TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

ĐỊNH NGHĨA

F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x)

f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

2 2 2

2 2 2

2

2

22 2 2 2

2 2 2

11/ arctan 2 / arctan

1

3 / arcsin 4 / arcsin1

5 / ln

6 / arcsin2 2

7 / ln2 2

dx dx xx C C

a ax a xdx dx x

x C Cax a x

dxx x k C

x k

x a xa x dx a x C

ax k

x kdx x k x x k C

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

2

2

8 /

9 /

10 /

11 /

12 / ln tansin 2

13 / ln tancos 2 4

chx dx shx C

shx dx chx C

dxthx C

ch xdx

cothx Csh xdx x

Cx

dx xC

x

Ví dụ

2arcsin

xC

12 2

arctanx

C 2 4

dx

x

13 3

3 1( ) ( )

lnx xe dx e C

24

dx

x

3x xe dx

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1.Đổi biến:

Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt

f(x) dx = f(u(t))u’(t)

dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt

f(u(x))u’(x) dx = f(t)

dt

2. Tích phân từng phần:

u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) u’(x)v(x) dx

Ví dụ

32 xx e dx3 31

3( )xe d x

313

xe C

22

4

arctanx

dxx

12 2 2

arctan arctanx x

d

Một số lưu ý khi dùng tp từng phần

( )nP x

n

n

n

P x dx

P xdx

P xdx

.ln( )

.arctan

.arcsin

ndv P dx ,

là đa thức bậc n.

xn

n

P e dx

P xdx

.

.sin( ),nu P x dv là phần còn lại

u là phần còn lại

Ví dụ

arcsinI xdx

2arcsin

1

xdxI x x

x

2

2

1 (1 )arcsin

2 2 1

d xx x

x

21arcsin 1

2x x x C

2arcsin

1

dxu x du

x

, dv dx chon v x

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản

2

( ),

( )mdx Ax B dx

x a x px q

Trong đó: * m là các số tự nhiên,

* Các tam thức bậc 2 có = p2 - 4q< 0

Tích phân các phân thức cơ bản

lndx

x a Cx a

1

1 11( ) ( )m m

dxC

mx a x a (m > 1)

Tích phân các phân thức cơ bản

2

( )

Ax B dxx px q

2

22

x p

dxx px q

A22

dxx

Bpx

Aq

p

2 ln2

x p

dxx px q

duu C

u

Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)

Tích phân các phân thức cơ bản

2 dx

x px q 2 2

2 4

dx

p px q

2 2

1arctan

dv v

Ca av a

Ví dụ

21

1

xdx

x x

-

- +ò

21 2 12 1

xdx

x x

-=

- +ò 2

11

2 1

dx

x x

æ ö÷ç+ - ÷ç ÷çè ø - +ò

21ln( 1)

2x x= - + 2

12 1 3

2 4

dx

x

-æ ö÷ç - +÷ç ÷çè ø

ò

2

11 1 2 2ln( 1) . arctan2.2 2 3 3

xx x C

-= - + - +

Tích phân các phân thức cơ bản

2 2 2

( ) (2 )( )

2 2( ) ( ) ( )n n n

Ax B dx A x p dx Ap dxB

x px q x px q x px q

2

(2 )

( )n n

x p dx dux px q u

2 2 2( ) ( ) nn n

dx dvI

x px q v a

1 2 2 2

1(2 1)

2 ( )n nn

vI n I

na v a

Chứng minh quy nạp In

2 2( )n n

dxI

x a

2 2 2 2 1( ) 2 ( )

,

n nu x a du nx x a dx

dv dx choïn v x

2 2 2 2 2 1( ) 2 ( )n nnI x x a n x x a dx

2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 1

( ) 2 ( )( )

( ) 2 ( ) 2 ( )

n nn

n n n

I x x a n x a a x a dx

x x a n x a dx na x a dx

2 2 21( ) 2 2n

n n nI x x a nI na I

1 2 2 2 2

1(2 1)

2 ( )n nx

I n Ina x a

ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH

2

( )( )

( ) ( ) ( )m n r

p xf x

x a x b x px q

Hàm hữu tỷ:

Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam

thức ở mẫu có < 0, sẽ được phân tích ở dạng

1 2 12

1 1 2 22 2 2 2

( ) ... ...( ) ( ) ( )

...( ) ( )

m nm n

r rr

A A A B Bf x

x a x bx a x a x b

C x D C x D C x D

x px q x px q x px q

MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH

2

2 1 2 1( )

( 1)( 3) 1 32 3

x x A Bf x

x x x xx x

12 1 1( 1)

3 3 4

xx BA x A

x x

Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1

Để tính nhanh, trong biểu thức 2 1( 1)( 3)

xx x

Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A

Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3

(hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4

2 2

2 1( )

1 3( 1) ( 3) ( 1)

x A B Cf x

x xx x x

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

2 2

1/ 42 1( )

1 3( 1) ( 3) ( 1)

x A Cf x

x xx x x

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

2 2

1/ 4 72 1( )

1 3( 1) ( 3) ( 1)

/16x Af x

x xx x x

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x

2 2

1/ 4 72 1( )

1 3( 1) ( 3) ( 1)

/16x Af x

x xx x x

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x

2 2

2 1( )

1 3( 1) ( 3) ( 1

4 6

)

1 / 7 /1x Af x

x xx x x x

x x x

70 0

16A

Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x

716

A

Sử dụng nguyên tắc chung

2 2

2 1( )

3( 1)( 3) 1

x A Bx Cf x

xx x x x x

2

2

2 1 ( 1) ( )( 3)

2 1 ( ) ( 3 ) 3

x A x x Bx C x

x A B x A B C x A C

0

3 2

3 1

A B

A B C

A C

Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế

1

1

0

A

B

C

Ví dụ tính tích phân

2

2 1

( 1) ( 3)

xdx

x x

7 1 1 7ln 1 ln 3

16 4 1 16x x C

x

2

7 /16 1 / 4 7 /161 3( 1)dx dx dx

x xx

2

2 1

( 1)( 3)

xdx

x x x

ln 3x

ln 3x

23 1

dx xdxx x x

2

1 (2 1)2 1

x dx

x x

2

12 1 3

2 4

dx

x

1 2 1/ 2arctan

2 3 3 / 2

xC

21ln( 1)2

x x

TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

trong đó m1, n1, m2, n2 là các số nguyên.

Phương pháp chung: đặt

n ax bt

cx d

n là BSCNN(n1, n2)

1 2

1 2, ,

m mn nax b ax b

R xcx d cx d

Ví dụ

23 ( 1)

1

x xI dx

x

6 1t x

4 65

3

16

t tI t dt

t

6 8 26 t t t dt

1 2

1 2

2 1,3 2

m mn n

56dx t dt

23 ( 1)( 1)

dxI

x x

3

11 1

x dxx x

3 11

xt

x

2

3 3 2 3

3

16 3

1 ( 1) 11

1

t dt dtI t

t t tt

3

3

1

1

tx

t

2

3 2

6

( 1)

t dt

dxt

23( 1)( 1)

dtt t t

2

21 1

dt t

dtt t t

331

dt

It

Các trường hợp riêng của tích phân Eurler

2ax bx cdx

22

22 4

b c bax bx c a x

a a a

2

dx

ax bx c

Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của

các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng.

2

( )Ax B dx

ax bx c

2( )Ax B ax bx cdx

2

( )Ax B dx

ax bx c

2

2

2

ax b dx

ax bxa c

A

22

dx

axB

a bx

A

c

b

Tương tự cho trường hợp còn lại.

Ví dụ

23 2 1

dx

x x

2

1

3 4 19 3

dx

x

2

2

1

3 23

du

u

2

1

3 2 13 3

dx

x x

1 3arcsin

23 u C

22

1

3 23

du

I

u

1 3 1arcsin

2 33 x C

Ví dụ

2

( 1)

3 2 1

x dx

x x

2 2

1 ( 6 2) 46 33 2 1 3 2 1

x dx dx

x x x x

21 4 1 3 13 2 1 arcsin

3 3 2 33x x x C

TỔNG QUÁT

2,R x ax bx c dx

2 2( , )R u A u du

2 2( , )R u u A du

Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương đúng, có thể rơi vào các TH sau:

2 2( , )R u u A du

Đặt u = Asint, t [-/2, /2]

Đặt u = A/sint, t [-/2, /2]

Đặt u = Atant, t (-/2, /2)

Lưu ý

2( )

dx

ax bxx ck

Đặt x – k = 1/u sẽ đưa về dạng

2' ' '

du

a u b u c

Ví dụ

32 3 2( 4 5) ( 2) 1I x x dx x dx 2 3( 1)I u du 2 3

2(tan 1)cos

dtI t

t

Đặt u = tant

5 2 3 2 3

cos

cos (1 sin ) (1 )

dt tdt dv

t t v

TÍCH PHÂN TREBUSEV

( )m n px ax b dx

1mn

m,n, p là các sô hữu tỷ

TH 1: p là số nguyên : Đặt x = tk,

k là BSCNN mẫu số của m, n.

TH 2: là số nguyên:

1 mp

nTH 2: là số nguyên:

Đặt axn +b = tk , k là

mẫu số của p

Đặt bx n +a = tk , k là

mẫu số của p

VÍ DỤ

23 ( 1)

dxI

x x

21, 1,

3m n p

2

3 2

3

( 1)

tI dt

t t

310 1

mx t

n

2 2

( 2)3

1( 1)( 1) 1

dt dt t dttt t t t t

Ví dụ

4 21

dxI

x x

14, 2,

2m n p

1 4 1 12

2 2m

pn

Đặt x-2 +1 = t2 -2x-3dx = 2tdt

23 2

2

2

1

dxI

xx x

x

222 ( 1)

2 ( 1)t t dt

t dtt

sin cos m nI x x dx* m =2k + 1 2sin cos (cos ) k nI x x d x * n =2k + 1 2sin cos (sin ) m kI x x d x* m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc

2 2

1sin cos sin 2 ,

21 cos2 1 cos2

sin , cos2 2

x x x

x xx x

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

(cos ,sin )R x x dx

cost x

sint x

Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi

Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi

Thay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi

tant x

Tổng quát: tan2x

t

VÍ DỤ

4 6(cos cos ) (cos ) x x d x

3 4sin cos I x x dx

3cos sin

dxI

x x

2 4(1 cos )cos (cos ) x x d x

5 7cos cos5 7

x xC

3

2

cos

cos 2sin

xI dx

x x

Thay x bởi - x trong biểu thức dưới dấu tp

3

2

cos ( )( )

cos ( ) 2sin( )

xd x

x x

3

2

cos( )

cos 2sin

xdx

x x

3

2

cos

cos 2sin

xdx

x x

Đặt x = sint

2

2

(1 sin )cos

1 sin 2sin

x x dx

x x

2

211 2

tdt

t t

3

2

cos

cos 2sin

xI dx

x x

2

2

1

1 2

tdt

t t

cos sin 2dx

Ix x

tan2x

t

2 2 2

2 2

1 2

2 1 1 2 32

1 1

dt dtI

t t t t t

t t

22

1 2(1 tan )2 2 1

xdt dx dx dt

t

Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giác

sin cos'sin 'cos 'a x b x c

dxa x b x c

Biểu diễn

TỬ SỐ = A (đạo hàm mẫu số) + B(MẪU SỐ) +C

Tìm A, B, C bằng đồng nhất thức.

Ví dụ

sin 2cos 3sin 2cos 3

x xI dx

x x

sin 2cos 3

(sin 2cos 3) ' (sin 2cos 3)

x x

A x x B x x C

sin 2cos 3

(cos 2sin ) (sin 2cos 3)

x x

A x x B x x C

4 3 6, ,5 5 5

A B C

4 (sin 2cos 3) 3 65 sin 2cos 3 5 5 sin 2cos 3

d x x dxI x

x x x x

tan2x

t 4ln sin 2cos 35

x x