TEMA VII

Definición general

Clasificación

Diseño factorial A x B, completamente al azar

Representación de los efectos factoriales

Modelo estructural, análisis y componentes de variación

DISEÑO FACTORIAL

ESQUEMA GENERAL

Concepto

El diseño factorial, como estructura de investigación, es la combinación de dos o más diseños simples (o unifactoriales); es decir, el diseño factorial requiere la manipulación simultánea de dos o más variables independientes (llamados factores), en un mismo experimento. ..//..

En función de la cantidad de factores o variables de tratamiento, los formatos factoriales se denominan, también, diseños de tratamientos x tratamientos, tratamientos x tratamientos x tratamientos, etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.

Criterios de clasificación

Por la cantidad de niveles

Criterios Cantidad de combinaciones

Tipo de control

Clasificación del diseño factorial por criterio

A) Según la cantidad de niveles o valores por factor, el diseño factorial se clasifica en:

Cantidad constante Cantidad de valores

Cantidad variable

La notación del diseño es más sencilla cuando la cantidad de niveles por factor es igual (es decir, constante). Así, el diseño factorial de dos factores a dos niveles se representa por 2², el de tres factores por 23, etc. En términos generales, los diseños a dos niveles y con k factores se representan por 2k; a tres niveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc.

..//..

Cuando los factores actúan a más de dos niveles (es decir, cuando la cantidad de valores por factor es variable), el diseño se representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A su vez, cabe considerar la posibilidad de que, tanto en un caso como en otro, el diseño sea balanceado (proporcionado) o no balanceado (no proporcionado); es decir, diseños con igual cantidad de sujetos por casilla y diseños con desigual cantidad de sujetos por casilla.

B) El segundo criterio hace hincapié en la cantidad de combinaciones de tratamiento realizadas o ejecutadas. Con base a este criterio, el diseño factorial se clasifican en:

Diseño factorial completo Cantidad de

combinaciones de tratamiento Diseño factorial incompleto

y fraccionado

Si el diseño factorial es completo, se realizan todas las posibles combinaciones entre los valores de las variables. Así, cada combinación de tratamientos determina un grupo experimental (grupo de tratamiento o casilla). Por ejemplo, el diseño factorial completo 2x2 determina cuatro grupos de tratamiento; un diseño 3x3 nueve grupos, etc. ..//..

Asumiendo que sólo se ejecute una parte del total de las combinaciones, el diseño factorial es incompleto o fraccionado, según el procedimiento seguido.

C) En función del control de variables extrañas.

Diseño factorial completamente al azar

Diseño factorial de bloques aleatorizados

Diseño factorial de CuadradoGrado de control Latino

Diseño factorial jerárquico o anidado

Diseño factorial de medidas repetidas

Según el control de los factores extraños y la reducción de la variancia del error, el diseño factorial puede ser, en primer lugar, completamente al azar; es decir, aquel formato donde sólo se aplica el azar como técnica de control y donde los grupos se forman mediante la asignación aleatoria de los sujetos. ..//..

En segundo lugar, el diseño factorial de bloques aleatorizados permite el control de una variable extraña. Según esa estrategia, cada bloque es un réplica completa del experimento, y los grupos intra bloque (dentro de cada bloque) se forman al azar. ..//..

Siguiendo con el criterio de bloques, el diseño factorial de Cuadrado Latino o de doble sistema de bloques controla dos fuentes de variación extrañas, aunque sólo se realiza una parte del total de combinaciones. ..//..

El diseño factorial jerárquico o anidado requiere la manipulación experimental de la variable y, al mismo tiempo, la anidación (o inclusión) de una variable dentro de las combinaciones de tratamientos de los factores. ..//..

Por último, el diseño factorial de medidas repetidas incorpora la técnica intra-sujeto; es decir, el sujeto actúa de control propio y recibe todas las combinaciones de tratamiento generados por la estructura factorial.

Criterios Diseño

Cantidad de valores por factor

Igual cantidad de valores: 2k, 3k, etc.

Cantidad variable: 2x3; 2x3x4, etc.

Cantidad de combinaciones de tratamientos

Diseño factorial completo

Diseño factorial incompleto y fraccionado

Grado de control

Diseño factorial completamente al azar

Diseño factorial de bloques

Diseño factorial de Cuadrado Latino

Diseño factorial jerárquico

Diseño factorial de medidas repetidas

Efectos factoriales estimables

1. Efectos simples

2. Efectos principales

3. Efectos secundarios

Efectos factoriales simples

Es posible definir el efecto factorial simple como el efecto puntual de una variable independiente o factor para cada valor de la otra.

Efectos factoriales principales

Los efectos factoriales principales, a diferencia de los simples, son el impacto global de cada factor considerado de forma independiente, es decir, el efecto global de un factor se deriva del promedio de los dos efectos simples.

Efectos factoriales secundarios

El efecto secundario o de interacción se define por la relación entre los factores o variables independientes, es decir, el efecto cruzado.

Diseño factorial al azar 2x2

Estructura del diseño

Combinación de tratamientos por grupo o casilla

Diseño factorial 2x2

A1B1 A1B2

A2B1 A2B2

Formato del diseño factorial completamente al azar

s e l e c c M i P ó n

Asignación al azar

S1 S1 S1 S1

Sn1 Sn2 Sn3 Sn4

V.E. Z1 Z2 Z3 Z4

V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2

Caso paramétrico. Ejemplo

Se pretende probar, en una situación de aprendizaje discriminante animal, si la magnitud del incentivo (variable incentivo) actúa según el aprendizaje sea simple o complejo (variable dificultad de aprendizaje o variable tarea). En esta hipótesis se afirma que a mayor incentivo, más acusada es la diferencia entre las dos tareas (simple o compleja). ..//..

Para ello, se registra la cantidad de discriminaciones correctas (variable dependiente) en función de un criterio general de aprendizaje, que asume como suficientes 15 ensayos. Se toma, como medida de la variable dependiente o de respuesta, la cantidad de respuestas correctas, para un máximo de 15, bajo el supuesto de que cada discriminación correcta tiene la misma dificultad de aprendizaje. ..//..

Para probar la hipótesis propuesta se asignan 32 sujetos, de una muestra experimental, a las combinaciones de tratamientos o casillas (ocho sujetos por casilla), de forma totalmente aleatoria.

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 1. Según la estructura del diseño son estimables tres efectos. Por esa razón, se plantean tres hipótesis de nulidad relativas a la variable A, variable B e interacción:

H0: α1 = α2 = 0

H0: ß1 = ß2 = 0

H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0

Paso 2. Por hipótesis experimental, se espera que los efectos principales y el de la interacción sean significativos. Estas hipótesis se representan, al nivel estadístico, por

H1: α1 α2, o no todas las α son cero

H1: ß1 ß2, o no todas las ß son cero

H1: (αß)11 (αß)12 (αß)21 (αß)22, o no todas las αß son cero.

Paso 3. El estadístico de la prueba es la F de Snedecor, con un α de 0.05, para las tres hipótesis de nulidad. El tamaño de la muestra experimental es N = 32 y el de las submuestras n = 8.

Paso 4. Cálculo del valor empírico de las razones F. Para ello, se toma, de nuevo, la matriz de datos del experimento.

60

7.5

70

8.75

27

3.375

52

6.5

8

6

9

9

8

7

7

6

7

9

10

8

10

9

10

7

4

3

4

5

2

3

4

2

10

9

4

8

8

4

3

6

A2B2A2B1A1B2A1B1

DISEÑO FACTORIAL 2X2

Totales:Medias:

209

6.53

ANOVA factorial

MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR: DISEÑO FACTORIAL 2X2

ijkjkkjijk εαββαμY +)(+++=

Espeficación del modelo

Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinación del j valor del factor A y el k valor del factor B.

μ = la media común a todos los datos del experimento.

αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable de tratamiento A. ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B. (αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de

A y el k valor de B. εij = error experimental o efecto aleatorio de

muestreo.

Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados

SCA

SCentre-grupos SCB

SCtotal SCAB

SCintra-grupos SCS/AB

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: primera etapa

SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos

SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(209)²/(8)(4)] = 203.97

SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] –

[(209)²/(32)] = 126.59

SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8

+ (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38

CUADRO RESUMEN DEL AVAR PRIMERA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2

F0.95(3/28) = 2.95

abn-1=31 203.97Total (T)

<0.0515.2842.19

2.76

ab-1=3

ab(n-1)=28126.59

77.38

Entre G

Intra G (E)

pFCMg.l.SCF.V.

Inferencia del primer análisis

Del primer análisis se concluye que los

grupos de tratamiento o experimentales difieren significativamente entre sí; la probabilidad de que un valor F de 15.28 ocurra al azar es menor que el riesgo asumido (α = 0.05).

..//..

En consecuencia, se procede a determinar las causas de esa significación. Nótese que este análisis no obedece a ningún propósito de investigación, ya que sólo sirve para detectar si, en términos globales, hay o no diferencia entre los grupos. De hecho, es como si se hubiera aplicado un modelo uni-factorial de la variancia.

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa

SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B +

SCinteracción AxB

El cálculo de estas Sumas de Cuadrados requiere la previa construcción de la tabla de los totales por columnas.

MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS

209 87 122TOTALES

1306070A2

792752A1

TOTALESB2B1

Cálculo del valor empírico de las Sumas de cuadrados

SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] =

81.28

SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] =

38.28

SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 –

81.28 - 38.28 = 7.03

CUADRO RESUMEN DEL AVAR SEGUNDA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2

<0.05

<0.05

>0.05

29.94

13.87

2.55

81.28

38.28

7.03

(a-1)=1

(b-1)=1

(a-1)(b-1)=1

81.28

38.28

7.03

Factor A

Factor B

Inter AxB

F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20

abn-1=31 203.97Total (T)

<0.0515.2842.19

2.76

ab-1=3

ab(n-1)=28

126.59

77.37

Entre-g

Intra-g

pFCMg.lSCF.V.

Inferencia del segundo análisis

Paso 5. De los resultados del análisis se infiere la no-aceptación de las hipótesis de nulidad para los efectos principales de A y B, con riesgo de error del 5 por ciento. En cambio, se acepta la hipótesis de nulidad para la interacción. En suma, sólo se deriva la significación de los efectos principales.

No interacción (nula)

A1

A2

B1 B2

Interacción positiva

A1

A2

B1 B2

Interacción negativa

A1

A2

B1 B2

Interacción inversa

A2

A1

B1 B2

Representación gráfica de la interacción

A1 A2

B1

B2

Interacción nula

A1 A2

B2

B1

Interacción positiva

A1 A2

B2

B1

Interacción negativa

A1 A2

B1

B2

Interacción inversa

MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO

7.58.75A2

3.386.5A1

B2B1

GRÁFICO INTERACCIÓN

7,5

3,38

6,5

8,75

012345

6789

10

B1 (Tarea simple) B2 (Tarea compleja)

Prom

edio

ens

ayos

cor

rect

os

A1 (Incentivo bajo)A2 (Incentivo alto)

Ventajas del diseño factorial

Se ha descrito, a lo largo de ese tema, los conceptos básicos del diseño factorial o estructura donde se manipulan, dentro de una misma situación experimental, dos o más variables independientes (o factores). En aras a una mejor exposición del modelo se ha descrito, básicamente, el diseño bifactorial a dos niveles, dentro del contexto de grupos completamente al azar. ..//..

La disposición bifactorial aporta información no sólo de cada factor (efectos principales), sino de su acción combinada (efecto de interacción o efecto secundario). De esta forma, con la misma cantidad de sujetos requerida para experimentos de una sola variable independiente o factor, el investigador puede estudiar simultáneamente la acción de dos o más variables manipuladas. ..//..

Ello supone un enorme ahorro de tiempo y esfuerzo. Si se tiene en cuenta la posibilidad de analizar la acción conjunto o cruzada de las variables, se concluye que el diseño factorial es una de las mejores herramientas de trabajo del ámbito psicológico, puesto que la conducta es función de muchos factores que actúan simultáneamente sobre el individuo. ..//..

Diseños factoriales 2 x 2 de bloques

Bloque 1

Bloque 2

Bloque k

………………………………………….………………………………………….

A1B1 A2B1 A1B2 A2B2

S11 S12 S14S13

S21 S22 S24S23

Sk1 Sk2 Sk4Sk3

TEMA VIII

Definición general

Clasificación

Diseño de medidas repetidas simple. Modelo estructural y componentes de variación

Diseño de medidas repetidas de Cuadrado Latino. Modelo estructural y componentes de variación

Diseño de medidas repetidas factorial. Modelo estructural y componentes de variación

DISEÑOS DE MEDIDAS REPETIDAS

ESQUEMA GENERAL

Diseño de medidas repetidas

El diseño de medidas repetidas es una extensión del diseño de bloques, en que el sujeto sustituye al bloque y actúa de control propio. Con este formato, los sujetos de la muestra reciben todos los tratamientos y repiten medidas o registros de respuesta; asimismo, la comparación de los tratamientos es intra-sujeto. ..//..

De este modo, el uso del procedimiento de medidas repetidas proporciona un control más efectivo de las fuentes de variación extrañas asociadas, por lo general, a las características individuales; es decir, se consigue una reducción de la variancia del error. ..//..

Esto es así porque, al actuar el sujeto de bloque, la variabilidad debida a las diferencias individuales es eliminada del error. De este modo, el diseño de medidas repetidas una estructura más potente que los diseños completamente aleatorizados.

Efectos de orden

Los efectos de orden (order effects) se derivan de la propia estructura del diseño de medidas repetidas, y deben ser neutralizados para que confundan los efectos de los tratamientos.

Tipos de efectos de orden

A) Efecto de período (period effect)

B) Efecto residual (carry-over effect)

Efecto de período

Los efectos de período ocurren cuando, independientemente del tratamiento aplicado, el sujeto responde al período o posición que, en la secuencia, ocupa el tratamiento (período de administración). Cabe, por lo tanto, la posibilidad de que el sujeto responda mejor al período que al tratamiento en sí mismo. Cuando esto ocurre, el efecto de período confunde la acción del tratamiento

Efecto residual

El efecto residual, conocido por error progresivo, se caracteriza por la persistencia de la acción de un tratamiento más allá del período o tiempo de aplicación. Representa tanto la progresiva acumulación tanto de los efectos facilitadores de la respuesta (efecto de la práctica, aprendizaje, etc.) como de los efectos obstaculizadores (como la fatiga mental, cansancio físico, etc.). ..//..

Cuando, como es frecuente en esos casos, se produce una persistencia del efecto del tratamiento anterior sobre el tratamiento siguiente, se corre el riesgo de que los efectos queden contaminados.

Clasificación del diseño en función de los factores

Simple (SxA)

Diseños de medidas repetidas

Factorial (SxAxB, SxAxBxC, etc.)

Clasificación del diseño en función de los grupos

De un grupo o muestra

(SxA)

Diseños

de medidas

repetidas

Multimuestra (S(A)xB)

Diseño de medidas repetidas simple de un grupo

Concepto

El diseño simple de medidas repetidas es prototípico en esa clase de experimentos, al incorporar la estrategia de comparación intra-sujeto. Lindquist (1953) se refiere a estas estructuras como diseños de Tratamientos x Sujetos, ya que los sujetos se cruzan o combinan con los tratamientos. Así mismo, es un diseño simple o unifactorial porque sólo se evalúa la acción de una variable independiente o de tratamientos. ..//..

La principal ventaja del diseño, dada su especial disposición, es la posibilidad de extraer del error una de sus fuentes de variación más importante: la variación atribuida a las diferencias individuales.

Estructura del diseño

La estructura el diseño de medidas repetidas simple es similar al formato factorial de dos variables independientes. A diferencia del diseño factorial, la variable de sujetos no es manipulada ya que se trata de un pseudo-factor. La variable de tratamientos está manipulada por del experimentador y es considerada como un auténtico factor. ..//..

Supóngase, por ejemplo, que la variable sujetos, simbolizada por S, actúa a n valores, y que el factor A -variable de tratamiento-, a a valores que son aplicados, de forma secuencial, a los sujetos de la muestra. Nótese la similitud entre este diseño y el diseño bifactorial dado que, analíticamente, la variable de sujetos actúa como si fuera un factor. La diferencia estriba sólo en la naturaleza y objetivo de las dos variables. ..//..

La variable S representa la variabilidad entre sujetos y no es, por lo tanto, un factor manipulado sino de control. La variable A es una dimensión de variación manipulada por el investigador. El propósito del experimento sigue siendo el análisis del posible impacto de la variable de tratamiento sobre la variable de respuesta. ..//..

Con este formato, no sólo se controlan las diferencias individuales, por el pseudo-factor de sujetos, sino que se minimiza la variancia del error al sustraer una de sus principales fuentes. ..//..

Así, el diseño de medidas repetidas simple es el procedimiento más eficaz para probar el efecto del tratamiento. Al controlar las diferencias interindividuales, este diseño es, también, un potente procedimiento de análisis, porque al reducir el error se aumenta la precisión y efectividad en probar los efectos de la variable de tratamiento.

Formato del diseño de medidas repetidas. Diseño de medidas repetidas simple, S x A.

Y..

TratamientosA1 A2 A3 Aj…

S1

S2

Sn

.

.

Y11 Y12 Y13 … Y1j

Y21 Y22 Y23 … Y2j

………………………………………………………………………………………………

Yn1 Yn2 Yn3 … Ynj

Medias

Su

jetos

Medias

Y1.

Y2.

.

.

Yn.

Y.1 Y.2 … Y.3 Y.j

Caso paramétrico. Ejemplo

Sea, al nivel ilustrativo, la siguiente situación experimental. Se pretende estudiar el efecto de la frecuencia de tres tonos auditivos, o variable A, de igual intensidad (65 db). Para ello, se decide registrar los tiempos de reacción, en milésimas de segundos, a la presentación de los tonos. De la variable independiente -frecuencia de tono-, se eligen tres valores: 300 cps. (condición A1), 600 cps. (condición A2) y 1200 cps. (condición A3).

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 1. Se asume, por hipótesis de nulidad, que los efectos de los tratamientos son nulos. Es decir,

H0: μ1 = μ2 = μ3

Paso 2. Según la hipótesis experimental o hipótesis de efectividad se asume que, uno o más tratamientos o efectos es significativo (distinto de cero). En términos estadísticos se afirma que:

H1: μ1 μ2, o μ1 μ3, o μ2 μ3

H1: por lo menos una desigualdad

Paso 3. Se asume un modelo ANOVA de aditividad. El estadístico de la prueba es la F normal, a un nivel de significación de α = 0.05. El tamaño de la muestra experimental es N = n = 3.

Paso 4. El cálculo del valor empírico de F se realiza a partir de la correspondiente matriz de datos, una vez ejecutado el experimento.

DISEÑO DE MEDIDAS REPETIDAS

TRATAMIENTOS

N. Sujeto A1 A2 A3 TOTALES

1

2

3

3.8

4.4

6.9

3.6

5.0

4.5

2.5

2.3

3.0

9.90

11.70

14.40

TOTALES 15.1 13.1 7.8 36

MEDIAS 5.03 4.37 2.6 4

ANOVA de medidas repetidas

MODELO ESTRUCTURALMODELO ADITIVO

ijjiijY

Descripción y supuestos

Yij = la puntuación del i sujeto bajo la j condición experimental o tratamiento μ = la media global de todos los datos del

experimento

ηi = μi – μ = el efecto asociado al iésimo sujeto

αj = μj – μ = el efecto de jésimo nivel de la variable de tratamiento A

εij = el error experimental asociado al i sujeto bajo el j tratamiento

Asimismo, para que el modelo sea válido, se asume que:

a) ηi NID(0,ση²)

b) εij NID(0,σε²)

c) Σ = ση²11' + σε²I

Cálculo de las sumas de cuadrados

SCtotal = SCsuj. + SCtrat. + SCsuj.xtrat.

Con los datos del ejemplo, se tiene:

SCtotal = [(3.8)² + (4.4)² + ... + (3)²] – [(36)²/9] = 16.16

SCsuj. = [(9.9)²/3 + (11.7)²/3 + (14.4)²/3] – [(36)²/9] = 3.42

SCtrat. = [(15.1)²/3 + (13.1)²/3 + ... + (7.8)²/3] – [(36)²/9] = 9.49

SCsuj.xtrat. = SCtotal – SCsuj. – SCtrat = 16.16 – 3.42 – 9.49 = 3.25

CUADRO RESUMEN DEL ANOVA: DISEÑO MEDIDAS REPETIDAS

F0.95(2/4) = 6.94

an-1=816.16Total (T)

>0.05

5.86

1.71

4.75

0.81

(n-1)=2

(a-1)=2

(n-1)(a-1)=4

3.42

9.49

3.25

Suj (S)

Trat (A)

SujxTrat (SxA)

pFCMg.lSCF.V.

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 5. Dado que el valor empírico de F es menor que el teórico, se acepta la hipótesis de nulidad relativa a la variable de sujetos y a la de tratamiento, a un nivel del riesgo del cinco por ciento.

Supuesto de uniformidad o simetría compuesta

Según esta restricción, conocida por condición de uniformidad o simetría compuesta, se asume una variancia común para las distintas medidas repetidas y una covariancia común para los diferentes pares de medidas (prueba de Box (1950)).

H0 : = S = Matriz poblacional

S = Matriz muestral

233231

232221

131221

233231

232221

131221

sss

sss

sss

233231

232221

131221

sss

sss

sss

233231

232221

131221

sss

sss

sss

. . .

S1 S2 Sn

Prueba de ajuste

Prueba de simetría combinada (Box, 1950)

H0: S = Σ

Pasos de la prueba de Box (1950)

Paso 1. Se calculan, en primer lugar, las variancias y covariancias de los datos muestrales; es decir, se obtiene la matriz S.

Cálculo de las variancias

(ΣYij)²

ΣYij² – --------- n

VarAj = ---------------------------- n – 1

Valor empírico de las variancias

81.41 – (15.1)²/3 VarA1 = ------------------------- = 2.70 3 – 1

58.21 – (13.1)²/3 VarA2 = -------------------------- = 0.50 3 – 1

20.54 – (7.8)²/3 VarA3 = ------------------------- = 0.13 3 – 1

Cálculo de las covariancias

(ΣYij)(ΣYik)

(YijYik) – ---------------- n

CovAjAk = ----------------------------------- n – 1

Valor empírico de las covariancias

66.73 – (15.1)(13.1)/3

CovAjAk = -------------------------------- = 0.396

3 – 1

40.32 – (15.1)(7.8)/3

CovAjAk = --------------------------------- = 0.53

3 – 1

34.00 – (13.1)(7.8)/3

CovAjAk = --------------------------------- = -0.03

3 – 1

Matriz de variancia/covariancia muestral

2.70 0.39 0.53

S = 0.39 0.50 -0.03

0.53 -0.03 0.13

Valores estimados

Paso 2. Se estima de σ² y σjk -elementos de la matriz S0-, asumiendo la igualdad de las variancias y covariancias. Su estimación es la media de las variancias y covariancias muestrales. _

s0 = 1/3[2.70 + 0.50 + 0.13] = 1.11 _

s00 = 1/3[0.39 + 0.53 - 0.03] = 0.29

Matriz poblacional estimada

Con estos valores se forma la matriz S0, que es la mejor estimación de Σ:

1.11 0.29 0.29

S0 = 0.29 1.11 0.29

0.29 0.29 1.11

Cálculo del valor del estadístico

Paso 3. Asumiendo n sujetos y a niveles de tratamiento o medidas repetidas, la prueba de Box (1950) requiere el cómputo del estadístico B cuya distribución es aproximada al chi-cuadrado.

B = (1 – C)M

donde

|S| M = –(n – 1) ln----------

|S0|

Valor del estadístico M

|S| = (2.7)(0.5)(.13) + (0.39)(– 0.03)(0.53) +

(0.53)(0.39)(–0.03)–(0.53)²(0.5)–(–0.03)²(2.7)

–(0.13)(0.39)² = 0.0006

|S0| = (1.11) + (0.29) + (0.29) – 3(1.11)(0.29)² =

1.1119

Con ello,

0.0006

M = –(3 – 1) ln------------- = 15.2

1.1119

Cálculo de C

Paso 4. El cálculo de C es, a(a+1)²(2a-3) C = ------------------------------

6(n-1)(a-1)(a²+a-4)

Con los datos del ejemplo, se tiene

3(4)²(6-3)C = ---------------------- = 0.75 6(2)(2)(9+3-4)

Decisión estadística

Paso 5. Por último, se computa B con distribución aproximada a chi-cuadrado con [a² + a - 4]/2 grados de libertad:

B = (1 - C)M = (1 - 075)(15.2) = 3.8 y

[3² + 3 - 4]/2 = 4 g.l.

El valor teórico de chi-cuadrado es

χ0.95 (4) = 9.49

Puesto que este valor es mayor que el valor empírico, 3.8 < 9.49, se infiere la aceptación de la hipótesis de nulidad y, por tanto, que la matriz de variancia y covariancia muestral se ajusta al patrón específico asumido en la población.

Supuesto de esfericidad

Huynh y Feldt (1970) y Rouanet y Lepine (1970) han mostrado que es suficiente el cumplimento de una condición más débil o condición de esfericidad (circularidad). Esta condición sólo requiere que las variancias de las diferencias entre todos los pares de medidas repetidas sean iguales (prueba de esfericidad de Mauchley (1940))

Supuesto de homogeneidad del ejemplo

Uniformidad Circularidad

Box(1950) Mauchley (1940)

χo2 = 3.8 χo

2 = 0.479

g.l.= [p2+p-4]/2 =4 g.l.=[p(p-1)/2]-1=2

χ20.95(4) =9.49 χ2

0.95(2) =5.99

A(H0)--------> p>0.05

Alternativas de análisis del diseño de medidas repetidas

F normal

ANOVA F conservadora

F ajustada

Diseño de

medidas

repetidas

MANOVA

Fórmulas para el cálculo de los grados de libertad de las F's.

Grados de libertad de F

F normal F conservadora

F ajustada

Numerador (a-1) 1 (a-1)

Denominador (n-1)(a-1) n-1 (n-1)(a-1)

Factores de ajuste

Epsilón de:

Greenhouse y Geisser (1959)

Huynh y Feldt (1970)

Épsilon de Greeenhouse y Geisser (1959).

= 0.72

Valores teóricos de las F's de las distintas pruebas, a un nivel de significación de 0.05.

Tipo de Grados de libertad Valor teórico de

prueba Numerador Denominador F para α = 0.05 Normal 2 4 6.94 Ajustada 1 3 10.13 Conservadora 1 2 18.51

A B C D

B C D A

C D A B

D A B C

Sujetos

S1

S2

S3

S4

O1 O2 O3 O4 Orden

Formatos del diseño de medidas repetidas: Diseño de medidas repetidas de cuadrado latino, S x A

Formatos del diseño de medidas repetidas: Diseño de medidas repetidas factorial, S x A x B.

Y111 Y11k Y121 Y12k … Y1j1 Y1jk

Y211 Y22k Y221 Y22k … Y2j1 Y2jk

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Yn11 Yn1k Yn21 Yn2k … Ynj1 Ynjk

Medias

S1

S2

Sn

.

.

Su

jetos

Medias

Y1..

Y2..

.

.

Yn..

Y…

…Tratamientos

A1 A2 AjB1 Bk…

B1 Bk…

B1 Bk…

…

..

..

..

..

..

..

..

.. ..

Y.11 Y.12 … Y.21 Y.j1 Y.jkY.2k.. .. ..

TEMA IX

Definición general

Clasificación

Diseño factorial mixto con una variable entre y otra intra. Modelo estructural y componentes de variación

Diseño split-plot

Comparación de las fuentes de variación del Diseño mixto con el de medidas repetidas simple y el completamente al azar

DISEÑOS FACTORIALES MIXTOS

ESQUEMA GENERAL

Diseño de medidas repetidas multigrupo

o factorial mixto

Diseño de medidas repetidas multigrupo

El diseño de medidas repetidas multigrupo, conocido también por diseño factorial mixto, incorpora dos estrategias de inferencia de hipótesis: estrategia de comparación entre grupos y estrategia de comparación intra sujetos. La estructura mixta combina, en un mismo experimento, el procedimiento de grupos independientes y el procedimiento con sujetos de control propio. ..//..

Puesto que el diseño mixto integra, en un mismo estudio, dos enfoques de investigación se aplica a aquellas situaciones donde están presentes, por lo menos, dos variables independientes. Así, los valores o niveles de la primera variable independiente genera grupos separados y su efecto se infiere por la comparación entre grupos o entre sujetos.

..//..

Esta variable independiente es conocida como variable entre. Los valores de la segunda variable se administran a todos los sujetos, en cuyo caso los sujetos repiten medidas. Dado el carácter de repetición, esa segunda variable recibe el nombre de variable intra. De esto se concluye que el diseño mixto requiere siempre una estructura factorial. O sea, son experimentos donde intervienen como mínimo dos variables.

Clasificación

1 V.E. y 1 V.I. S(A)xB 2 V.E. y 1 V.I. S(AxB)xC Diseño factorial ......................................

mixto ...................................... Diseño de N V.E. y N V.I medidas repetidas Una variable categórica multigrupo y una intra S(A)xB Diseño split-plot Dos variables categóricas y una intra S(AxB)xC Etc.

Formato del diseño de medidas repetidas de dos grupos

Grupo Tratamientos A1 A2 ........... Ak

S1 Y11 Y12 ............ Y1k

G1

Sn1 YN1 YN2 ............ YNk

S1 Y11 Y12 ............ Y1k

G2

Sn2 YN1 YN2 ............ YNk

Ejemplo práctico

Un experimentador pretende estudiar el efecto que sobre la memoria icónica tienen dos variables: campo pos-exposición y tiempo de presentación. De la primera variable, selecciona dos valores: campo pos-exposición brillante (A1) y campo pos-exposición oscuro (A2). De la segunda, elige cuatro valores: B1 = 45 c/sg, B2 = 90 c/sg, B3 = 180 c/sg, y B4 = 240 c/sg.

Para ejecutar este experimento, confecciona tarjetas donde aparecen letras consonantes, seleccionadas al azar, y las dispone en matrices 3 x 4. La tarea a realizar por los sujetos, va a consistir en identificar, de forma correcta, la máxima cantidad de letras. A su vez, decide que cada sujeto ejecute 40 ensayos (diez tarjetas por tiempo de presentación). La variable dependiente es la cantidad de identificaciones correctas en bloques de 10 ensayos.

Modelo de prueba estadística

Paso 1. Formulación de las hipótesis de nulidad:

H0: α1 = α2 = 0

H0: ß1 = ß2 = ß3 = ß4 = 0

H0: αß11 = αß12 = αß13 = αß14 = αß21 =

αß22 = αß23 = αß24 = 0

Paso 2. A cada hipótesis de nulidad está asociada la siguiente hipótesis alternativa:

H1: por lo menos una desigualdad

Paso 3. Se asume el modelo ANOVA lineal. El estadístico de la prueba es la F normal (bajo el supuesto de homogeneidad y simetría), con un nivel de significación de α = 0.05. El tamaño de la muestra experimental es N = an = 8 y la cantidad de observaciones abn = 32.

Paso 4. Se calcula el valor empírico de F a partir de la correspondiente matriz de datos del experimento.

TOTALESTRATAMIENTOS

932295242213182TOTALES

436

77

103

142

114

30

38

41

38

20

30

36

33

14

19

34

22

13

16

31

21

5

6

7

8

A2

496

112

142

125

117

34

39

40

35

27

37

28

31

26

35

33

30

25

31

24

21

1

2

3

4

A1

V.ASuj.B4B3B2B1Nº Suj.

DISEÑO FACTORIAL MIXTO

Modelo estructural del diseño

Yijk = μ + [αj + ηi/j] + [βk + (αβ)jk +

(ηβ)ik/j ] + εijk

Supuestos del anova

Yij = la puntuación del i sujeto bajo el j valor A y el k valor de B

μ = la media común a todos los datos del experimento.

αj = es el efecto de j nivel de la variable A. ηi/j = el efecto asociado al i sujeto dentro de j nivel

de A. ßk = el efecto del k nivel de B. (αß)jk = el efecto de la interacción de Aj y Bk.(ηß)ik/j = el efecto de la interacción de Si y Bk, intra Aj. εijk = el error de medida.

Dado que sólo hay un dato por casilla

–combinación de S, A y B–, no hay variabilidad intra-casilla, Así, SxB/A estima la variancia del error.

Se asume que:

a) ηi NID(0,ση²)

b) (ηß)ik/j NID(0,σηß²)

b) εijk NID(0,σε²)

Descomposición de la Suma de cuadrados

SCtotal = SCentre-sujetos + SCintra-sujetos

A su vez, cada componente se subdivide en:

SCentre-sujetos = SCA + SCS/A

y

SCintra-sujetos = SCB + SCAB + SCSxB/A

Resumen de las fuentes de variación del diseño factorial mixto

Entre sujetos

Variable A

Sujetos intra A

Intra sujetos

Variable B

Interacción A x B

Sujetos x B intra A

Cálculo de la sumas de cuadrados

SCtotal = [25² + 31² + ... + 38²] – [932²/32] =

1871.50

SCE.S. = [112²/4 + 142²/4 + ... + 114²/4] –

[932²/32] = 785.50

SCI.S. = SCtotal - SCE.S. = 1871.50 - 785.50 =

1086

Suma de Cuadrados entre-sujetos

La Suma de Cuadrados entre-sujetos se divide en

SCA = [496²/16 + 436²/16] – [932²/32] = 112.50

SCS/A = SCE.S. - SCA = 785.50 - 112.50 = 673

Suma de Cuadrados intra-sujetos (a)

La Suma de cuadrados intra sujetos se divide en

SCB = [182²/8 + 213²/8 + ... + 295²/8] – [932²/32] = 865.75

SCAxB (se requiere tabla de totales)

SCSxB/A = SCI.S. - SCB - SCAxB

Tabla de totales

Datos de la interacción AxB

B1 B2 B3 B4 Totales

A1 101 124 123 148 496

A2 81 89 119 147 436

Totales 182 213 242 295 932

Suma de Cuadrados intra-sujetos (b)

SCAxB = [101²/4 + 81²/4 + ... + 147²/4] –

[938²/32] - SCA - SCB = 92.75

SCSxB/A = SCI.S. - SCB - SCAxB = 1086 –

865.75 - 92.75 = 127.50

CUADRO RESUMEN DEL AVAR. DISEÑO FACTORIAL MIXTO

>0.05

<0.05

<0.05

1

40.76

4.37

112.50

112.17

288.58

30.92

7.08

an-1=7

a-1=1

a(n-1)=6

an(b-1)=24

b-1=3

(a-1)(b-1)=3

a(n-1)(b-1)=18

785.5

112.5

673

1086

865.75

92.75

127.5

Entre sujetos

Variable A

S/A (e. entre)

Intra sujetos

Variable B

Inter AxB

SxB/A (e. Intra)

F0.95(1/6) = 5.99; F0.95(3/18) = 3.16

abn-1=311871.5Total

pFCMg.lSCF.V.

Modelo de prueba estadística

Paso 5. De los resultados del análisis, se infiere la aceptación de la hipótesis de nulidad para la variable A y su no-aceptación para la variable B y la interacción AxB, con una probabilidad de error del 5 por ciento.

MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO

22.7531

B2

30.5 30.75

B3

3720.25A2

3725.25A1

B4B1

GRÁFICO INTERACCIÓN

3737

31 30,75

25,25

22,75

30,5

20,25

1416182022242628303234363840

Iden

tific

acio

nes c

orre

ctas

A1 (Campo brillante)A2 (Campo oscuro)

Fin de los diseños experimentales clásicos