第八讲 数论理论介绍

上海交通大学计算机科学系 郑东

本讲介绍数论的概念及在 galois 域中计算的概念

1. 数论介绍 数论概念 : 研究“离散数字集合” 运算是“ +” ,“×” 例 : 整数 : 5 + 9 = 14; 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 多项式 : x2+1 + x = x2+x+1; x × x2+1 = x3

+x

运算概念 运算 : 模数运算 模多项式运算 进一步运算 : 指数运算 ,逆运算理解公钥算法的基础

2. 整除 对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb, 称 b 整除 a, 也称 b 是 a的因子 记作 b|a 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24

3. 素数与不可约多项式 素数 : 只有因子 1 和自身 1 是一个平凡素数 例 2,3,5,7 是素数 , 4,6,8,9,10 不是 素多项式或不可约多项式 irreducible: 不可写成其他因式的乘积 x2+x = x × x+1 是非不可约多项式 ; x3+x+1 是不可约多项式

4. 一些素数 200 以内的素数 : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

5. 素数分解 (PrimeFactorisation) 把整数 n 写成素数的成绩 分解整数要比乘法困难 整数 n 的素数分解是把它写素数的乘积 eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52

6. 整数互素 整数 a, b 互素是指 它们没有除 1 之外的其它因子 8 与 15 互素 8 的因子 1,2,4,8 15 的因子 1,3,5,15 1 是唯一的公因子

8. 模算式 除法取余运算 同余 ( congruence) for a = b mod n 如果 a,b 除以 n, 余数相同 eg. 100 = 34 mod 11 b 叫做 a 模 n 的剩余 通常 0<=b<=n-1 eg. -12mod7 = -5mod7 = 2mod7 = 9mod7 可以进行整数运算

9., 模运算举例 -21 -20 -19 -18 -17 -16 –15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

10. 模算术运算 加法 a+b mod n 减法 a-b mod n = a+(-b) mod n

11. 乘法 \除法 乘法 a.b mod n

重复加法 除法

a/b mod n 乘以 b 的逆元 : a/b = a.b-1 mod n 如果 n 是素数 , b-1 mod n 存在 s.t b.b-1 = 1 mod n 例 . 2.3=1 mod 5 hence 4/2=4.3=2 mod 5

12 模递归运算• 模递归运算是“模除求余”• 例 .r = a mod n 计算 a = d.n + r • 33 mod 7 = 4.7 + 5; 得数是 5 • 通常 , r 取正数• 例 -18 mod 7 = -3.7 + 3; 答案是 3 • a+/-b mod n = [a mod n +/- b mod n] mod n

13. 运算法则 类似于正常算术运算 : 结合律 : (a+b)+c = a+(b+c) mod n 交换 律 分配律 (a+b).c = (a.c)+(b.c) mod n 加法单位元 \ 乘法单位元 0+w = w mod n 1×w = w mod n 乘法运算类同

14 群 .环 .域群的定义 : 一些数字组成的集合 一个加法运算，运算结果属于此集合（封闭性） 服从结合律。有单位元，逆元 如果是可交换的，则成为 abelian 群

15 。环 环 : abelian 群，及一个乘法运算： 满足结合律与加法的分配律 如果加法满足交换律 , 则称交换环 例：整数 mod N （ for any N ）

16 。域 域：

abelian 加群 环 abelian 乘群 (ignoring 0) 例： integers mod P （ P 为素数）

17 。 Galois 域 如果 n 是素数 p 则模运算 modulo p 形成 Galois Field modulo p 记为： GF(p)

18 。 GF(p) 中的指数运算 许多加密运算需要指数运算 b = ae mod p 重复乘法运算 eg. 75 = 7.7.7.7.7 一个好的方法是不是平方 和乘法

19 。平方、乘法运算 计算指数的快速有效算法 思想：重复平方运算 计算最终结果的乘法运算

20 。平方乘法运算 例 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11; 3129 mod 11 = 4  let base = a, result =1    for each bit ei (LSB to MSB) of exponent        if ei=0 then   square base mod p   if ei=1 then   multiply result by base mod p         square base mod p (except for MSB)                at end the required answer is result

21 。平方乘法举例 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11 base res exp (5=1012) 7 1 initialise 7.7=49=5 1.7=7 result=result x base, square base) 5.5=25=3 0 (square base) 3.3=9 7.3=21=10 1 (result=result x base, square base)

22 。 GF(p) 中的离散对数 指数的逆问题是寻找 整数模 p 的离散对数 即：求 x 使得 ax = b mod p eg. x = log3 4 mod ? (ie x st. 3x = 4 mod ?) 无解 eg. x = log 2 3 mod 13 = 4 （利用连续实验） 计算指数相对容易，求离散对数一般很难 可以证明若 p 素数 , 则总存在 离散对数（ for any b!=0 ） a 的连续指数可以生成群（ the group mod p ） a 叫做一个本原根（ a primitive root ） 较困难的问题

Greatest Common Divisor 数论中的一个普遍问题：决定最大公因子（ greatest common divisor(GCD) ） GCD (a,b) 是整除 a,b 的最大整数 经常用于证明两个数互素

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