TEMA VII
Definición general
Clasificación
Diseño factorial A x B, completamente al azar
Representación de los efectos factoriales
Modelo estructural, análisis y componentes de variación
DISEÑO FACTORIAL
ESQUEMA GENERAL
Concepto
El diseño factorial, como estructura de investigación, es la combinación de dos o más diseños simples (o unifactoriales); es decir, el diseño factorial requiere la manipulación simultánea de dos o más variables independientes (llamados factores), en un mismo experimento. ..//..
En función de la cantidad de factores o variables de tratamiento, los formatos factoriales se denominan, también, diseños de tratamientos x tratamientos, tratamientos x tratamientos x tratamientos, etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.
Criterios de clasificación
Por la cantidad de niveles
Criterios Cantidad de combinaciones
Tipo de control
Clasificación del diseño factorial por criterio
A) Según la cantidad de niveles o valores por factor, el diseño factorial se clasifica en:
Cantidad constante Cantidad de valores
Cantidad variable
La notación del diseño es más sencilla cuando la cantidad de niveles por factor es igual (es decir, constante). Así, el diseño factorial de dos factores a dos niveles se representa por 2², el de tres factores por 23, etc. En términos generales, los diseños a dos niveles y con k factores se representan por 2k; a tres niveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc.
..//..
Cuando los factores actúan a más de dos niveles (es decir, cuando la cantidad de valores por factor es variable), el diseño se representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A su vez, cabe considerar la posibilidad de que, tanto en un caso como en otro, el diseño sea balanceado (proporcionado) o no balanceado (no proporcionado); es decir, diseños con igual cantidad de sujetos por casilla y diseños con desigual cantidad de sujetos por casilla.
B) El segundo criterio hace hincapié en la cantidad de combinaciones de tratamiento realizadas o ejecutadas. Con base a este criterio, el diseño factorial se clasifican en:
Diseño factorial completo Cantidad de
combinaciones de tratamiento Diseño factorial incompleto
y fraccionado
Si el diseño factorial es completo, se realizan todas las posibles combinaciones entre los valores de las variables. Así, cada combinación de tratamientos determina un grupo experimental (grupo de tratamiento o casilla). Por ejemplo, el diseño factorial completo 2x2 determina cuatro grupos de tratamiento; un diseño 3x3 nueve grupos, etc. ..//..
Asumiendo que sólo se ejecute una parte del total de las combinaciones, el diseño factorial es incompleto o fraccionado, según el procedimiento seguido.
C) En función del control de variables extrañas.
Diseño factorial completamente al azar
Diseño factorial de bloques aleatorizados
Diseño factorial de CuadradoGrado de control Latino
Diseño factorial jerárquico o anidado
Diseño factorial de medidas repetidas
Según el control de los factores extraños y la reducción de la variancia del error, el diseño factorial puede ser, en primer lugar, completamente al azar; es decir, aquel formato donde sólo se aplica el azar como técnica de control y donde los grupos se forman mediante la asignación aleatoria de los sujetos. ..//..
En segundo lugar, el diseño factorial de bloques aleatorizados permite el control de una variable extraña. Según esa estrategia, cada bloque es un réplica completa del experimento, y los grupos intra bloque (dentro de cada bloque) se forman al azar. ..//..
Siguiendo con el criterio de bloques, el diseño factorial de Cuadrado Latino o de doble sistema de bloques controla dos fuentes de variación extrañas, aunque sólo se realiza una parte del total de combinaciones. ..//..
El diseño factorial jerárquico o anidado requiere la manipulación experimental de la variable y, al mismo tiempo, la anidación (o inclusión) de una variable dentro de las combinaciones de tratamientos de los factores. ..//..
Por último, el diseño factorial de medidas repetidas incorpora la técnica intra-sujeto; es decir, el sujeto actúa de control propio y recibe todas las combinaciones de tratamiento generados por la estructura factorial.
Criterios Diseño
Cantidad de valores por factor
Igual cantidad de valores: 2k, 3k, etc.
Cantidad variable: 2x3; 2x3x4, etc.
Cantidad de combinaciones de tratamientos
Diseño factorial completo
Diseño factorial incompleto y fraccionado
Grado de control
Diseño factorial completamente al azar
Diseño factorial de bloques
Diseño factorial de Cuadrado Latino
Diseño factorial jerárquico
Diseño factorial de medidas repetidas
Efectos factoriales estimables
1. Efectos simples
2. Efectos principales
3. Efectos secundarios
Efectos factoriales simples
Es posible definir el efecto factorial simple como el efecto puntual de una variable independiente o factor para cada valor de la otra.
Efectos factoriales principales
Los efectos factoriales principales, a diferencia de los simples, son el impacto global de cada factor considerado de forma independiente, es decir, el efecto global de un factor se deriva del promedio de los dos efectos simples.
Efectos factoriales secundarios
El efecto secundario o de interacción se define por la relación entre los factores o variables independientes, es decir, el efecto cruzado.
Diseño factorial al azar 2x2
Estructura del diseño
Combinación de tratamientos por grupo o casilla
Diseño factorial 2x2
A1B1 A1B2
A2B1 A2B2
Formato del diseño factorial completamente al azar
s e l e c c M i P ó n
Asignación al azar
S1 S1 S1 S1
Sn1 Sn2 Sn3 Sn4
V.E. Z1 Z2 Z3 Z4
V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2
Caso paramétrico. Ejemplo
Se pretende probar, en una situación de aprendizaje discriminante animal, si la magnitud del incentivo (variable incentivo) actúa según el aprendizaje sea simple o complejo (variable dificultad de aprendizaje o variable tarea). En esta hipótesis se afirma que a mayor incentivo, más acusada es la diferencia entre las dos tareas (simple o compleja). ..//..
Para ello, se registra la cantidad de discriminaciones correctas (variable dependiente) en función de un criterio general de aprendizaje, que asume como suficientes 15 ensayos. Se toma, como medida de la variable dependiente o de respuesta, la cantidad de respuestas correctas, para un máximo de 15, bajo el supuesto de que cada discriminación correcta tiene la misma dificultad de aprendizaje. ..//..
Para probar la hipótesis propuesta se asignan 32 sujetos, de una muestra experimental, a las combinaciones de tratamientos o casillas (ocho sujetos por casilla), de forma totalmente aleatoria.
Modelo de prueba de hipótesis
Paso 1. Según la estructura del diseño son estimables tres efectos. Por esa razón, se plantean tres hipótesis de nulidad relativas a la variable A, variable B e interacción:
H0: α1 = α2 = 0
H0: ß1 = ß2 = 0
H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0
Paso 2. Por hipótesis experimental, se espera que los efectos principales y el de la interacción sean significativos. Estas hipótesis se representan, al nivel estadístico, por
H1: α1 α2, o no todas las α son cero
H1: ß1 ß2, o no todas las ß son cero
H1: (αß)11 (αß)12 (αß)21 (αß)22, o no todas las αß son cero.
Paso 3. El estadístico de la prueba es la F de Snedecor, con un α de 0.05, para las tres hipótesis de nulidad. El tamaño de la muestra experimental es N = 32 y el de las submuestras n = 8.
Paso 4. Cálculo del valor empírico de las razones F. Para ello, se toma, de nuevo, la matriz de datos del experimento.
60
7.5
70
8.75
27
3.375
52
6.5
8
6
9
9
8
7
7
6
7
9
10
8
10
9
10
7
4
3
4
5
2
3
4
2
10
9
4
8
8
4
3
6
A2B2A2B1A1B2A1B1
DISEÑO FACTORIAL 2X2
Totales:Medias:
209
6.53
ANOVA factorial
MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR: DISEÑO FACTORIAL 2X2
ijkjkkjijk εαββαμY +)(+++=
Espeficación del modelo
Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinación del j valor del factor A y el k valor del factor B.
μ = la media común a todos los datos del experimento.
αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable de tratamiento A. ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B. (αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de
A y el k valor de B. εij = error experimental o efecto aleatorio de
muestreo.
Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados
SCA
SCentre-grupos SCB
SCtotal SCAB
SCintra-grupos SCS/AB
Cálculo de las Sumas de Cuadrados: primera etapa
SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos
SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(209)²/(8)(4)] = 203.97
SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] –
[(209)²/(32)] = 126.59
SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8
+ (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38
CUADRO RESUMEN DEL AVAR PRIMERA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2
F0.95(3/28) = 2.95
abn-1=31 203.97Total (T)
<0.0515.2842.19
2.76
ab-1=3
ab(n-1)=28126.59
77.38
Entre G
Intra G (E)
pFCMg.l.SCF.V.
Inferencia del primer análisis
Del primer análisis se concluye que los
grupos de tratamiento o experimentales difieren significativamente entre sí; la probabilidad de que un valor F de 15.28 ocurra al azar es menor que el riesgo asumido (α = 0.05).
..//..
En consecuencia, se procede a determinar las causas de esa significación. Nótese que este análisis no obedece a ningún propósito de investigación, ya que sólo sirve para detectar si, en términos globales, hay o no diferencia entre los grupos. De hecho, es como si se hubiera aplicado un modelo uni-factorial de la variancia.
Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa
SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B +
SCinteracción AxB
El cálculo de estas Sumas de Cuadrados requiere la previa construcción de la tabla de los totales por columnas.
MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS
209 87 122TOTALES
1306070A2
792752A1
TOTALESB2B1
Cálculo del valor empírico de las Sumas de cuadrados
SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] =
81.28
SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] =
38.28
SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 –
81.28 - 38.28 = 7.03
CUADRO RESUMEN DEL AVAR SEGUNDA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2
<0.05
<0.05
>0.05
29.94
13.87
2.55
81.28
38.28
7.03
(a-1)=1
(b-1)=1
(a-1)(b-1)=1
81.28
38.28
7.03
Factor A
Factor B
Inter AxB
F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20
abn-1=31 203.97Total (T)
<0.0515.2842.19
2.76
ab-1=3
ab(n-1)=28
126.59
77.37
Entre-g
Intra-g
pFCMg.lSCF.V.
Inferencia del segundo análisis
Paso 5. De los resultados del análisis se infiere la no-aceptación de las hipótesis de nulidad para los efectos principales de A y B, con riesgo de error del 5 por ciento. En cambio, se acepta la hipótesis de nulidad para la interacción. En suma, sólo se deriva la significación de los efectos principales.
No interacción (nula)
A1
A2
B1 B2
Interacción positiva
A1
A2
B1 B2
Interacción negativa
A1
A2
B1 B2
Interacción inversa
A2
A1
B1 B2
Representación gráfica de la interacción
A1 A2
B1
B2
Interacción nula
A1 A2
B2
B1
Interacción positiva
A1 A2
B2
B1
Interacción negativa
A1 A2
B1
B2
Interacción inversa
MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO
7.58.75A2
3.386.5A1
B2B1
GRÁFICO INTERACCIÓN
7,5
3,38
6,5
8,75
012345
6789
10
B1 (Tarea simple) B2 (Tarea compleja)
Prom
edio
ens
ayos
cor
rect
os
A1 (Incentivo bajo)A2 (Incentivo alto)
Ventajas del diseño factorial
Se ha descrito, a lo largo de ese tema, los conceptos básicos del diseño factorial o estructura donde se manipulan, dentro de una misma situación experimental, dos o más variables independientes (o factores). En aras a una mejor exposición del modelo se ha descrito, básicamente, el diseño bifactorial a dos niveles, dentro del contexto de grupos completamente al azar. ..//..
La disposición bifactorial aporta información no sólo de cada factor (efectos principales), sino de su acción combinada (efecto de interacción o efecto secundario). De esta forma, con la misma cantidad de sujetos requerida para experimentos de una sola variable independiente o factor, el investigador puede estudiar simultáneamente la acción de dos o más variables manipuladas. ..//..
Ello supone un enorme ahorro de tiempo y esfuerzo. Si se tiene en cuenta la posibilidad de analizar la acción conjunto o cruzada de las variables, se concluye que el diseño factorial es una de las mejores herramientas de trabajo del ámbito psicológico, puesto que la conducta es función de muchos factores que actúan simultáneamente sobre el individuo. ..//..
Diseños factoriales 2 x 2 de bloques
Bloque 1
Bloque 2
Bloque k
………………………………………….………………………………………….
A1B1 A2B1 A1B2 A2B2
S11 S12 S14S13
S21 S22 S24S23
Sk1 Sk2 Sk4Sk3
TEMA VIII
Definición general
Clasificación
Diseño de medidas repetidas simple. Modelo estructural y componentes de variación
Diseño de medidas repetidas de Cuadrado Latino. Modelo estructural y componentes de variación
Diseño de medidas repetidas factorial. Modelo estructural y componentes de variación
DISEÑOS DE MEDIDAS REPETIDAS
ESQUEMA GENERAL
Diseño de medidas repetidas
El diseño de medidas repetidas es una extensión del diseño de bloques, en que el sujeto sustituye al bloque y actúa de control propio. Con este formato, los sujetos de la muestra reciben todos los tratamientos y repiten medidas o registros de respuesta; asimismo, la comparación de los tratamientos es intra-sujeto. ..//..
De este modo, el uso del procedimiento de medidas repetidas proporciona un control más efectivo de las fuentes de variación extrañas asociadas, por lo general, a las características individuales; es decir, se consigue una reducción de la variancia del error. ..//..
Esto es así porque, al actuar el sujeto de bloque, la variabilidad debida a las diferencias individuales es eliminada del error. De este modo, el diseño de medidas repetidas una estructura más potente que los diseños completamente aleatorizados.
Efectos de orden
Los efectos de orden (order effects) se derivan de la propia estructura del diseño de medidas repetidas, y deben ser neutralizados para que confundan los efectos de los tratamientos.
Tipos de efectos de orden
A) Efecto de período (period effect)
B) Efecto residual (carry-over effect)
Efecto de período
Los efectos de período ocurren cuando, independientemente del tratamiento aplicado, el sujeto responde al período o posición que, en la secuencia, ocupa el tratamiento (período de administración). Cabe, por lo tanto, la posibilidad de que el sujeto responda mejor al período que al tratamiento en sí mismo. Cuando esto ocurre, el efecto de período confunde la acción del tratamiento
Efecto residual
El efecto residual, conocido por error progresivo, se caracteriza por la persistencia de la acción de un tratamiento más allá del período o tiempo de aplicación. Representa tanto la progresiva acumulación tanto de los efectos facilitadores de la respuesta (efecto de la práctica, aprendizaje, etc.) como de los efectos obstaculizadores (como la fatiga mental, cansancio físico, etc.). ..//..
Cuando, como es frecuente en esos casos, se produce una persistencia del efecto del tratamiento anterior sobre el tratamiento siguiente, se corre el riesgo de que los efectos queden contaminados.
Clasificación del diseño en función de los factores
Simple (SxA)
Diseños de medidas repetidas
Factorial (SxAxB, SxAxBxC, etc.)
Clasificación del diseño en función de los grupos
De un grupo o muestra
(SxA)
Diseños
de medidas
repetidas
Multimuestra (S(A)xB)
Diseño de medidas repetidas simple de un grupo
Concepto
El diseño simple de medidas repetidas es prototípico en esa clase de experimentos, al incorporar la estrategia de comparación intra-sujeto. Lindquist (1953) se refiere a estas estructuras como diseños de Tratamientos x Sujetos, ya que los sujetos se cruzan o combinan con los tratamientos. Así mismo, es un diseño simple o unifactorial porque sólo se evalúa la acción de una variable independiente o de tratamientos. ..//..
La principal ventaja del diseño, dada su especial disposición, es la posibilidad de extraer del error una de sus fuentes de variación más importante: la variación atribuida a las diferencias individuales.
Estructura del diseño
La estructura el diseño de medidas repetidas simple es similar al formato factorial de dos variables independientes. A diferencia del diseño factorial, la variable de sujetos no es manipulada ya que se trata de un pseudo-factor. La variable de tratamientos está manipulada por del experimentador y es considerada como un auténtico factor. ..//..
Supóngase, por ejemplo, que la variable sujetos, simbolizada por S, actúa a n valores, y que el factor A -variable de tratamiento-, a a valores que son aplicados, de forma secuencial, a los sujetos de la muestra. Nótese la similitud entre este diseño y el diseño bifactorial dado que, analíticamente, la variable de sujetos actúa como si fuera un factor. La diferencia estriba sólo en la naturaleza y objetivo de las dos variables. ..//..
La variable S representa la variabilidad entre sujetos y no es, por lo tanto, un factor manipulado sino de control. La variable A es una dimensión de variación manipulada por el investigador. El propósito del experimento sigue siendo el análisis del posible impacto de la variable de tratamiento sobre la variable de respuesta. ..//..
Con este formato, no sólo se controlan las diferencias individuales, por el pseudo-factor de sujetos, sino que se minimiza la variancia del error al sustraer una de sus principales fuentes. ..//..
Así, el diseño de medidas repetidas simple es el procedimiento más eficaz para probar el efecto del tratamiento. Al controlar las diferencias interindividuales, este diseño es, también, un potente procedimiento de análisis, porque al reducir el error se aumenta la precisión y efectividad en probar los efectos de la variable de tratamiento.
Formato del diseño de medidas repetidas. Diseño de medidas repetidas simple, S x A.
Y..
TratamientosA1 A2 A3 Aj…
S1
S2
Sn
.
.
Y11 Y12 Y13 … Y1j
Y21 Y22 Y23 … Y2j
………………………………………………………………………………………………
Yn1 Yn2 Yn3 … Ynj
Medias
Su
jetos
Medias
Y1.
Y2.
.
.
Yn.
Y.1 Y.2 … Y.3 Y.j
Caso paramétrico. Ejemplo
Sea, al nivel ilustrativo, la siguiente situación experimental. Se pretende estudiar el efecto de la frecuencia de tres tonos auditivos, o variable A, de igual intensidad (65 db). Para ello, se decide registrar los tiempos de reacción, en milésimas de segundos, a la presentación de los tonos. De la variable independiente -frecuencia de tono-, se eligen tres valores: 300 cps. (condición A1), 600 cps. (condición A2) y 1200 cps. (condición A3).
Modelo de prueba de hipótesis
Paso 1. Se asume, por hipótesis de nulidad, que los efectos de los tratamientos son nulos. Es decir,
H0: μ1 = μ2 = μ3
Paso 2. Según la hipótesis experimental o hipótesis de efectividad se asume que, uno o más tratamientos o efectos es significativo (distinto de cero). En términos estadísticos se afirma que:
H1: μ1 μ2, o μ1 μ3, o μ2 μ3
H1: por lo menos una desigualdad
Paso 3. Se asume un modelo ANOVA de aditividad. El estadístico de la prueba es la F normal, a un nivel de significación de α = 0.05. El tamaño de la muestra experimental es N = n = 3.
Paso 4. El cálculo del valor empírico de F se realiza a partir de la correspondiente matriz de datos, una vez ejecutado el experimento.
DISEÑO DE MEDIDAS REPETIDAS
TRATAMIENTOS
N. Sujeto A1 A2 A3 TOTALES
1
2
3
3.8
4.4
6.9
3.6
5.0
4.5
2.5
2.3
3.0
9.90
11.70
14.40
TOTALES 15.1 13.1 7.8 36
MEDIAS 5.03 4.37 2.6 4
ANOVA de medidas repetidas
MODELO ESTRUCTURALMODELO ADITIVO
ijjiijY
Descripción y supuestos
Yij = la puntuación del i sujeto bajo la j condición experimental o tratamiento μ = la media global de todos los datos del
experimento
ηi = μi – μ = el efecto asociado al iésimo sujeto
αj = μj – μ = el efecto de jésimo nivel de la variable de tratamiento A
εij = el error experimental asociado al i sujeto bajo el j tratamiento
Asimismo, para que el modelo sea válido, se asume que:
a) ηi NID(0,ση²)
b) εij NID(0,σε²)
c) Σ = ση²11' + σε²I
Cálculo de las sumas de cuadrados
SCtotal = SCsuj. + SCtrat. + SCsuj.xtrat.
Con los datos del ejemplo, se tiene:
SCtotal = [(3.8)² + (4.4)² + ... + (3)²] – [(36)²/9] = 16.16
SCsuj. = [(9.9)²/3 + (11.7)²/3 + (14.4)²/3] – [(36)²/9] = 3.42
SCtrat. = [(15.1)²/3 + (13.1)²/3 + ... + (7.8)²/3] – [(36)²/9] = 9.49
SCsuj.xtrat. = SCtotal – SCsuj. – SCtrat = 16.16 – 3.42 – 9.49 = 3.25
CUADRO RESUMEN DEL ANOVA: DISEÑO MEDIDAS REPETIDAS
F0.95(2/4) = 6.94
an-1=816.16Total (T)
>0.05
5.86
1.71
4.75
0.81
(n-1)=2
(a-1)=2
(n-1)(a-1)=4
3.42
9.49
3.25
Suj (S)
Trat (A)
SujxTrat (SxA)
pFCMg.lSCF.V.
Modelo de prueba de hipótesis
Paso 5. Dado que el valor empírico de F es menor que el teórico, se acepta la hipótesis de nulidad relativa a la variable de sujetos y a la de tratamiento, a un nivel del riesgo del cinco por ciento.
Supuesto de uniformidad o simetría compuesta
Según esta restricción, conocida por condición de uniformidad o simetría compuesta, se asume una variancia común para las distintas medidas repetidas y una covariancia común para los diferentes pares de medidas (prueba de Box (1950)).
H0 : = S = Matriz poblacional
S = Matriz muestral
233231
232221
131221
233231
232221
131221
sss
sss
sss
233231
232221
131221
sss
sss
sss
233231
232221
131221
sss
sss
sss
. . .
S1 S2 Sn
Prueba de ajuste
Prueba de simetría combinada (Box, 1950)
H0: S = Σ
Pasos de la prueba de Box (1950)
Paso 1. Se calculan, en primer lugar, las variancias y covariancias de los datos muestrales; es decir, se obtiene la matriz S.
Cálculo de las variancias
(ΣYij)²
ΣYij² – --------- n
VarAj = ---------------------------- n – 1
Valor empírico de las variancias
81.41 – (15.1)²/3 VarA1 = ------------------------- = 2.70 3 – 1
58.21 – (13.1)²/3 VarA2 = -------------------------- = 0.50 3 – 1
20.54 – (7.8)²/3 VarA3 = ------------------------- = 0.13 3 – 1
Cálculo de las covariancias
(ΣYij)(ΣYik)
(YijYik) – ---------------- n
CovAjAk = ----------------------------------- n – 1
Valor empírico de las covariancias
66.73 – (15.1)(13.1)/3
CovAjAk = -------------------------------- = 0.396
3 – 1
40.32 – (15.1)(7.8)/3
CovAjAk = --------------------------------- = 0.53
3 – 1
34.00 – (13.1)(7.8)/3
CovAjAk = --------------------------------- = -0.03
3 – 1
Matriz de variancia/covariancia muestral
2.70 0.39 0.53
S = 0.39 0.50 -0.03
0.53 -0.03 0.13
Valores estimados
Paso 2. Se estima de σ² y σjk -elementos de la matriz S0-, asumiendo la igualdad de las variancias y covariancias. Su estimación es la media de las variancias y covariancias muestrales. _
s0 = 1/3[2.70 + 0.50 + 0.13] = 1.11 _
s00 = 1/3[0.39 + 0.53 - 0.03] = 0.29
Matriz poblacional estimada
Con estos valores se forma la matriz S0, que es la mejor estimación de Σ:
1.11 0.29 0.29
S0 = 0.29 1.11 0.29
0.29 0.29 1.11
Cálculo del valor del estadístico
Paso 3. Asumiendo n sujetos y a niveles de tratamiento o medidas repetidas, la prueba de Box (1950) requiere el cómputo del estadístico B cuya distribución es aproximada al chi-cuadrado.
B = (1 – C)M
donde
|S| M = –(n – 1) ln----------
|S0|
Valor del estadístico M
|S| = (2.7)(0.5)(.13) + (0.39)(– 0.03)(0.53) +
(0.53)(0.39)(–0.03)–(0.53)²(0.5)–(–0.03)²(2.7)
–(0.13)(0.39)² = 0.0006
|S0| = (1.11) + (0.29) + (0.29) – 3(1.11)(0.29)² =
1.1119
Con ello,
0.0006
M = –(3 – 1) ln------------- = 15.2
1.1119
Cálculo de C
Paso 4. El cálculo de C es, a(a+1)²(2a-3) C = ------------------------------
6(n-1)(a-1)(a²+a-4)
Con los datos del ejemplo, se tiene
3(4)²(6-3)C = ---------------------- = 0.75 6(2)(2)(9+3-4)
Decisión estadística
Paso 5. Por último, se computa B con distribución aproximada a chi-cuadrado con [a² + a - 4]/2 grados de libertad:
B = (1 - C)M = (1 - 075)(15.2) = 3.8 y
[3² + 3 - 4]/2 = 4 g.l.
El valor teórico de chi-cuadrado es
χ0.95 (4) = 9.49
Puesto que este valor es mayor que el valor empírico, 3.8 < 9.49, se infiere la aceptación de la hipótesis de nulidad y, por tanto, que la matriz de variancia y covariancia muestral se ajusta al patrón específico asumido en la población.
Supuesto de esfericidad
Huynh y Feldt (1970) y Rouanet y Lepine (1970) han mostrado que es suficiente el cumplimento de una condición más débil o condición de esfericidad (circularidad). Esta condición sólo requiere que las variancias de las diferencias entre todos los pares de medidas repetidas sean iguales (prueba de esfericidad de Mauchley (1940))
Supuesto de homogeneidad del ejemplo
Uniformidad Circularidad
Box(1950) Mauchley (1940)
χo2 = 3.8 χo
2 = 0.479
g.l.= [p2+p-4]/2 =4 g.l.=[p(p-1)/2]-1=2
χ20.95(4) =9.49 χ2
0.95(2) =5.99
A(H0)--------> p>0.05
Alternativas de análisis del diseño de medidas repetidas
F normal
ANOVA F conservadora
F ajustada
Diseño de
medidas
repetidas
MANOVA
Fórmulas para el cálculo de los grados de libertad de las F's.
Grados de libertad de F
F normal F conservadora
F ajustada
Numerador (a-1) 1 (a-1)
Denominador (n-1)(a-1) n-1 (n-1)(a-1)
Factores de ajuste
Epsilón de:
Greenhouse y Geisser (1959)
Huynh y Feldt (1970)
Épsilon de Greeenhouse y Geisser (1959).
= 0.72
Valores teóricos de las F's de las distintas pruebas, a un nivel de significación de 0.05.
Tipo de Grados de libertad Valor teórico de
prueba Numerador Denominador F para α = 0.05 Normal 2 4 6.94 Ajustada 1 3 10.13 Conservadora 1 2 18.51
A B C D
B C D A
C D A B
D A B C
Sujetos
S1
S2
S3
S4
O1 O2 O3 O4 Orden
Formatos del diseño de medidas repetidas: Diseño de medidas repetidas de cuadrado latino, S x A
Formatos del diseño de medidas repetidas: Diseño de medidas repetidas factorial, S x A x B.
Y111 Y11k Y121 Y12k … Y1j1 Y1jk
Y211 Y22k Y221 Y22k … Y2j1 Y2jk
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Yn11 Yn1k Yn21 Yn2k … Ynj1 Ynjk
Medias
S1
S2
Sn
.
.
Su
jetos
Medias
Y1..
Y2..
.
.
Yn..
Y…
…Tratamientos
A1 A2 AjB1 Bk…
B1 Bk…
B1 Bk…
…
..
..
..
..
..
..
..
.. ..
Y.11 Y.12 … Y.21 Y.j1 Y.jkY.2k.. .. ..
TEMA IX
Definición general
Clasificación
Diseño factorial mixto con una variable entre y otra intra. Modelo estructural y componentes de variación
Diseño split-plot
Comparación de las fuentes de variación del Diseño mixto con el de medidas repetidas simple y el completamente al azar
DISEÑOS FACTORIALES MIXTOS
ESQUEMA GENERAL
Diseño de medidas repetidas multigrupo
o factorial mixto
Diseño de medidas repetidas multigrupo
El diseño de medidas repetidas multigrupo, conocido también por diseño factorial mixto, incorpora dos estrategias de inferencia de hipótesis: estrategia de comparación entre grupos y estrategia de comparación intra sujetos. La estructura mixta combina, en un mismo experimento, el procedimiento de grupos independientes y el procedimiento con sujetos de control propio. ..//..
Puesto que el diseño mixto integra, en un mismo estudio, dos enfoques de investigación se aplica a aquellas situaciones donde están presentes, por lo menos, dos variables independientes. Así, los valores o niveles de la primera variable independiente genera grupos separados y su efecto se infiere por la comparación entre grupos o entre sujetos.
..//..
Esta variable independiente es conocida como variable entre. Los valores de la segunda variable se administran a todos los sujetos, en cuyo caso los sujetos repiten medidas. Dado el carácter de repetición, esa segunda variable recibe el nombre de variable intra. De esto se concluye que el diseño mixto requiere siempre una estructura factorial. O sea, son experimentos donde intervienen como mínimo dos variables.
Clasificación
1 V.E. y 1 V.I. S(A)xB 2 V.E. y 1 V.I. S(AxB)xC Diseño factorial ......................................
mixto ...................................... Diseño de N V.E. y N V.I medidas repetidas Una variable categórica multigrupo y una intra S(A)xB Diseño split-plot Dos variables categóricas y una intra S(AxB)xC Etc.
Formato del diseño de medidas repetidas de dos grupos
Grupo Tratamientos A1 A2 ........... Ak
S1 Y11 Y12 ............ Y1k
G1
Sn1 YN1 YN2 ............ YNk
S1 Y11 Y12 ............ Y1k
G2
Sn2 YN1 YN2 ............ YNk
Ejemplo práctico
Un experimentador pretende estudiar el efecto que sobre la memoria icónica tienen dos variables: campo pos-exposición y tiempo de presentación. De la primera variable, selecciona dos valores: campo pos-exposición brillante (A1) y campo pos-exposición oscuro (A2). De la segunda, elige cuatro valores: B1 = 45 c/sg, B2 = 90 c/sg, B3 = 180 c/sg, y B4 = 240 c/sg.
Para ejecutar este experimento, confecciona tarjetas donde aparecen letras consonantes, seleccionadas al azar, y las dispone en matrices 3 x 4. La tarea a realizar por los sujetos, va a consistir en identificar, de forma correcta, la máxima cantidad de letras. A su vez, decide que cada sujeto ejecute 40 ensayos (diez tarjetas por tiempo de presentación). La variable dependiente es la cantidad de identificaciones correctas en bloques de 10 ensayos.
Modelo de prueba estadística
Paso 1. Formulación de las hipótesis de nulidad:
H0: α1 = α2 = 0
H0: ß1 = ß2 = ß3 = ß4 = 0
H0: αß11 = αß12 = αß13 = αß14 = αß21 =
αß22 = αß23 = αß24 = 0
Paso 2. A cada hipótesis de nulidad está asociada la siguiente hipótesis alternativa:
H1: por lo menos una desigualdad
Paso 3. Se asume el modelo ANOVA lineal. El estadístico de la prueba es la F normal (bajo el supuesto de homogeneidad y simetría), con un nivel de significación de α = 0.05. El tamaño de la muestra experimental es N = an = 8 y la cantidad de observaciones abn = 32.
Paso 4. Se calcula el valor empírico de F a partir de la correspondiente matriz de datos del experimento.
TOTALESTRATAMIENTOS
932295242213182TOTALES
436
77
103
142
114
30
38
41
38
20
30
36
33
14
19
34
22
13
16
31
21
5
6
7
8
A2
496
112
142
125
117
34
39
40
35
27
37
28
31
26
35
33
30
25
31
24
21
1
2
3
4
A1
V.ASuj.B4B3B2B1Nº Suj.
DISEÑO FACTORIAL MIXTO
Modelo estructural del diseño
Yijk = μ + [αj + ηi/j] + [βk + (αβ)jk +
(ηβ)ik/j ] + εijk
Supuestos del anova
Yij = la puntuación del i sujeto bajo el j valor A y el k valor de B
μ = la media común a todos los datos del experimento.
αj = es el efecto de j nivel de la variable A. ηi/j = el efecto asociado al i sujeto dentro de j nivel
de A. ßk = el efecto del k nivel de B. (αß)jk = el efecto de la interacción de Aj y Bk.(ηß)ik/j = el efecto de la interacción de Si y Bk, intra Aj. εijk = el error de medida.
Dado que sólo hay un dato por casilla
–combinación de S, A y B–, no hay variabilidad intra-casilla, Así, SxB/A estima la variancia del error.
Se asume que:
a) ηi NID(0,ση²)
b) (ηß)ik/j NID(0,σηß²)
b) εijk NID(0,σε²)
Descomposición de la Suma de cuadrados
SCtotal = SCentre-sujetos + SCintra-sujetos
A su vez, cada componente se subdivide en:
SCentre-sujetos = SCA + SCS/A
y
SCintra-sujetos = SCB + SCAB + SCSxB/A
Resumen de las fuentes de variación del diseño factorial mixto
Entre sujetos
Variable A
Sujetos intra A
Intra sujetos
Variable B
Interacción A x B
Sujetos x B intra A
Cálculo de la sumas de cuadrados
SCtotal = [25² + 31² + ... + 38²] – [932²/32] =
1871.50
SCE.S. = [112²/4 + 142²/4 + ... + 114²/4] –
[932²/32] = 785.50
SCI.S. = SCtotal - SCE.S. = 1871.50 - 785.50 =
1086
Suma de Cuadrados entre-sujetos
La Suma de Cuadrados entre-sujetos se divide en
SCA = [496²/16 + 436²/16] – [932²/32] = 112.50
SCS/A = SCE.S. - SCA = 785.50 - 112.50 = 673
Suma de Cuadrados intra-sujetos (a)
La Suma de cuadrados intra sujetos se divide en
SCB = [182²/8 + 213²/8 + ... + 295²/8] – [932²/32] = 865.75
SCAxB (se requiere tabla de totales)
SCSxB/A = SCI.S. - SCB - SCAxB
Tabla de totales
Datos de la interacción AxB
B1 B2 B3 B4 Totales
A1 101 124 123 148 496
A2 81 89 119 147 436
Totales 182 213 242 295 932
Suma de Cuadrados intra-sujetos (b)
SCAxB = [101²/4 + 81²/4 + ... + 147²/4] –
[938²/32] - SCA - SCB = 92.75
SCSxB/A = SCI.S. - SCB - SCAxB = 1086 –
865.75 - 92.75 = 127.50
CUADRO RESUMEN DEL AVAR. DISEÑO FACTORIAL MIXTO
>0.05
<0.05
<0.05
1
40.76
4.37
112.50
112.17
288.58
30.92
7.08
an-1=7
a-1=1
a(n-1)=6
an(b-1)=24
b-1=3
(a-1)(b-1)=3
a(n-1)(b-1)=18
785.5
112.5
673
1086
865.75
92.75
127.5
Entre sujetos
Variable A
S/A (e. entre)
Intra sujetos
Variable B
Inter AxB
SxB/A (e. Intra)
F0.95(1/6) = 5.99; F0.95(3/18) = 3.16
abn-1=311871.5Total
pFCMg.lSCF.V.
Modelo de prueba estadística
Paso 5. De los resultados del análisis, se infiere la aceptación de la hipótesis de nulidad para la variable A y su no-aceptación para la variable B y la interacción AxB, con una probabilidad de error del 5 por ciento.
MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO
22.7531
B2
30.5 30.75
B3
3720.25A2
3725.25A1
B4B1
GRÁFICO INTERACCIÓN
3737
31 30,75
25,25
22,75
30,5
20,25
1416182022242628303234363840
Iden
tific
acio
nes c
orre
ctas
A1 (Campo brillante)A2 (Campo oscuro)
Fin de los diseños experimentales clásicos
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