Uniformna raspodelap

• Sp X ima uniformnu raspodelu na intervalu (a,b) ako je p p ( , ) jgustina sp X

∈ ][1 bax

g(x) a b

ab −1

∉

∈−=

],[,0

],[,)(bax

baxabxg

x

• Oznaka uniformne raspodele je X:U(a, b)

2)( baXE +

=• Matematičko očekivanje i disperzija su:

x

2

12)()(

2abXD −=

• Koeficijent asimetrije je nula.

• Koeficijent spljoštenosti je f = 1 2 12• Koeficijent spljoštenosti je f2=-1,2.1

Eksponencijalna raspodelaEksponencijalna raspodela

• Slučajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodeluj p j p j psa parametrom λ, λ>0 ako je gustina raspodele sp Xoblika

≤ 00 x

>λ≤

= λ− 0,e0,0

)(xx

xg x

O č X (λ)2.0

g(x)

Označavamo sa X: ε(λ)

1.2

1.4

1.6

1.8

λ= 2

0.6

0.8

1.0

1.2

λ= 0.5λ= 2/3

λ= 1

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

0.4

x 2

Eksponencijalna raspodela, disperzijaEksponencijalna raspodela, disperzija

Sl čajna promenlji a X ima eksponencijaln raspodel

1)(XE

• Slučajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodeluX:ε(λ). Matematičko očekivanje je

• Disperzija jeλ

=1)(XE

21)(λ

=XD

• Koeficijent varijacije je 1, koeficijent asimetrije je 2, a koeficijent spljoštenosti je 6.

3

Eksponencijalna raspodela, nastavakEksponencijalna raspodela, nastavak

• Sp X ima osobinu koja se naziva odsustvo memorije. p j jZa svaka dva pozitivna broja t i s važi:

P[X > t+s /X> t]=P[X > s]• Ako sp X ima U(0,1) raspodelu, tada Y=-lnX i Z=-ln(1-X)

imaju eksponencijalnu ε(1) raspodelu.

Ak X (λ) i Y X t d j ti Y• Ako X:ε(λ) i Y=X+c, tada je gustina za Y :

≤ cu,0

)(

>λ= −λ− cu

ug cu ,e,

)( )(

• Ovakva raspodela je dvoparametarska• Ovakva raspodela je dvoparametarska eksponencijalna raspodela, u oznaci ε(λ, c). 4

Dvostrana eksponencijalna raspodelaDvostrana eksponencijalna raspodela

• Raspodela slučajne promenljive sa gustinomp j p j gxxg λ−λ

= e2

)( Rx ∈

je dvostrana eksponencijalna ili Laplasova raspodela.

• Primer. Odrediti konstantu k tako da data funkcija g(x) bude gustina raspodele sp X, a zatim odrediti funkciju raspodele, matematičko očekivanje i disperziju sp X.

xk −)( xkxg −= e)( Rx ∈

≤=

0,e21

)(x

xFx

21

=k0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F(x)

>− − 0,e

211

)(x

xFx2

0)( =XE 2)( =XD-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.1

0.2

0.3

0

x5

χ2- raspodelaχ raspodela

• Neka su sp X1,..., Xn nezavisne i sve imaju N(0,1) p 1, , n j ( , )raspodelu. Za sp

221 ... nXXX ++=

2

kažemo da ima χ2 (hi kvadrat) raspodelu sa n stepeni slobode, što označavamo

2: nX χ

• Matematičko očekivanje je

• Disperzija jenXE =)(

XD 2)( nXD 2)( =6

χ2- raspodela za različite vrednosti nχ raspodela za različite vrednosti n

0.25g(x)

0.20

n = 4

n = 1

0.10

0.15

n = 12

n = 8

0.05n = 20

n 12

0 5 10 15 20 25 30 35 400.00 x

• Sa povećanjem broja stepeni slobode, n, tačka lokalnogSa povećanjem broja stepeni slobode, n, tačka lokalnog ekstremuma, tzv. mod raspodele se pomera udesno.

7

Aproksimacije hi-kvadrat raspodeleAproksimacije hi kvadrat raspodele

• Za n≥30 hi-kvadrat raspodela se može aproksimirati p pnormalnom raspodelom N (n, 2n), a raspodela sp

nn2 −χ

n2normalnom normiranom raspodelom.

• Može se koristiti i Fišerova aproksimacija po kojoj 22 nχ

ima približno normalnu raspodelu N )1,12( −np p ),(

8

Tablice za χ2- raspodeluTablice za χ raspodelu

• Tablice za hi-kvadrat raspodelu daju vrednosti za koje 2αχp j j

je verovatnoćaα

α=χ> α )( 2XP

gde je α zadato i jednako 0,99, 0,95, ..., 0,01, a sp X ima hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode.

0 99 0 01n α=0,99 ... α=0,011 0,000 ... 6,6352 0,020 ... 9,210

010)40933(XP

Za sp X sa 217χ

, ,... ... ... ...17 6,408 ... 33,409

01,0)409,33( =>XP

gde je α-prag č j ti... ... ... ...

30 14,953 ... 50,892značajnosti

9

Gustina raspodele sp X: χ2Gustina raspodele sp X: χ

• Gustina raspodele sp 2: nX χp p

>

≤−− 0e1

0,0

)( 2/12/ xx

xxn

nχ

>

Γ

= 0,e

22

)(2/

xxnxg

n

∫∞

−−=Γ0

1de)( ttz zt +∈ Rz )()1( zzz Γ=+Γ0

Gama funkcija • U specijalnom slučaju kada je z=n∈N biće )!1()( −=Γ nn

10

χ2 - raspodela nastavakχ raspodela, nastavak

• Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, ,: 2nX χ 2: mY χj p j , ,nχ mχ

tada je Z=X+Y slučajna promenljiva sa .2mn+χ

• Raspodela sp 222 XXXX ++= predstavlja kvadrat• Raspodela sp 321 XXXX ++= predstavlja kvadrat brzine čestica. Brzina 2

322

21 XXXV ++= ima gustinu

≤ 000 7

>π

≤= −

0,e20,0

)(2

22 vv

vvg v

0.4

0.5

0.6

0.7

π

Maksvelova0.1

0.2

0.3

0.4

g(x)

Maksvelovaraspodela0 1 2 3 4 5 6

0

x 11

Studentova raspodelaStudentova raspodela

• Ako su sp Y:N (0, 1) i sp nezavisne, tada sp2: nZ χp ( , ) p , pnχ

ZYX =

nima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode, u

i Xoznaci: X: tn

• Ako su sp Y, X1, ..., Xn nezavisne i sve imaju normalnu normiranu raspodelu N (0, 1), tada spnormiranu raspodelu N (0, 1), tada sp

221 ... nXX

nYX++

=

ima studentovu tn raspodelu.12

Studentova raspodela disperzijaStudentova raspodela, disperzija

• Ako X: tn, onda je matematičko očekivanjen, j j

0)( =XE

Disperzija je• Disperzija je

>

≤∞= 2,

2,)( nn

nXD

>

−2,

2n

n

13

Tablice za Studentovu raspodeluTablice za Studentovu raspodelu

• Tablice za Studentovu-t raspodelu daju vrednosti tα za p j αkoje je verovatnoća

α=> α )( tXP

gde je α zadato i jednako 0,99, 0,95, ..., 0,01, a sp X ima t-raspodelu sa n stepeni slobode.

n α=0,9 ... α=0,011 0,158 ... 63,6572 0 142 9 925 010)8982|(| XP

Za sp X sa t17 raspod.2 0,142 ... 9,925... ... ... ...17 0,128 ... 2,898

01,0)898,2|(| =>XP

gde je α-prag č j ti... ... ... ...

30 0,127 ... 2,750

značajnosti14

Gustina Studentove raspodeleGustina Studentove raspodele

• Gustina raspodele sp X: tn je:p p n j

Rxn n

+

Γ +−

121

)(2

12

Rxnnn

xg ∈

+

Γπ

= ,1

2

2)(

gde je Γ(z) gama funkcija, a n pozitivan broj – ali je zbog primena u statistici prirodan broj.

• Ukoliko je n≥30, tn raspodela se može aproksimirati N (0,1) raspodelom. Zato u tablicama ne figurišu vrednosti veće n od 30vrednosti veće n od 30.

15

Studentova raspodela za n=6 i n=1Studentova raspodela za n 6 i n 10.4

n=60.4

n=1

0.25

0.3

0.35 n=1

0.25

0.3

0.35

n=1norm. rasp.

2

2

e21)(

x

xf−

π=

0.15

0.2

g(x)

0.15

0.2

g(x)

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.05

0.1

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.05

0.1

x x

• Normalna raspodela brže konvergira ka 0, nego Studentova raspodela kada x→-∞ ili x→∞ i g(0)<f(0) ∀n∈N

16

Fišerova raspodelaFišerova raspodela

• Ako su sp i nezavisne, tada sp2: nY χ 2: kZ χp , pnχ kχ

ZnY

X =

kZ

ima Fišerovu raspodelu sa n i k stepeni slobodeima Fišerovu raspodelu sa n i k stepeni slobodeu oznaci: X:Fn,k

• Ako X:F k tada Y=1/X ima raspodelu Fk pa se uAko X:Fn,k tada Y 1/X ima raspodelu Fk,n, pa se u tablicama daju parovi vrednosti n i k za koje je n>k.

17

Fišerova raspodela disperzijaFišerova raspodela, disperzija

• Ako X:Fn k tada je matematičko očekivanjeFn,k j j

2)(

−=

kkXE E(X)→1, k→∞

• Disperzija je)2(2)(

2 −+ knkXD)4()2(

)()( 2 −−=

kknXD

• Kada k→∞ tada se F k može aproksimirati raspodelomKada k→∞, tada se Fn,k može aproksimirati raspodelom sp Y/n, gde je .: 2

nY χOznačimo to sa Fn ∞ .1 2

nχ≈ Odatle sledi F∞ k 2

1 k≈=Fn,∞ nn

χ F∞, k 2, kkF χ∞

18

Gama raspodelaGama raspodela• Ako je gustina sp X

≤ 00

( )

>αΓ

λ≤

= −αλ−α

0,e0,0

)( 1

xxx

xg x

( )

gde su α i λ pozitivni realni brojevi, tada kažemo da X ima gama raspodelu sa parametrima α i λ i pišemo X: Γ(α, λ). Naziva se i dvoparametarska gama raspodela.

• Ako je X: Γ(α, λ), matematičko očekivanje je

λα

=)(XE• disperzija jedisperzija je

2)(λα

=XD19

Gustina dvoparametarske d lgama raspodele

g(x)

0.8

1.0g( )

α=1 λ=1

0.4

0.6α 1,λ 1

α=2,λ=1

0 1 2 3 4 5 6 7 80.0

0.2

x

α=4,λ=1

20

Gama raspodela nastavakGama raspodela, nastavak

• Ako su sp X1: Γ(α1, λ) i X2: Γ(α2, λ) sa gama raspodelama p 1 ( 1, ) 2 ( 2, ) g psa istim parametrom λ nezavisne, tada i njihov zbir X1+X2ima gama raspodelu Γ(α1+α2, λ).Z 1 d bij k ij l d l (λ)• Za α=1 se dobija eksponencijalna raspodela ε(λ).

• Za α∈N se dobija Erlangova raspodela.• Za α=n/2 i λ=1/2 dobija se χ2 - raspodela• Za α=n/2 i λ=1/2 dobija se χ raspodela.• Za λ=1 imamo tzv. jednoparametarsku gama raspodelu.• Ako X:Γ(α,λ) i Y=X+c, tada je gustina raspodele sp Y( , ) , j g p p

>−λ

≤= −α−λ−α

cxcxcx

xg cxY )(e

,0)( 1)(

Troparametarska( )

>αΓ

cxgY ,)()( Troparametarska gama raspodela

Γ(α,λ,c) 21