Statystyka – zadania, część 2
Dr Janusz Górczyński
2
Zadanie 1
Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:
xi -3 -2 -1 0 1 3
pi 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2
Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 tej zmiennej.
3
Zadanie 1 - rozwiązanie
Korzystając z wzoru na obliczanie momentu zwykłego rzędu k mamy kolejno:
07,07,06,01,02,02,03,0
2,031,013,002,0)1(1,0)2(1,0)3(1
i
ii pxEXm
4,38,11,002,04,09,0
2,031,013,002,0)1(1,0)2(1,0)3( 222222
222
i
ii pxEXm
4
Zadanie 1 - interpretacja
Moment zwykły rzędu 1 ma specjalne znaczenie w opisywaniu rozkładu zmiennej losowej, jest bowiem wartością oczekiwaną (średnią) tego rozkładu.W naszym przykładzie wartość oczekiwana jest równa 0, a to oznacza, że przy wielokrotnym powtarzaniu tego eksperymentu przeciętna wartość tej zmiennej będzie równa 0. Moment zwykły rzędu 2 nie ma swojej interpretacji, wykorzystamy go dalej do obliczenia momentu centralnego rzędu 2.
5
Zadanie 2 – obliczanie parametrów
Dla zmiennej losowej o f.r.p przedstawionej na slajdzie 3 chcemy wyznaczyć moment centralny rzędu 2.
Będziemy korzystać z wzoru na moment centralny rzędu k dla zmiennej skokowej, czyli:
i
ii pEXxEXXE 222
6
Zadanie 2 – obliczanie parametrów cd.
Po podstawieniu danych z f.r.p i wykorzystując fakt, że EX=0 mamy:
4,38,11,02,04,09,0
2,0)03(1,0)01(3,0)00(
2,0)01(1,0)02(1,0)03(222
2222
Moment centralny rzędu 2 jest, podobnie jak moment zwykły rzędu 1, szczególnie ważnym parametrem. Jest on miarą zróżnicowania (dyspersji) wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.
7
Zadanie 2 – interpretacja
Moment centralny rzędu 2 będziemy nazywać wariancją zmiennej losowej i oznaczać D2X.
Wariancja, podobnie jak wartość oczekiwana, jest liczbą mianowaną. Jej mianem jest kwadrat jednostki, w której wyrażona jest zmienna losowa.Wariancja jest zawsze nieujemna, a jej wielkość mówi o zróżnicowaniu (dyspersji, rozproszeniu) wartości zmiennej losowej wokół EX.Uzyskany w przykładzie wynik 3,4 można zinterpretować dość skromnie: wariancja tej cechy jest równa właśnie 3,4.
8
Zadanie 3
)3,0(0
)3,0()3()( 9
2
xdla
xdlaxxxf
Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:
9
Zadanie 3 – rozwiązanie
Korzystamy z wzoru na moment rzędu k zmiennej losowej ciągłej:
dxxfxEXm kk
k )(
10
Zadanie 3 – obliczenie m1
W naszym przykładzie mamy kolejno:
5,1)(2)(2
)3(233
3
0))3((0
23
43
412
49
4934
41
923
03
334
41
92
3
03
334
41
92
3
0
2392
3
3
0 92
0
1
xx
xxdxxx
dxxdxxxxdxxm
11
Zadanie 3 – obliczenie m2
W naszym przykładzie mamy kolejno:
7,22222
333
)3(
0)3(0
2027
20135108
20135
20108
427
527
2433
512
923
02
433
512
92
3
04
435
51
92
3
0
3492
3
23
0 9220 2
2
xxx
xxdxxx
dxxdxxxxdxxm
12
Zadanie 4
Proszę wyznaczyć moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:
)3,0(0
)3,0()3()( 9
2
xdla
xdlaxxxf
13
Zadanie 4 - rozwiązanie
Będziemy korzystać z następującego wzoru na moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej ciągłej:
dxxfEXxEXXE )()( 22
2
14
Zadanie 4 – rozwiązanie cd
Korzystając z obliczonej w zadaniu 3 wartości EX mamy kolejno:
3
0
23492
3
0
2323492
3
0
2292
3
0
292
3
2
3
0 9220 2
2
)75,625,116(
)75,69325,23(
)25,23)(3(
)5,1)(3(0)5,1(
)3()5,1(0)5,1(
dxxxxx
dxxxxxxx
dxxxxx
dxxxxdxx
dxxxxdxx
15
Zadanie 4 – rozwiązanie cd
45,0)225,0(2
)875,1665,16(2)375,325,115,134,5(2
375,325,119
375,325,11
75,625,11
)75,625,116(
227
527
92
3
0312
233
512
92
3
02
213
314
465
51
92
3
0
23492
2
xxxx
xxxx
dxxxxx
16
Zadanie 4 – inny sposób rozwiązania
Jak widzieliśmy wyznaczanie momentów centralnych rzędu 2 z definicji może być kłopotliwe. Znacznie łatwiej jest obliczyć moment rzędu 2 ze związku, jaki zachodzi między tym momentem, a momentami zwykłymi rzędu 1 i 2: 2
122 mm W naszym zadaniu mamy:
45,025,27,25,17,2 22
17
Zadanie 5
Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:
xi -3 -2 -1 0 1 3
pi 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2
Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.
18
Zadanie 5 – rozwiązanie
Mediana, to taka wartość Me, dla której spełnione są dwie nierówności:
5,0)(5,0)( MeXPiMeXP
Sprawdźmy, czy medianą MOŻE być liczba mniejsza od zera (np. –0,1) ?
6,0)1,0(4,0)1,0( XPiXP
Jak widzimy medianą nie może być liczba mniejsza od zera, ponieważ pierwsza nierówność nie będzie spełniona.
19
Zadanie 5 – rozwiązanie cd
A może medianą jest liczba większa od 0 (np. 0,1)?
3,0)1,0(7,0)1,0( XPiXPJak widzimy także nie, tym razem nie jest spełniona druga nierówność.
A może medianą jest zero? 6,0)0(7,0)0( XPiXP
Oba warunki są spełnione, tym samym Me=0.
20
Zadanie 6
Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:
xi -3 -2 -1 0 1 3
pi 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0,2
Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.
21
Zadanie 6 – rozwiązanie
W zadaniu 5 medianą była JEDNA liczba, ale nie musi tak być zawsze. W zadaniu 6 f.r.p jest takiej postaci, że medianą jest wartość –1: 7,0)1(5,0)1( XPiXP
Medianą jest także wartość 0:
5,0)0(6,0)0( XPiXP
Tym samym medianą jest KAŻDA liczba z przedziału domkniętego <-1; 0>.
22
Zadanie 7
Proszę wyznaczyć medianę zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:
)3,0(0
)3,0()3()( 9
2
xdla
xdlaxxxf
23
Zadanie 7 - rozwiązanie
Z definicji mediany wynika, że dla zmiennych losowych ciągłych medianą będzie taka wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta jest równa 0,5:
5,0)()(
MedxxfMeF
24
Zadanie 7 – rozwiązanie cd
W naszym zadaniu mamy więc (ograniczając się do tego przedziału, gdzie fgp jest niezerowa) równanie:
5,0)3()(0 9
2
MeMedxxxdxxf
Całkujemy lewą stronę:
075,6)(5,4)(
5,05,4
5,05,1
23
23
272
023
31
92
MeMe
MeMe
xxMe
25
Zadanie 7 – rozwiązanie cd
075,6)(5,4)( 23 MeMe
Równanie wielomianowe stopnia 3
Ma miejsce zerowe dla Me=1,5
W tym konkretnym zadaniu do tego wyniku można było dojść szybciej korzystając bezpośrednio z definicji mediany. Mediana dzieli bowiem zbiór wartości zmiennej losowej na dwie części po 50% elementów. Dla paraboli o miejscach zerowych 0 i 3 wierzchołek (oś symetrii) położony jest w punkcie 1,5, stąd Me=1,5.
26
Zadanie 8
Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:
xi -3 -2 -1 0 1 3
pi 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0,2
Proszę wyznaczyć kwantyl rzędu 0,1 tej zmiennej.
27
Zadanie 8 - rozwiązanie
Zgodnie z definicją kwantyli szukamy takiej wartości (oznaczmy ją symbolem kp) dla której spełnione są dwie nierówności:
pkXPipkXP pp 1)()(Zgodnie z treścią zadania parametr p jest równy 0,1 , szukamy więc liczby k0,1.
F.r.p jest takiej postaci, że kwantyl ten może być gdzieś między –3, a –2.
28
Zadanie 8 – rozwiązanie cd
1)3(1,0)3( XPiXP
Dla wartości –3 mamy:
Dla wartości –2 mamy:
9,0)2(2,0)2( XPiXP
Wynika z tego, że kwantylem rzędu 0,1 jest zarówno –3 jak i –2, tym samym jest nim każda liczba należąca do przedziału domkniętego <-3; -2>.
29
Kwartyle, czyli specjalne kwantyle
Kwantyle rzędu 0,25 , 0,5 oraz 0,75 nazywamy kwartylami i oznaczamy odpowiednio jako Q1, Q2 i Q3.Kwartyle mają bardzo ładną interpretację dla zmiennych losowych ciągłych (gdzie są pojedynczą liczbą), dzielą bowiem zbiór wartości takiej zmiennej na ćwiartki po 25% ogółu elementów.Mediana jest niczym innym jak kwartylem Q2Proszę wyznaczyć kwartyl Q3 dla f.r.p ze slajdu 26.Odp. Q3=1
30
Zadanie 9Szansa na to, że student zda egzamin ze statystyki jest równa 0,8. Na egzamin wchodzi grupa 5 studentów. Oblicz p-stwa zdarzeń:
a) Co najmniej jeden student zda egzamin
b) Egzamin zda nie mniej, jak 4 studentów.
Z treści zadania wynika, że mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym (Bernouliego). P-stwo sukcesu jest równe 0,8 a niepowodzenia 1-0,8=0,2.
Mamy 5-cio krotne powtórzenie eksperymentu ze zmienną zero-jedynkową, a zmienna przyjmuje 6 wartości: k=0, 1, 2, ..., 5
31
Zadanie 9 – rozwiązanie ad. a)
Korzystamy z wzoru na p-stwo zdarzenia przeciwnego:
)0(1)0( XPXP
A dalej z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej:
99968,000032,01112,011
2,08,01)0(5
)!05(!0!5
05050
XP
Jak widać szansa na to, że ktoś zda jest b. duża!
32
Zadanie 9 – rozwiązanie ad. b)
Z treści zadania wynika, że interesuje nas następująca suma p-stwieństw:
)5()4()4( XPXPXPKorzystając z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej mamy:
73728,032768,04096,0132768,01
2,04096,052,08,02,08,0
2,08,02,08,0)4(05
!0!5!514
!1!4!5
0555
1454
XP
33
Zadanie 10
Pewien automat produkcyjny osiąga wydajność 1000 sztuk pewnego produktu na godzinę. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu jest równe 0,002.
Proszę obliczyć p-stwo tego, że automat pracuje bez wad.
Z treści zadania wynika, że modelem dla liczby braków w jednostce czasu może być zmienna dwumianowa o n=1000 i p=0,002.
34
Zadanie 10 - rozwiązanie
Interesujące nas p-stwo zajścia zdarzenia polegającego na tym, że liczba braków będzie równa 0, stąd szukane p-stwo możemy wyznaczyć z wzoru:
135065,0998,0002,0 1000010000
Interesujące nas p-stwo możemy także wyznaczyć przyjmując dla liczby braków model Poissona, gdzie parametr =1000•0,002=2. Z wzoru na f.r.p mamy dalej:
134176,04529,7
1
73,2
11
!0
2)0(
222
0
eeXP
Top Related