广义相对论课堂 14等效原理和弯曲时空度规理论

2011.10.28

课程安排• 复习内容：引力场中运动钟、 EEP

• 新内容：引力红移实验、 Einstein 转盘、等效原理 => 度规理论、 LIF 条件

• 下次课： Einstein 方程简介、 Schwarzchild 度规

引力时间膨胀

不同地点 = 固定限制条件（静态 + 近似）

对应原理 + 加速钟原理

引力时间膨胀——固定点• 加速系推导中怎么体现固定？

– 加速火箭– SR 匀加速系——习题 6(c)+7(a)

不同地点，但非固定——运动

引力场中任意钟走时率比较引力 × 运动学

分解 =Lorentz×Einstein= 运动学 × 引力

• V=0• 总是竞争？

– Feynman 火箭、习题 6.10

– Box6.2 、习题 6.14

2

2

21

c1

c

V-1

2

2

21

cc

V-1

时空度规理论静态弱场 static weak field

• Weiberg 第 3.4 节

Vessot & Levine 1979 火箭引力红移实验

Hartle §10.1

§10 五大经典检验

火箭红移实验构造设计（自动）雷达异频收发机

天才设计：自动异频收发• 固定？• 教材第 221 页第二段第一句 : a transponde

r on the rocket ， which then sends it back again at the frequency it was received.

• 收（音、视） + 发

需要准确到 Doppler 效应二阶

往返 Doppler 效应是叠乘，非叠加！

• k≈1+V+V2/2• k2=(1+V)/(1-V)≈(1+V)(

1+V+V2)

≈(1+V)2+V2(1+V)

≈1+2V+2V2

– 往返是否有二阶？– 教材错！有 4 倍的二阶

Doppler

Einstein 引力场 = 弯曲时空？四点

引力时间膨胀 = 时间弯曲闵氏时空一体几何转盘——非欧几何

潮汐引力

弯曲时间

弯曲时空类比地球球面

弯曲直观 = 测地线减速偏离正曲率两次相交——习题 6.14

潮汐引力• 径向拉伸 + 横向挤压

– 三种摆法• 潮汐加速度 = ？测地

线偏离加速度 = 曲率

123

21

2112 r

r-r

MGM-F

Einstein 转盘：匀速 V

• L0= 桌面测得外围周长• L= 转盘系测得自身盘周长

0000

-1/2

2

2

LLLLL

L

C

V-1

，

量杆 rod=ruler 尺子

Ehrenfeist 佯谬

非欧几何：周径比

L/D

/DL

LLL

0

00

• 曲率正 or 负？– （ 2.19 ）式

• 空间弯曲• 时空平直

– 匀加速系

Einstein 引力场 = 弯曲时空？四点

• 转盘——非欧几何——空间弯曲• 闵氏时空一体几何• 引力时间膨胀 = 时间弯曲• 潮汐引力

三个等级的等效原理引力理论

• WEP----no one violate it!

• EEP (nongravitational laws)metric theory

• SEP GR ???

Einstein 等效原理

WEP

LLI=Local Lorentz Invariance

LPI=Local Position Invariance

WEP

• The trajectory of a point mass in a gravitational field depends only on its initial position and velocity, and is independent of its composition.

–运动学——力学——》其他物理 LLI

–点质量—— SEP

–FFF——preferred—— 对应原理 LIF

LLI=Local Lorentz Invariance

• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of the velocity of the freely-falling reference frame in which it is performed.– local– 非引力 = 失重自由下落—— FFF

• SEP• 例：电磁——精细结构常数测量

– 速度——相对性原理– SR

LPI=Local Position Invariance

• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of where and when in the universe it is performed.– 局域非引力同 LLI——EEP vs SEP– 何地——引力红移实验– 何时——物理学常数– 上两者合起来——时空 position

EEP— 》 Metric Theory

Metric theory

• 1 、 Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν.

• 2 、测地线– The trajectories of freely falling test bodies

are geodesics of that metric.

• 3 、 local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the

non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity.

不同 Metric theory

• 不同在于 1 怎么来的——决定引力场的场方程不同

• Brans-Dicke ——scalar+tensor

• Einstein GR—— tensor

第一点：时空有一个度规结构

WEP+LLI

度规几何 = 度量空间=Riemann 几何 =线元

回忆第 2 章 + 第 5 章闵氏几何• 数学上—— Riemann 几何

– 任意维 2+ 、• 物理上——相对论四维时空• 线元 vs 坐标 =• 几何（体） vs 坐标• 绝对 vs 任意

线元 =二次型• 二次型：正定、负定、不定• 惯性指数、号差、 Sylvester 惯性定律• 相对论四维时空 3+1

• 换个角度——矩阵

度规 = 实对称矩阵• 看成矩阵• 实对称矩阵 gμν=gνμ

– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμν-gνμ)dxαdxβ

– 对角化归一化– 习题 7.8– 四维时空独立分量几个？

• 10

第一点之二：度规——坐标

度规张量度规分量度规函数

度规张量分量、函数• 度规函数相当于场的势函数– 弱场

• Weinberg坐标变换讲述——例：平面几何极坐标—— Hartle 2.6– 习题 7.7 张量的坐标变换定义

局部惯性系Local Inertial Frame

物理意义条件

局部惯性系意义• WEP 自由下落—— preferred 轨迹• LIF—— 时间延伸—— FFF

• LLI

局部惯性系 2 条件Cartersian or Lorentz

• 条件一： g'μν(x'p)=ημν

– 局域平直时空• 条件二：

– 意义：度规 = 势；偏导数 ~ 势梯度 = 引力 =0

• 非条件：三阶偏导数——不全为 0– 意义： 20 个独立的组合曲率

0x

g

pxx

局部惯性系例子• 极坐标 (r=1,0)• 匀加速系 (ξ1=0)• 转动系——习题 7.3• 球面球极坐标——例 7.2

第一点之二：度规——坐标

度规张量度规分量度规函数

（弯曲）时空的一般描述Hartle 第 7 章

也可平直时空中的曲线、加速、转动系（纯数学）空间

不存在全局惯性系global

• 有局部，但与全局坐标变换非处处相同• 全局笛卡尔直角坐标系——球面 ×

• 没有全局的参考系（平直时空的惯性观者），但是有全局坐标系

• 参考系 / 观者 = 相同运动态的钟尺系统 /网格 =

• 微分几何数学可严格证明——有曲率则不存在

全局坐标系及其由来• 任意、只要提供了几何点的独一无二的标记，例如任意单值函数

• 可以从几何或物理角度，例如双曲极坐标、同一匀加速的观者群

• 活动标架－－一条世界线＝一个观者（已经确定了时间轴）＋三个空间轴– 例：匀加速系

• 特定情况从对称性、 Einstein 方程解得 vs任意

• 奇性——坐标 vs 几何

坐标的意义• 不要太在意名称

– Hartel (7.4) vs (7.5)– 一般约定– 上下文

• 物理上某些坐标的意义在初始推导时设定了，其他要从线元分析得出——第 7.6 节

EEP— 》 Metric Theory

Clifford Will

• Thorne 学生——精确解• Will, C.M., Theory and experiment in gravitationa

l physics, (Cambridge University Press, 1993), 2nd edition图书馆有第 1版

• The Confrontation between General Relativity and Experiment– Living Rev. Relativity, 9, (2006), 3

• http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3– Living Reviews in Relativity

• Max Planck Institute for Gravitational Physics• (Albert Einstein Institute)• Am M¨uhlenberg 1, 14424 Golm, Germany

下次课• Einstein 方程简介• 7.6 重点

– Schwarzchild 度规