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广义相对论课堂 14等效原理和弯曲时空度规理论
2011.10.28
课程安排• 复习内容:引力场中运动钟、 EEP
• 新内容:引力红移实验、 Einstein 转盘、等效原理 => 度规理论、 LIF 条件
• 下次课: Einstein 方程简介、 Schwarzchild 度规
引力时间膨胀
不同地点 = 固定限制条件(静态 + 近似)
对应原理 + 加速钟原理
引力时间膨胀——固定点• 加速系推导中怎么体现固定?
– 加速火箭– SR 匀加速系——习题 6(c)+7(a)
不同地点,但非固定——运动
引力场中任意钟走时率比较引力 × 运动学
分解 =Lorentz×Einstein= 运动学 × 引力
• V=0• 总是竞争?
– Feynman 火箭、习题 6.10
– Box6.2 、习题 6.14
2
2
21
c1
c
V-1
2
2
21
cc
V-1
时空度规理论静态弱场 static weak field
• Weiberg 第 3.4 节
Vessot & Levine 1979 火箭引力红移实验
Hartle §10.1
§10 五大经典检验
火箭红移实验构造设计(自动)雷达异频收发机
天才设计:自动异频收发• 固定?• 教材第 221 页第二段第一句 : a transponde
r on the rocket , which then sends it back again at the frequency it was received.
• 收(音、视) + 发
需要准确到 Doppler 效应二阶
往返 Doppler 效应是叠乘,非叠加!
• k≈1+V+V2/2• k2=(1+V)/(1-V)≈(1+V)(
1+V+V2)
≈(1+V)2+V2(1+V)
≈1+2V+2V2
– 往返是否有二阶?– 教材错!有 4 倍的二阶
Doppler
Einstein 引力场 = 弯曲时空?四点
引力时间膨胀 = 时间弯曲闵氏时空一体几何转盘——非欧几何
潮汐引力
弯曲时间
弯曲时空类比地球球面
弯曲直观 = 测地线减速偏离正曲率两次相交——习题 6.14
潮汐引力• 径向拉伸 + 横向挤压
– 三种摆法• 潮汐加速度 = ?测地
线偏离加速度 = 曲率
123
21
2112 r
r-r
MGM-F
Einstein 转盘:匀速 V
• L0= 桌面测得外围周长• L= 转盘系测得自身盘周长
0000
-1/2
2
2
LLLLL
L
C
V-1
,
量杆 rod=ruler 尺子
Ehrenfeist 佯谬
非欧几何:周径比
L/D
/DL
LLL
0
00
• 曲率正 or 负?– ( 2.19 )式
• 空间弯曲• 时空平直
– 匀加速系
Einstein 引力场 = 弯曲时空?四点
• 转盘——非欧几何——空间弯曲• 闵氏时空一体几何• 引力时间膨胀 = 时间弯曲• 潮汐引力
三个等级的等效原理引力理论
• WEP----no one violate it!
• EEP (nongravitational laws)metric theory
• SEP GR ???
Einstein 等效原理
WEP
LLI=Local Lorentz Invariance
LPI=Local Position Invariance
WEP
• The trajectory of a point mass in a gravitational field depends only on its initial position and velocity, and is independent of its composition.
–运动学——力学——》其他物理 LLI
–点质量—— SEP
–FFF——preferred—— 对应原理 LIF
LLI=Local Lorentz Invariance
• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of the velocity of the freely-falling reference frame in which it is performed.– local– 非引力 = 失重自由下落—— FFF
• SEP• 例:电磁——精细结构常数测量
– 速度——相对性原理– SR
LPI=Local Position Invariance
• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of where and when in the universe it is performed.– 局域非引力同 LLI——EEP vs SEP– 何地——引力红移实验– 何时——物理学常数– 上两者合起来——时空 position
EEP— 》 Metric Theory
Metric theory
• 1 、 Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν.
• 2 、测地线– The trajectories of freely falling test bodies
are geodesics of that metric.
• 3 、 local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the
non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity.
不同 Metric theory
• 不同在于 1 怎么来的——决定引力场的场方程不同
• Brans-Dicke ——scalar+tensor
• Einstein GR—— tensor
第一点:时空有一个度规结构
WEP+LLI
度规几何 = 度量空间=Riemann 几何 =线元
回忆第 2 章 + 第 5 章闵氏几何• 数学上—— Riemann 几何
– 任意维 2+ 、• 物理上——相对论四维时空• 线元 vs 坐标 =• 几何(体) vs 坐标• 绝对 vs 任意
线元 =二次型• 二次型:正定、负定、不定• 惯性指数、号差、 Sylvester 惯性定律• 相对论四维时空 3+1
• 换个角度——矩阵
度规 = 实对称矩阵• 看成矩阵• 实对称矩阵 gμν=gνμ
– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμν-gνμ)dxαdxβ
– 对角化归一化– 习题 7.8– 四维时空独立分量几个?
• 10
第一点之二:度规——坐标
度规张量度规分量度规函数
度规张量分量、函数• 度规函数相当于场的势函数– 弱场
• Weinberg坐标变换讲述——例:平面几何极坐标—— Hartle 2.6– 习题 7.7 张量的坐标变换定义
局部惯性系Local Inertial Frame
物理意义条件
局部惯性系意义• WEP 自由下落—— preferred 轨迹• LIF—— 时间延伸—— FFF
• LLI
局部惯性系 2 条件Cartersian or Lorentz
• 条件一: g'μν(x'p)=ημν
– 局域平直时空• 条件二:
– 意义:度规 = 势;偏导数 ~ 势梯度 = 引力 =0
• 非条件:三阶偏导数——不全为 0– 意义: 20 个独立的组合曲率
0x
g
pxx
局部惯性系例子• 极坐标 (r=1,0)• 匀加速系 (ξ1=0)• 转动系——习题 7.3• 球面球极坐标——例 7.2
第一点之二:度规——坐标
度规张量度规分量度规函数
(弯曲)时空的一般描述Hartle 第 7 章
也可平直时空中的曲线、加速、转动系(纯数学)空间
不存在全局惯性系global
• 有局部,但与全局坐标变换非处处相同• 全局笛卡尔直角坐标系——球面 ×
• 没有全局的参考系(平直时空的惯性观者),但是有全局坐标系
• 参考系 / 观者 = 相同运动态的钟尺系统 /网格 =
• 微分几何数学可严格证明——有曲率则不存在
全局坐标系及其由来• 任意、只要提供了几何点的独一无二的标记,例如任意单值函数
• 可以从几何或物理角度,例如双曲极坐标、同一匀加速的观者群
• 活动标架--一条世界线=一个观者(已经确定了时间轴)+三个空间轴– 例:匀加速系
• 特定情况从对称性、 Einstein 方程解得 vs任意
• 奇性——坐标 vs 几何
坐标的意义• 不要太在意名称
– Hartel (7.4) vs (7.5)– 一般约定– 上下文
• 物理上某些坐标的意义在初始推导时设定了,其他要从线元分析得出——第 7.6 节
EEP— 》 Metric Theory
Clifford Will
• Thorne 学生——精确解• Will, C.M., Theory and experiment in gravitationa
l physics, (Cambridge University Press, 1993), 2nd edition图书馆有第 1版
• The Confrontation between General Relativity and Experiment– Living Rev. Relativity, 9, (2006), 3
• http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3– Living Reviews in Relativity
• Max Planck Institute for Gravitational Physics• (Albert Einstein Institute)• Am M¨uhlenberg 1, 14424 Golm, Germany
下次课• Einstein 方程简介• 7.6 重点
– Schwarzchild 度规