Uniformna raspodelap
• Sp X ima uniformnu raspodelu na intervalu (a,b) ako je p p ( , ) jgustina sp X
∈ ][1 bax
g(x) a b
ab −1
∉
∈−=
],[,0
],[,)(bax
baxabxg
x
• Oznaka uniformne raspodele je X:U(a, b)
2)( baXE +
=• Matematičko očekivanje i disperzija su:
x
2
12)()(
2abXD −=
• Koeficijent asimetrije je nula.
• Koeficijent spljoštenosti je f = 1 2 12• Koeficijent spljoštenosti je f2=-1,2.1
Eksponencijalna raspodelaEksponencijalna raspodela
• Slučajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodeluj p j p j psa parametrom λ, λ>0 ako je gustina raspodele sp Xoblika
≤ 00 x
>λ≤
= λ− 0,e0,0
)(xx
xg x
O č X (λ)2.0
g(x)
Označavamo sa X: ε(λ)
1.2
1.4
1.6
1.8
λ= 2
0.6
0.8
1.0
1.2
λ= 0.5λ= 2/3
λ= 1
0 1 2 3 4 5 60.0
0.2
0.4
x 2
Eksponencijalna raspodela, disperzijaEksponencijalna raspodela, disperzija
Sl čajna promenlji a X ima eksponencijaln raspodel
1)(XE
• Slučajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodeluX:ε(λ). Matematičko očekivanje je
• Disperzija jeλ
=1)(XE
21)(λ
=XD
• Koeficijent varijacije je 1, koeficijent asimetrije je 2, a koeficijent spljoštenosti je 6.
3
Eksponencijalna raspodela, nastavakEksponencijalna raspodela, nastavak
• Sp X ima osobinu koja se naziva odsustvo memorije. p j jZa svaka dva pozitivna broja t i s važi:
P[X > t+s /X> t]=P[X > s]• Ako sp X ima U(0,1) raspodelu, tada Y=-lnX i Z=-ln(1-X)
imaju eksponencijalnu ε(1) raspodelu.
Ak X (λ) i Y X t d j ti Y• Ako X:ε(λ) i Y=X+c, tada je gustina za Y :
≤ cu,0
)(
>λ= −λ− cu
ug cu ,e,
)( )(
• Ovakva raspodela je dvoparametarska• Ovakva raspodela je dvoparametarska eksponencijalna raspodela, u oznaci ε(λ, c). 4
Dvostrana eksponencijalna raspodelaDvostrana eksponencijalna raspodela
• Raspodela slučajne promenljive sa gustinomp j p j gxxg λ−λ
= e2
)( Rx ∈
je dvostrana eksponencijalna ili Laplasova raspodela.
• Primer. Odrediti konstantu k tako da data funkcija g(x) bude gustina raspodele sp X, a zatim odrediti funkciju raspodele, matematičko očekivanje i disperziju sp X.
xk −)( xkxg −= e)( Rx ∈
≤=
0,e21
)(x
xFx
21
=k0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F(x)
>− − 0,e
211
)(x
xFx2
0)( =XE 2)( =XD-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0
x5
χ2- raspodelaχ raspodela
• Neka su sp X1,..., Xn nezavisne i sve imaju N(0,1) p 1, , n j ( , )raspodelu. Za sp
221 ... nXXX ++=
2
kažemo da ima χ2 (hi kvadrat) raspodelu sa n stepeni slobode, što označavamo
2: nX χ
• Matematičko očekivanje je
• Disperzija jenXE =)(
XD 2)( nXD 2)( =6
χ2- raspodela za različite vrednosti nχ raspodela za različite vrednosti n
0.25g(x)
0.20
n = 4
n = 1
0.10
0.15
n = 12
n = 8
0.05n = 20
n 12
0 5 10 15 20 25 30 35 400.00 x
• Sa povećanjem broja stepeni slobode, n, tačka lokalnogSa povećanjem broja stepeni slobode, n, tačka lokalnog ekstremuma, tzv. mod raspodele se pomera udesno.
7
Aproksimacije hi-kvadrat raspodeleAproksimacije hi kvadrat raspodele
• Za n≥30 hi-kvadrat raspodela se može aproksimirati p pnormalnom raspodelom N (n, 2n), a raspodela sp
nn2 −χ
n2normalnom normiranom raspodelom.
• Može se koristiti i Fišerova aproksimacija po kojoj 22 nχ
ima približno normalnu raspodelu N )1,12( −np p ),(
8
Tablice za χ2- raspodeluTablice za χ raspodelu
• Tablice za hi-kvadrat raspodelu daju vrednosti za koje 2αχp j j
je verovatnoćaα
α=χ> α )( 2XP
gde je α zadato i jednako 0,99, 0,95, ..., 0,01, a sp X ima hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode.
0 99 0 01n α=0,99 ... α=0,011 0,000 ... 6,6352 0,020 ... 9,210
010)40933(XP
Za sp X sa 217χ
, ,... ... ... ...17 6,408 ... 33,409
01,0)409,33( =>XP
gde je α-prag č j ti... ... ... ...
30 14,953 ... 50,892značajnosti
9
Gustina raspodele sp X: χ2Gustina raspodele sp X: χ
• Gustina raspodele sp 2: nX χp p
>
≤−− 0e1
0,0
)( 2/12/ xx
xxn
nχ
>
Γ
= 0,e
22
)(2/
xxnxg
n
∫∞
−−=Γ0
1de)( ttz zt +∈ Rz )()1( zzz Γ=+Γ0
Gama funkcija • U specijalnom slučaju kada je z=n∈N biće )!1()( −=Γ nn
10
χ2 - raspodela nastavakχ raspodela, nastavak
• Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, ,: 2nX χ 2: mY χj p j , ,nχ mχ
tada je Z=X+Y slučajna promenljiva sa .2mn+χ
• Raspodela sp 222 XXXX ++= predstavlja kvadrat• Raspodela sp 321 XXXX ++= predstavlja kvadrat brzine čestica. Brzina 2
322
21 XXXV ++= ima gustinu
≤ 000 7
>π
≤= −
0,e20,0
)(2
22 vv
vvg v
0.4
0.5
0.6
0.7
π
Maksvelova0.1
0.2
0.3
0.4
g(x)
Maksvelovaraspodela0 1 2 3 4 5 6
0
x 11
Studentova raspodelaStudentova raspodela
• Ako su sp Y:N (0, 1) i sp nezavisne, tada sp2: nZ χp ( , ) p , pnχ
ZYX =
nima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode, u
i Xoznaci: X: tn
• Ako su sp Y, X1, ..., Xn nezavisne i sve imaju normalnu normiranu raspodelu N (0, 1), tada spnormiranu raspodelu N (0, 1), tada sp
221 ... nXX
nYX++
=
ima studentovu tn raspodelu.12
Studentova raspodela disperzijaStudentova raspodela, disperzija
• Ako X: tn, onda je matematičko očekivanjen, j j
0)( =XE
Disperzija je• Disperzija je
>
≤∞= 2,
2,)( nn
nXD
>
−2,
2n
n
13
Tablice za Studentovu raspodeluTablice za Studentovu raspodelu
• Tablice za Studentovu-t raspodelu daju vrednosti tα za p j αkoje je verovatnoća
α=> α )( tXP
gde je α zadato i jednako 0,99, 0,95, ..., 0,01, a sp X ima t-raspodelu sa n stepeni slobode.
n α=0,9 ... α=0,011 0,158 ... 63,6572 0 142 9 925 010)8982|(| XP
Za sp X sa t17 raspod.2 0,142 ... 9,925... ... ... ...17 0,128 ... 2,898
01,0)898,2|(| =>XP
gde je α-prag č j ti... ... ... ...
30 0,127 ... 2,750
značajnosti14
Gustina Studentove raspodeleGustina Studentove raspodele
• Gustina raspodele sp X: tn je:p p n j
Rxn n
+
Γ +−
121
)(2
12
Rxnnn
xg ∈
+
Γπ
= ,1
2
2)(
gde je Γ(z) gama funkcija, a n pozitivan broj – ali je zbog primena u statistici prirodan broj.
• Ukoliko je n≥30, tn raspodela se može aproksimirati N (0,1) raspodelom. Zato u tablicama ne figurišu vrednosti veće n od 30vrednosti veće n od 30.
15
Studentova raspodela za n=6 i n=1Studentova raspodela za n 6 i n 10.4
n=60.4
n=1
0.25
0.3
0.35 n=1
0.25
0.3
0.35
n=1norm. rasp.
2
2
e21)(
x
xf−
π=
0.15
0.2
g(x)
0.15
0.2
g(x)
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.05
0.1
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.05
0.1
x x
• Normalna raspodela brže konvergira ka 0, nego Studentova raspodela kada x→-∞ ili x→∞ i g(0)<f(0) ∀n∈N
16
Fišerova raspodelaFišerova raspodela
• Ako su sp i nezavisne, tada sp2: nY χ 2: kZ χp , pnχ kχ
ZnY
X =
kZ
ima Fišerovu raspodelu sa n i k stepeni slobodeima Fišerovu raspodelu sa n i k stepeni slobodeu oznaci: X:Fn,k
• Ako X:F k tada Y=1/X ima raspodelu Fk pa se uAko X:Fn,k tada Y 1/X ima raspodelu Fk,n, pa se u tablicama daju parovi vrednosti n i k za koje je n>k.
17
Fišerova raspodela disperzijaFišerova raspodela, disperzija
• Ako X:Fn k tada je matematičko očekivanjeFn,k j j
2)(
−=
kkXE E(X)→1, k→∞
• Disperzija je)2(2)(
2 −+ knkXD)4()2(
)()( 2 −−=
kknXD
• Kada k→∞ tada se F k može aproksimirati raspodelomKada k→∞, tada se Fn,k može aproksimirati raspodelom sp Y/n, gde je .: 2
nY χOznačimo to sa Fn ∞ .1 2
nχ≈ Odatle sledi F∞ k 2
1 k≈=Fn,∞ nn
χ F∞, k 2, kkF χ∞
18
Gama raspodelaGama raspodela• Ako je gustina sp X
≤ 00
( )
>αΓ
λ≤
= −αλ−α
0,e0,0
)( 1
xxx
xg x
( )
gde su α i λ pozitivni realni brojevi, tada kažemo da X ima gama raspodelu sa parametrima α i λ i pišemo X: Γ(α, λ). Naziva se i dvoparametarska gama raspodela.
• Ako je X: Γ(α, λ), matematičko očekivanje je
λα
=)(XE• disperzija jedisperzija je
2)(λα
=XD19
Gustina dvoparametarske d lgama raspodele
g(x)
0.8
1.0g( )
α=1 λ=1
0.4
0.6α 1,λ 1
α=2,λ=1
0 1 2 3 4 5 6 7 80.0
0.2
x
α=4,λ=1
20
Gama raspodela nastavakGama raspodela, nastavak
• Ako su sp X1: Γ(α1, λ) i X2: Γ(α2, λ) sa gama raspodelama p 1 ( 1, ) 2 ( 2, ) g psa istim parametrom λ nezavisne, tada i njihov zbir X1+X2ima gama raspodelu Γ(α1+α2, λ).Z 1 d bij k ij l d l (λ)• Za α=1 se dobija eksponencijalna raspodela ε(λ).
• Za α∈N se dobija Erlangova raspodela.• Za α=n/2 i λ=1/2 dobija se χ2 - raspodela• Za α=n/2 i λ=1/2 dobija se χ raspodela.• Za λ=1 imamo tzv. jednoparametarsku gama raspodelu.• Ako X:Γ(α,λ) i Y=X+c, tada je gustina raspodele sp Y( , ) , j g p p
>−λ
≤= −α−λ−α
cxcxcx
xg cxY )(e
,0)( 1)(
Troparametarska( )
>αΓ
cxgY ,)()( Troparametarska gama raspodela
Γ(α,λ,c) 21
Top Related