PROFESOR: Javier Trigoso T.
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PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia
en los procesos de toma de decisión de numerosos ámbitos económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial.
La programación lineal es una herramienta que ha
permitido el ahorro de miles de millones de dólares en el
mundo empresarial o de los negocios, pues en esencia
permite asignar recursos limitados entre actividades
competitivas en forma óptima o de la mejor manera
posible. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que
compiten por escasos recursos necesarios para
realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos
que consumirá cada una de las actividades elegidas. La
variedad de situaciones a las que se puede aplicar es muy grande, y va desde la
producción de distintos tipos de artefactos que hay que fabricar para obtener la
ganancia óptima hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de
un país; también tiene aplicación en diferentes campos de la sociedad, como en los
aeropuertos, en el campo de la medicina, para el diseño de una terapia de radiación,
por ejemplo. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la
necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles óptimos de las
mismas. Se considera el desarrollo de la Programación Lineal como uno de los
avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.
UN POCO DE HISTORIA
A lo largo de la historia es frecuente encontrarse con la colaboración entre
científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en la batalla. Es
por esto que muchos expertos consideran el inicio de la Investigación Operativa en
el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución que
Arquímedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los
romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos
con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del
sol.
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En 1503, Leonardo Da Vinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya
que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos
acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas.
Otro antecedente de uso de la Investigación Operativa se debe a F. W.
Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de las
fuerzas opositoras y desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones
diferenciales, la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible
determinar el desenlace de una batalla militar. Thomas Edison también hizo uso de
la Investigación Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con sus
grandes ideas, como la protección anti-torpedos para los barcos.
Pero no se considera que haya nacido una nueva ciencia llamada Investigación
Operativa o Investigación de Operaciones
hasta la II Guerra Mundial, durante la atalla de
Inglaterra, donde la Fuerza Aérea Alemana, es decir la Luftwaffe, estaba sometiendo a los
británicos a un duro ataque aéreo ya que estos
tenían una capacidad aérea pequeña, aunque
experimentada en el combate. El gobierno
británico, buscando algún método para
defender su país, convocó a varios científicos
de diversas disciplinas para tratar de resolver
el problema de sacar el máximo beneficio de
los radares de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización
óptima de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la
efectividad del sistema de defensa aérea. El nombre de Investigación de
Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la
actividad de investigar operaciones (militares).
Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos
británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar
investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas,
los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron
problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización
efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos
resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales
empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la
resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del
tamaño y la complejidad de las industrias.
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1. GRÁFICA DE INECUACIONES
1.1. Regiones del plano determinadas por rectas
La gráfica de una recta de ecuación y = ax + b divide al plano en dos regiones: una
formada por los puntos que satisfacen la inecuación y < ax + b, y otra formada
por los puntos que satisfacen la inecuación y > ax + b.
Si se trata de una inecuación en sentido estricto (>, <), no incluye a los
puntos de la recta que limitan al semiplano.
Si es una inecuación en sentido amplio (≥, ≤), los puntos de la recta también
son soluciones de la inecuación.
1.2. Gráfica de una inecuación lineal
A continuación se detalla el procedimiento a seguir para graficar una inecuación
lineal en el plano cartesiano: Se traza la recta de la ecuación y = ax + b
Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y
se comprueba si verifican la inecuación dada
Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la
inecuación
Ejemplo 1
Traza la gráfica de la inecuación: x + y ≤ -2
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
x + y = -2 , hallando los puntos donde la
recta corta a los ejes.
Si x = 0 y = -2 Si y = 0 x = -2
La recta la trazamos continua porque
forma parte de la solución. Ahora
sustituyendo los valores de las
coordenadas del origen en la inecuación
se obtiene: 0 + 0 = 0 ≥ -2 es falso,
por lo que se concluye que el origen de
coordenadas no pertenece al conjunto
solución como tampoco el semiplano que
lo contiene, entonces sombreamos el
semiplano inferior.
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Ejemplo 2
Traza la gráfica de la inecuación: 3y – 2x < 6
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
3y – 2x = 6, hallando los puntos donde
la recta corta a los ejes.
Si x = 0 y = 2 Si y = 0 x = -3
La recta la trazamos punteada porque
no forma parte de la solución. El punto
(0; 0) se encuentra en el semiplano
inferior; y 3(0) – 2(0) = 0 < 6 es
verdadero, por lo tanto, sombreamos el
semiplano inferior.
1.2. Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más
inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Ejemplo 3
Resuelve el siguiente sistema de
inecuaciones lineales:
x 2y 3
2x y 1
Solución:
Trazamos la gráfica de cada una de las
ecuaciones; para lo cual calculamos los
valores de las coordenadas de dos de
sus puntos:
x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0)
2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y >
3, se obtiene -3 > 0: falsedad; por lo
que la solución para esta inecuación es
el conjunto de puntos del semiplano que
no incluye al origen.
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y >
1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que
la solución para esta inecuación es el
conjunto de puntos del semiplano que
incluyen al origen.
El conjunto solución del sistema es la
intersección de los semiplanos –
solución hallados individualmente (la
región sombreada)
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Ejemplo 4
Resuelve el siguiente sistema de
inecuaciones lineales:
x 3y 7
3x 2y 1
4x y 17
Solución:
Lo primero que debemos hacer es
trazar la gráfica de cada una de las
ecuaciones.
Basta con hallar las coordenadas de
dos de los puntos para cada una de
ellas:
x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0)
3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0)
4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)
El conjunto solución es el interior del
triángulo sombreado, sin incluir ninguno
de los lados. Para aclarar mejor la
solución debemos calcular las
coordenadas de los vértices del
triángulo, lo cual se consigue
resolviendo los tres sistemas:
x 3y 7
3x 2y 1
x 3y 7
4x y 17
3x 2y 1
4x y 17
Para el primer sistema la solución es
(1; 2), para el segundo (4; 1) y para el
tercero (3; 5).
La solución del sistema de inecuaciones
es, en resumen, el interior del
triángulo, cuyos vértices son los puntos
(1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno
de los tres lados del triángulo.
2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la
economía, la estrategia militar, y en otras áreas, en las que se presentan situaciones donde se
exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a
determinadas situaciones.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una
función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de
restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones
posibles se denomina conjunto solución factible. Veremos a continuación la aplicación de la
programación lineal a diversas situaciones.
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2.1. Programación lineal bidimensional
La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar
o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restricciones
que están dadas por inecuaciones lineales.
2.2. Conjunto de restricciones lineales
El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema
asociadas a un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo
Encuentra la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x y 7
2x y 10
x 0
y 0
2.3. Región factible
La región factible está formada por la intersección o región común
de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los
sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias
opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el
caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un
polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número
de restricciones.
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las
desigualdades sean en sentido amplio (≤ o ≥) o en sentido estricto
(< o >).
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible
representada en la gráfica.
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2.4. Función objetivo La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables
que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha región el valor de la función
f(x;y) = 30x + 20y
2.5. Solución óptima La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el
valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los
vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están
sobre uno de los lados.
“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse
en uno de los vértices de la región factible”
Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo
cada uno de los vértices de la región factible.
Ejemplo
Continuando con el mismo ejemplo:
O (0; 0) f (0; 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0
A (5; 0) f (5; 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150
B (3; 4) f (3; 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo
C (0; 7) f (0; 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140
La solución óptima es B (3; 4)
… PARA LA CLASE
Representa en el plano cartesiano la solución de las siguientes inecuaciones:
1. x 3
2. 3 x 5
3. y 5
4. 5 y 3
5. y 3x 4
6. x 2y 3
7. x y 1
x y 1
Restricciones x ≥ 0, y ≥ 0
Prácticamente en todos los
problemas de programación
lineal se exige que las
variables x e y sean mayores
o iguales que cero; en estos
casos, la región factible se dibuja directamente en el 1er cuadrante.
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8.
y x 1
y x 2
y 0
9. Representa gráficamente la región
factible determinada por las siguientes
desigualdades:
x y 5
4x 3y 30
x 0
y 0
Calcula la solución que hace mínima la
función objetivo f(x; y) = x + 2y sometida
a las restricciones anteriores.
10. Dado el recinto definido por el
siguiente sistema de inecuaciones:
2x y 1000
x 1,5y 750
x 0
y 0
A. Represéntalo gráficamente.
B. Halla sus vértices.
C. Obtén el valor máximo de la función
f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior,
así como el punto en que lo alcanza.
3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL
3.1. Procedimiento de resolución
Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:
Se hace una tabla con los datos del problema.
Se representa la región factible.
Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
Se escribe la solución.
3.2. Tabla con los datos del problema
En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.
En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las
variables.
En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a
una restricción, es decir, a una inecuación.
En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objetivo y si se
trata de maximizar o minimizar.
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Ejemplo 1
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La
fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para
construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg
de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se
necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las
bicicletas de paseo a 200 E y las de montaña a 150 E, ¿cuántas
bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?
Solución
1) Tabla con los datos del problema.
B. de paseo B. de montaña Restricciones
Nº de bicicletas x y x ≥ 0; y ≥ 0
Acero x 2y x + 2y ≤ 80
Aluminio 3x 2y 3x + 2y ≤ 120
Beneficio 200x 150y f(x; y) = 200x + 150y
2) Región factible.
Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región
factible.
O (0; 0) f (0; 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0
A (40; 0) f (40; 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 800
B (20; 30) f (20; 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850 Máximo
C (0; 40) f (0; 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600
4) La solución óptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30
bicicletas de montaña.
Ejemplo 2
Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con
plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600
personas y 96 toneladas de equipaje.
Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del
tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede
transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40
000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15
toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros.
¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?
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Solución
1) Tabla con los datos del problema.
Tipo A Tipo B Restricciones
Nº de aviones x y 0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8
Personas 200x 100y 200x + 100y ≥ 1 600
Equipaje 6x 15y 6x + 15y ≥ 96
Costo 40 000x 10 000y f(x; y) = 40 000x + 10 000y
2) Región factible.
Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la
región factible.
A (6; 4) f (6; 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000
B (11; 2) f (11; 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000
C (11; 8) f (11; 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000 D (4; 8) f (4; 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 Mínimo
4) La solución óptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B
… PARA LA CLASE
Ejercicio 1
Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120
m2 de tejido B. Un traje de caballero
requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un
vestido de señora 2 m2 de cada tejido.
Si la venta de un traje deja al sastre el
mismo beneficio que la de un vestido,
halla cuántos trajes y vestidos debe
fabricar para obtener la máxima
ganancia.
Ejercicio 2
Una empresa produce dos bienes A y B.
Tiene dos factorías y cada una de ellas
produce los dos bienes en las cantidades
por hora siguientes:
La empresa recibe un pedido de 300
unidades de A y 500 de B. Los costos de
funcionamiento de las dos factorías son:
S/.100 por hora para la factoría 1 y
S/.80 por hora para la factoría 2.
¿Cuántas horas debe funcionar cada
factoría para minimizar los costos de la
empresa y satisfacer el pedido?
Ejercicio 3
Un vendedor de libros usados tiene en su
tienda 90 libros de la colección Austral y
80 de la colección Alianza de bolsillo.
Decide hacer dos tipos de lotes: el lote
de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de
Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el
de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de
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Alianza de bolsillo, que vende a
S/.10.¿Cuántos lotes de cada tipo debe
hacer el vendedor para maximizar su
ganancia cuando los haya vendido todos?
Ejercicio 4 Un comerciante acude a cierto
supermercado a comprar naranjas con
S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de
naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las
de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo
dispone en su camioneta de espacio para
transportar 700 kg. de naranjas como
máximo y que piensa vender el kg. de
naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo
B a S/.6. ¿Cuántos kg. de naranjas de
cada tipo deberá comprar para obtener
el máximo beneficio?, ¿Cuál será el
máximo beneficio?
… PARA LA CASA
Determina gráficamente el conjunto
solución de los siguientes sistemas:
1. y 2x 2
2. 4x 3y 2
3. y x 2
4. x y 3
2x y 4
5. x y 3
2 x 4
6.
x 3y 15
4x y 16
x 0
y 0
7. Se considera la región del plano
determinada por las inecuaciones:
x 3 y
8 x y
y x 3
x 0
y 0
Encuentra los vértices de dicha región
8. Dada la región definida por el
siguiente sistema de inecuaciones
x y 8
3x 2y 12
x 0
y 0
minimiza en dicha región el valor de la
función: f(x, y) = 15x + 10y
9. Dada la región definida por el
siguiente sistema de inecuaciones
x y 4
x 2y 10
x 0
y 0
minimiza en dicha región el valor de la
función: f(x, y) = 12x + 19y
10. Dada la región definida por el
siguiente sistema de inecuaciones
x y 6
x y
x 0
y 0
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12
maximiza en dicha región el valor de la
función: f(x, y) = 7x + 11y
11. Dado el recinto definido por el
siguiente sistema de inecuaciones:
x y 27
x 12
y 6
A. Represéntalo gráficamente.
B. Determina los vértices de ese recinto.
C. ¿Cuáles son los valores máximo y
mínimo de la función f(x;y) = 90x + 60y en
el recinto anterior?
D. ¿En qué puntos alcanza dichos valores?
12. Dada la función objetivo
f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones
siguientes:
3x y 10
x 2y 8
x 0
y 0
A. Representa la región factible.
B. Halla los valores de x e y que hacen
máxima la función objetivo.
C. Determina los valores x e y que
minimizan la función objetivo.
13. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y R
sujeto a las siguientes condiciones:
2x 3y 6
2x y 6
y 4
x 0
y 0
Identifica la alternativa correcta después
de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F).
I. El valor óptimo es 5.
II. La región admisible es un polígono de
cuatro lados.
III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen
a la región admisible.
14. Dado el recinto definido por el
siguiente sistema de inecuaciones:
x 2y 10
x 6
y 8
x 0
y 0
A. Represéntalo gráficamente.
B. Calcula sus vértices.
C. Calcula el máximo de la función
f(x, y) = 20x + 60y
15. Sea el recinto definido por las
siguientes inecuaciones:
5x 2y 10
3x 4y 20
x y 2
x 0
y 0
A. Dibuja dicho recinto y determina sus
vértices.
B. Determina en qué punto de ese recinto
alcanza la función f(x; y) = 4x + 3y el
máximo valor.
16. Un taller dispone semanalmente de
24 kg de algodón y 15 kg
de lana para la producción
de dos tipos de tapices
decorativos A y B, según
los siguientes
requerimientos:
Tapiz A: 200 g de algodón y 100 g de lana.
Tapiz B: 200 g de algodón y 300 g de
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13
lana. Si el tapiz A se vende a S/.40 y el
tapiz B a S/.60, determina cuántos
tapices de cada clase se deben vender
para obtener el máximo ingreso.
105 de A y 15 de B
17. Una fábrica de
muebles fabrica dos
tipos de sillones, S1 y
S2 . La fábrica cuenta
con dos secciones; carpintería y tapicería.
Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora
de carpintería y 2 de
tapicería, mientras que uno de tipo S2
requiere 3 horas de carpintería y 1 de
tapicería. El personal de tapicería ¿Qué
cantidad de aceite debe comprar el
distribuidor a cada una de los
almacenes para obtener el mínimo costo?
Determina dicho costo mínimo.
105 de A y 15 de B
18. Una fábrica prepara salsas para
tallarines Extra y Gourmet. La primera
contiene 200 g de tomate y 25 g de
carne por lata, la segunda 150 g de
tomate y 50 g de carne. Si se
abastecen de 4 toneladas de tomates y
1,25 toneladas de carne, ¿cuántas latas
deben fabricar de cada tipo para
obtener la máxima utilidad, ganando en
la venta de cada una S/.1,80 y S/.2,30
respectivamente?
2 000 Extra y 24 000 Gourmet
19. La editorial Matetextos produce
dos libros de Matemática:
Álgebra y Geometría. La
utilidad por unidades es
de S/. 7 para el libro de
Álgebra y de S/. 10 para el libro de
Geometría. El libro de Álgebra requiere
de 4 horas para su impresión y 6 horas
para su encuadernación. El libro de
Geometría requiere de 5 horas para
imprimirse y de 3 horas para ser
encuadernado. Si se dispone de 200 horas
para imprimir y de 240 horas para
encuadernar, calcula la máxima utilidad
que se puede obtener. S/. 400
20. Una empresa fabrica dos
clases de cuadernos. Los
rayados a S/. 2 la unidad y los
cuadriculados a S/. 1.5 la
unidad. En la producción diaria
se sabe que el número de
cuadernos cuadriculados no supera en
1000 unidades al número de cuadernos
rayados, entre las dos clases no superan a
3000 unidades, y los cuadernos
cuadriculados no bajan de 1000 unidades.
Halle el costo máximo y mínimo de la
producción diaria. 5 500 y 1 500
21. Una escuela prepara
una excursión para 400
alumnos. La empresa de
transportes tiene 8 buses
de 40 asientos disponibles
y 10 buses de 50 asientos
disponibles, pero solo dispone de nueve
conductores. El alquiler de un bus grande
cuesta S/. 80 y el de uno pequeño, S/. 60.
Calcula cuantos buses de cada tipo hay
que alquilar para que los gastos sean
mínimos para la escuela.
4 grandes y 5 pequeños
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22. Un granjero tiene 480 hectáreas en
las que puede sembrar ya
sea maíz o trigo. Calcula que
dispondrá de 800 horas de
trabajo durante la
temporada. Los márgenes de
utilidad para cada uno de los
productos son S/.40 por
hectárea y los
requerimientos laborales para trabajar en
la siembra del maíz son 2 horas por
hectárea y para el trigo, 1 hora por
hectárea. ¿Cuál es la utilidad máxima?
S/.19 200
23. Ricardo y Martín
ganan 10 millones de
nuevos soles en la
Tinka y les aconsejan que los inviertan en
la bolsa en dos tipos de acciones, A y B.
Las de ti po A tienen más riesgo pero
producen un beneficio anual del 10%. Las
de tipo B son más seguras, pero producen
solo el 7% anual. Después de varias
deliberaciones ellos deciden invertir como
máximo 6 millones en la compra de
acciones A y, por lo menos, 2 millones en
la compra de acciones B. Además, deciden
que lo invertido en las acciones de tipo A
sea, por lo menos igual a lo invertido en
las de tipo B. ¿Cómo deberán invertir los
10 millones de nuevos soles para que el
beneficio anual sea máximo?
24. Un distribuidor de aceite de oliva
compra la materia prima a dos
almacenes ,A y B. Los
almacenes A y B venden el
aceite a 2000 y 3 000 soles
por tonelada, respectivamente
Cada almacén le vende un
mínimo de dos toneladas y un máximo de 7
y para atender a su demanda, el
distribuidor debe comprar en total un
mínimo de 6 toneladas. El distribuidor
debe comprar como máximo al almacén A
el doble de aceite que al almacén B. ¿Qué
cantidad de aceite debe comprar el
distribuidor a cada una de los almacenes
para obtener el mínimo costo? Determina
dicho costo mínimo. S/. 14 000
25. Una compañía de telefonía móvil
quiere celebrar una jornada
de «Consumo razonable» y
ofrece a sus clientes la
siguiente oferta: 15 céntimos
de sol por cada mensaje SMS
y 25 céntimos de sol por cada
minuto de conversación
incluyendo el costo de establecimiento de
llamada. Impone las condiciones:
A. El número de llamadas de un minuto no
puede ser mayor que el número de
mensajes aumentado en 3, ni menor que el
número de mensajes disminuido en 3.
B. Sumando el quíntuplo del número de
mensajes con el número de llamadas
no puede obtenerse más de 27.
Determina el número de mensajes y de
llamadas para que el beneficio sea
máximo. ¿Cuál es ese beneficio
máximo?
26. Cada mes una empresa puede
gastar, como máximo, 10 000 soles en
salarios y 1 800 soles en energía
(electricidad y gasolina). La empresa
solo elabora dos tipos de productos A y
B. Por cada unidad de A que elabora
gana 0,8 soles; y, por cada unidad de B,
gana 0,5 soles. El costo salarial y
PROFESOR: Javier Trigoso T.
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energético que acarrea la elaboración de
una unidad del producto A y de una
unidad del producto B aparece en la
siguiente tabla:
Producto
A
Producto
B
Costo salarial 2 1
Costo energético 0,1 0,3
Se desea determinar cuántas unidades
de cada uno de los productos A y B
debe producir la empresa para que el
beneficio sea máximo.
2 400 de A y 5 200 de B
27. Un ganadero tiene que elaborar
alimento para su ganado a
partir de dos ingredientes
nutritivos: A y B. Los
mínimos que necesita son
30 unidades de A y 32
unidades de B. En el
mercado se venden sacos de dos marcas
que contienen A y B, cuyos contenidos y
precios se dan en la siguiente tabla:
Marca Unidades
de A
Unidades
de B
Precio
del saco
I 3 1 S/.9
II 1 4 S/.12
¿Cuántos sacos de cada marca tiene que
comprar el ganadero para elaborar este
alimento con el mínimo costo?
8 unidades de A y 6 de B
28. Un granjero desea
crear una granja de pollos
de dos razas, A y B. Dispone
de 9 000 nuevos soles para
invertir y de un espacio con
una capacidad limitada para
7 000 pollos. Cada pollo de
la raza A le cuesta 1 sol y obtiene con él
un beneficio de 1 sol, y cada pollo de la
raza B le cuesta 2 soles y el beneficio es
de 1,4 soles por unidad. Si por razones
comerciales el número de pollos de la raza
B no puede ser superior a los de la raza A,
determina, justificando la respuesta:
A. ¿Qué cantidad de ambas razas debe
comprar el granjero para obtener un
beneficio máximo?
B. ¿Cuál será el valor de dicho beneficio?
5 000 de A y 2 000 de B 7 800 soles
29. Una fábrica produce
cámaras fotográficas
convencionales y
digitales. Se obtiene un
ingreso de S/.450 por cada
cámara convencional y S/.600
por cada digital. En un día no se pueden
fabricar más de 400 cámaras
convencionales ni más de 300 digitales y
tampoco pueden producirse más de 500
cámaras en total. Suponiendo que se logra
vender toda la producción del día, ¿cuál
es el número de cámaras de cada clase
que conviene fabricar para obtener un
ingreso máximo?, ¿Cuál debería ser la
producción para obtener máximo ingreso
si se obtuvieran S/.600 por cada cámara
convencional y S/.450 por cada cámara
digital?
PROFESOR: Javier Trigoso T.
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30. Una empresa que sirve comidas
preparadas tiene
que diseñar un menú
utilizando dos
ingredientes. El
ingrediente A
contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías
por cada 100 gramos de ingrediente,
mientras que el ingrediente B contiene 15
g de grasas y 100 kilocalorías por cada
100 g. El coste es de 1,5 soles por cada
100 g del ingrediente A y de 2 soles por
cada 100 g del ingrediente B. El menú que
hay que diseñar debería contener no
más de 30 g de grasas y, al menos 110
kilocalorías por cada 100 g de alimento.
Se pide determinar las proporciones de
cada uno de los ingredientes que se
emplearán en el menú, de manera que
su coste sea lo más reducido posible.
A. Indica la expresión de las
restricciones y la función objetivo del
problema.
B. Representa gráficamente la región
delimitada por las restricciones.
C. Calcula el porcentaje óptimo de cada
uno de los ingredientes que se incluirán
en el menú.
f(x;y) = 1,5x + 2y
35x + 15y ≤ 30; 150x + 100y ≥
110; x ≥ 0; y ≥ 0
11,5 gr de A y 0 gr de B
www.issuu.com/sapini/docs/