Teori Graph 1
Struktur Diskrit
Teori Graph
Kuliah_11
Suryadi MT
Teori Graph 2
Kelahiran Teori Graph
Masalah Jembatan Konigsberg : ▪ Mulai dan berakhir pada tempat yang sama,
bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat satu kali ?
1736: Leonhard Euler ▪ Basel, 1707-St. Petersburg, 1786▪ Mampu mengungkap misteri Jembatan Konigsberg
Kuliah_11
Teori Graph 3
Problem dan Model Graph
Kuliah_11
MASALAH
MODEL
ALGORITMA
IMPLEMENTASIPROGRAM
SOLUSI YANGDIHARAPKAN
An
alis
isA
nalis
is
Data
Teori Graph 4
Problem 1
Setiap minggu sekali, seorang petugas kantor telepon berkeliling untuk mengumpulkan koin pada telepon umum yang dipasang diberbagai tempat. Berangkat dari kantornya, ia mendatangi satu demi satu telepon umum tersebut, dan akhirnya kembali ke kantor lagi. Problem yang muncul adalah petugas tersebut menginginkan suatu rute perjalanan dengan waktu minimal ?
Kuliah_11
Teori Graph 5
Problem 2
Pada suatu persimpangan jalan yang ramai akan dipasang lampu lalu lintas (TL). Telah diatur bahwa jalan A, C, D, E, dan F satu arah serta jalan B adalah 2 arah. Perjalanan yang diperbolehkan adalah : A B A C A E B C B E D C D E F B F C F EProblemnya adalah bagaimana menentukan pola TL dengan jumlah fase minimal,dan pada setiap fase tidak ada perjalanan yang saling melintas ?
Kuliah_11
Teori Graph 6
Problem 3
Rute perjalanan dari kota A ke P dapat dilakukan dengan berbagai macam alternatif. Dari sekian banyak alternatif yang ada maka tentukanlah rute yang paling minimal untuk ditempuh (misalkan minimal dalam hal jarak tempuh/waktu tempuh) ?
Kuliah_11
Teori Graph 7
Model Graph
Jika kita lakukan analisis terhadap ketiga problem tadi, maka kita akan buatkan model persoalannya ke dalam model Graph.
Problem 1 pada model Graph dikenal dengan problem Travelling Salesman.
Problem 2 pada model Graph dikenal dengan problem Coloring Graph (pewarnaan Graph).
Problem 3 pada model Graph dikenal dengan problem Shortest Path.
Kuliah_11
Teori Graph 8
Pendahuluan
Definisi 1 : Suatu Graph G adalah koleksi atau pasangan
dari dua himpunan V dan E dengan V = V(G) = himpunan verteks atau simpul atau node. E = E(G) = himpunan edge atau ruas atau sisi.
Kuliah_11
Banyaknya simpul disebut order Banyaknya ruas dsiebut size (ukuran)
Teori Graph 9
Pendahuluan (Lanjutan)
Contoh 1 : V = {s, u, v, w, x, y, z} E = {(x,s), (x,v)1, (x,v)2,
(x,u), (v,w), (s,v), (s,u), (s,w), (s,y), (w,y), (u,y), (u,z),(y,z)}
Kuliah_11
Teori Graph 10
Edges
Edge merupakan pasangan tak terurut dari simpul. Misalkan edge e = (v,w) = (w,v).
Edge e dikatakan incident pada v dan w. Simpul terpencil (terisolasi) adalah suatu
simpul tanpa incident edges.
Kuliah_11
p
Teori Graph 11
Special edges Parallel edges
Dua ruas atau lebih yang mempunyai kedua simpul ujung yang sama. ▪ Graph disamping : ruas
(a,b) merupakan ruas paralel atau ruas sejajar.
Loops (self-loops) Suatu ruas yang kedua
simpul ujungnya sama. ▪ Graph disamping, ruas
(d,d) self-loops.Kuliah_11
Teori Graph 12
Special graphs
Simple graph (Graph sederhana) Suatu graph yang tidak
memiliki self-loops dan ruas sejajar.
Weighted graph (Graph berlabel / berbobot) Suatu graph yang setiap
ruasnya dikaitkan dengan besaran tertentu (“bobot”).
Kuliah_11
Teori Graph 13
Graph Berarah
G disebut graph berarah atau directed graph/ digraph jika setiap ruas merupakan pasangan terurut dari simpul. (dpl. Setiap ruasnya memiliki arah).
Kuliah_11
Teori Graph 14
Graph Similar
Problem: bagaimana mengelompokan objek-objek ke dalam klas yang similar berdasarkan pada variasi komponen objeknya.?
Contoh 2: Beberapa program komputer dari suatu algoritma
yang sama memiliki perbedaan komponen k = 1, 2 dan 3 yaitu :
K=1 banyaknya baris program K=2 banyaknya statemen “return” K=3 banyaknya pemanggilan function
Kuliah_11
Teori Graph 15
Graph Similar (Lanjutan)
Hasil perbandingannya yaitu :
Kuliah_11
Program # of lines # of “return” # of function calls
1 66 20 1
2 41 10 2
3 68 5 8
4 90 34 5
5 75 12 14
Teori Graph 16
Graph Similar (Lanjutan)
Pembuatan model Graphnya yaitu : V(G) adalah himpunan program {v1, v2, v3, v 4, v5 }.
Setiap simpul vi menyatakan (p1, p2, p3),
dengan pk adalah nilai dari komponen k = 1, 2, & 3
v1 = (66,20,1)
v2 = (41, 10, 2)
v3 = (68, 5, 8)
v4 = (90, 34, 5)
v5 = (75, 12, 14)
Kuliah_11
Teori Graph 17
Dissimilarity function
Definisi dissimilarity function adalah : Untuk setiap pasangan simpul v = (p1, p2, p3) dan w = (q1, q2, q3)
maka 3
s(v,w) = |pk – qk| = |p1 – q1|+ |p2 – q2|+ |p3 – q3| k = 1
s(v,w) dalah ukuran dari dissimilarity antara dua program v dan w.
Berdasarkan bilangan tetap N. Tambahkan ruas antara v dan w jika s(v,w) < N. Sehingga :
Kita katakan bahwa simpul v dan w berada pada kelas yang sama jika v = w atau terdapat jalur antara v dan w.
Kuliah_11
Teori Graph 18
Dissimilarity functions (Lanjutan) Misalkan N = 25. dan diketahui pula :
v1 = (66,20,1) v2 = (41, 10, 2) v3 = (68, 5, 8) v4 = (90, 34, 5) v5 = (75, 12, 14)
s(v1,v3) = 2+15+7 =24 buat ruasnyas(v3,v5) = 7+7+6 = 20 buat ruasnya dan semua yang lainnya s(vi,vj) > 25
Sehingga terdapat 3 kelas, yaitu :{v1,v3, v5}, {v2} and {v4}
Dan diperoleh Graphnya yaitu :
Kuliah_11
Teori Graph 19
Derajat Vertex
Derajat dari simpul v, dinotasikan dgn (v), adalah banyaknya ruas yang melalui v
Contoh : (a) = 4, (b) = 3, (c) = 4, (d) = 6, (e) = 4, (f) = 4, (g) = 3.
Kuliah_11
Teori Graph 20
Derajat pada Graph
Teorema: jika G suatu graph dengan m ruas dan n simpul maka jumlah derajat semua simpulnya adalah 2m.
n
(vi) = 2m i = 1
jumlah dari derajat semua simpul pada graph adalah genap.
Kuliah_11
Teori Graph 21
Graph Lengkap K n
Misalkan n > 3 Graph Lengkap (complete
graph) Kn adalah graph dengan n simpul dan setiap pasang simpulnya terhubung oleh satu ruas. Derajat setiap vertex sama
Contoh di samping merupakan Graph lengkap K5
Kuliah_11
Teori Graph 22
Graph Bipartisi
Graph bipartisi G adalah suatu graph sedemikian sehingga berlaku
V(G) = V(G1) V(G2)
|V(G1)| = m, |V(G2)| = n
V(G1) V(G2) = Tidak terdapat ruas
antara sembarang simpul pada subset V(Gk) yang sama; k = 1,2.
Kuliah_11
Teori Graph 23
Complete bipartite graph Km,n
Suatu graph bipartisi adalah graph bipartisi lengkap (Complete bipartite graph) Km,n jika setiap simpul pada V(G1) terhubung dengan simpul pada V(G2) dan sebaliknya,
|V(G1)| = m |V(G2)| = n
Kuliah_11
Teori Graph 24
Graph Terhubung
Suatu Graph dikatakan terhubung (Connected) jika setiap pasang dari simpul dapat dilalui dengan suatu jalur.
Setiap subgraph terhubung dari suatu graph tak terhubung G disebut component dari G
Kuliah_11
Teori Graph 25
Jalur dan Cycle
Suatu Jalur (Path) dengan panjang n adalah barisan dari n + 1 simpul dan n ruas secara berurutan. (v0, e1 , v1, e2 , v2, e3 , …, vn-1, en , vn)
Suatu Cycle adalah jalur dengan simpul awal dan simpul akhirnya sama.
Kuliah_11
Teori Graph 26
Jalur dan Cycle (Lanjutan)
Contoh : Diketahui suatu Graph G :
Jalur dari simpul 1 ke 5 : 1, 5 atau 1, 2, 5 atau 1, 2, 3, 4, 5 atau 1, 2, 3, 5, atau 1, 6, 5
Cycle dgn panjang 3 : 1, 2, 5, 1 atau 2, 3, 5, 5
Cycle dgn panjang 6 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1Kuliah_11
1 2 3
456
e1 e2
e3
e4e5
e6 e7
e8 e9
Teori Graph 27
Subgraph
Definisi : Misal G=(V,E) suatu Graph dan G’
=(V’,E’) disebut subgraph dari G jika : V’ V dan E’ E
Contoh: Diketahui graph G sebagai berikut :
Kuliah_11
a
b
c
esubgraph
Teori Graph 28
Perjalanan Euler
Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle) pada graph G adalah sebuah cycle sederhana yang melalui setiap edge di G hanya sekali.
Problem jembatan Königsberg: Apakah memungkinkan untuk memulai dan
mengakhiri suatu perjalanan dari titik yang sama melalui ke 7 jembatan hanya sekali?
Problem dapat dinyatakan dengan sebuah graph
Edge menyatakan jembatan dan setiap vertex menyatakan daerah (region).
Kuliah_11
Teori Graph 29
Graph Euler
Sebuah graph G adalah graph Euler jika memiliki Euler cycle.
Teorema: G adalah Graph Euler jika dan hanya jika G terhubung dan semua vertex memiliki derajat genap.
Graph terhubung merepresentasikan
problem jembatan Königsberg. Graph tersebut bukan Graph Euler. Berarti problem jembatan Königsberg
tidak memiliki solusi.
Kuliah_11
Top Related