

PQ r t t r t

ttr t r t

0lim 0t

,, ,

0 0 02

2( ) [ ( )]r t PQ tr tt

0PQ

,

0 02

2 [ ( )]PQ tr tt

,,0( )r t

在所求密切面上。 当 时， 就是所求密

切面的一个法向量，所以曲线 在 点的密切面方程为

即 其中 表示 点的密切平面上任一

点的向径。也可以用行列式表示：

, ,,0 0( ) ( ) 0r t r t

, ,,0 0( ) ( ) 0r t r t

, ,,0 0 0[ ( )] [ ( ) ( )] 0R r t r t r t

0P

, ,,0 0( ) ( )r t r t

, ,,0 0 0( ( ), ( ), ( )) 0R r t r t r t

{ , , }R X Y Z 0P

0 0 0, , ,

0 0 0,, ,, ,,

0 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( )

X x t Y y t Z z tx t y t z tx t y t z t

如果曲线是平面曲线，那么它在每一点的密切平面都是曲线所在的平面。

反之，如果一条曲线的密切平面固定，则曲线是平面曲线。

例：求螺线 上点 的密切平面

例：求曲线 在点 的密切面

cos , sin ,x t y t z t (1,0,0)

( ) { cos , sin , 2 }t tr t e t e t t( )P t

命题： 空间曲线 为平面曲线的

充要条件是

: ( )r r t , ,, ,,,( , , ) 0r r r

3.2空间曲线的基本三棱形

给出 类曲线 和 上一点 。设曲 线 的自然参数表示是 其中 是自然参数，则

是一单位向量， 称为曲线 上 点的单位切向量

( )C2C ( )C( )r r s

s drrds

p( )C

( )C p

由于 ，由第一节命题可知

即 在 上取单位向量

称为曲线 上 点的主法向量。再作单位向量

称为曲线 上 点的副法向量。

1 ,

r r

r

r

( )C p

( )C p

我们把两两正交的单位向量称为

曲线上 点的伏雷内标架。

由 知伏雷内标架构成右手系。

, , p

因为 ，所以切向量和主法向量所确定

的平面就是曲线 在 点的密切平面，又因为

和 都垂直于切向量 ，所以 和 所确定的平面是曲线上 点的法平面 ， 和 所确定的平面则称为曲线

上 点的从切平面

( )C,r r

p

p

( )Cp

方程分别为：密切平面

或

法平面

或

从切平面

或

( , , ) 0R r

( , , ) 0R r r r

( ) 0R r

( ) 0R r r

( ) 0R r

( ) 0R r r

单位向量 称为曲线的基本向量。由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面所够成的图形称为曲线的基本三棱形

, ,

对于曲线 的一般参数表示有

( )r r t

, , ,,

, , ,,, ,r r r

r r r

, , ,, , ,, ,

, , ,,

( ) ( )r r r r r rr r r

3.3空间曲线论的基本公式

定义： 空间曲线 在 点的曲率为

其中 为 点及其邻近点 间的弧长， 为

曲线在点 和 的切向量的夹角。

曲率刻画了曲线的弯曲程度。

( )C p

1ps 0

( ) lims

k ss

pp 1p

对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转，所以有刻画曲线弯曲程度的量－－－挠率。用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度。

现在设曲线 上一点 的自然参数为 ，另 一邻近点 的自然参数为 ，在

两点作曲线 的副法向量 和 ，此两个副法向量的夹角是由第一节命题知（ P11）

几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。

( )C1P 1,P P

sPs s

( )s

0lims s

( )C ( )s s

定义：曲线 在 点的挠率为

挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。

,( )s

当 和 异向，

，当 和 同向。

( )C P

空间曲线的伏雷内公式

( )

( ) ( )

( )

k s

k s s

s

＝

这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基 本向量 关于弧长 的微商可以用

的线性组合来表示。系数组成反称的方阵

， ， s

0 ( ) 0( ) 0 ( )0 ( ) 0

k sk s s

s

， ，

曲率和挠率的一般参数表示式

给出 类的空间曲线曲率的一般参数表示式

一般参数表示的挠率计算公式

3C ( )C ( )r r t, ,,

3,

r rk

r

, , , , , ,

, , , 2（r , r , r ）＝ (r r )

空间曲线 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲 线 上一点 的主法线的正侧取线段

使 的长为 。 以 为圆心，以为半

径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线 在 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。

( )P s

( )C

( )C

1k

PCC

( )CPC 1

k

( )P s

P42 例 求圆柱螺线 的曲率和挠率。

例 证明曲率恒等于零的曲线是直线。

例 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线。

{ cos , sin , }( )r a a b

练习： 1. 求半径为 的圆的曲率。 2.利用基本公式求曲线

的基本向量、曲率、挠率。 3. 设曲线 的挠率曲率

曲率半径为 则 在以原点为中 心的 球面上的充要条件是

R

{ (1 sin ), (1 cos ), }( 0)r a t a t bt a

: ( )r r t 0 0k

r

3.4空间曲线在一点邻近的结构我们研究空间曲线在一点临近的形状。

在 类曲线 上取一点 ，为了研究点 临近的形状，在它临近再取一点利用泰勒公式有

其中

3C ( )r r s 0( )r s0( )r s s

0lim 0s

20 0 0 0

30

1( ) ( ) ( ) ( )( )2!

1 ( ( ) )( )3!

r s s r s r s s r s s

r s s

0( )r s

由于

所以

其中 而

等表示在点 的值。

, ,r r k

2( ) ,r k k k k k k k k

20 0 0 0 0

2 30 0 0 0 0 0 0

1( ) ( ) ( )2!

1 ( )( ) ,6

r s s r s s k s

k k k s

1 0 2 0 3

0 0 0 0 0 0, , , , ,k

0( )r s

由上式可得

在 的每一个分量中只取第一项，则有

2 30 0 0 1 0

2 3 30 0 2 0 0 0 3 0

1( ) ( ) [ ( )( ) ]6

1 1 1[ ( ) ( )( ) ] [ ( )]( )2 6 6

r s s r s s k s

k s k s k s

0 0 0, ,

2 30 0 0 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )2 6

r s s r s s k s k s

现在取 为新坐标系，并取 为计算弧长的始点，则有 ，如果

为曲线上点 的临近点的新坐标，则有

0 0 0 0[ ( ) ]r s ； ， ， 0( )r s0 0s s s , ,

0( )r s

20 0

30 0

,1( ) ,2

1 ,6

s

r s k s

k s

它可以看作在 点邻近，曲线 的近似方程。由此看出，曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。

0( )r s ( )r r s

下面我们通过曲线在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状。

近似曲线在法平面 上的投影是

消去参数 后有

它是半立方抛物线

s

0 2 3

0 0 01 10), ,2 6k s k s （

22 30

0

20), ,

9k

（

曲线在从切平面 上的投影是

消去参数 后，有

它是立方抛物线

0 3

0 010), , ,6

s k s （

30 0

10), ,6k （

s

曲线在密切平面 上的投影是

它是抛物线

0

20

10), ,2k （

通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状。

从以上分析可以看出：1.曲线穿过法平面和密切平面，但不穿过从切平面。2.主法向量总是指向曲线凹入的方向，这就是主法向量正向的真正意义。

3. 当 时，曲线在 附近是右旋的；当

时，曲线在 附近是左旋的，这就是挠率的几何意义。

0 0 0 0 0P0P

3.5空间曲线论的基本定理

曲线的每一点都有确定的曲率和挠率，如果以弧长为参数，则有这两个关系式只与曲线本身有关，而与曲线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我

们把 称为空间曲线的自然方程。

( ), ( )k k s s

( ), ( )k k s s

空间曲线论的基本定理：

给出闭区间 上的两个连续函 数 ，则除了空间的位置差别外，

惟一地存在一条空间曲线，使得参数 是曲线的 自然参数，并且 和 分别为曲线的曲率和挠

率，即曲线的自然方程为

0, ( )s s 0 1[ . ]s s

s( )s

( )s

( ), ( )k s s

为了确定曲线的位置，设 时，曲线对 应空间 点（即 ），并且

在该点的基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向量

0s s0 0( )r s r

0 0 0, ,

0P

证明（ 1 ）以 和 为系数建立微分方程组

（ 1.23）

根据微分方程组解的存在定理，此方程对于初始条件 时有唯一一组解：

( )s ( )s

( )

( ) ( )

( )

drds

d sds

d s sdsd sds

0s s 0 0 0, ,

这是以 为端点的曲线。

下证

是两两正交的右手系的单位向量

0r( ), ( ), ( ), ( ),r r s s s s

( ), ( ), ( )s s s

（ 2）再作微分方程组：

( ) 2 ,

( ) 2 ,

( ) 2 ,

( ) ,

( ) ,

( ) ,

d dds dsd dds dsd dds ds

d d dds ds dsd d dds ds dsd d dds ds ds

利用（ 1.23），则上述微分方程组可成为

（ 1.24）

( ) 2 ( ) ,

( ) 2 ( ) 2 ( ) ,

( ) 2 ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ,

d sds

d s sds

d sds

d s s sdsd s s sds

d s sds

由已知条件 在 连续；时

是两两正交的右手系的单位向量，即

根据微分方程组解的存在定理，存在唯一的一组解。但是当

（ 1.25）

时方程组（ 1.24）被满足，所以它们是（ 1.24）的一组解。

( ), ( )s s 0 1[ , ]s s 0s s

0 0 0, , 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1, 1, 1,0, 0, 0,

1, 1, 1,0, 0, 0,

由上述（ 1.25 ）可知 是两两正交的单位向量。于是有

但是混合积 是 的连续函数，由于当

时它等于 +1 ，所以对于所有的 都为+1 ，即 成右手系。

由此得出 是两两正交的构成右手系的单位向量。

, ,

( , , ) 1,

( , , ) s0s s

s

, ,

, ,

（ 3 ）由于已得到 ，把（ 1.23）中的第一个式 子两端积分，利用初始条件 即得曲线

的方程 （ 1.26）

（ 4 ）因为 所以弧长

即 若取 则得 为曲线的自然参数

（s）0 0r(s )=r

0

( )s

ss ds0r=r

1r

（s）

0 00

s s

s sr ds ds s s

= 0=s-s 0s =0 =ss

（ 5 ）由 可知 为曲线的切向量，

再由 ，可得 为

曲线的曲率。有（ 1.23 ）中的第二式可知 是所求曲线的主法向量。再根据（ 2 ）， 是曲线

的副法向量。所以 是曲线的基本向量。

drds

（s）k

= (s) =（s） （s）（s）

（s）( ), ( )s s （s）,

（ 6）曲线的挠率为

由以上可见，由方程（ 1.26）所确定的曲线是以 为自然参数， 为曲率， 为挠率的曲

线。

2

2

2

2

2

( , ( ) , ( ) ( ) )

( , ( ) , ( ) ( ( ) ( ) ( ) ))

( ) ( )( , , )

( )

s s sk

s s s s sk

s sk

s

2( r ,r ,r )= k

( )s( )ss

现在证明唯一性 设 和 是两条曲线，它们在对应点 有相同的

曲率 和挠率 ，经过适当的刚体运动，可以 使曲线 和 在对应于自然数为 的点连

同在这点的基本三棱形相重合。 我们设 和 为分别对应于 曲线 和 的基本向量。两组向量函数

和 都是方程组（ 1.23）的解，并且这些解具有相同的初始条件，根据微分方程论的解的存在定理，这两组解是完全相同的。特别是

即 ，积分后得

1(C ) 2(C ) s( )k s ( )s

2(C )

0s

1 1 1, , 2 2 2, ,

2 2 2( ), ( ), ( )s s s 1 1 1( ), ( ), ( )s s s

1 2 （s）=（s） 1 2dr drds ds

1 2( ) ( ) ( )r s r s c c ，为常向量

1(C ) 2(C )

1(C )

但是 ，于是有 ，所以得到

因此 ，曲线 与 重合，这就是说，曲线

和 在空间只有位置的差别根据上述定理，曲线除了在空间中的位置外，由它的自然方程

唯一确定。

1 0 2 0r(s）=r (s ) c=01 2r(s）=r (s)

( ), ( )k k s s

1(C ) 2(C )1(C ) 2(C )