1
1
Kinematika krutog tijela
11. dio
2
• Kod krutog tijela udaljenost������u bilo kojih dviju to�aka tijela ostaje tijekom gibanja nepromijenjena.
• Kinematika gibanja: a) krutog štapa b) krute plo�ec) krutog tijela.
• Razlikujemo: a) slobodno tijelob) neslobodno tijelo
3
• Slobodno gibanje krutog tijela• Prinudno gibanje krutog tijela – mogu�nost
gibanja ograni�ena je vanjskim vezama.
• Gibanje mehanizama – sustava sastavljenih od više me�usobno vezanih krutih tijela.
• Ravninski mehanizmi – kod kojih se svi �lanovi gibaju u ravninama paralelnim s jednom nepomi�nom, referentnom ravninom.
4
Kinematikakrutog tijela
1. Translacija 2. Rotacija
Krivocrtna Pravocrtna
5
1. Translacija krutog tijela
a) Krivocrtna b) Pravocrtna
6
2. Rotacija krutog tijela
a) oko nepomi�ne osi
b) oko trenutne osi
c) oko nepomi�ne to�ke O – slobodne osi
2
7
2. Rotacija krutog tijela
a) oko nepomi�ne osi
b) oko trenutne osi
8
c) Rotacija krutog tijela oko nepomi�ne to�ke O
Gibanje zvrka - sferno gibanjeωr i ωp imaju isti smjer rotacije
9
c) Rotacija krutog tijela oko nepomi�ne to�ke O
Gibanje Zemlje oko Sunca retrogradna precesijaωr i ωp imaju suprotan smjer rotacije 10
1. Translacijsko gibanje
→→
→→
→→
→→→
→→→
=
=
=
+=
+=
AB
AB
AB
AB
AB
aa :slijedi
dt)v(d
dt)v(d
vv :slijedi
dt)AB(d
dt)r(d
dt)r(d
ABrr
dužina A1B1 = AB = konst.
0dt
)AB(d =→
11
1. Translacijsko gibanje
→→→
→→→
==
==
aaa :brzanjeU
vvv :rzinaB
AB
AB
Sve to�ke krutog tijela pri translacijskom gibanju opisuju kongruentne putanje i imaju u svakom trenutku vremena jednake brzine i ubrzanja po pravcu, smjeru i intenzitetu. Dovoljno je poznavati zakon gibanja samo jedne to�ke tijela.
12
Kružna translacija je poseban slu�aj krivocrtne translacije
3
13
• Dužina BCizvodi ………….gibanje
• Dužina ABizvodi …………..gibanje
14
Primjer translacijskog gibanja:
• Gibanje klipa u benzinskom ili dizel-motoru
• Gibanje vagona na ravnom dijelu puta
15
2. Rotacijsko gibanje
a) oko nepomi�ne osi
b) oko trenutne osi
a) Rotacijsko gibanje oko nepomi�ne osi
gibanja zup�anika, remenica, zamašnjaka, kružnih pila itd.
Zakon rotacijskog gibanja:
)t( ϕ=ϕ
16
Rotacija oko nepomi�ne osi�Gibanje tijela pri
kojemu sve to�ke tijela duž osi rotacije AB ostaju nepomi�ne.
�Sve ostale to�ke tijela opisuju kružnice oko nepomi�ne osi u ravninama okomitim na os rotacije i sa središtem na toj osi.
17
dtd
tlim)lim(
0t0tsr
ϕ=∆
ϕ∆=ω=ω→∆→∆
��
���
�
∆ϕ∆=ω
s1
t
sr
Srednja kutna brzina:
Trenutna kutna brzina:
18
Kutna brzina ωωωωPrema kutnoj brzini ωωωω razlikujemo slijede�a gibanja:�Promjenljivo ω ω ω ω = f (t) �Jednoliko ω ω ω ω = konst.
(Smjer: Pravilo desne ruke)
4
19
Kutno ubrzanje ε
• Promjenljiva rotacija:
� Srednje kutno ubrzanje:
� Kutno ubrzanje:
��
���
�ω=∆
ω∆=ε=ε→∆→∆ 20t
sr0t s
1
t dd
t
limlim
t sr ∆
ω∆=ε
20
Slu�ajevi rotacijskih gibanja:
1. ε >0 jednoliko ubrzano gibanje(dω = ε.dt >0)
2. ε <0 jednoliko usporeno gibanje(dω = ε .dt <0)
3. ε = 0 ω = konst. jednoliko gibanje(dω = ε .dt = 0)
21
1. Jednoliko ubrzano rotacijsko gibanje
200
0
t21
t
:gibanja Zakon
t :brzina Kutna
.konst 0; :ubrzanje Kutno
⋅ε+⋅ω+ϕ=ϕ
⋅ε+ω=ω
=ε>ε
Vektori ω i ε istog su smjera
22
2. Jednoliko usporeno rotacijsko gibanje
200
0
t21
t
:gibanja Zakon
t
:brzina Kutna
.konst 0; :ubrzanje Kutno
⋅ε−⋅ω+ϕ=ϕ
⋅ε−ω=ω
=ε<ε
Vektori ω i ε suprotni su po smjeru
23
3. Jednoliko rotacijsko gibanje
t :gibanja Zakon.konst :brzina Kutna
0 :ubrzanje Kutno
0 ⋅ω+ϕ=ϕ=ω
=ε
24
Broj okreta u minuti n
• Veza izme�u kutne brzine ωωωω (1/s ili rad/s) i broja okreta tijela n (okr./min):
60n2 ⋅π=ω
5
25
Brzina v to�aka tijela pri rotaciji
ω⋅=
ω⋅=ϕ⋅==
ϕ⋅=
rv
rdtd
rdtds
v
drds
Obodne brzine to�aka tijela v proporcionalne su njihovim udaljenostima od osi rotacije.
Obodna brzina v
ω⋅= rv26
27
Ubrzanje a to�aka tijela pri rotaciji
2n
t
ra
r dtdv
a
ω⋅=
ε⋅==
422n
2t raaa ω+ε=+=
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2n
t
aa
tgωε==α
28
Odredite karakter rotacijskog gibanja krutog tijela oko nepomi�ne osi:
a) ε = 5 rad/s2
b) ε = 0
c) ω = 150 (rad/s)
d) ω = 20 . t (rad/s)
29
Primjer 1: Vratilo elektromotora okre�e se konstantnim brojem okretaja n = 1400 okr./min. Ako promjer vratila iznosi 100 mm odredite:
a) kutnu brzinu vratila (ω=?)b) obodnu brzinu to�ke na obodu vratila (v=?)c) ubrzanje to�ke na obodu vratila (a=?).
Zadano: n = 1400 okr./min. d = 100 mm; r = d/2=50 mm=0,050 m
30
Zadano: n = 1400 okr./min. d = 100 mm; r = d/2 = 50 mm = 0,050 m
Rješenje:
( )
2n
22222
n
t
2n
2t
s/m 1080aa
s/m 108014705,0rr
rr
va
0ra
aaa
0 gibanje jednoliko c)m/s 7,351470,05 r v)b
s/rad 14760
4001260
n2 )a
==
=⋅=ω⋅=ω⋅==
=ε⋅=+=
=ε=⋅=ω⋅=
=⋅π=⋅π=ω
6
31
Ravninsko ili planarno gibanje krutog tijela
32
• Svaka to�ka tijela Mi giba se u ravnini paralelnoj s nekom nepomi�nom (referentnom) ravninom Π0.
aaa
vvv
21
21→→→
→→→
==
==
33
• Sve to�ke na okomici opisuju identi�ne me�usobno paralelne putanje i u svakom trenutku imaju jednake vektore brzina i ubrzanja
• Ravninsko gibanje krutog tijela možemo svesti na prou�avanje gibanja krute figure – t.j. presjeka S u ravnini.
34
• Položaj presjeka S u ravnini Oxy može se odrediti ako je poznat položaj neke to�ke A presjeka S i kut
35
• Položaj presjeka S u ravnini Oxy može se odrediti ako je poznat položaj neke to�ke A presjeka S i kut
• Gibanje ravne krute figure S u ravnini odre�eno je jednadžbama:
)t(
)t(yy
)t(xx
A
A
ϕ=ϕ==
36
.konstAB =
To su ujedno kinematske jednadžbe ravninskog gibanja krutog tijela:
)t(
)t(yy
)t(xx
A
A
ϕ=ϕ==
7
37
Svako gibanje presjeka S može se razložiti na:a) translacijsko gibanje ib) rotacijsko gibanje oko to�ke A –
proizvoljno odabranog pola
38
(ili oko to�ke B)
39
Odre�ivanje putanja to�aka tijela
• To�ka A (xA; yA )
)sin(dyy
)cos(dxx
A
A
α+ϕ⋅+=α+ϕ⋅+=
→→→⋅+⋅= jyixr AAA
Jednadžbe gibanja to�ke M:
• To�ka M (x; y )
40
Odre�ivanje brzina to�aka tijela
→→→+= AMA rrr
dtrd
dtrd
dtrd
v AMAM
→→→→
+==→→→
⋅+⋅= jyixr AAA
41
Odre�ivanje brzina to�aka tijela
→→
= AA v
dtrd →
→
= MAAM vdtrd
→→→+= MAAM vvv
dtrd
dtrd
dtrd
v AMAM
→→→→
+==
42
MAvMA ⊥→
AMvMA ⋅ω=→→
→→→+= MAAM vvv
AMvv AM ⋅ω+=→→→
8
43
• Brzina to�ke M krutog tijela vM kod ravninskoggibanja jednaka je vektorskom zbroju brzine to�ke A vA i brzine to�ke M pri rotaciji tijela oko to�ke - pola A vMA.
AMvv AM ⋅ω+=→→→
→→→+= MAAM vvv
44
Teorem o projekcijama brzinaOrtogonalne projekcije vektora brzina na
spojnicu to�aka A i B me�usobno su jednake.
PNv
.konst'v'vv
N
BAN
⋅ω=
===
→
→→→
45
NBB
NAA
vPNcosPBcosv'v
vPNcosPAcosv'v
=⋅ω=β⋅⋅ω=β=
=⋅ω=α⋅⋅ω=α=
46
Kotrljanje
vrv
vr22
2rv
45cosvv
AOC spojnicu na ojekcijePr
2rPCv
2rPAv
rPOvv
:Brzine
C'
A'
AA'
C
A
O
=⋅ω=
=⋅ω=⋅⋅ω=
⋅=
⋅ω=⋅ω=
⋅ω=⋅ω=
⋅ω=⋅ω==
�
→→→+= OPPO vvv
To�ka P – trenutni pol brzina vP= 0
47
Trenutni pol brzina P
• Trenutni pol brzina je to�ka P u presjeku S krutog tijela �ija je brzina u odre�enom trenutku jednaka nuli.
• Za odre�ivanje trenutnog pola brzina P potrebno je poznavati pravce i smjerove brzina bilo kojih dviju to�aka krutog tijela koje se nalaze na presjeku S na pr. vA i vB
48
PAvA ⊥→
poznato - v iv BA
→→
PBvB ⊥→
Trenutni pol P nalazi se u sjecištu okomica povu�enih na brzine vA i vB (sjecištu pravaca a i b)
0vP =
9
49
• Brzina bilo koje to�ke krutog tijela koja leži u presjeku S jednaka je njenoj obodnoj brzini pri rotaciji oko trenutnog pola brzina P.
• Brzine pojedinih to�aka tijela proporcionalne su njihovim udaljenostima od trenutnog pola brzina.
PBv
PAv
B
A
⋅ω=
⋅ω=
PBv
PAv BA ==ω
50
→→
→→→
→→
→→→
=
+=
=
+=
BPB
BPPB
APA
APPA
vv
vvv
vv
vvv
0vP =→
51
Odre�ivanje brzina to�aka tijela pomo�u trenutnog pola P
• Za odre�ivanje brzine bilo koje to�ke krutog tijela na presjeku S potrebno je poznavati intenzitet i pravac brzine jedne to�ke vA i pravac brzine druge to�ke tijela vB.
52
intenzitet se Traži
PAv
PAv
PBv?v
AA
BB
=ω�ω⋅=
ω⋅==
ωω
Zadano: Intenzitet i pravac brzine vA i samo pravac vB
53
PAv
rv
rv
PCv
?v
A
A
AAA
C
C
==ω�ω⋅=
ω⋅==
54
Slu�ajevi odre�ivanja trenutnog pola brzina
0vP =
Trenutna translacija: Trenutni pol:
∞→P
10
55
Primjer ravninskog gibanja krutog tijela:
Kotrljanje bez klizanja valjkastog tijela po površini drugog tijela
56
Translacija + Rotacija = Kotrljanje
Kotrljanje – rotacija oko trenutne osi
- trenutni pol
57
Ubrzanje a to�aka tijela
2AM
2
2A
2
M
2
2
M
AMA
dtrd
dtrd
a
dt
rda
rrr
→→→
→→
→→→
+=
=
+=
→→
= A2A
2a
dt
rdMA2
AM2
adtrd →
→
=
→→→+= MAAM aaa
58
→→→+= MAAM aaa
59
Podsjetnik: Ubrzanje a to�aka kod kružnog gibanja
2
dtdv
ω⋅=
ε⋅==
ra
ra
n
t
422n
2t raaa ω+ε=+=
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2n
t
aa
tgωε==α
60
ε⋅=���
����
�→AMa
tMA
2
nMA AMa ω⋅=��
�
����
�→
Tangencijalna komponenta ubrzanja: ( r = AM )
Normalna komponenta ubrzanja:
nMA
tMAMA aaa ��
�
����
�+��
�
����
�=
→→→Ubrzanje aMA to�ke M pri rotaciji tijela oko pola A:
11
61
( ) ( ) 422
nMA2
tMAMA AMaaa ω+ε⋅=+=
2tgωε
=α
→→→+= MAAM aaa
Ubrzana rotacija
62
Usporena rotacijaUbrzana rotacija
63
Primjer 1: Štap AB dužine 2 m izvodi planarno gibanje. U jednom trenutku brzina to�ke A zatvara s osi štapa kut od 30° i iznosi 5 m/s. U istom trenutku brzina to�ke B zatvara s osi štapa kut od 60°. Odredite:
a) iznos brzine to�ke B (grafi�ki i analiti�ki)b) položaj trenutnog pola P (grafi�ki)c) kutnu brzinu ω.
64
a) vB=? - grafi�ki (vBA je okomito na spojnicu AB)
b) Trenutni pol P
65
a) vB=? Teorem o jednakosti projekcija brzina
)s/m( 66,8
2123
5
60cos
30cosvv
60cosv30cosv
AB
BA
=⋅
==
=
�
�
��
66
c) ω = ?
(1/s) 515
APv
APv
(m) 15,0230sinABAP
AA ===ω�ω⋅=
=⋅=⋅= �
Doma�a zada�a:
Odredite brzinu središta štapa – to�ke C (grafi�ki i analiti�ki).
Top Related